最新应力分析与应变分析教学讲义PPT
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最新应力分析与应变分析教学讲义ppt
➢ 最大剪应力(maximun shear s3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
'
'
22
'
'
33
《应力与应变》课件
《应力与应变》PPT课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
《应力应变分析》课件
高分子材料
在高分子材料的制备、加工和使用过程中，应力应变分析有助于了解高
分子材料的力学性能和变化规律，优化高分子材料的应用。
03
复合材料
复合材料的性能取决于其组成材料的性能以及它们的组合方式，通过应
力应变分析可以深入了解复合材料的力学行为，为复合材料的优化设计
提供依据。
在机械工程中的应用
01
机械零件设计
实际应用展望
探讨如何将应力应变分析的理论 应用到实际问题中，如结构优化 设计，材料性能评估等。
持续学习计划
制定未来继续深入学习应力应变 分析的计划，如阅读相关文献， 参加学术交流等。
THANKS
谢谢
应力和应变的测量技术
应力的测量技术
机械式测量法
通过测量物体的形变量来计算应力，常用的仪器有杠杆式和弹性 式传感器。
光学式测量法
利用光学原理，通过观察物体的形变来计算应力，如光弹效应和 干涉法。
压电式测量法
利用压电材料的压电效应，将应力转换为电信号进行测量。
应变的测量技术
电阻应变片法
利用金属丝电阻随形变而变化的特性，将应变转换为 电阻变化进行测量。
有限元法适用于各种形状和边界条件的物体，特别是复杂形状和不规则形状的物体。
有限元法具有通用性强、精度较高、计算效率高等优点，是目前工程领域应用最广泛的应力分析方法。
实验法
01
实验法是通过实验手段测量物体的应力应变状态的方
法。
02
实验法通常需要使用各种传感器和测试设备对物体进
行实际加载和测量，以获得真实的应力应变数据。
在航空航天中的应用
飞行器设计
飞行器在飞行过程中会受到各种复杂载荷的作用，通过应力应变分析可以预测 飞行器在不同飞行状态下的应力分布和变形情况，为飞行器的优化设计提供依 据。
材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)
2201705309M 0 Pa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
txy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
④主应力方位：
tg2a0s2xtxsyy3200115400185 2a062o a031o a0212o1
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， y t z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
-40.3
(29.8,20.3) s
60o 35.3 29.8o D(30,-20)
第三节 三向应力状态下的最大应力
一、三向应力状态下的应力圆
应力与应变状态分析.【优质PPT】
OF OC CF
E D
2α
OC CE cos(20 2 ) OC CE cos20 cos2 CE sin 20 sin 2 OC CD cos20 cos2
A2 B2
o
D/
C 2α0 A1
F B1
CD sin 20 sin 2
25 3
2
45 B 95Aຫໍສະໝຸດ 150° β 0 25 3
1
B
o
A
2β 0
C
（Mpa）
2、量出所求的物理量
1 120; 2 20; 3 0
0
30
0
60 0 27
解析法：（分析思路）
45 25 3
95
60°
max m in
x
y
OC CB1 cos2 DB1 sin 2
x
y
2
x
y
2
c os 2
xy
sin 2
EF CE sin(20 2 ) CD sin 20 cos 2 CD cos 20 sin 2
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
3
0
28
§8－4 梁的主应力及其主应力迹线
F
y
1
o
2 3
4
5
q
x
My Iz
xy
Fs
S
z
b Iz
x
1 3
应力和应变状态分析PPT课件
0.469MPa
第7页/共62页
C 1.04MPa(压) C 0.469MPa
⑶ 作出点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 xy 0.469MPa
40o
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
0
tan 20
2 xy x
y
代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
第9页/共62页
x
2
y
sin
20
xy
cos 20
0
0 0
σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面， σmax、σmin为主应力。
max min
x
y
2
(
x
2
CE sin20 cos 2 CE cos 20 sin2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
第23页/共62页
2. 确定主应力的大小及主平面的方位 A1、B1点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
⑴ A1、B1点对应正应力的极值
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x
应力状态和应变状态分析PPT学习教案
度α0，它们确定两个相互垂直的平
面，其中一个是最大正应力所在平
面，另一个是最小正应力所在平面
第5页/共49页
满足上式的角恰好使切应力等于零。也就是说，在切 应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值，且 它们就是主应力。
2
最大及最 小正应力
max
min
x
y
2
x y
2
2 x
为
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 40
120 120
1
20 45 0 22.5
第14页/共49页
第三节 应力圆及其应用
圆心
一、应力圆及其绘制
将 以 上 两 式 各自平 方后相 加，得
x
2
0 x
y
2
x y
2
y sin 2
cos 2 x x cos 2
sin
2
(
y
d
Asin ) cos 第3页/共49页
(
y
d
Asin ) sin
0
由切应力互等定理可知τx=τy，又
sin2 (1 cos 2) / 2 cos 2 (1 cos 2) / 2
2sincos sin2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
利用该公式可由已知应力σx、σy和τx计算任一方位 截面上的应力σα和τα。
D(120,-30)
A
σ
第25页/共49页
第五节 广义虎克定律
只 有 σ1的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为 只 有 σ2的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为 只 有 σ3的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为
面，其中一个是最大正应力所在平
面，另一个是最小正应力所在平面
第5页/共49页
满足上式的角恰好使切应力等于零。也就是说，在切 应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值，且 它们就是主应力。
2
最大及最 小正应力
max
min
x
y
2
x y
2
2 x
为
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 40
120 120
1
20 45 0 22.5
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第三节 应力圆及其应用
圆心
一、应力圆及其绘制
将 以 上 两 式 各自平 方后相 加，得
x
2
0 x
y
2
x y
2
y sin 2
cos 2 x x cos 2
sin
2
(
y
d
Asin ) cos 第3页/共49页
(
y
d
Asin ) sin
0
由切应力互等定理可知τx=τy，又
sin2 (1 cos 2) / 2 cos 2 (1 cos 2) / 2
2sincos sin2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
利用该公式可由已知应力σx、σy和τx计算任一方位 截面上的应力σα和τα。
D(120,-30)
A
σ
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第五节 广义虎克定律
只 有 σ1的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为 只 有 σ2的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为 只 有 σ3的 作 用 时， 在σ1、 σ2、σ3三 个方 向产生 的应变 为
材料成形原理应力分析与应变分析课件
THANKS
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应变率与应变速率
在材料成形过程中，应变率和应变速率是描述材料变形速度的重要参数。了解应变率和应 变速率的变化规律有助于优化材料的加工工艺和产品质量。
应变硬化与软化
在材料成形过程中，随着变形的增加，材料的应力-应变行为会发生改变。应变硬化是指 随着变形的增加，材料的应力逐渐增大；而软化则是指随着变形的增加，材料的应力逐渐 减小。了解应变硬化和软化的规律有助于控制材料的成形过程和产品质量。
边界元法
只需求解边界上的积分方程，适用于求解具有复杂边界形状的问题。
应变分析的实例
圆筒形压力容器的应变分析
通过应变分析计算圆筒形压力容器在压力作用下的应变和应力分布，为容器的设 计和安全评估提供依据。
桥梁结构的应变分析
通过应变分析计算桥梁结构在车辆载荷作用下的应变和应力分布，为桥梁的维护 和安全评估提供依据。
先进工艺的应力与应变分析
先进成形工艺
随着制造业的发展，各种先进的成形 工艺不断涌现，如增材制造、精密铸 造、超塑性成形等。对这些工艺的应 力与应变进行分析，有助于提高工艺 的稳定性和产品质量。
工艺参数优化
通过分析不同工艺参数下的应力与应 变分布，可以优化工艺参数，降低成 形过程中的缺陷风险，提高产品的力 学性能和可靠性。
重要性
材料成形原理是材料加工工程领域的基础学科之一，对于深入理解材料加工过 程、优化工艺参数、提高产品质量和降低生产成本等方面具有重要意义。
材料成形原理的基本概念
应力和应变
在材料成形过程中，由于外力的作用， 材料内部会产生应力，导致材料的形 状和尺寸发生变化，这种变化称为应 变。
屈服准则
流动法则
流动法则描述了材料在塑性变形过程 中应力和应变之间的关系，即应力和 应变的变化规律。
【教学课件】第八章 应力与应变分析
2．单元体上的应力分量
1)单元体上的应力分量共有
Z sz
九个，分量有六个； 2)应力分量的角标规定：
tzy
tzx
txy
sx
第一角标表示应力作用
面，第二角标表示应力
平行的轴；两角标相同
时，只用一个角标来表
示 。 例 如 txy 表 示 x 面 上 平行于y轴的切应力，sx
tyx
txz tyz dz
sy
1．一点的应力状态
受力构件一点处各个不同截面上的应力情况
2．研究应力状态的目的
找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方 位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。
二、研究应力状态的方法 ——单元体法
1．单元体 围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点：
1)代表一点的应力状态； 2)每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示； 3)平行面上的应力大小相同、方向相反； 4)三个相互垂直面上的应力已知。
4)讨论并证明：同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。
s' s" sa sa 9o0 C
例8-2 分析圆轴扭转时的应力状态。 Me
AD
BC
s1
s3
Me
45o x
解：1) 围绕圆轴外表面一点取单元
体ABCD： tMe/Wp
2)求主应力和主单元体
ss'''02 022t2t
ta2an 0 t0 a04o5
s sx x s sy y： ： a a0 0* * a a0 0 9 so '， 0 a s0 '， 9 ao 00 s s" "
b)txy箭头指向第几象限(一、
应力分析和应变分析PPT讲稿
3.1.4 点的应力状态
• 现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分
量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状 态，由静力平衡条件由∑Fx = 0，∑Fy= 0，∑Fz = 0
即有：
•
SxdF –σxdFx – τyxdFy – τzxdFz = 0
•
SydF –σydFy – τxydFy – τzydFz = 0
2022/3/4
10
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2022/3/4
11
现在您浏览的位置是第十一页，共四十八页。
2.体积力
• 体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁
力和惯性力等。
• 对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的面力比
较起来要小的多，在实际工程计算中一般可以忽略。
S2 2
2022/3/4
26
现在您浏览的位置是第二十六页，共四十八页。
• 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该
点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量 来表示。
x y z xy yx yz zy zx xz
• 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个
应力分析和应变分析课件
现在您浏览的位置是第一页，共四十八页。
3.1 应力状态基本概念
• 金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生
塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工 件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本 章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方 法。这是塑性加工的力学基础。
2022/3/4
25
现在您浏览的位置是第二十五页，共四十八页。
3.1.4 点的应力状态
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➢ 为引起形状改变的偏应力张量(deviatoric stress tensor)， 为引起体积改变的球张量(spherical stress tensor)（静水 压力）。
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
I1 'x ' y ' z ' 1 '2 ' 3 ' 0
I2 ' 1 '
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
I1,I2
因为
8
2 3
(I12 3I2)
等效应力
e1 2[(1 2)2(2 3)2(3 1)2]3/ 28
e1 2 [ (xy )2 (yz)2 (zx )2 6 (x 2 y y 2 z z 2 x ) ]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
f (x)f (x) x
xdxx
x
x
➢ 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 rr ຫໍສະໝຸດ rz1 r(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
➢ 球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 §1.5.2 变形连续方程
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
12 3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
§1.3 应力张量的分解与几何表示
'
ij
ij ij m
(i,j=x,y,z)
其中 m13(xyz) 即平均应力， 为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xyzz.x'
xy '
y
xyzzm1 0
0 1
0 0
. . z . . z' 0 0 1
x' xm, y' y m z' z m
讨论：
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
'
'
22
'
'
33
1 ' （体现变形体形状改变的程度）
I3' 1'2'3' const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i,jx,y,z)
x x
xy y
xz z
0
即 （不计体力）
yx x
zx
y y zy
yz z
z
应力分析与应变分析
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
应力不变量
式中
I1xyz123
I2 x xy y
yx y
zy
yz z
z
xz
zx x
x y y zz xx 2yy 2zz2x 122331
x xy xz I3 . y yz
. . z
123
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程
§1.5.1 几何方程
x x x u x x, yy y u y y,zz z u z z
0 0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
➢ 推导原理：
静力平衡条件： X 0 , Y 0 , Z 0
静力矩平衡条件： M x 0 , M y 0 , M z 0
泰勒级数展开： f(xd)x f(x)1 1 !f (xx)2 1 !2 fx(2x)......
lx ly lz
1 3
54 o44 '
正应力 813(123)13I1
剪应力
8
1 3
(12)2(23)2(31)2
总应力 P8 82 82
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。
八面体应力的求解思路：
i(ji,j x ,y ,z) 1 ,2 ,3 8 ,8
➢ 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
I1 'x ' y ' z ' 1 '2 ' 3 ' 0
I2 ' 1 '
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力
i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力
i、j同号为正，异号为负
➢应力的坐标变换（例题讲解）*
实际应用：晶体取向、织构分析等
➢应力莫尔圆**：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）
1MPa=106 N/m2
➢ 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
➢ 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
I1,I2
因为
8
2 3
(I12 3I2)
等效应力
e1 2[(1 2)2(2 3)2(3 1)2]3/ 28
e1 2 [ (xy )2 (yz)2 (zx )2 6 (x 2 y y 2 z z 2 x ) ]
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
f (x)f (x) x
xdxx
x
x
➢ 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 rr ຫໍສະໝຸດ rz1 r(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
➢ 球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 §1.5.2 变形连续方程
§1.2 点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力 §1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
3I12I2I30 (3I12I2I30)
(1)(2)(3)0
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
12 3
则有最大剪应力：
max1
3
2
或者： 其中：
且有：
maxmax1{2,23,31}
12122,23223,31321 1223310
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
§1.3 应力张量的分解与几何表示
'
ij
ij ij m
(i,j=x,y,z)
其中 m13(xyz) 即平均应力， 为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xyzz.x'
xy '
y
xyzzm1 0
0 1
0 0
. . z . . z' 0 0 1
x' xm, y' y m z' z m
讨论：
➢ 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形 状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。
'
'
22
'
'
33
1 ' （体现变形体形状改变的程度）
I3' 1'2'3' const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i,jx,y,z)
x x
xy y
xz z
0
即 （不计体力）
yx x
zx
y y zy
yz z
z
应力分析与应变分析
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
应力（stress）
➢ 应力S 是内力的集度 ➢ 内力和应力均为矢量
lim S
P
A0 A
➢ 应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
应力不变量
式中
I1xyz123
I2 x xy y
yx y
zy
yz z
z
xz
zx x
x y y zz xx 2yy 2zz2x 122331
x xy xz I3 . y yz
. . z
123
➢ 讨论：
1. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程
§1.5.1 几何方程
x x x u x x, yy y u y y,zz z u z z
0 0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
➢ 推导原理：
静力平衡条件： X 0 , Y 0 , Z 0
静力矩平衡条件： M x 0 , M y 0 , M z 0
泰勒级数展开： f(xd)x f(x)1 1 !f (xx)2 1 !2 fx(2x)......
lx ly lz
1 3
54 o44 '
正应力 813(123)13I1
剪应力
8
1 3
(12)2(23)2(31)2
总应力 P8 82 82
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。
八面体应力的求解思路：
i(ji,j x ,y ,z) 1 ,2 ,3 8 ,8