第四章 斜齿行星齿轮传动系统动力学分析精选

第四章斜齿行星齿轮传动系统动力学分析4.1 引言行星齿轮传动由于具有重量轻、结构紧凑、传动比大、效率高等优点，在民用、国防领域中都得到了广泛的应用，行星齿轮传动的振动和噪声是影响传动系统寿命和可靠性的重要因素。

近年来，国内外学者对行星齿轮传动的动态特性进行了大量研究：J.Lin、R.G.Parker、宋轶民等分析了行星齿轮传动的固有特性[42-49]；A.Kahraman等研究了行星齿轮传动的均载特性 [50-52]，并分析了加工误差对动态响应的影响[53-54]；R.G.Parker等还提出了通过控制啮合相位差抑制系统振动的方法[55-57]；潜波、罗玉涛、D.R.Kiracofe等探讨了复杂行星齿轮传动的动力学建模与分析[59-65]；沈允文、孙涛、孙智民等对星型齿轮传动和行星齿轮传动的非线性动力学特性进行了深入研究[66-70]。

目前，关于行星齿轮传动的研究多针对直齿行星轮系，而对斜齿行星传动的研究还很少，所建立的模型也有待进一步完善。

建立精确的动力学模型，是研究动态特性的首要工作，本章针对斜齿行星齿轮传动，以变形协调分析为基础，建立了其耦合非线性动力学模型，推导了其运动微分方程，最后分析了斜齿行星轮系的自由振动特性，对固有频率和固有振型的特点进行了总结。

4.2 系统的动力学模型及方程4.2.1 传动系统的动力学模型行星齿轮传动平移-扭转耦合动力学模型考虑的自由度非常多，因此其动力学方程也非常复杂。

为方便动力学方程的推导，建立各个集中质量的坐标系如下：OXY为静坐标系，其原点在行星轮系的几何中心，坐标系不随行星轮系运动；Oxy 为行星架随动坐标系，其原点在行星架回转中心，固连在行星架上随行星架的运O x y为行动而等速运动，其x轴正向通过第一个行星轮中心平衡位置；坐标系n n n星轮坐标系，也固连在行星架上随之等速旋转，其原点位于行星轮的中心平衡位置，x轴通过太阳轮中心与行星轮中心的连线指向内齿圈，y轴与行星架相切指向行星轮中心运动速度方向。

以3行星轮的传动系统为例，建立行星齿轮传动动力学模型如图4-1所示，各弹性支承及啮合副均有阻尼，为保持模型整洁阻尼符号未在图中标出，其命名规则与刚度系数相同，只需将k 换成c 。

Ys , x c , x r图4-1 行星齿轮传动平移-扭转耦合动力学模型端面的动力学模型还不足以表述各构件在轴向的运动情况，需要轴侧图加以辅助说明。

斜齿行星传动中各构件在轴向的相对位移关系如图4-2所示，为表达清晰，图中未画出内齿圈的支承和行星架。

假定各个构件在端面平移方向的刚度和阻尼相同，而在轴向的刚度和阻尼与端面方向不同。

k snc snk rnc rn k sc s k sc sk pc pk p cpk szc szk pz c pz太阳轮行星轮内齿圈图4-2 行星轮系各构件间的相对位移2K-H 型斜齿行星齿轮传动系统由太阳轮、N 个行星轮、行星架和内齿圈构成，可根据使用要求固定其中任何一个构件，实现不同的功率传递形式。

图4-1及图4-2所示的模型中共包含有412N +个自由度，其广义坐标分别是：太阳轮的扭转线位移s s s u r θ=，内齿圈的扭转线位移r r r u r θ=，第n 个行星轮相对于行星架的扭转线位移n n n u r θ=，行星架的扭转线位移c c c u r θ=，以及各构件在端面和轴向的平移线位移,,,,,,,,,,,s s s r r r c c c n n n x y z x y z x y z x y z ，不考虑系统的摆振。

其中h r 为构件h 的基圆半径(,,h s r n =；c r 为行星轮中心分布圆的半径)，h θ为构件h 的角位移。

系统的广义坐标矢量可表示为：1111{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}T c c c c r r r r s s s s N N N N w x y z u x y z u x y z u x y z u x y z u =4.2.2 构件的质心加速度分析在齿轮系统动力学分析中，一般仅考虑刚体位移和弹性变形的叠加，而不考虑二者的耦合作用，也即陀螺效应。

在低速条件下，陀螺效应对系统的影响可以忽略不计，但随着系统转速的提高，耦合响应会变得越来越大，此时陀螺效应将变得不可忽略。

为建立准确的动力学模型和方程，需要对行星齿轮传动的构件质心加速进行分析，以明确陀螺效应对系统动力学特性的影响机理。

行星传动系统中构件数目较多，且存在虚约束，各构件之间的相对运动关系较为复杂。

以图4-3所示的行星架随动坐标系来分析行星轮系中各构件的运动。

图4-3 行星架随动坐标系图4-3中，OXY 为静坐标系，Oxy 为行星架随动坐标系。

对任一时刻t ，行星架随动坐标系Oxy 相对静坐标系X 轴转过的角度c c t θω=。

设i r 是行星轮系中某构件质心的位移向量，μ、ν分别为x 、y 轴方向的单位矢量，i x 、i y 分别是i r 在x 、y 轴上的投影，则i r 可表示为：i i i r x y μν=+ (4-1)在静坐标系中，有cos sin c i c c e i θθθ=+,则μ、ν及二者的导数可表示为：(/2)c c i i c c e e θθπμμννμωννωμ+⎧==⎨==-⎩(4-2) 将i r 对时间t 求二阶导，并结合式(4-2)可得构件质心加速度：22(2)(2)i i c i c i i c i c i r x y x y x y ωωμωων=--++- (4-3)式(4-3)表明在行星架随动坐标系中，任意构件的质心加速度都可以表示为μ、ν两个方向加速度分量的矢量和。

4.2.3 构件间的相对位移分析行星齿轮传动系统中，力的传递使存在相互作用的构件产生弹性变形，通过构件的受力分析和变形协调分析，可以推导出构件的平衡方程。

根据图4-1、4-2所示的构件相对位置，对各坐标方向的位移进行投影，分析构件间的相对位移关系，以,s r αα表示行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合角，在行星架随动坐标系下：(1)太阳轮在s x 方向的位移投影到sn 方向为：sin()cos s n s x ψαβ--； (2)太阳轮在s y 方向的位移投影到sn 方向为：cos()cos s n s y ψαβ-； (3)太阳轮在s z 方向的位移投影到sn 方向为：sin s z β； (4)行星轮在n x 方向的位移投影到sn 方向为：sin cos n s x αβ-； (5)行星轮在n y 方向的位移投影到sn 方向为：cos cos n s y αβ-； (6)行星轮在n z 方向的位移投影到sn 方向为：sin n z β-； (7)行星轮在n x 方向的位移投影到rn 方向为：sin cos n r x αβ； (8)行星轮在n y 方向的位移投影到rn 方向为：cos cos n r y αβ-； (9)行星轮在n z 方向的位移投影到rn 方向为：sin n z β；(10)内齿圈在r x 方向的位移投影到rn 方向为：sin()cos r n r x ψαβ-+； (11)内齿圈在r y 方向的位移投影到rn 方向为：cos()cos r n r y ψαβ+； (12)内齿圈在r z 方向的位移投影到rn 方向为：sin r z β-； (13)行星轮在n x 方向的位移投影到c x 方向为：cos n n x ψ； (14)行星轮在n x 方向的位移投影到c y 方向为：sin n n x ψ； (15)行星轮在n y 方向的位移投影到c x 方向为：sin n n y ψ-； (16)行星轮在n y 方向的位移投影到c y 方向为：cos n n y ψ； (17)行星架在c x 方向的位移投影到n x 方向为：cos c n x ψ； (18)行星架在c x 方向的位移投影到n y 、c u 方向为：sin c n x ψ-； (19)行星架在c y 方向的位移投影到n x 方向为：sin c n y ψ； (20)行星架在c y 方向的位移投影到n y 、c u 方向为：cos c n y ψ。

各构件间的弹性变形是由以上各项投影位移共同作用所引起的，只需将相关投影项叠加，便能得出不同构件在各广义坐标方向的相对位移，即弹性变形量。

在行星架随动坐标系下，考虑啮合误差的构件间相对位移可表示为：(sin sin cos cos )cos ()sin ()(sin sin cos cos )cos ()sin ()sin cos sin cos sin sn s n n s sn n s sn s n sn rn r n n r rn n r rn n r rn cnx c c n n n n ncnyc c n n u u x x y y z z e t u u x x y y z z e t x u x y y u x δαψαψββδαψαψββδψψψδψ=+---+ +--=-+--+ +--=--+=+-cos sin cos cos sin sin cos n n ncnz c ncnu c n c n c n pnx n c n c n pny n c c n c ny z z u y x y x x y y u x y ψψδδψψδψψδψψ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪=--+⎪=--⎪=-+-⎪⎩ (4-4) 式中：,sn rn δδ—第n 个行星轮与太阳轮、内齿圈在各自啮合线方向的相对位移； ,,,cnx cny cnz cnu δδδδ—行星轮与行星架在,,,c c c c x y z u 方向的相对位移； ,pnx pny δδ—行星轮与行星架在,n n x y 方向的相对位移；n ψ—第n 个行星轮中心和行星架中心连线与c x 正方向的夹角； 2(1)/n n N ψπ=-，sn n ψψα=-，rn n ψψα=+； α—齿轮的压力角； β—齿轮的螺旋角；(),()sn rn e t e t —第n 个行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合误差。

根据式(4-4)的弹性变形计算公式，可以确定构件所受各方向的作用力。

啮合力向量始终作用在啮合面内，啮合齿轮可视为由弹簧和阻尼相连的刚体，因此，行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合力可表示为：()()sn sn sn sn snrn rn rn rn rnF k f c F k f c δδδδ⎧=+⎨=+⎩ (4-5) 式中：,sn rn k k —第n 个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合刚度；,sn rn c c —第n 个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合阻尼； ()ij f δ—间隙函数，表示各啮合副的变形量，,;i s r j n ==。