高考数学专题：直线与圆锥曲线的综合问题

1、直线 mx y 2 m 0恒过定点__________。
2、过点 P - 3,0 ，斜率为 1 的直线与椭圆 x2 y2 1 交于 A，B 两点，O 43
为原点，求 AOB的面积。
3、椭圆 x2 y2 1 内有一点 P3,2，过 P 点的弦恰好以 P 为中点，则
2t2－2
| | 1＋2k2
＝ k2·12＋t2－2k22＋kt－1·－1＋4k2tk2 ＋t－12
| | 1＋t
＝2 1－t 。
| | 1＋t
又|OM|·|ON|＝2，所以 2 1－t ＝2。
解得 t＝0，所以直线 l 经过定点(0,0)。
【例 4】已知椭圆 C：9x2 y2 m2 m 0 ，直线 l 不过原点 O 且
解 (1)由题意得，b2＝1，c＝1。所以 a2＝b2＋c2＝2。
所以椭圆 C 的方程为x2＋y2＝1。 2
(2)设
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线
AP
的方程为
y＝y1－1x＋1。 x1
令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1。
| | | | x1
x2
又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝ kx1＋t－1 。同理，|ON|＝ kx2＋t－1 。
y＝kx＋t，
由 x2＋y2＝1 2
得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0。
则 x1＋x2＝－1＋4k2tk2，x1x2＝12＋t2－2k22。
| | | | | | x1
x2
x1x2
所以|OM|·|ON|＝ kx1＋t－1 ·kx2＋t－1 ＝ k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12
2 ，则 1＋2k2
P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)。
于是直线 QG 的斜率为k，方程为 y＝k(x－u)。
2
2
y＝kx－u， 2
由 x2＋y2＝1 42
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0 ①。
设 G(xG，yG)，则－u 和 xG 是方程①的解， 故 xG＝u32k＋2＋k22，由此得 yG＝2u＋k3k2。
考点二 最值与范围问题 【例 2】 (2019·全国Ⅱ卷)已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直 线 AM 与 BM 的斜率之积为－1，记 M 的轨迹为曲线 C。
2 (1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂 足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G。 ①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值。
设 t＝k＋1，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k＝1 时取等号。 k
因为 S＝1＋8t2t2在[2，＋∞)单调递减，
所以当
t＝2，即
k＝1
时，S
取得最大值，最大值为16。 9
因此，△PQG 面积的最大值为16。 9
有关范围、最值问题的解题步骤如下： 第一步：设参数：依题意设出相关的参数，如设点的坐标，设比例式的 参数或设直线的方程等； 第二步：联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于 x(或 y) 的一元二次方程； 第三步：建立函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式； 第四步：求最值(或范围)：利用配方法、基本不等式法、单调性法(基本 初等函数或导数)等求其最值．
(2)定值问题的解法 ①首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)． ②将问题转化为证明待定式与参数(某些变量)无关；或先将式子用动点坐 标或动直线中的参数表示；再利用其满足的约束条件消参得定值．
圆锥曲线中的探索性问题常考查结论存在和条件探究两种题型，一般的 解题思路如下：
(1) 结论存在型：即证明在给定的条件下，一些给定的结论是否存在．解 题时一般先对结论作肯定假设，然后结合已知条件进行推证，若推证无矛盾， 则正确；若推出矛盾，则否定此结论．过程可归纳为：假设—推证—定论；
考点三 定点与定值问题 【例 3】 (2019·北京高考)已知椭圆 C：ax22＋yb22＝1 的右焦点为(1,0)，且经 过点 A(0,1)。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，直线 l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q， 直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N。若|OM|·|ON|＝2，求证： 直线 l 经过定点。
解 设直线 l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)。
(1)由题设得
F
3，0 4
，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32，由题设可得
x1＋x2＝52。
y＝3x＋t， 由2
y2＝3x，
可得 9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则
x1＋x2＝－4t－3 1。从而－4t－3 1＝52，得
解 (1)由题设得x＋y 2·x－y 2＝－12，化简得x42＋y22＝1(|x|≠2)，所以 C 为中心
在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点。
(2)①证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx(k>0)。
y＝kx， 由 x2＋y2＝1
42
得 x＝±
2。 1＋2k2
记 u＝
从而直线
PG
的斜率为 2u＋k3k2－uk ＝－1。
u32k＋2＋k22－u
k
所以 PQ⊥PG，即△PQG 是直角三角形。
②由①得|PQ|＝2u 1＋k2，|PG|＝2uk2＋kk2＋2 1，
所以△PQG 的面积 S＝12|PQ||PG|＝1＋8k2k12＋2k＋2 k2＝1＋821k＋1＋kk2。 k
不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A,B，线段 AB 的中点为 M。
(1) 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值。
(2)
若l
过点
m 3
, m
，延长线段
OM
与
C
交于点
P，四边形
OAPB
能
否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。
(1)动直线过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为 y＝kx＋m，由 题设条件将 m 用 k 表示为 m＝f(k)，借助于点斜式方程思想确定定点坐标．
直线与圆锥曲线的综合问题
考点整合
全国卷 3 年考情分析
考|题|细|目|表
年份
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
2019 2018
轨迹方程、直线与
直线方程、直线与抛
直线与抛物线的位
椭圆的位置关
物线的位置关系·T19 系·T21
置关系·T21
直线的方程、直线
直线的方程、直线与
直线与椭圆的位置
与抛物线的位置
椭圆的位置关系、证
(2)条件探究型：即给出结论，需要分析出具备的条件，并加以证明．解 题时一般从结论出发，依据其他已知条件，通过必要的逻辑推理，逐步找到 结论成立的等价条件，即“执果索因”。
36 16
这条弦所在的直线方程为______________。
考点考向研究
精析精研 重点攻关
考点一 求值与证明问题 【例 1】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C：y2＝3x 的焦点为 F，斜率为3的
2 直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P。
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求 l 的方程； (2)若A→P＝3P→B，求|AB|。
t＝－7。 8
所以 l 的方程为 y＝3x－7。 28
(2)由A→P＝3
P→B可得
y1＝－3y2。由
y＝3x＋t， 2
y2＝3x，
源自文库
可得 y2－2y＋2t＝0。
所以 y1＋y2＝2。从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3。
代入
C
的方程得
x1＝3，x2＝13。故|AB|＝4
13。 3
解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤： (1)设直线方程及交点坐标(直线方程设为点斜式时，要注意对直线斜率是 否存在进行分类讨论；设成 x＝my＋n 的形式时，要注意对直线是否能与 x 轴平行进行分类讨论)； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得一元方程(要注意二次项系 数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式； (4)结合已知条件和图形分析，利用中点坐标公式、斜率公式、弦长公式 及三角形面积公式等进行求解．
关系、等差数列的证
关系、圆的方
明问题·T19
程·T19
明·T20
椭圆的标准方程、直 点的轨迹方程、椭 直线与抛物线的位
2017 线与椭圆的位置关 圆方程、向量的数 置关系、直线的方
系、定点问题·T20
量积等·T20
程、圆的方程·T20
[考情分析] 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查 的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。 圆锥曲线综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范 围与最值问题等．这类问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数 处理为核心，需要运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求解，试 题难度较大，多以压轴题出现。