高中数学选修4-1课程纲要
高中数学人教A版选修4-1 (3)
【自主解答】 (1)AB＝ ＝ ＝. (2)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝.
(3)A2＝＝， B2＝＝.
这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意 义．(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B ≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二 阶零矩阵．
在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求 △OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积，其中M＝， N＝. 【解】 MN＝ ＝ ＝.
又因为＝， ＝， ＝， 所以O，A，B三点在矩阵MN的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－ 1)， 所以S△O′A′B′＝×2×1＝1. 故△OAB在矩阵MN的作用变换下所得图形的面积为1.
(教材第47页习题2.3第5题)已知 △ABC，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，试研究 变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．
(2013· 南京模拟)已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对 应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1.求实数b的值． 【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能 力．
【提示】 不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM 后TN的两次几何变换.
矩阵的乘法运算 (1)已知A＝，B＝，计算AB. (2)已知A＝，B＝，计算AB，BA. (3)已知A＝，B＝，计算A2、B2. 【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．
对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M、N、P均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律 设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.
高中数学选修4-1知识点总结
高中数学选修4-1知识点总结高中数学选修4-1知识点总结第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
2.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
高中数学选修41教案
高中数学选修41教案高中数学选修41教案1上个学期，依据需要，学校安排我上高二数学文科，在这一学期里我从各方面严格要求自己，在教学上虚心向老老师请教，结合本校和班级同学的实际状况，针对性的开展教学工作，使工作有计划，有组织，有步骤。
经过了一学期，我对教学工作有了如下感想：一、仔细备课，做到既备同学又备教材与备教法。
上学期我依据教材资料及同学的实际状况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先思索到，仔细写好教案。
每一课都做到“有备而去”，每堂课都在课前做好充分的预备，课后实时对该课作出小结，并仔细整理每一章节的知识要点，帮忙同学进行归纳总结。
二、加强上课技能，提高教学质量。
加强上课技能，提高教学质量是我们每一名新老师不断努力的目标。
由于应对的是文科生，基础普遍比较差，所以我主要是立足于基础，让同学学得简约，学得开心。
留意精讲精练，在课堂上讲得尽量少些，而让同学自己动口动手动脑尽量多些;同时在每一堂课上都充分思索每一个层次的同学学习需求和理解潜力，让各个层次的同学都得到提高。
三、虚心向其他老师学习，在教学上做到有疑必问。
在每个章节的学习上都上心征求其他有阅历老师的看法，学习他们的方法。
同时多听老老师的课，做到边听边学，给自己不断充电，弥补自己在教学上的不足，征求他们的看法，改善教学工作。
四、仔细批改作业、布置作业有针对性，有层次性。
作业是同学对所学知识巩固的过程。
为了做到布置作业有针对性，有层次性，我经常多方面的搜集资料，对各种辅导资料进行筛选，力求每一次练习都能让同学起到的效果。
同时对同学的作业批改实时、仔细，并分析同学的作业状况，将他们在作业过程涌现的问题实时评讲，并针对反映出的状况实时改善自己的教学方法，做到有的放矢。
然而，在确定成果、总结阅历的同时，我清晰地认识到我所获得的教学阅历还是肤浅的，在教学中存在的问题也不容忽视，也有一些困惑有待解决今后我将努力工作，上心向老老师学习以提高自己的教学水平。
2020版高中数学高二选修4-1教案及练习归纳整理讲义03《几何选讲》全章复习与巩固知识讲解
《几何选讲》全章复习与巩固丁会敏【学习目标】1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理.2.理解并掌握相似三角形的判定及性质。
3.会证明和应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
4.会证明和应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
【要点梳理】要点一、平行截割定理 1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如右图:l 1∥l 2∥l 3,则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.要点诠释:由上述定理可知:在证明有关比例线段时,辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).相似用符号“∽”表示,读作“相似于”。
要点诠释:关于相似三角形要注意以下几点:① 对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.② 顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③ 两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.2.相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③三边对应成比例的两个三角形相似。
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
高中数学人教A版选修4-1 (33)
前自主导学
当堂双基
堂互动探究
课时作
中的数量关系． (2)注意“辅助线”的添加和定理公式的选择．
菜 单
新课标 · 数学
选修4-1
如图 1－3－26，△ABC 是一块锐角 三角形余料，边 BC＝200 mm ，高 AD＝ 300 mm ，要把它加工成长是宽的 2 倍的 矩形零件，使矩形较短的边在 BC 上，其 余两个顶点分别在 AB、AC 上，求这个矩 形零件的边长．
堂互动探究
课时作
菜 单
新课标 · 数学
选修4-1
3．两个相似三角形对应边分别长 6 cm 和 18 cm ，若大 三角形的面积是 36 cm2，则较小三角形的面积是( A．6 C．18 B．4 D．不确定 )cm2.
前自主导学
当堂双基
S小 1 2 1 6 1 【解析】 相似比等于18＝3，则 ＝(3) ＝9， S大 1 1 ∴S 小＝9S 大＝9×36＝4(cm2)． 【答案】 B
【答案】 6
前自主导学
当堂双基
堂互动探究
课时作
菜 单
新课标 · 数学
选修4-1
1 1． 已知△ABC∽△A′B′C′，且 ＝ ， BC＝2， S△A′B′C′ 4 则 B′C′等于( A．2 ) B．4 S△ABC C．8 D．16
S△ABC
前自主导学
当堂双基
BC 2 1 【解析】 ∵ ＝( ) ＝4， S△A′B′C′ B′C′ BC 1 ∴ ＝ ， B′C′ 2 又∵BC＝2，∴B′C′＝2BC＝4. 【答案】 B
菜 单
堂互动探究
课时作
新课标 · 数学
选修4-1
4．在比例尺为 1∶500 的地图上，测得一块三角形土地 的周长是 12 cm，则这块地的实际周长是________m. 【解析】 这块地的实际形状与在地图上的形状是两个 1 相似三角形，其相似比为 12×500＝6000 500，则实际周长为： cm＝60 m. 【答案】 60
高中数学选修4 1教案
高中数学选修4 1教案在高中数学的教学过程中，编写一份优质的教案对于指导学生理解和掌握知识点至关重要。
今天，我们就来探讨如何编写一份高中数学选修4-1的教案范本。
## 教学目标在编写教案之前，首先要明确教学目标。
这些目标应当包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。
例如，对于选修4-1的内容，教学目标可以是：- 理解并掌握相关数学概念和定理。
- 能够运用所学知识解决实际问题。
- 培养学生的逻辑推理能力和数学思维。
- 激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
## 教学内容接下来，要根据教学大纲和教材内容，确定本节课的教学内容。
例如，如果本节是关于“函数的概念与性质”，那么教学内容应包括：- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的性质（如单调性、周期性等）## 教学方法选择合适的教学方法对于提高教学效果至关重要。
可以采用以下几种方法：- 讲授法：用于讲解基本概念和定理。
- 探究法：引导学生通过问题解决学习新知识。
- 合作学习：鼓励学生小组讨论，共同解决问题。
## 教学过程教学过程是教案的核心部分，需要详细规划。
一般包括以下几个环节：1. 导入新课：可以通过提出问题、回顾旧知识或展示实际应用案例来引入新课内容。
2. 新课讲解：根据教学内容，系统地讲解新知识点。
3. 学生练习：设计适当的练习题，让学生巩固和应用所学知识。
4. 小结反馈：总结课堂重点，解答学生疑问，并进行形成性评价。
## 教学评价教学评价是检验教学效果的重要环节。
可以通过以下方式进行：- 随堂测验：通过小测试了解学生对知识点的掌握情况。
- 作业布置：布置适量作业，既能够巩固课堂所学，又能够检验学生的学习效果。
- 自我反思：教师应对自己的教学过程进行反思，以便不断改进教学方法和策略。
## 教学资源最后，不要忘记准备必要的教学资源，如多媒体课件、实物模型、数学工具软件等，这些都能有效辅助教学，提高学生的学习兴趣。
总之，一份好的教案应该是结构清晰、内容丰富、符合学生实际水平的。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
参数方程的形式
参数方程的一般形式为{ x=x(t), y=y(t) }，其中t是 参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题等领域有广泛 应用。
极坐标与直角坐标的互化
极坐标转换为直角坐标
通过公式x = r cosθ, y = r sinθ可以 将极坐标转换为直角坐标。
直角坐标转换为极坐标
定义
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、 乘法等。加法和数乘是矩阵的基本运 算，而乘法是矩阵运算中的重点和难 点。
性质
实例
矩阵的运算可以用来解决一些实际问 题，如线性方程组的求解、向量的线 性变换等。
矩阵的运算满足一些基本的数学性质 ，如结合律、交换律、分配律等。这 些性质在解决实际问题时非常重要。
逆矩阵与行列式
参数方程的应用
03
解决与参数方程相关的实际问题，如轨迹问题、最值问题等。
复数及其应用习题及答案
复数的基本概念
复数的定义、表示方法、四则 运算等。
复数的几何意义
理解复数在平面上的表示方法 ，掌握复数的模的概念和性质 。
复数的三角形式
掌握复数的三角形式的表示方 法，理解其几何意义。
复数的应用
解决与复数相关的实际问题， 如求复数方程的根、解决几何
抛物线的标准方程为 $y^2 = 4px$ 或 $x^2 = 4py$，其中 $p$ 是抛物线的准线到焦点的距
离。
抛物线的性质
抛物线具有对称性，即关于x轴 或y轴都是对称的。此外，抛物 线还有焦点，这些焦点到抛物线 上任一点的距离等于该点到准线
的距离。
抛物线的面积
由于抛物线是一条射线，所以它 的面积是无穷大。但是，在实际 应用中，我们通常只考虑抛物线 与坐标轴或某个平面的交点所围
高中数学人教A版选修4-1 (34)
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要保证取到等号成立的条件．
若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点． 【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4， 所以x2＋y2≥. 当且仅当＝时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组 ∴ 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为(，). 运用柯西不等式求参数范围 已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤»恒成立，求λ的取值范围． 【思路探究】 “恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值． 【自主解答】 ＋＋≤＋＋ ＝(1· ＋1· ＋1·) ≤[(12＋12＋12)·( ＋＋)]＝. 故参数λ的取值范围是[，＋∞)．
第二章 几个重要不等式
§1
柯西不等式
1．1 简单形式的柯西不等式 1．2 一般形式的柯西不等式
1.认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式． 课标解读 2.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程． 3.能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明.
利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当地变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的 特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．
已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤. 【证明】 由柯西不等式 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2][()2＋()2] ＝(3x2＋2y2)(＋)≤6×＝11. 于是2x＋y≤. 设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【思路探究】 如何构造二组数是解决问题的关键． 【自主解答】 由柯西不等式 [()2＋()2＋()2][()2＋()2＋()2] ≥(· ＋· ＋·)2. 于是(＋＋)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2， 即＋＋≥a＋b＋c.
高中数学选修41教案
高中数学选修41教案课时安排：共20课时，每周2课时，共10周完成课程目标：1. 了解复数的概念及运算法则2. 掌握复数平面表示、复数的乘法、除法及二次根的求解3. 掌握不等式的求解方法和图像表示4. 熟练掌握复函数的概念、变量变化规律、复函数的加减乘除及复函数的连续性5. 了解极限的概念、极限的性质及计算极限的方法教学内容：第一单元：复数1. 复数的概念和表示方法2. 复数的四则运算3. 复数的平面表示及共轭复数4. 复数解的性质及应用第二单元：不等式1. 一元一次不等式的解法2. 一元二次不等式的解法3. 不等式组的解法4. 不等式在数轴上的表示第三单元：复函数1. 复函数的概念和性质2. 复函数的加减乘除及复合函数3. 复函数的连续性4. 复函数的导数和微分第四单元：极限1. 极限的概念和定义2. 极限的性质和极限的计算方法3. 极限存在和极限不存在的判定方法4. 无穷大与无穷小的概念教学过程：第一课时：复数的概念和表示方法1. 复数的引入及概念解释2. 复数的表示方法：代数形式和几何形式3. 复数的实部、虚部、求共轭复数第二课时：复数的四则运算1. 复数的加法和减法2. 复数的乘法和除法3. 复数的乘方运算及应用（以上为第一单元教学内容示例，具体内容和教学进度可根据实际情况调整）评价方式：1. 日常作业：每节课结束后布置相关练习2. 期中考试：针对每单元内容进行考核3. 期末考试：综合考核全学期所学内容扩展阅读：1. 《高等数学》（上、下册）同济大学出版社2. 《数学分析》（上、中、下册）北京大学出版社备注：根据学生情况和教学进度可适当调整教案中的内容和安排。
愿本课程能够帮助学生更好地掌握高中数学选修41的知识和技能，提升数学学习的兴趣和能力。
2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案
2022-2022学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案目录第一章1.11.1.1相似三角形判定定理第一章1.11.1.2相似三角形的性质第一章1.11.1.3平行截割定理第一章1.11.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.21.2.1圆的切线第一章1.21.2.2圆周角定理第一章1.21.2.3弦切角定理第一章1.31.3.1圆幂定理第一章1.31.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结第二章2.1平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需相似三角形的判定12022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析]∵D，E，F分别是OA，OB，OC靠近点O的三等分点，∴DE＝AB，EF311＝BC，FD＝CA.33∴DEEFFD1＝＝＝.ABBCCA3由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，∴EPFP＝.BPCP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.[例2]如图所示，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，求当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC与△CDB相似？[思路点拨]由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC一定与BC对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析]∵∠ABC＝∠CDB＝90°，斜边AC与BC为对应边，以下分两种情况讨论．ACBCab①当＝时，△ABC∽△CDB，即＝.BCBDbBDb2∴BD＝时，△ABC∽△CDB.aa2－b2ACABa②当＝时，△ABC∽△BDC，即＝.BCBDbBD22022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案ba2－b2∴当BD＝时，△ABC∽△BDC.aba2－b2b2故当BD＝或BD＝时，aa△ABC与△CDB相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB.∴ADAE＝.ABAC又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.[例3]如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE·PF.进而可以证明△PCE∽△PFC来解决问题．[精解详析]连接PC，在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.3相似三角形的应用2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案所以PB＝PC，∠1＝∠2.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.因为CF∥AB，所以∠3＝∠F，所以∠4＝∠F.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△PCE∽△PFC，PCPF所以＝，所以PC2＝PE·PF.PEPC因为PC＝PB，所以PB2＝PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．adba(2)要说明线段的乘积式ab＝cd，或平方式a2＝bc，一般都是证明比例式＝或＝，cbac再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求BQ的值．解：由题知∠D＝∠C＝90°，ADDP①当△ADP∽△PCQ时，＝，PCCQ112113∴＝，∴CQ＝，∴BQ＝1－＝.1CQ44421ADDP12②当△ADP∽△QCP时，＝，∴＝，QCCPQC12∴CQ＝1，∴BQ＝0.3综上可知，当△ADP与△QCP相似时，BQ＝0或.442022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案即S△DEC1＝.S△ABD61．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为()A．1C．3B．2D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．利用相似三角形的性质解决实际问题[思路点拨]本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为某mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.102022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案APEH所以＝.ADBC300－2某某所以＝，3002006001200解得某＝(mm)，2某＝(mm)．776001200答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.77将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m.(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE.∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴ACBC＝.AEDE∵AC＝2m，AE＝2＋18＝20m，BC＝1.6m.21.6∴＝，20DE∴DE＝16m.答：古塔的高度为16m.[例3]如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.相似三角形性质的综合应用112022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为某，试求△PEF的面积S△PEF关于某的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨]本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE和△ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ的面积为定值，且S△PEF1＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A′，利用三点共线2解决．[精解详析](1)证明：因为PE∥DQ，所以∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，所以△APE∽△ADQ.S△APEAP2(2)因为△APE∽△ADQ，所以＝.S△ADQAD因为AD∥BC，所以△ADQ的高等于AB.1所以S△ADQ＝3.所以S△APE＝某2.3同理，由PF∥AQ，可证得△PDF∽△ADQ，S△PDFPD2所以＝.S△ADQAD因为PD＝3－某，所以S△PDF＝(3－某)2.3因为PE∥DQ，PF∥AQ，所以四边形PEQF是平行四边形．1所以S△PEF＝SPEQF21＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)23113某－2＋.＝－某2＋某＝－33243所以当某＝时，即P是AD的中点时，23S△PEF取得最大值，最大值为.4122022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则这个Q 点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过4点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD＝3，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，1∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.21∵AM＝AC，∴AM＝OM.4在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝3，∴BD＝AB2＋AD2＝2.∴BO＝OA＝AB＝1，∴△AOB是等边三角形，又AM＝OM，∴BM⊥AO，∴点B在直线l上．(2)设AD＝a，则AC＝1＋a2.∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，132022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AEAM∴△AEM∽△ACD，∴＝.ACAD11又AM＝AC＝1＋a2，442AC·AM1＋a∴AE＝＝.AD4a由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，∴AEAM1＝＝，∴HC＝3AE.HCMC331＋a2a2－3又BH＝BC－HC＝a－＝，4a4a1而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB222a2－111＋aa－3＝(＋)·1＝.24a4a4a∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，22∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a，99a2－12∴＝a，4a9解得a＝3，即AD＝3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有△AEG∽△DCA，∴AGAE＝.ADDCAG∵DC＝1，∴AE＝.ADS△AEG11∵S△AEG＝AE·AG，＝，2S多边形EGBCD6∴S△AEG1＝.S矩形ABCD7AE·AG21AE·AG2∴＝，即＝.AD·DC7AD7214∴AE2＝，AE＝.77 [对应学生用书P7]一、选择题1．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC 的周长是16，142022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3C．4,3B．8,6D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A2．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则A．1C．3 EFAF解析：∵EF∥BC，∴＝，BCACFGCF又∵FG∥AD，∴＝，ADAC∴EFFGAFCFAC＋＝＋＝＝1.BCADACACACB．2D．4EFFG＋＝()BCAD答案：A3．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3C．1∶2B．1∶4D．2∶3解析：设正方形边长为某，则由△AFE∽△ACB，某1－某可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝.212AF1所以某＝，于是＝.3FC2答案：CAD4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADEDB与四边形DBCE的面积比是()2A.32B．5152022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案4C.54D．9解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADEAD2∴＝2.S△ABCAB∵∴S△ADE4ADAD2＝2，∴＝，∴＝，DBAB3S△ABC94＝.S四边形DBCE5S△ADE答案：C二、填空题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，1CF交AD于点F.若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.3AD解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，3∴S△AEG1＝.S△ABC4AE1由相似三角形的性质定理，得＝，AB2∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点，∴CFAF1＝＝.ADAD21答案：26．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．162022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.AEAD ∵D为AC中点，∴＝＝1.CFDC∴AE＝CF.∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上△CDF的面积且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.△AEF的面积解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，△CDF的面积CD2AB2于是＝＝＝9.△AEF的面积AEAE答案：98．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________cm.解析：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为某cm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴8－某某AEPN＝，∴＝.ADBC812解得某＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8cm.答案：4.8三、解答题9．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于172022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案S△BEFF，求的值．S四边形DEFC解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，BFBE1所以＝＝，BMBD3因为EF∥DM，S△BEF1所以＝，SBDM9即S△BDM＝9S△BEF，因为D为AC的中心，且AF∥DM，则M为FC的中点．S△DMC2所以＝，S△BDM32即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，3所以S四边形DEFC＝14S△BEF，S△BEF1因此＝.S四边形DEFC14 10．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为某cm，则长为2某cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，24所以(8－某)∶8＝2某∶12，即某＝(cm)．71152则S矩形EFGH＝2某2＝(cm2)．49182022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．1152即加工成的铁片的面积为cm2或18cm2.4911．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由．(2)设AB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结BC论，并求出k的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.∵EF⊥EC，A、D、E共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.EFAF∴△AEF∽△DCE，∴＝.ECDE∵AE＝DE，∴EFAF＝.ECAE又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.(2)存在，由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.∴ABCDCD33＝＝＝，即k＝.BCBC2DE223DE1时，＝，∠DCE＝30°，2CD3反过来，在k＝∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.∴△AEF∽△BCF.192022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.3平行截割定理[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．ABDE(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.BCEF2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：ADAEDE如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.ABACBC[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．[对应学生用书P9]202022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用定理证明“比例式”[例1]已知：如图，l1∥l2∥l3，ABm＝.BCnDEm求证：＝.DFm＋nDE[思路点拨]本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得EF＝ABDE，然后利用比例的有关性质求出即可．BCDF[精解详析]∵l1∥l2∥l3，∴∴即ABDEm＝＝.BCEFnEFnEF＋DEn＋m＝，＝，DEmDEmDFm＋nDEm＝，∴＝.DEmDFm＋n解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：ac＝(bd≠0)ad＝bc；bdab＝(bc≠0)b2＝ac；bcacbd＝(abcd≠0)＝.bdacaca±bc±d(2)合分比性质：如果＝，那么＝.bdbda＋c＋＋maacm(3)等比性质：如果＝＝＝(b dn≠0，b＋d＋＋n≠0)，那么＝.bdnb＋d＋＋nb1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：111＝＋.ADABAC证明：过D点作DE∥AB交AC于E点，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°.212022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴∴∵∴ADDECE＝＝.ABABACADADCEADCEAE＋＝＋＝＋.ABACACACACACCEAEACADAD＋＝＝1，∴＋＝1.ACACACABAC111＋＝.ABACAD[例2]如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨]借助平行线分线段成比例定理即可证得．EFEBCABC[精解详析]法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即FDBKADBKCAAD＝.BCBK∵AD＝BE，∴CABEEFCA＝，∴＝.BCBKFDCB利用定理证明“乘积式”即EF·CB＝FD·CA.图1法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.∵AB∥EP，∴CBCACAAP＝，即＝.BEAPCBBE在△DPE中，∵AF∥PE，∴EFAP＝.FDADCAEF∵AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.CBFD222022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案图2法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N.EBEF∵ND∥EB，∴＝，DNDFBCCA∵DN∥BC，∴＝，DNAD即CAAD＝.CBDNEFCA＝，即EF·CB＝FD·CA.FDCB∵AD＝EB，∴图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的CAEF平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．CBFD2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点．FAAG∵AG∥BD，∴＝.FBBD又∵BD＝DC，∴FAAG＝.FBDCAGAE∵AG∥DC，∴＝.DCEC∴AEFA＝，即AE·FB＝EC·FA.ECFB[例3]如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED2利用定理进行计算232022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值．[思路点拨]本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值．[精解详析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.1∵BE＝AB，2∴EFBE1BF＝＝＝.EDAE3AD设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k.FGFC2∵BC∥AD，∴＝＝.GDAD3∴FG246＝，∴FG＝k，GD＝k，FD55546∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，55即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE＝________.解析：设DE＝某，∵DE∥AC，EF∥BC，∴∴BE某15某＝，解得BE＝.15某＋4某＋4BDBEBE某＝＝＝.DCEA15－BE4又∵AD平分∠BAC，∴BDBA15某＝＝＝，DCAC某＋44解得某＝6.答案：6[对应学生用书P11]242022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案一、选择题1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为()10A.cm35C.cm2解析：∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，110∴BO＝OC，∴OB＝BE＝cm.33答案：A2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1C．4∶1B．3∶1D．5∶1B．5cmD．3cm解析：要求AF∶FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，1所以DG＝EC，又AE＝2EC，2故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.2答案：C3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC 于F，下列结论：①④ECEFFGBGAEBD＝；②＝；③＝；CDAFAGGDAGDGAFAE＝，其中正确的个数是()CDDEB．2个D．4个A．1个C．3个ECEFFGBG解析：∵BC∥AD，∴＝，＝，∴①、②正确．CDAFAGGD252022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案AFCD由BC∥AD得＝，EFCE∴即AFCD＝.AF＋EFCD＋CEAFCDAFAE＝，即＝，∴④正确．AEDECDDE答案：CBP2CQ3AR4．如图，已知P、Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝() CP5QA4RPA．3∶14C．17∶3解析：过点P作PM∥AC，交BQ于M，则ARAQ＝.RPPMBP2＝，CP5B．14∶3D．17∶14∵PM∥AC且∴QCBC7＝＝.PMBP2CQ3又∵＝，QA4∴即答案：B二、填空题5．如图，AB∥EM∥DC.AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________．AB∥EM∥DCE为AD中点，M为BC的中点．解析：AE＝EDEF∥BCEF＝MC＝12cm.262022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴BC＝2MC＝24cm.答案：24cmBCAB6．如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为BMBN________．ABDM解析：∵AD∥BM，∴＝.BNMNDMMC又∵DC∥AN，∴＝，MNMB∴∴DM＋MNMC＋MBDNBC＝，即＝.MNMBMNBMBCABDNDMMN－＝－＝＝1.BMBNMNMNMN答案：17.如图所示，l1∥l2∥l3，若CH＝4.5cm，AG＝3cm，BG＝5cm，EF＝12.9cm，则DH＝________，EK＝________.DHBG解析：由l1∥l2∥l3，可得＝，CHAGBG·CH5某4.5所以DH＝＝＝7.5(cm)，AG3同理可得EK的长度．答案：7.5cm34.4cm8.梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．解析：易知EF＝(AD＋BC)，21EM＝FN＝AD.2又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak，则BC＝bk.1∵EF＝(AD＋BC)，2k2m∴m＝(a＋b)，∴k＝.2a＋b11∴MN＝EF－EM－NF＝m－ak－ak22mb－a＝m－ak＝.a＋bmb－a答案：a＋b三、解答题272022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案9．如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE＝2，AD＝6.求：AF∶AC的值．解：∵AD∥BC，∴AFAEAFAE＝，∴＝.FCNCAF＋FCAE＋NC∵AM＝MB，∴∴AEAM＝＝1，∴AE＝BN.BNMBAFAEAE＝＝.ACAE＋BN＋BC2AE＋BCAF21＝＝.AC2某2＋65∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴即AF∶AC＝1∶5.10．如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点，∴DF綊BE，∴四边形BEDF是平行四边形．∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点，∴AP＝PQ.∵在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP，∴Q是CP的中点，∴CQ＝PQ.∴AP＝PQ＝QC.11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求证：OE＝OF；(2)求OEOE＋的值；ADBC112＋＝.ADBCEF28(3)求证：2022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.OEAEOFDF∵EF∥BC，∴＝，＝.BCABBCDCAEDF∵EF∥AD∥BC，∴＝.ABDC∴OEOF＝，∴OE＝OF.BCBCOEBE(2)∵OE∥AD，∴＝.ADABOEAE由(1)知＝，BCAB∴OEOEBEAEBE＋AE＋＝＋＝＝1.ADBCABABABOEOE(3)证明：由(2)知＋＝1，ADBC∴∴∴1．1.4锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12]2OE2OE＋＝2.又EF＝2OE，ADBCEFEF＋＝2，ADBC112＋＝.ADBCEF[读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：α的对边α的邻边对边inα＝，coα＝，tanα＝.斜边斜边邻边292022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是R t△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13]302022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案利用射影定理解决求值问题[例1]如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨]本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析]∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD ＝25某4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4某29.∴BC＝229.AC2＝AD·AB＝25某29，∴AC＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝某，则AD＝9某(某>0)．∴CD2＝9某2，CD＝3某.BD某1Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.CD3某31答案：3[例2]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F.DFAE求证：＝.AFEC[思路点拨]本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析]由三角形的内角平分线定理得，利用射影定理解决证明问题312022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案DFBD在△ABD中，＝，①AFABAEAB在△ABC中，＝，②ECBC在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即BDAB＝.③ABBCDFAB由①③得：＝，④AFBCDFAE由②④得：＝.AFEC将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.证明：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC等于()A.53B.213322022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案C.5231D．3解析：由射影定理知，4CD2＝BD·AD，∴AD＝.313∴AB＝AD＋BD＝.∴AC2＝AD·AB＝某＝.339∴AC＝52.3答案：C2．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD ＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是()A．6cmC．18cm解析：∵AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝32cm.答案：BAC3BD3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则＝() AB4CD3A.416C.9解析：如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC.AC2CD32CD9∴2＝＝4.即＝.ABBDBD16∴BD16＝.CD94B．39D．16B．32cmD．36cm答案：C4．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD周长的相似比为()A．2∶3C.6∶3B．4∶9D．不确定332022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2＝CDBDAD·BD，即＝.ADCD又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2某，BD＝3某(某>0)，∴CD2＝6某2.∴CD＝6某.AD2某6∴△ACD与△CBD周长的相似比为＝＝，CD6某3即相似比为6∶3.答案：C二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________．解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4某16＝8，1所以直角三角形的面积为某20某8＝80.2答案：806．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BC＝15cm，BD＝3cm，则AD的长是________．解析：∵BC2＝BD·AB，∴15＝3AB，∴AB＝5(cm)．∴AD＝AB－BD＝5－3＝2(cm)．答案：2cma7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F2分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析：连接DE，可知△AED为直角三角形，则EF是Rt△DEAa斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为.2a答案：28．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，AC＝6cm，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C作CE⊥AB于E.342022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案在Rt△ACB中，∵AB＝10cm，AC＝6cm，AC2＝AE·AB，∴AE＝3.6cm，BE＝AB－AE＝6.4cm.又∵CE2＝AE·BE，∴CE＝6.4某3.6＝4.8(cm)．又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，∴DC＝AE＝3.6cm.10＋3.6某4.8∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．2答案：32.64cm2三、解答题9．已知∠CAB＝90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE⊥DF.证明：如图，在Rt△BAC中，AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，AC∴＝ABCD＝BDCD2＝CD·BDCD2CDAD＝＝.AD2ADBD∵AC＝AE，AB＝BF，∴AEADAEBF＝，即＝.BFBDADBD又∠FBD＝∠60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∠ABD＝∠CAD，∴∠FBD＝∠E AD.∴△EAD∽△FBD.∴∠BDF＝∠ADE.∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF＝90°.∴DE⊥DF.10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)Rt△ABC中，AD⊥BC，11∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD.22352022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.11．如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝103，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.证明：(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝12AB＝2.5.∴CDCE＝2.510＝34＝BCAC.3∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.362022-2022学年高中数学人教B版选修4-1教学案_1.2圆周角与弦切角1．2.1圆的切线[对应学生用书P15][读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？37。
高中数学选修4-1
考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
思想方法
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-18-
举一反三 2 如图,☉O 和☉O'相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别
交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交☉O 于点 E.证明: (1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE.
选修4
系列
选修4-1
几何证明选讲
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-3-
考纲要求 1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理. 2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. 3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切 割线定理.
������������ ������������ ������������ ∴ ������������
∴
= =
������������ . ������������ ������������ ,即 ������������
AB·CE=AC·DE.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 思想方法
选修4
选修4-1
考纲要求
几何证明选讲
梳理自测 探究突破 巩固提升
-4-
1.相似三角形的判定定理 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角 形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). 判定定理 1:两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理 2:三边对应成比例的两个三角形相似. 判定定理 3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质定理 性质定理 1:相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于
关于高中数学选修教材4-1,4-4教材分析
关于高中数学选修教材4-1，4-4教材分析一、宏观上对教学内容的定位 1. 选修系列4课程的作用4所涉及的内容都是基础性的数学内容，对于系列4的学习，应提倡多样化的学习方式，可以是教师讲授，也可以是在教师指导下学生的自主探索和合作交流，还应鼓励学生独立阅读、写专题总结报告等，力求使学生切身体会“做数学”是学好数学的有效途径，独立思考是“做数学”的基础。
”2. 高考知识点要求二、教学方法上的一些体会和感受(一)、关于4-1《几何证明选讲》的一点教学体会 首要任务：应该是培养学生的逻辑推理能力.教学重点：概念与性质之间的逻辑关系的探究.在问题中充分调动学生的几何知识，感受方法的多样性和思想的一致性.(1)关于相似三角形关键词： 相似 对应成比例 思维训练 研究方法：寓理于算 综合推理相似三角形引发的对应边成比例的思考一个ABC ∆三条边分别为4,5,6，线段的a 长为2，线段b 长为3，现在要把线段b 截成两段，使这两段与线段a 组成的三角形与相似，则线段b 被截得的两端长分别是____和____,若线段b 的长为 呢CD AC BC ⋅=2形式引发的思考:(1)结论的得到需要满足什么条件1. P4-4：在ABC ∆,AC AB =,以B 为圆心,BC 为半径画弧交AC 于点D ，求证：CD AC BC ⋅=2思考1：题中隐含的信息：BC AB ≥，若AB BC <呢例： 在ABC ∆中，AC AB =，以B 为圆心，BC 为半径画弧，交CA 延长线于点D ，求证：CD AC BC ⋅=2.观察条件和结论，你能想到什么均是由相似三角形的性质得到的结论，那么三角形要相似，你需要添加什么条件如图，在ABC ∆中，点D 在边AC 上，若DBC A ∠=∠，则有：CD AC BC ⋅=2。
(2)你能从结论的形式想到什么射影定理直角三角形中用锐角三角函数会简单些，当然锐角三角比不过是相似直角三角形之的另一种表达形式，这种表达形式更加精炼第表达了相似直角三角形的性质。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
收敛性与发散性
讨论数列或函数的收敛性和发散 性的判断条件。
导数与微分
研究导数的定义、性质以及与函数的变化率和图像特征的关系。
1 导数的定义
介绍导数的几何和物理意义，以及求导的基本方法。
2 导数的性质
探索导数的四则运算法则，以及函数特性与导数的关系。
3 导数的应用
讨论导数在最值问题、曲线绘制与切线斜率等方面的应用。
物理应用
讨论定积分在物理问题中的应用， 如质量、重心、物体受力等。
导数应用
应用导数的概念和性质解决相关问题，包括弧长、曲率、变化率与极值等。
弧长
通过导数求解曲线弧长及相关 问题。
曲率
研究导数与曲线曲率的关系， 解决曲率相关问题。
变化率
利用导数分析函数的变化速率 及相应应用。
不定积分
研究不定积分的定义、计算方法以及与原函数的关系，以及简单的应用。
1
不定积分的定义
讨论三角函数的周期性、奇 偶性以及其他重要性质。
三角函数的应用
探索三角函数在几何学中的 应用以及在实际问题中的意 义。
数列和函数的极限
研究数列和函数的极限概念，以及与收敛性、发散性以及无穷大、无穷小的关系。
数列的极限
介绍数列极限的定义与性质，以 及计算极限的方法。
函数的极限
探索函数极限的定义与性质，以 及极限存在性的判断。
介绍不定积分的定义与基本性质。
2
计算不定积分
探讨常见函数的不定积分计算方法，包括换元法、分部积分法等。
3
不定积分与原函数
讨论不定积分与原函数的关系及其应用。
定积分
研究定积分的定义、性质以及与面积、曲线长度、物理量等的关系。
定积分的定义
人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计
人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计一、课程目标1.理解并掌握射影定理的基本概念及运用方法；2.培养学生的数学思维和逻辑推理能力；3.培养学生的团队合作能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 基本概念1.四直角三角形的定义；2.射影定理的概念及证明。
2. 运用方法1.利用射影定理求解和验证定理；2.应用射影定理解决实际问题。
3. 拓展应用1.基础扩展：射影定理在平面几何中的应用；2.拓展应用：射影定理在三维空间几何中的应用。
三、教学过程1. 概念讲解1.介绍四直角三角形的定义和性质；2.讲解射影定理的概念和证明。
2. 练习实践1.给出几个四直角三角形的实例，让学生通过画图观察、分析得出射影定理；2.给出一些练习题，让学生通过计算实践运用射影定理。
3. 问题解决1.分组讨论，给出一些实际问题，让学生通过应用射影定理解决；2.整合小组成果，进行汇报和讨论。
4. 拓展应用1.给出射影定理在平面几何中的一些应用，让学生思考并探讨；2.结合实际例子，介绍射影定理在三维空间几何中的应用，并进行实验演示。
四、教学重点和难点1. 教学重点1.射影定理的概念和证明；2.射影定理的应用方法。
2. 教学难点1.射影定理的具体应用方法；2.射影定理在三维空间几何中的应用。
五、教学评价通过此课程的教学，可评价学生的以下方面：1.理解和掌握射影定理的概念和应用方法；2.运用射影定理解决实际问题的能力；3.合作学习、小组讨论、问题解决的能力。
六、教学资源1.课件、教辅资料；2.相关图书、工具书。
七、教学参考1.《高中数学课程标准实验教材高中数学选修4-1》；2.《数学课程标准》。
2024年高中数学选修课程大纲
2024年高中数学选修课程大纲一、课程导言数学作为一门重要的学科，不仅有着深厚的理论基础，也有着广泛的应用价值。
2024年高中数学选修课程旨在提供给学生更为全面深入的数学学习机会，培养学生的逻辑思维能力、数据处理能力和问题解决能力，以应对日益复杂的社会和职场需求。
二、课程目标1. 掌握数学的基本概念和基础知识，包括数与代数、几何与图形、函数与方程等领域；2. 培养学生的逻辑思维和推理能力，培养学生对数学问题分析、解决问题的能力；3. 培养学生的数学建模能力，理解数学在实际问题中的应用价值；4. 提高学生的信息技术运用能力，培养学生使用数学软件和工具进行数学问题求解和数据处理的能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力，锻炼学生解决复杂问题的能力。
三、课程内容1. 数与代数a. 实数与四则运算b. 数列与数列的表示与运算c. 函数与方程d. 不等式与不等式的解集求解e. 概率与统计2. 几何与图形a. 二维几何概念与性质b. 三角函数与三角变换c. 空间几何与立体图形d. 平面向量与坐标系3. 数学建模a. 问题的数学化与建模方法b. 数据分析与模型构建c. 模型求解与结果评价4. 数据处理与信息技术运用a. 数据的收集与整理b. 统计分析与表达c. 数学软件与工具的应用四、教学方法1. 理论授课与示范教师通过讲解和示范，将数学知识点进行系统化的传授和演示，引导学生建立正确的数学思维方式和解题思路。
2. 实践操作与任务驱动学生将学到的数学知识应用于实际问题中，通过小组合作、实地调研等方式进行实践操作，以解决现实问题和数学建模任务。
3. 讨论与合作学习学生在指导教师的带领下，进行课堂内外的讨论与合作学习，培养学生的团队合作和沟通能力。
4. 信息技术与多媒体应用教师利用数学软件、多媒体等教学工具辅助教学，让学生熟练掌握数学软件的使用和信息技术的运用。
五、考核方式1. 平时表现包括课堂表现、作业完成情况、小组合作情况等，占总成绩的30%。
高中数学人教A版选修4-1 (1)
若像例1中那样用矩阵M＝表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？ 【解】 矩阵M＝表示由点(0,0)，(1,2)，(3,2)，(2,0)四个点构成的一个平行四边形. 用矩阵表示实际问题 某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤： 从甲矿区向企业A、B、C送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企 业A、B、C送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系． 【思路探究】 求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素． 【自主解答】 设甲、乙两个矿区分别向A，B，C三个城市的送煤量组成行向 量±，² ，则 ±＝，² ＝. 故甲、乙两个矿区向A，B，C三个城市的送煤量用矩阵表示为 .
【解】 矩阵可以表示为
矩阵相等的确定与应用 设A＝，B＝，且A＝B，求p，q，x，y. 【思路探究】 利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解． 【自主解答】 ∵A＝B， ∴ 得
根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的 方程(组)从而求解．
已知矩阵A＝，B＝，若A＝B，试求a，b，c，d的值． 【解】 因为A＝B，即＝， 从而有
1．二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？ 【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：左乘这样一个二阶矩阵的作用是 把向量变成了另一个向量 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？ 【提示】 由本节的知识点知，一个二阶矩阵可以看作一个特定的平面上的几何变 换，它将变换前的列向量表示平面上的点P(x，y)，变成另一个列向量表示的新的点P′(ax ＋by，cx＋dy)． 反过来，现有平面上的一个变换T：→，如果＝，即变换后的点的横坐标及纵坐标均 可由原向量(点)的坐标线性表示出来，这时变换T应为矩阵. 3．矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？ 【提示】 由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着 平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别．函数是建立在 数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.
最新人教版高二数学选修4-1电子课本课件【全册】
三 平面与圆锥面的截线
第一讲 相似三角形的判定及 有关性质 一 平行线等分
线段定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
二 平行线分线段成比例定理
最新人教版高二数学选修4－1电子 课本课件【全册】
三 相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定
最新人教版高二数学选修4－1电 子课本课件【全册】目录
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第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线
三 相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的
四 直角三角形的射影定理
二 圆内接四边形的性质与判定定理
四 弦切角的性质
第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影
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学习总结报告
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第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一 平行射影
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二 平面与圆柱面的截线
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三 平面与圆锥面的截线
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2．相似三角形的性质
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四 直角三角形的射影定理
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第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
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二 圆内接四边形的性质与判 定定理
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高中数学 全册教案 新人教A版选修41
高中数学选修4-1全套教案一 平行线分线段成比例定理教学目的：1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。
教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。
1．求出下列各式中的x ：y 。
（1）3x =5y ； （2）x=y 32； （3）3：2=γ：χ； （4）3：χ=5：γ。
2．已知γχχγχ+=求,27。
3．已知z y x z y x z -+++==32,432求γχ。
其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
（二）新知识的教学1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？ 而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E 是AB 中点，EF//BC ，交AC 于F 点，则AF=FC ）使学生观察，并予以分析而得出11==FC AF EB AE ，并指出此定理也可谓：如果E 是△ABC 的AB 边上一点，且11=EB AE ，EF//BC 交AC 于F 点，那么11==FC AE EB AE 。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC 中，EF//BC 这个条件不变，但EB AE 不等于11，譬如EB AE =32时，FCAF应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。
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高中数学选修4-1课程纲要
课程名称：高中数学选修4-1
课程类型：文科选修
教学材料：人民教育出版社高中数学选修4-1
授课时间：18课时
授课教师：郑州市第十九中学张振
授课对象：郑州市第十九中学高二（11）（12）班
课程目标：
本专题主要包含三方面内容：相似三角形的判定及有关性质；直线与圆的位置关系；圆锥曲线的性质。
通过专题学习应当使学生达到如下目标：
（1）获得必要的数学基础知识和基本技能。
理解基本的数学概念，理解定理的证明过程，理解定理的本质；掌握数学证明的基本方法，能够应用定理去证明一些基本的几何问题；能够解决一些基本的、与几何有关的现实问题。
（2）发展数学思维能力和空间想象能力。
知道数学证明的必要性，经历数学定理的产生过程；形成逻辑思维的习惯，能用逻辑思维方式去认识问题和解决问题；掌握基本的探究数学问题的方法，如类比、特殊化、推广等，初步形成提出问题的意识和能力；通过平面与圆柱面的截线、平面与圆锥面的截线等内容的学习，进一步发展空间想象能力。
（3）发展数学应用意识和创新意识，能对现实世界中蕴含的几何模型进行思考和做出判断。
（4）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
课程内容：
选修课程数学4-1包含相似三角形的判定及有关性质、直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨三章，全书教学实践共约18个课时，其课程内容包括：
第一章相似三角形的判定及有关性质 6课时
1、平行线等分线段定理 1课时
2、平行线分线段成比例定理 1课时
3、相似三角形的判定及性质 3课时
4、直角三角形的摄影定理 1课时
第二章直线与圆的位置关系 8课时
1、圆周角定理 1课时
2、圆内接四边形的性质与判定定理 1课时
3、圆的切线的性质及判定定理 1课时
4、弦切角的性质 1课时
5、与圆有关的比例线段 3课时
本章小结 1课时
第三章圆锥曲线性质的探讨 3课时
1、平行摄影 1课时
2、平面与圆柱面的截线 1课时
3、平面与圆锥面的截线 1课时
课程实施：
（一）教学方式
本专题的编写与教学，都应力求深入浅出。
应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。
主要方式：讲授法、多媒体使用、学生自我探究、专题合作等
（二）学习方式
引导学生回顾初中数学中与之相关的定理公理等，引导学生回顾定理的产生过程并在此过程中阐述数学证明的思想及方法，鼓励学生进行有效的自我探究。
（三）课时安排同上
（四）课外拓展性练习
1、某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
2、在下图中，直线l所对应的函数关系式为y=- x+5，l与y轴交于点C，O
为坐标原点．
（1）请直接写出线段OC的长；
（2）已知图中A点在x轴的正半轴上，四边形OABC为矩形，边AB与直线l相交于点D，沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA=1．①试求点D的坐标；②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围。
3、了解平行摄影的相关概念，简述摄影几何学的发展历程。
4、了解“Dandlin双球，通过网络整理其相关资料，尝试用几何画板制作“Dandlin双球图像。
课程评价
一、对教师教学过程的评价
1、自我反思评价
2、同伴研讨评价
二、对学生学习过程的评价
1、课内即时评价
2、自主学习评价
3、作业评价
感谢您的阅读，祝您生活愉快。