八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试提优卷试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元测试提优卷试卷
一、选择题
1．如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD ，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为2a b
-（a 、b 为正整数），则+a b 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）
A ．DF A
B ⊥ B ．2CG GA =
C ．CG DF GE =+
D ．31BFGC S =-四边形
3．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；
③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）
A ．13cm
B ．12cm
C ．5cm
D ．8cm
5．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．132 6．如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为4的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF//AB ，CK=1．线段KG 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为 ( ).
A ．26
B ．17
C ．172
D ．26 7．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点
E 、
F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )
A ．34
B ．43
C ．32
D ．53
8．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）
A ．245
B ．4
C ．5
D ．125
10．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A ．10和34 B ．18和20 C ．14和10 D ．10和12
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+
12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
12．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
13．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方
式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
15．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
16．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
17．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．
18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），
连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC
=，EC m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12
AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则
CF BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
22．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
23．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．
独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；
（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
24．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．
（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；
（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；
（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．
25．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．
（1）求点B 的坐标；
（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
27．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
28．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2．
（1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．
①连结BH ，BG ，求BH BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
29．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.
(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
30．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．
①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过小正方形的边长表示出大正方形的边长，再利用a 、b 为正整数的条件分析求解.
【详解】 解：由题意可知，222212a a AD b b
=⨯+⨯= ∴(42)(422a a b ---=
∵a 、b 都是正整数
∴4a - =0，4a-2=2b
∴a=4,b=7
∴a+b=11
故选：B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及有理数、无理数的性质，表示出大正方形的边长利用有理数、无理数的性质求出a 、b 是关键.
2．D
解析：D
【分析】
A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；
B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF A
C AB BAC AG BAC =⋅∠=
∠ ,求出AC ， AG ，即可得出B 正确；
C 、由勾股定理求出DF =
，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形， FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =，
12∠=∠，
2GAD ∴∠=∠，
AG GD ∴=.
GE AD ⊥，
GE ∴垂直平分AD .
AE ED ∴=.
点F 为AB 的中点，
AF AE ∴=.
易证()SAS AFG AEG ∆≅∆.
90AFG AFG ∠∴∠==︒.
DF AB ∴⊥故A 正确.
DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，
112
AF AB ∴==，AD BD =. AD BD AB ==，
ABD ∴为等边三角形.
60BAD BCD ∠∴∠==︒.
1230BAC ∠=∠=∠=∴︒.
32cos 22232AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯⨯=，
23cos 33
2
AF AG BAC ===∠. 23432333CG AC AG ∴=-=-
=. 2CG GA ∴=，故B 正确.
GE 垂直平分AD ，
112
ED AD ∴==， 223DF AD AF ∴=-=，
3tan 21tan 303GE ED ∴=∠⋅=⨯︒=
. 3433DF GE CG ∴+=+==.故C 正确. 130BAC ∠=∠=︒，ABC ∆∴的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1，
132FG AG ==， 11353231122ABC AGF BFGC S S S ∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=四边形，故D 不正确. 【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.
3．C
解析：C
【分析】
如图，设DE 交AP 于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；
【详解】
解：如图，设DE 交AP 于O.
∵四边形ABCD 是菱形
∴DA=DC=AB
∵A.P关于DE对称，
∴DE⊥AP，OA=OP
∴DA=DP
∴DP=CD，故①正确
∵AE=EB，AO=OP
∴OE//PB，
∴PB⊥PA
∴∠APB=90°
∴2222
+==，故②正确
PA PB AB CD
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵LADC=60°
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确.
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
4．C
解析：C
【分析】
由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，
解得：AB ＝10cm ，
∴AD ＝5cm ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则
CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．
【详解】
解：作CH AB ⊥于H ，如图，
菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，
ABC ∆∴为等边三角形，
CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，
1HP ∴=，
在Rt CHP ∆中，7CP ==，
梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，
∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，
∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，
APQ CPQ ∴∠=∠，
而//CD AB ，
APQ CQP ∴∠=∠，
CQP CPQ ∴∠=∠，
7CQ CP ∴==.
故选：B．
【点睛】
考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．
【详解】
如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，
∴EO=OD=5
2
，MO=1
2
（EF+CD）=
5
2
，
∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=2，
∴ON=OD-ND=5
2
-2=
1
2
，
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，
即MN=
22
5126 22
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
故选D．
【点睛】
本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．
7．D
解析：D
【分析】
由题意知道AE=t ，CF=2t ，连接BD ，证明△DEB ≌△DFC，得到EB=FC=2t ，进而
AB=AE+EB=3t=5，进而求出t 的值.
【详解】
解：连接DB ，如下图所示，
∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，
∴∠CDB=60°
∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC
又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF
∴∠CDB=∠EDF
∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF
∴∠CDF=∠BDE
在△EDB 和△FDC 中：
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)
∴FC=BE=2t
∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5
∴t=53
. 故答案为：D.
【点睛】
本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全
等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.
8．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠EAD=∠AEB ，
又∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE=∠BEA ，
∴AB=BE ，
∵AB=AE ，
∴△ABE 是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE ，BC=AD ，
在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；
①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；
⑤正确；
若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，
即EC=CD=BE ，
即BC=2CD ，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定正确；
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
9．D
解析：D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=1
2
BC•AP＝
1
2
AB•AC，
∴1
2
×10AP＝
1
2
×6×8，
∴AP最短时，AP=24
5
，
∴当AM最短时，AM=1
2
AP=
12
5
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
10．B
解析：B
作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，
AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系即可得到答案.
【详解】
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：B．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，利用平行线将对角线及边转化为三角形是解题的关键.
二、填空题
11．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=1
2
EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；
证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】
(1)∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD=AB，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=
12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ， ∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=12∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
12．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
13．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
14．42a - 3
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG =4a -，
如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-
，
23
3
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
15．6
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，
推出PE=1
2
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条
直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=1
2
AB=3，得到2PB+
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1
2 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
16．663
【分析】
通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE
==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角
三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE
==，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=2223
KM EM
-=，
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663
BN NE
-=+，
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
17．20 7
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可证△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、
EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．
【详解】
解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，
∴DC =DE =5，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，
90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），
∴OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，
又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，
∴AF =AB -BF =2+x ．
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，
∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，
∴x =67
∴AF =2+67=207
故答案为：
207 【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
18．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴=
= 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=
+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键． 19513 【分析】
根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝613，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝613，再根据BE ＝2OB ＝1213，运用勾股定理可得EC ． 【详解】
设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．
在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，
由勾股定理得：BC ＝13，
∵点D 是BC 的中点，
∴AD ＝DC ＝DB ＝
132， ∵12•BC •AH ＝12
•AB •AC ， ∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，
∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分线段BE ，
∵12AD •BO ＝12
BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝
1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，
∴∠DEB+∠DEC=12
×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)(
)13-=51313． 故答案为：51313
． 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的
中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
20．2 【解析】 【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴22112FG GC FC =+=+=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -
【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形，n=1，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF ⊥DE ，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ，
∴△ADE ≌△BAF （ASA ），
∴AE=BF ；
②结论：AG=BF+AE ．
理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，
由（1）可知AE=BK ，
∵AH=AD ，AK ⊥HD ，
∴∠HAK=∠DAK ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DAK=∠AKG ，
∴∠HAK=∠AKG ，
∴AG=GK ，
∵GK=GB+BK=BF+AE ，
∴AG=BF+AE ；
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF
的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，
当NF⊥AD时，NF的值最小，最小值=a，
∴ME
NF
的最大值
=
2
1a
n
+⋅
=2
1n
+，
故答案为：2
1n
+；
（3）如图4中，延长DE交CB的延长线于H．设AB=2k，则AD=BC=2kn，
∵AD∥BH，
∴∠ADE=∠H，
∵AE=EB=k，∠AED=∠BEH，
∴△AED≌△BEH（ASA），
∴AD=BH=2kn，
∴CH=4kn，
∵∠ADE=∠EDF，∠ADE=∠H，
∴∠H=∠EDF，
∴FD=FH，设DF=FH=x，
在Rt△DCF中，∵CD2+CF2=DF2，
∴(2k)2+(4kn-x)2=x2，
∴
2
14
2
n
x k
n
+
=⋅，
∴
22
1441
4
22
n n
CF kn k k
n n
+-
=-⋅=⋅，
2
41
2
22
n k
BF kn k
n n
-
=-⋅=，
∴
2
2
41
241
2
n
k
CF n
n
k
BF
n
-
⋅
==-，
故答案为：2
41
n-．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
22．EF＝13．
【分析】
首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；
【详解】
解：连接AD ．
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，
∴∠BAD =∠C =45°，
∵∠EDA +∠ADF =90°，
又∵∠CDF +∠ADF =90°，
∴∠EDA =∠CDF ．
在△AED 与△CFD 中，
EDA FDC AD CD
EAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．
∴AE =CF =5．
∵AB =AC ，
∴BE =AF =12．
在Rt △AEF 中，
∵∠EAF =90°，
∴22222512169EF AE AF =+=+=，
∴EF =13．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．
23．（1）矩形；（2）菱形；（3）3104）见解析
【分析】
（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据
AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；
（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到。