概率论初步古典概型

一、随机事件与古典概型 必然现象：必然会出现的现象 不可能现象：必然不会出现的现象 随机现象：在一定条件下有可能出现也有
可能不出现且有统计规律的现象
判断下列现象是否为随机现象？ （1）在标准大气压下，水在0oC时结冰。 （2）明年上海5月份的平均温度为20oC
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。
试验的所有可能的结果都叫做试验结果或基本事件 所有可能的基本事件所组成的集合叫做基本事件全集
记作： {1，2，2，L ，n }
必然事件 : 试验后必定出现的事件，
不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件， 记作。
随机事件所组成的集合常用A、B…表示，它是Ω的子 集。必然事件和不可能事件都是随机事件.
记A的对立事件为A，则P( A) P( A) 1
例1.在100件产品中有90件一等品和10件二等
品，从中随机取出4件产品.求(1) 恰有一件二
等品的概率；(2)至少含有一件二等品的概率.
解：在100件产品中取出4件产品，所有的基本
事件数为C1400； (1)记"随机取出的4件产品中恰有1件二等品"
17世纪中期，喜欢赌博的贵族梅莱向友人 数学家帕斯卡（1623～1662，法国数学家、物 理学家、哲学家）写信提了好多问题．事实
上概率论正是从梅莱的这封信开始的．帕斯
卡收到信以后和费马交换了意见，发展成了 概率论．
帕斯卡
费马
拉普拉斯
引例：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：
(1) 出现5点； (2) 出现奇数点； (3) 出现的点数大于4； (4) 出现7点； (5) 出现的点数小于7；
将5卷文集任意排放，共有 P55种不同的排法．
A：1 2 3 4 5或5 4 3 2 1共2种
所以
P A 2 1
P55 60
三、等可能事件和对立事件的概率
1.等可能事件及其概率：一次试验有n种等可能 出现的结果.其中事件A包含m种，则P( A) m n
2.对立事件及其概率： 事件E、F满足：E U F ，且E I F ， 则E、F叫对立事件，
解：抛掷三枚均匀的硬币的基本事件数为23 8；
(1)记"三枚硬币都是字朝上"为A， 则A所包含的事件数为1， P( A) 1 8
( 2)记 " 三枚硬币中至少一枚字朝上，一枚图朝上 "
为B，"三枚都是字朝上或图朝上"为C，则B C，
显然C包含的事件数为2.
P(C ) 2 1 P(B) P(C ) 1 1 3
m1
THT, TTH},
C31 3，P( A
1)
m1 n
3 8
(2)A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
m2
8 1，P( A 2)
m2 n
7 8
例2.一部5卷文集，将其按任意顺序排放在书 架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．
解：设 A={5卷文集按先后顺序排放}
17.1 概 率论 初 步 --古典概型
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼 数学家卡当，曾大量的进行过赌博。他在赌 博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。
据说卡当曾参加过这样的赌法：把两颗骰 子掷出去，以每个骰子的点数之和作为赌博 的内容。已知骰子的六个面上分别为1～6点， 那么，赌注下在多少点上最有利
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一 个基本事件的概率都是 1 。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事 件，那么事件A的概率 P( A) m
n
注意：
(1) 0 P( A) 1
(2)P() 1, P() 0
(3)若 {1，2，2，L ，n }， 则P(1 ) P(2 ) L P(n ) 1
为A，则A所包含的事件数为C930C110，
P( A)
C930C110 C4
100
1424 4753
0.30
(2)记"随机取出的4件产品中至少含有1件二等品"
为B，则B的对立事件B所包含的事件数为C940，
P(B)
C940 C4
100
0.65
P(B)
1
P(B)
0.35
例2.求随机抽取的10个同学中，至少有2个在 同一月份出生的概率.
解：25个球中任意抽取
2个的基本事件数为C
2；
25
(1)记"抽取的2个球中都是有色球"为A，
则A所包含的事件数为C125，
P( A)
C125 C225
7 20
(2)记"抽取的2个球中至少有一个无色球"为B，
则B A， P(B) P( A) 1 P( A) 13 20
例4.抛掷三枚均匀的硬币，求下列事件的概 率： (1)三枚硬币都是字朝上； (2) 至少有一 枚字朝上，一枚图朝上.
概率：对随机事件出现可能性大小的数值 度量叫做这个随机事件的概率。
随机事件A的概率记做P( A)
古典概型
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
基本事件只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同 具有这两个特点的概率模型叫古典概型.。
显然P(
A)
随机事件A所包含的事件数 试验中所有的事件数
二、古典概型的求解步骤
解：10个同学出生的基本事件数为1210；
记"10个同学在不同的月份出生"为A，
则A所包含的事件数为P1120，
P( A)
P 10 12
1210
0.0039
P( A)
1
P( A)
0.9961
例3.一个袋子中有10个红色球，5个蓝色球， 10个无色球，这些球的质地、形状都一样， 同时抽取2个球. (1) 都是有色球的概率是多少？ (2) 至少有一个是无色球的概率是多少？
例1 .将一枚硬币抛掷三次。设：
(1)事件 A1为“恰有一次出现正面”， (2)事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ), P (A2 )。 解：设H为正面；T为反面，
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 2×2×2＝8，
(1)A1={HTT,
源自文库机抛掷两颗骰子，朝上的面的两数和为多
少的可能性最大？
卡当曾予言说押7最好 ！
点数之和分别可为2～12共11种。从图中可
知，7是最容易出现(6次)。 则7出现的概率是6/36=1/6
123456 1234567 2345678 3456789 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12