多重比较
多重比较
狭义的多重比较
狭义的多重比较，特指对多组的总体参数或多 组的分布比较后各组间的两两比较(post hoc comparison)。
方差分析后多组均数的比较 多个率比较后的两两比较 多组等级分布比较后的两两比较等
广义的多重比较
一般指多变量的情形，即对同一问题通过对多 个变量的逐一检验来回答，如多元回归中各自 变量的假设检验，简称多重检验(multiple testing)
Example
Suppose we have m = 3 t-tests. Assume target = 0.05. Unadjusted P-values are P1 = 0.001 P2 = 0.013 P3 = 0.074 For the jth test, calculate /(m-j+1), For test j = 1, /(m-j+1) = 0.05/(3 -1 + 1) = 0.05 / 3 = 0.0167 For test j=1, the observed P1 = 0.001 is less than 0.0167, so we reject the null hypothesis.
m
Control m with multiple test procedure
Outcomes of m tests
设同时对m个假设进行检验，其中m0个是正确的，R 表示检验结果为阳性的假设个数 。 H0 True False Total Not Rejected Rejected Total m0 m-m0 m
Holm step-down
Order the P values for the m hypotheses being tested from smallest to largest.
多重比较
• 计算的公式：
LSD t dfe sxi x j
s xi x j
2MS e n
安康学院
7
例1：方差分析表(肥料盆栽试验)
变异来源 处理间 t 处理内 e 总变异T SS 301.2 101.0 402.2 df 4 15 19 MS 75.30 6.73 F F0.05 F0.01 4.89
4
4.05 dfe = 16
5.19
41.88
53.66
标准误 = 10.34
安康学院
30
例2： q 法多重比较表
处理 A1饲料 A4饲料 平均数 311.8 279.8 – A3饲料 64.4** 32.4 – A2饲料 49.0* 17.0 – A4饲料 32.0*
A2饲料
A3饲料
262.8
247.4
q法：检验标准较严，特殊试验使用。
• LSR法：有SSR法、q法两种标准可供选择
安康学院
32
书面作业
• 教材：142页，第11题 • 完成 3 种多重比较 • 要求：写在作业本上，未完，还要继续分析。
安康学院
课间休息
2013年5月6日
安康学院
15.4
LSR0.05 = 31.02，37.74，41.88， LSR0.01 = 42.70，49.43，53.66，
（ LSD0.05 = 31.00） （ LSD0.01 = 42.70）
安康学院
31
3 种多重比较方法的对比
• LSD法：利用 t 检验原理 • 简单，误差大
• •
•
检验标准较松，初级试验使用 SSR法：检验标准适中，常规试验使用
多重比较在统计学中的应用探究
多重比较在统计学中的应用探究统计学是一门广泛应用于各个领域的学科，而多重比较则是其中一个重要的概念和方法。
多重比较主要用于比较多个群体或多个变量之间的差异，以发现其中的显著性差异。
本文将探究多重比较在统计学中的应用，并介绍其相关概念和方法。
一、多重比较的概念和意义多重比较是指在进行多个比较时，需要对所得到的显著性差异进行修正的统计方法。
在实际研究中，我们常常需要比较多个群体或多个变量之间的差异，而传统的单一比较方法可能会导致假阳性率的增加。
多重比较的目的就是通过一定的修正方法，控制整体显著性水平，减少假阳性的发生。
多重比较在统计学中的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，我们可能需要比较多种药物的疗效；在社会科学研究中，我们可能需要比较不同群体的行为差异；在生物学研究中，我们可能需要比较多个基因的表达水平等等。
通过多重比较的方法，我们可以更加准确地判断差异的显著性，从而得出更可靠的结论。
二、多重比较的方法多重比较的方法有很多种，常用的包括Bonferroni校正、Tukey HSD法、Scheffe法等。
下面将分别介绍这些方法的原理和应用。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
其基本原理是将整体显著性水平按照比较次数进行修正。
假设我们进行了m次比较，显著性水平为α，则每次比较的显著性水平为α/m。
这样做的目的是为了控制整体显著性水平为α，从而降低假阳性的风险。
Bonferroni校正的优点是简单易行，但其缺点是可能会导致过于保守的结果。
由于每次比较的显著性水平较低，可能会错过一些真实的差异。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
2. Tukey HSD法Tukey HSD法是一种较为灵活的多重比较方法。
它通过计算多个群体之间的平均差异，以确定是否存在显著性差异。
该方法的优点是可以同时比较多个群体，从而减少比较次数，降低假阳性的风险。
Tukey HSD法的基本思想是计算每两个群体之间的平均差异值，然后与一个临界值进行比较。
多重比较常用的方法是
多重比较常用的方法是
以下是多重比较常用的方法：
1. 实验方法：通过设计并进行实验，比较不同组或条件下的结果。
这种方法可以控制变量并确定因果关系。
2. 统计方法：使用统计学分析工具，比较不同组或条件下的数据。
常用的统计方法包括t 检验、方差分析（ANOVA）等。
3. 调查方法：通过问卷调查或面对面访谈等方式收集数据，并比较不同组或条件下的回答。
这种方法可以了解人们的意见、想法和态度。
4. 文献综述：通过查阅已有的文献，比较不同研究的结果和观点。
这种方法可以提供对某个领域内不同研究成果的概览。
5. 模拟方法：使用数学模型或计算机模拟，比较不同条件下的模拟结果。
这种方法可以研究现实中难以操作的情况，或者根据模型预测未来可能的变化。
6. 反事实推理：通过假设不同情况下的结果，比较不同假设下的效果。
这种方法可以推测在不同条件下可能发生的事情。
7. 对照实验：将研究对象分为实验组和对照组，比较两组的差异。
这种方法可
以消除个体差异对研究结果的影响。
8. 直接观察：通过观察不同条件或环境下的现象，比较其差异。
这种方法适用于研究自然界中的现象，如动物行为、天气变化等。
这些方法在不同领域和研究目的下都有广泛应用，可以根据具体情况选择合适的方法进行多重比较。
多重比较
１．２ 多重比较用方差分析方法对单因子试验模型中的假设（１．１．４）作检验只能回答因子不同水平的效应之间有没有显著差别的问题。
如果答案是“有显著差别”，则试验者自然希望进一步了解这种差别的具体模式。
例如，在例１．１．１中，由方差分析得出五种药物的疗效有显著差别的结论。
进而我们还想知道哪种药物的疗效最好（治愈天数少），或者药物之间两两比较时，哪个疗效好一些，等等。
对于这一类的问题，方差分析的结论不能回答。
我们需要不同的假设检验方法。
首先，来分解假设（１．１．４）。
当假设（１．１．４）被拒绝时就意味着至少存在一对j i µµ≠，或者j i µµ−0≠。
我们称形如j i µµ−的参数线性组合为一个“比较”（ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
在单因子试验模型中，若因子A 有I 个水平，则共有2/)1(2−=I I C I 个比较。
接受假设（１．１．４）就意味着所有的比较都为０；而拒绝假设（１．１．４）则意味着至少存在着一个比较不为０。
我们要找到适当的检验方法使得当假设（１．１．４）被拒绝时，还可以进一步判断哪些比较不为０，或者说，哪些对因子水平的效应之间有显著差别（ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ）。
这样的检验方法统称为“多重比较”（ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ）。
首先考虑最简单的情况：2=I 。
这时只有唯一的一个比较：21µµ−。
假设（１．１．４）就等价于假设21µµ−＝０。
当在方差分析中用Ｆ检验得到拒绝假设（１．１．４）时，就等价地意味着认为021≠−µµ。
也可以用另外的方法来检验假设21µµ−＝０。
在2=I 时，单因子方差分析问题就相当于两个正态总体的均值差的假设检验问题。
在初等统计中，这个问题通常用两正态样本的“ｔ检验”方法来解决。
定义两正态样本的“ｔ统计量”如下：MSSE n n y y n n T )()(212121+−=•• （１．２．１）则当假设21µµ−＝０成立时，T 服从自由度为2−N 的ｔ分布)2(−N t 。
lsd多重比较法的定义
lsd多重比较法的定义
LSD多重比较法（LSD-Mean Multiple Comparison Test）是一种用于统计学中多个组间比较的方法。
它被广泛应用于实验设计和数据分析中，用于确定不同组之间是否存在显著差异。
LSD多重比较法的基本思想是将每个组的均值与其他组的均值进行两两比较，然后根据比较结果进行显著性判断。
具体步骤如下：
1. 计算每个组的均值。
2. 对于每个组，计算其均值与其他组均值之间的差异。
3. 根据差异的大小和标准误差，计算每个差异的显著性水平。
4. 对于每个组，将其与其他组的显著性水平进行比较，确定是否存在显著差异。
5. 如果存在显著差异，可以使用其他方法（如置信区间）来进一步描述差异的大小。
LSD多重比较法的优点是简单易用，计算方便。
然而，它也有一定的局限性，比如不适用于大样本量或不符合正态分布的数据。
此外，由于进行多次比较，可能增加了第一类错误（拒绝了真实零假设）的风险，因此需要谨慎解释结果。
多重比较 统计学
多重比较统计学多重比较统计学是一种在统计学领域应用广泛的方法，它可以帮助研究人员对多个群体或变量进行比较和分析。
通过比较不同群体或变量之间的差异和相似性，我们可以更好地理解数据，并得出更准确的结论。
本文将介绍多重比较统计学的基本概念、方法和应用。
我们来了解一下多重比较统计学的基本概念。
多重比较统计学是指在进行多个群体或变量比较时，采用一系列统计方法来控制错误率，并对差异进行推断。
在传统的单个比较中，我们通常使用t检验或方差分析等方法来比较两个群体或变量之间的差异。
然而，在多重比较中，由于同时进行多个比较，存在着累积的错误率问题。
为了解决这个问题，我们需要采取一些措施来控制错误率，例如Bonferroni校正、False Discovery Rate等。
接下来，我们将介绍一些常用的多重比较方法。
首先是Bonferroni 校正，它是一种最简单和最常用的多重比较校正方法。
Bonferroni 校正将显著性水平除以比较的总数，从而得到每个比较的显著性水平。
这样可以有效地控制整体错误率，但也可能导致较高的Type Ⅰ错误率。
另一个常用的方法是False Discovery Rate（FDR），它通过控制被错误拒绝的假设的比例来控制错误率。
FDR方法可以更好地平衡Type Ⅰ错误和Type Ⅱ错误，适用于大规模的多重比较。
在实际应用中，多重比较统计学具有广泛的应用领域。
例如，在医学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同治疗方法的疗效；在生物学研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同基因的表达水平；在市场研究中，我们可以使用多重比较方法来比较不同产品的销售情况。
通过使用多重比较统计学，我们可以更好地理解数据，并得出准确的结论，为决策提供科学依据。
尽管多重比较统计学在实际应用中具有重要意义，但我们在使用时也需要注意一些问题。
首先，我们需要选择合适的多重比较方法，根据实际情况来控制错误率。
其次，我们需要注意样本的选择和数据的质量，以确保比较的结果具有可靠性和代表性。
多重比较的基本步骤
多重比较（Multiple Comparisons）是统计学中的一种方法，用于在进行方差分析（ANOVA）或其他假设检验后，对多个均值之间的差异进行细致的比较，以确定哪些组之间的差异是显著的。
以下是多重比较的基本步骤：1.进行初步分析：o首先进行一个总体的统计分析，如单因素或双因素方差分析（One-way ANOVA或Two-way ANOVA），以确定是否存在至少两个组别之间均值的显著差异。
2.选择多重比较方法：o根据研究目的和样本大小，选择合适的多重比较方法。
常见的多重比较方法包括：▪LSD（Least Significant Difference）法▪Tukey’s HSD（Honestly Significant Difference）法▪Bonferroni校正▪Dunnett’s test（主要用于与对照组比较）▪Sidak校正▪Šidák校正▪Benjamini-Hochberg校正（用于控制假阳性率）3.计算比较：o应用选定的方法，对所有可能的组间比较进行计算，得出每一对比较的p值和置信区间。
4.调整显著性水平：o为了控制I型错误（假阳性）的发生概率，通常会对原始的显著性水平（如α=0.05）进行调整。
例如，如果进行了k个比较，可能需要将每个比较的显著性水平设定为α/k（如使用Bonferroni校正）。
5.解释结果：o根据调整后的显著性水平，解释每对比较的结果，指出哪些组之间的差异在统计上是显著的。
6.报告结果：o报告每一对比较的统计量、p值和结论，必要时可以绘制图表直观展示显著差异。
7.评估假设检验结果：o评估所有比较结果的整体一致性，以及是否符合研究的假设和目标。
请注意，多重比较可能导致假阳性率增加，因此选择合适的校正方法很重要。
同时，分析结果不仅要基于统计显著性，还要结合实际研究背景和意义进行解读。
多重比较检验实验报告
多重比较检验实验报告1. 引言多重比较检验是在进行多个组间比较时使用的一种统计方法，其目的是消除由于多次比较而引起的统计学错误。
在实验研究中，我们经常会面临需要比较多个组别之间差异的情况，如不同药物治疗方案的疗效比较、不同学习方法的成绩比较等。
然而，如果我们在进行多次比较时不采取相应的控制措施，有可能产生“假阳性”结果，即错误地拒绝原假设，从而得出错误的结论。
因此，多重比较检验成为了处理这类问题的重要工具。
2. 实验设计本次实验旨在比较三种不同培养基条件下大豆幼苗的生长情况，探究不同培养基对于大豆幼苗生长的影响。
我们选择了以下三种培养基进行比较：- 培养基A：含有丰富的氮源和微量元素- 培养基B：无氮源，但添加了丰富的磷源和微量元素- 培养基C：无氮源和磷源，但添加了丰富的钾源和微量元素我们随机选取了60颗大豆种子，平均分配到三个处理组，每个处理组包括20颗大豆种子。
每组大豆种子分别在上述三种培养基条件下生长，记录了每个处理组的幼苗高度和根长数据。
3. 数据分析在进行多重比较检验之前，我们首先进行了方差分析（ANOVA）来判断不同培养基条件下大豆幼苗的生长是否存在显著差异。
数据分析使用了统计软件R中的aov()函数来进行方差分析，并使用了Tukey多重比较检验来探究不同培养基条件下的差异。
方差分析的结果显示不同培养基条件下的大豆幼苗高度和根长均存在显著差异（F=15.62, p<0.01）。
进一步进行的Tukey多重比较检验结果显示，在大豆幼苗高度方面，培养基A组（均值=10.50）与培养基B组（均值=9.80）之间差异不显著（p=0.228），培养基A组与培养基C组（均值=9.15）之间差异显著（p<0.01），培养基B组与培养基C组之间差异显著（p<0.01）。
在大豆幼苗根长方面，方差分析结果显示不同培养基条件下的差异显著（F=11.42, p<0.01）。
Tukey多重比较检验结果显示，在根长方面，培养基A 组（均值=7.21）与培养基B组（均值=6.78）之间差异不显著（p=0.320），培养基A组与培养基C组（均值=5.82）之间差异显著（p<0.01），培养基B组与培养基C组之间差异显著（p<0.01）。
常用的多重比较方法
常用的多重比较方法
在数据分析和统计学中，常用的多重比较方法包括以下几种：
1. 方差分析中的多重比较方法：用于比较多个组或处理之间的均值差异，包括Tukey's HSD（Tukey's Honestly Significant Difference）、Bonferroni校正和Scheffé法等。
2. 多重t检验：用于比较两个或多个样本均值是否有显著差异，通常用于独立样本或配对样本之间的比较。
3. 多重相关分析：用于比较多个变量之间的相关性，包括Pearson相关系数、Spearman等级相关系数等。
4. 多重回归分析：用于比较多个自变量对因变量的影响程度，可以进行变量选择和模型比较。
5. 多重比例比较：用于比较不同组别之间的比例差异，包括卡方检验和Fisher 精确检验等。
以上仅列举了常见的一些多重比较方法，具体选择何种方法应根据研究问题、数据类型和假设情况等综合考虑。
此外，需要注意的是，在进行多重比较时，需要
进行多重校正，以控制因进行多个比较而增加的类型I错误的风险。
多重比较
1. 多重比较方法的选择一个试验资料，采用哪种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的无效假设和接受一个不正确的无效假设的相对重要性而定。
如果否定正确的（即犯α错误）是事关重大或后果严重的，应用q 测验；这就是宁愿使犯β错误的风险较大而不使犯α错误有较大风险。
如果接受不正确的（即β错误）是事关重大或后果严重的，则易采用PLSD 测验或SSR 测验，这是宁愿冒较大的α错误的风险，而不愿冒较大的β错误的风险。
在一般的农业试验研究中，较为广泛应用的是PLSD 测验法和SSR 测验法。
2. 多重比较结果的表示方法(1) 列三角形表示法将全部平均数从大到小顺序排列，然后算出各平均数间的差数（这些差数呈三角形形式）。
凡达α =0.05 水平显著的差数在其右上角标一个“ * ”号；凡达α =0.01 水平显著的差数在其右上角标两个“ ** ”号；未达α =0.05 水平显著的差数则不予标记。
见表9-5 结果表示。
（ 2 ）标记字母法先将全部平均数从大到小顺序排列，然后在最大的平均数上标上字母a ，并将该平均数依次和其以下各平均数相比，凡差异不显著的都标字母 a ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母 b 。
再以该标有 b 的平均数为标准，与上方各个比它大的平均数比，凡不显著的也一律标以字母 b ；再以标有 b 的最大平均数为标准，与以下各未标记的平均数比，凡不显著的继续标以字母 b ，直至某一个与之相差显著的平均数则标以字母 c ……如此重复下去，直至最小的一个平均数有了标记字母为止。
这样各平均数间，凡有一个标记相同字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。
在实际应用时，一般以大写字母A.B.C…… 表示α =0.01 显著水平，以小写字母 a.b.c…… 表示α =0.05 显著水平。
见表9-5 结果。
一般情况下，尤其在处理平均数较多时，以标记字母法较为简洁明了，所以此法得以广泛应用。
总结上述，方差分析的基本步骤是：（1 ）分析变异原因，计算各变因的平方和、自由度及其均方。
多重比较的名词解释
多重比较的名词解释在统计学和研究方法学中，多重比较是一个重要的概念。
它指的是在进行多个假设检验或对比时，采取特殊的方法来控制统计显著性水平的误差率。
在本文中，我们将对多重比较进行详细的解释，并探讨其在实际研究和数据分析中的应用。
一、什么是多重比较？多重比较是一种用于在进行多个假设检验时控制类型I错误率（即拒绝真实假设）的方法。
当我们对多个组别、多个变量或多个时间点进行比较时，直接使用传统的单个假设检验方法可能会导致显著性水平的显著提高，从而产生错误的结论。
以医学研究为例，假设我们希望比较三个不同的药物在治疗某种疾病方面的效果。
如果仅使用传统的单个假设检验方法，我们将进行三次独立的假设检验，每次比较两个药物的疗效。
在这种情况下，如果我们使用常见的显著性水平（例如0.05），那么在纯随机情况下，我们大约有15%的概率至少会错误地得出一对药物之间存在显著差异的结论。
为了解决这个问题，我们需要采取多重比较方法来控制错误的发生率。
下面将介绍几种常见的多重比较方法。
二、Bonferroni校正Bonferroni校正是最常用的多重比较方法之一。
它的基本思想是将显著性水平（α）除以比较的次数（m），然后将结果作为每个比较的显著性水平。
假设我们要进行m次比较并使用α=0.05，那么每个比较的显著性水平将为α/m。
然而，Bonferroni校正方法可能会过于保守，导致漏掉真实的差异。
因此，在实际应用中，我们常常会选择其他方法。
三、Tukey HSD检验Tukey HSD（Honestly Significant Difference）检验是一种常见且有效的多重比较方法。
它的优势在于能够在所有可能的配对之间比较均值的差异，并确定哪些配对是显著不同的。
在使用Tukey HSD检验时，我们首先进行一次方差分析（ANOVA），以获取组间方差的估计。
然后，根据估计的方差值和样本量，计算出每对均值之间的显著差异。
如果某对均值的差异大于其他所有差异的临界值，则我们可以得出这一对是显著不同的结论。
统计学中的多重比较与调整
统计学中的多重比较与调整统计学中的多重比较和调整是一个重要的主题，它涉及到在多组数据之间进行比较时如何控制错误发现率。
在实际研究或实验中，我们常常需要同时比较多组数据，这样就增加了出现假阳性（即错误地拒绝零假设）的可能性。
为了解决这个问题，多重比较与调整方法应运而生。
一、多重比较方法多重比较方法是在比较多组数据时控制错误的方法。
常见的多重比较方法包括共同控制类型I错误发现率（Family-wise Error Rate, FWER）和控制逐比较错误发现率（False Discovery Rate, FDR）两种。
1. 共同控制FWER的方法共同控制FWER的方法的目标是尽量降低整体的错误发现率，其中最著名的方法是Bonferroni校正。
Bonferroni校正是最简单和最保守的调整方法之一，它将显著性水平除以比较数量来控制FWER。
虽然它控制了整体错误率，但对于大样本量或多组比较的情况下，可能导致过于保守的结果。
2. 控制FDR的方法控制FDR的方法主要用于大量比较的情况下，例如基因表达研究中的差异基因分析。
常见的FDR调整方法包括Benjamini-Hochberg方法和Benjamini-Yekutieli方法。
这些方法通过控制被错误发现的零假设的百分比来控制FDR。
二、调整方法的应用在实际应用中，根据研究设计和研究目的的不同，选择合适的调整方法非常重要。
下面以一个基因表达研究为例来说明不同调整方法的应用。
假设我们进行了一个基因表达研究，同时比较了10000个基因在两组样本中的表达差异。
我们的目标是找出显著差异的基因。
首先，我们进行t检验来比较每个基因在两组样本中的表达差异，并计算出每个基因对应的p值。
然后，我们可以选择控制FWER的Bonferroni校正方法来进行多重比较的调整。
假设我们设置显著性水平为0.05，由于有10000个基因进行比较，因此我们将显著性水平除以10000来得到每个基因的显著性水平，即0.05/10000=0.000005。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，广泛应用于各个领域。
在数据分析过程中，我们经常需要进行多重比较，以确定不同组之间的差异或者找出显著性结果。
本文将介绍统计学中常用的多重比较方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、背景介绍多重比较是指在进行多个假设检验时，需要对每个比较的显著性水平进行调整，以控制整体错误率。
在实际应用中，如果不对多重比较进行调整，可能会导致过高的错误率，从而得出错误的结论。
因此，多重比较方法在统计学中具有重要的意义。
二、Bonferroni校正法Bonferroni校正法是最常见的多重比较方法之一。
该方法的基本思想是将显著性水平α除以比较的总数，得到每个比较的校正显著性水平。
例如，如果我们进行了10个比较，显著性水平设定为0.05，则每个比较的校正显著性水平为0.05/10=0.005。
通过这种方式，我们可以有效地控制整体错误率。
然而，Bonferroni校正法也存在一些限制。
首先，它假设所有比较之间是独立的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，该方法可能会导致过于保守的结果，降低了检验的功效。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的多重比较方法。
三、Tukey HSD方法Tukey HSD（Honestly Significant Difference）方法是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析（ANOVA）中的多个组之间的比较。
该方法通过计算平均差异的标准误差，得出每个比较的显著性水平。
与Bonferroni校正法相比，Tukey HSD方法具有更好的功效，同时也能控制整体错误率。
然而，该方法要求各组之间的方差齐性，并且对样本量的要求较高。
如果数据不满足这些假设，我们可以考虑使用其他的多重比较方法。
四、False Discovery Rate控制方法False Discovery Rate（FDR）控制方法是一种相对较新的多重比较方法，用于控制预期的错误发现率。
多重比较与多重假设检验
多重比较与多重假设检验在统计学中，多重比较和多重假设检验是一种常见的数据处理和分析方法。
当我们进行多个统计比较或提出多个假设时，需要考虑到错误率的控制和结果的可靠性。
本文将介绍多重比较和多重假设检验的概念、方法以及在实际应用中的注意事项。
一、多重比较的概念与方法多重比较是指在进行多个样本或处理的均值比较时，需要控制由于多次比较而引起的偶然差异带来的错误率增加问题。
在进行多重比较时，我们通常会使用一些修正方法，如Bonferroni校正和Tukey HSD 检验。
Bonferroni校正是一种简单而常用的多重比较修正方法。
它的基本原理是将整体显著性水平（α）除以比较次数，从而得到校正后的显著性水平。
例如，若我们进行了5次比较，显著性水平设置为0.05，那么经过Bonferroni校正后的显著性水平则为0.05/5=0.01。
通过比较修正后的显著性水平与每个比较的P值进行对比，我们可以得到哪些比较是显著的。
Tukey HSD检验是一种常用的多重比较方法，适用于方差分析中的事后比较。
它通过计算不同组之间的最小显著差异（HSD值）来进行多重比较。
如果两个组之间的差异大于HSD值，则认为它们之间存在显著差异。
二、多重假设检验的概念与方法多重假设检验是指当我们进行多个统计假设检验时，需要控制类型I错误率的增加。
类型I错误是指拒绝原假设（H0）而实际上H0是正确的情况。
在多重假设检验中，我们常用的控制方法有Bonferroni校正和FDR控制。
Bonferroni校正在多重假设检验中的应用与多重比较类似。
我们将显著性水平（α）除以假设检验次数，从而得到校正后的显著性水平。
假设我们进行了10个假设检验，显著性水平设置为0.05，那么经过Bonferroni校正后的显著性水平则为0.05/10=0.005。
通过比较修正后的显著性水平与每个假设检验的P值进行对比，我们可以得到哪些假设是显著的。
FDR控制是一种相对较新的多重假设检验方法，它更加注重发现真实的显著性结果。
多重比较
上节对一组试验数据通过平方和与自由度分解，将所估计的处理均方与误差均方作比较，由F测验推论处理间有显著差异。
但我们并不清楚那些处理间存在差异，故需要进一步做处理平均数间的比较。
一个试验中k个处理平均数间可能有k(k-1)/2个比较，因而这种比较是复式比较亦称为多重比较（multiple comparisons)。
多重比较有多种方法，本节将介绍常用的三种：最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）。
【最小显著差数法（LSD法）、复极差法（q法）和Duncan氏新复极差法（SSR法）本质上都属于t检验法。
因此，使用这三种方法必须满足方差齐性。
因为使用T检验是有条件的，其中之一就是要符合方差齐次性，这点需要F检验来验证。
方差齐次性检验（Homogeneity-of-variance）结果，从显著性慨率：各组方差无差异），c说明各组的方差在看，p>0.05，接受零假设（零假设Ha=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。
这个结论在选择多重比较方法时作为一个条件（方差齐次时有齐次时的多重比较法，非齐次时有非齐次时的多重比较法）。
比较计算所得F值与某显著水平（如0.05）下F值，可得处理间差异是否显著。
若处理间差异显著，则需进一步比较哪些处理间差异是显著的。
也就是只有在方差分析中F检验存在差异显著性时，才有比较（多重比较）的统计意义。
进行方差分析时需要满足独立样本、方差齐性、正态分布等条件，如果方差不具备齐性（F检验），可首先进行数据转换，如通过对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等方法变换后再进行方差齐性检验,若还不行只能进行非参数检验。
】7.2.1 最小显著差数法最小显著差数法（least significant difference，简称LSD法），LSD 法实质上是t测验。
其程序是：在处理间的F测验为显著的前提下，计算出显著水平为α的最小显著差数；任何两个平均数的差数如其绝对值≥，即为在α水平上显著；反之则为不显著。
大学《生物统计学》课件：第五章 多重比较
差数＞ LSD0.05
差异显著*
差数＞ LSD0.01
差异极显著**
差数≤ LSD0.05
差异不显著
14
例
梯形比较法
不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
品种
xi
大白 沈花 沈白 沈黑
30.9 27.9 25.8 24.1
xi -24.1
6.8 * *
3.8
1.7
差异显著性
xi -25.8
5.1 * 2.1
(2)用两个处理平均数的差值绝对值
x1 与- xL2SDα比较：
5
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα
由t= x1 - x2 得
S x1 - x2
x1 - x2 ＝t ·S x1 - x2
LSD0.05 =t0.05 · S x1 - x2
least significant ranges LSR法
3
LSD法的实质是两个平均数相比较的t检验 法。
LSR法克服了LSD法的局限性，采用不同平均 数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平 均数间的所有相互比较。
4
(一)最小显著差数法（LSD法）
1.检验的方法
(1)先计算出达到差异显著的最小差 数，记为LSDα
于处理组间的比较。
17
(二)最小显著极差法（LSR法）
是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行 比较，可用于平均数间的所有相互比较。
8
例 不同品种猪4个月增重量的方差分析表
变异来源 品种间 品种内 总变异
SS
df
s2
F
F0.05
多重比较
多重比较四、多重比较F 值显著或极显著，否定了无效假设H O ，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x -与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
nMS S e x x j i /2..=-(6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t 和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD --==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行： (1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD 和01.0LSD ； (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD 、01.0LSD 比较，作出统计推断。
统计学中的多重比较方法
统计学中的多重比较方法统计学的研究领域中，多重比较方法是一种强大的工具，用于在研究中探索多个群体或处理之间的差异。
多重比较方法的主要目标是避免在进行统计推断时产生错误的结论。
本文将介绍统计学中常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
1. Bonferroni校正Bonferroni校正是一种广泛使用的多重比较方法，其原理是将显著性水平按照进行比较的数量进行调整。
假设我们进行了m个比较，原始的显著性水平为α，则在Bonferroni校正下，每个比较的显著性水平将调整为α/m。
这样可以保护整体显著性水平，降低错误发现的概率。
但是，Bonferroni校正可能导致统计功效降低，因此需要权衡研究设计和显著性水平的设置。
2. Dunnett校正Dunnett校正是一种特定的多重比较方法，适用于对一个处理组进行多个处理间比较的情况。
与Bonferroni校正不同，Dunnett校正通过将每个比较与一个参照组进行比较，降低了错误发现的概率。
具体而言，Dunnett校正通过在比较中引入一个额外的自由度，来调整每个比较的显著性水平。
这种方法在医学研究和实验设计中经常被使用。
3. Tukey-Kramer校正Tukey-Kramer校正是一种用于多个群体间比较的方法，可以有效控制类型I错误的产生。
在Tukey-Kramer校正下，每个比较的显著性水平将根据一种修正的公式进行调整。
与Bonferroni校正类似，Tukey-Kramer校正能够提供更具吸引力的结果，但也可能降低统计功效。
这种方法主要应用于方差分析（ANOVA）和多元分析（MANOVA）等统计方法。
总结统计学中的多重比较方法是研究设计和结果分析中重要的一环。
通过对多个群体或处理进行比较，可以提供更全面的信息和洞察，并减少错误的结论。
本文介绍了三种常见的多重比较方法，包括Bonferroni校正、Dunnett校正和Tukey-Kramer校正。
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四、多重比较F值显著或极显著，否定了无效假设H O，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。
因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。
统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiplecomparisons )。
多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法(LSR 法)，现分别介绍如下。
（一）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference ) 此法的基本作法是：在F 检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数αLSD ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..j i x x-与其比较。
若..j i x x -＞LSD a 时，则.i x 与.j x 在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。
最小显著差数由(6-17)式计算。
..)(j i e x x df a a S t LSD -=(6-17)式中：)(e df t α为在F 检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t 值，..j i x x S -为均数差异标准误，由(6-18)式算得。
n MS S e x xj i /2..=- (6-18)其中e MS 为F 检验中的误差均方，n 为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出)(05.0e df t和)(01.0e df t ，代入(6-17)式得：....)(01.001.0)(05.005.0j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD--==(6-19)利用LSD 法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数05.0LSD和LSD；.001(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与05.0LSD比较，作LSD、01.0出统计推断。
对于【例6.1】，各处理的多重比较如表6-4所示。
表6-4 四种饲料平均增重的多重比较表(LSD 法)处理平均数.i x .i x -24.74 .i x -26.28 .i x -27.96 A 131.18 6.44** 4.90** 3.22* A 427.96 3.22* 1.68 ns A 226.28 1.54ns A 3 24.74 注：表中A 4与 A 3的差数3.22用q检验法与新复极差法时，在α=0.05的水平上不显著。
因为，462.15/34.52/2..=⨯==-n MS S e x x j i ;查t 值表得：t 0.05(dfe) =t 0.05(16) =2.120,t 0.01(dfe)=t 0.01(16)=2.921所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为271.4462.1921.2099.3462.1120.2....)(01.001.0)(05.005.0=⨯===⨯==--j i e j i e x x df x x df S t LSD S t LSD将表6-4中的6个差数与05.0LSD ，01.0LSD 比较：小于05.0LSD 者不显著,在差数的右上方标记“ns ”，或不标记符号；介于05.0LSD 与01.0LSD 之间者显著，在差数的右上方标记“*”；大于01.0LSD 者极显著，在差数的右上方标记“**”。
检验结果除差数1.68、1.54不显著、3.22显著外，其余两个差数6.44、4.90极显著。
表明A 1饲料对鱼的增重效果极显著高于A 2和A 3，显著高于A 4；A 4饲料对鱼的增重效果极显著高于A 3饲料；A 4 与A 2、A 2与A 3的增重效果差异不显著，以A 1饲料对鱼的增重效果最佳。
关于LSD法的应用有以下几点说明：1、LSD 法实质上就是t检验法。
它是将t 检验中由所求得的t 之绝对值)/)((....j i x x j i S x x t --=与临界a t 值的比较转为将各对均数差值的绝对值..j i x x -与最小显著差数..j i x x a S t -的比较而作出统计推断的。
但是，由于LSD 法是利用F检验中的误差自由度e df 查临界a t 值，利用误差均方eMS 计算均数差异标准误..j i x x S -，因而LSD法又不同于每次利用两组数据进行多个平均数两两比较的t 检验法。
它解决了本章开头指出的t 检验法检验过程烦琐，无统一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。
但LSD 法并未解决推断的可靠性降低、犯I 型错误的概率变大的问题。
2、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相比较，LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。
实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特(Dunnett)法(关于此法，读者可参阅其它有关统计书籍)。
t检验，故3、因为LSD法实质上是有人指出其最适宜的比较形式是：在进行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中只比较一次。
例如，在一个试验中共有4个处理，设计时已确定只是处理1与处理2、处理3与处理4(或1与3、2与4；或1与4、2与3)比较，而其它的处理间不进行比较。
因为这种比较形式实际上不涉及多个均数的极差问题，所以不会增大犯I型错误的概率。
综上所述，对于多个处理平均数所有可能的两两比较，LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般t检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，故仍有推断可靠性低、犯I型错误概率增大的问题。
为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法。
（二）最小显著极差法(LSR 法 ,Least significant ranges) LSR 法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。
这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差LSR。
例如有10个x 要相互比较，先将10个x依其数值大小顺次排列，两极端平均数的差数(极差)的显著性，由其差数是否大于秩次距k=10时的最小显著极差决定(≥为显著，＜为不显著＝；而后是秩次距k=9的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于k=9时的最小显著极差决定；……直到任何两个相邻平均数的差数的显著性由这些差数是否大于秩次距k =2时的最小显著极差决定为止。
因此，有k个平均数相互比较，就有k-1种秩次距(k，k-1，k-2，…，2)，因而需求得k-1个最小显著极差(kLSR , )，分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。
因为LSR 法是一种极差检验法，所以当一个平均数大集合的极差不显著时，其中所包含的各个较小集合极差也应一概作不显著处理。
LSR法克服了LSD 法的不足，但检验的工作量有所增加。
常用的LSR法有q 检验法和新复极差法两种。
1、q检验法(q test) 此法是以统计量q的概率分布为基础的。
q值由下式求得：x S q /ω=(6-20)式中，ω为极差，nMSSex/=为标准误，q分布依赖于误差自由度df e 及秩次距k 。
利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由(6-20)式算出的q值与临界q值),(k df a e q 比较，而是将极差与xk df a S q e ),(比较，从而作出统计推断。
xk df a S q e ),(即为α水平上的最小显著极差。
xk df a aS q LSRe ),(=(6-21)当显著水平α=0.05和0.01时，从附表5(q值表)中根据自由度e df 及秩次距k查出),(05.0k df e q 和),(01.0k df e q 代入(6-21)式得xk df kx k df k S q LSRS q LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==(6-22)实际利用q检验法进行多重比较时，可按如下步骤进行：(1)列出平均数多重比较表； (2)由自由度edf 、秩次距k 查临界q 值，计算最小显著极差LSR0.05,k ，LSR 0.01,k ；(3)将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差L S R 0.05,k,LSR0.01,k比较，作出统计推断。
对于【例6.1】，各处理平均数多重比较表同表6-4。
在表6-4中，极差1.54、1.68、3.22的秩次距为2；极差3.22、4.90的秩次距为3；极差6.44的秩次距为4。
因为，eMS =5.34，故标准误xS 为033.15/34.5/===n MS S ex根据edf =16，k=2,3，4由附表5查出=α0.05、0.01水平下临界q 值，乘以标准误xS 求得各最小显著极差，所得结果列于表6-5。
表6-5 q值及LSR值df e 秩次距k q0.05q0.01LSR0.05LSR0.0116 2 3.00 4.13 3.099 4.2663 3.65 4.79 3.770 4.9484 4.05 5.19 4.184 5.361将表6-4中的极差1.54、1.68、3.22与表6-5中的最小显著极差3.099、4.266比较；将极差3.22、4.90与3.770、4.948比较；将极差6.44与4.184、5.361比较。
检验结果，除A4与A3的差数3.22由LSD法比较时的差异显著变为差异不显著外，其余检验结果同LSD法。
2、新复极差法(new multiple rangemethod ) 此法是由邓肯(Duncan )于1955年提出，故又称Duncan 法，此法还称SSR 法(shortest significant ranges )。
新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表(附表6)而不是查q值表。
最小显著极差计算公式为x k df a ka S SSR LSRe ),(,=(6-23)其中),(k dfeSSR α是根据显著水平α、误差自由度e df 、秩次距k ，由SSR表查得的临界SSR值，nMSSex/=。
α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差为：xk df kx k df k S SSR LSRS SSR LSR e e ),(01.0,01.0),(05.0,05.0==(6-24)对于【例6.1】，各处理均数多重比较表同表6-4。