安徽大学高数A(二)试卷

2009-2010（A 卷）

一、填空题

1、点（2，1，1）到平面01z -y x =++的距离为

2、极限2)(22lim x y x y

x xy ++∞→+∞→= 3、交换积分次序⎰⎰x dy y x f dx sin 02

/0),(π=

4、设f （x ）是周期为2的函数，它在区间（-1，1]上定义为⎩

⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则f （x ）的Fourier 级数在x=1处收敛于

5、函数xyz u =在点（1，1，1）处沿方向（2，2，1）的方向导数为

二、选择题

6、二元函数22),(y x y x f +=，在点（0，0）处

A 、连续，但偏导数不存在

B 、不连续，且偏导数不存在

C 、不连续，但偏导数存在

D 、连续，且偏导数存在

7、设第二类曲面积分dS z xy dS xyz s

s ⎰⎰⎰⎰=I =I 221,，其中S 为1222=++z y x 的上半部分，若S1为S 在第一卦限部分，且与S 方向一致，则

A 、021=I =I

B 、dS z xy ⎰⎰∑=I =I 12212

,0 C 、dS z xy dS xyz s s ⎰⎰⎰⎰=I =I 112212,2 D 、0,2211

=I =I ⎰⎰dS xyz s 8、设D 为R 3中开区域，且D 内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于D 的曲面，函数P ，Q ，R 在D 内连续可导。若曲线积分Rdz Qdy Pdx L

++⎰只依赖于曲线L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是

A 、在D 内任意光滑闭曲线C ，曲线积分0=++⎰C Rdz Qdy Pdx

B 、存在D 上某个三元函数),(y x u ，使得Qdy Pdx du +=

C 、等式x Q y P ∂∂=∂∂，z P x R ∂∂=∂∂，y

R z Q ∂∂=∂∂在开区域D 内恒成立 D 、等式

0=∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 在开区域D 的内恒成立 9、设函数),(y x f 在开区域D 内有二阶连续偏导数，且0),(),(0000==y x f y x f y x ，则下

列为),(y x f 在点),(00y x 处取得极大值的充分条件是

A 、0),(),(),(,0),(002000000>->y x f y x f y x f y x f xy yy xx yy

B 、0),(),(),(,0),(002000000<->y x f y x f y x f y x f xy yy xx yy

C 、0),(),(),(,0),(002000000>-

D 、0),(),(),(,0),(002000000<-

10、设函数),,(z y x f u =具有二阶连续偏导数，则div grad f=

A 、zz yy xx f f f ++

B 、z y x f f f ++

C 、),,(z y x f f f

D 、),,(zz yy xx f f f

三、计算题

11、设平面∏：0=+-+b z ay x 通过曲面22y x z +=在点（1，1，2）处的法线L ，求a ，

b 的值

12、计算第二类曲线积分⎰+-L y

x xdy ydx 22，其中L 为正方形边界1||||=+y x ，取顺时针方向 13、计算第一类曲面积分dS z y x z ⎰⎰∑++222，其中∑为圆柱面)0(222>=+R R y x 介于

平面z=0与z=h （h>0）之间的部分

14、求函数x x f arctan )(=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞

=+-012)1(n n

n 的和 15、设函数f （u ）具有二阶连续导数，且)sin (2

y e f z = （1）求22x z ∂∂，22y

z ∂∂ （2）若函数)sin (2

y e f z =满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求函数f （u ） 四、应用题

16、将一根为l 的铁丝分割成两段，一段围成一个圆，另一段围成一个长方形，求使得圆面

积与长方形面积之和最大的分割方法

17、已知一条非均匀金属线L 放置于平面Oxy 上，刚好为抛物线2

x y =对应于0≤x ≤1的

那一段，且它在点（x ，y ）处的线密度为ρ（x ，y ）=x ，求该金属丝的质量。

五、证明题

18、证明级数∑∞=+-11ln )

1(n n n

n 条件收敛 19、设空间闭区域Ω可表示为},1,10|),,{(y z x y x x z y x ≤≤≤≤≤≤。若f(t)在[0，1]上

连续，且)()()(),,(z f y f x f z y x F =。试证明310])([61),,(⎰⎰⎰⎰Ω=dt t f dxdydz z y x F 。