第四章共面力系的平衡

相反，且在同一線上。故僅有外力存留，令Fi = F，上 述方程式可以寫成 F = 0
若Байду номын сангаас慮作用於 i 質點之力對任意點 O 的力矩，圖(b)應用點
平衡方程式以及向量積適用分配律得
ri (Fi + fi) = ri Fi + ri fi = 0
可以對其它的質點得同樣的方程式，並以向量相加
x、y、z 軸為靜止或等速度運動。剛體中第 i 個質點的自由體圖，如 圖(b)，有兩種型態的力量作用於此質點，其一為內力，可表示為
(a)
(b)
即其他質點作用於此i質點而得合力 fi，圖(b)中僅顯示一個質點，但卻
對整個物體中的 n 個質點作總和，在總和的過中 i = j 是無意義的，因 質點無法對本身施力。
Procedure for Drawing FBD
To construct a free-body diagram, the following steps are
necessary :
– Draw Outline Shape
• Imagine that the particle is cut free from its surroundings or isolated by drawing the outline shape of the particle only.
及所有外力對一點的力矩和為零。以上為平衡的必要條件， 亦為充分條件。為說明此充分性質，假設物體不平衡卻滿 足上式，必須加上 F才能使物體成平衡，則平衡方程式 為 F + F' = 0; MO + MO = 0
其中 MO 為 F 對 O 的力矩，由於F = 0 及 MO = 0，故
共面力系之平衡方程式
Coplanar Force System
Start with internal system of forces as shown below to get proper signs for V, N and M.
V
共面力系之平衡方程式
物體達成平衡必須滿足
F = 0；MO = 0
Answers: Tension in cable AB = 226lb Tension in cable BC = 245.56lb
重量與重心
當一物體處於重力場中，每一質點都其有一定的重量，可
由牛頓萬有引力 F = Gm1m2/r2，若假設物體的大小與地球 比較為極小，可將此重力表示為一平行力系分別作用於物 體上各質點。前一章節曾述及此力系可化簡此力系為一單 力，且作用於特定點，將此單力稱之為物體的重量 W，而 其作用點稱為重心。求取重心的方法將在後面章節予以介 紹。 物體的重量若是相當重要，將在敘述中指明其值。又若物 體為均質材料，物體的重心即為物體的形狀中心。若物體 為非均質材料或不規則幾何形狀，其重心將特別予以指明。
Rx Fx T 1 X T 2 X 0
A
20
C T1 B T2 30
Resolving T1 along x and y directions:
T 1 cos 20 T 2 cos30 T 1 * 0.9396 T 2 * 0.866 T 2 1.085T 1
彈簧 (springs)
若以一線性彈簧作為作支撐 (support)，則彈簧的變形量與
作用力成正比例的關係。彈簧的彈性由彈簧常數 k (spring constant) 所定義，若一彈簧的彈簧常數 k，其變形量為 s， 則作用力之大小為 F = ks
– 變形量 s 為彈簧受力後的全長l與原 長度 lo 的差值，即 s = l lo。若 s 為正值，則 F 為拉伸彈簧之力；若 s 為負值，則 F 為壓縮彈簧之力。 – 例如圖中，彈簧的原長 lo = 0.4m， 彈簧常數 k = 500 N/m，若伸長至 l = 0.6 m，則作用力為 F = ks = (500 N/m) (0.6m 0.4m) = 100 N。同理， 若彈簧壓縮至 l = 0.2m，則作用力 為 F = ks = (500N/m) (0.2m 0.4m) = 100N。
Free Body Diagram
C
BC
BA W
A
B
W
1. Two cables support the traffic light weighing 250 pounds. Determine the tension in the cables AB and BC.
A
20
30
B
Solution:
(1) 繩索-未知力數為1，作用力為張力，方向與繩索同向
(2) 重量可忽略之連桿-未知力數為1，力的作用方向與連桿同向 (3) 滾筒-未知力數為1，力的作用方向與接觸面成垂直 (4) 導軌中滾筒支撐- 未知力數為1，力的作用方向與準槽垂直 (5) 搖板-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 (6) 與光滑面接觸-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 (7) 光滑導桿中移動-未知力數為1，力的作用方向與導桿垂直 (8) 光滑銷連桿-未知力數為2，可為兩個分量，亦可為大小及角度。其
另一型態則為外力 Fi，如重力、電力、磁力或由鄰近物體
或質點所施予的接觸力。若質點處於平衡狀態，根據牛頓 第一定律，可得 Fi + fi = 0
當平衡方程式應用於物體中各質點，可得相同的方程式，
若將這些方程式以向量相加，可得 Fi + fi = 0
其中內力的總和為零，因各質點問的內力大小相等但方向
– Identify Each Force
• The forces that are known should be labeled complete with their magnitudes and directions. Letters are used to represent the magnitudes and directions of forces that are not known.
第四章共面力系的平衡 內容大綱
4.1 概論 4.2 平衡的定義 4.3 物體之自由體圖 4.4 共面力系之平衡方程式 4.5 列舉與求解平衡方程式 4.6 單一物體之平衡分析 4.7 含內力之自由體圖 4.8 組合體之平衡分析 4.9 二力及三力構件 4.10 桁架概述 4.11 接點法 4.12 截面法
在此將介紹水平梁三種常見的尾端支承形式，第一種形式
為一滾筒，如下圖(a)，其不允許在平面的垂直方向運動， 則在此點施有同方向的垂直力 F，如圖(b)。
梁上另有一種限制更多的支承形式，如銷在下圖(a)，其銷
不允許桿件在任何方向產生移動，故 F 其有兩個未知量， 一為其大小，另一為方向角 ，如圖(b)，為便於分析，通 常將其表示成 Fx 及 Fy 二分量，如圖(c)，若 Fx 及 Fy 已知， 則 F 及即可求得得。
限制最多的形式為一固定端，如下圖(a)。此種支承形式會
限制梁作平移及轉動，故在支點會有一力及一力偶矩作用， 如圖(b)，通常此方可表示成兩分量 Fx 及 Fy。
常見二維力系的接觸形式
如右 (圖中 均為已知角)， 請仔細研讀每一圖形所代 表接觸的形式，雖然表中 所示的各集中力與力偶矩， 事實上是接觸面間分佈力 的合成。然而在此情況下， 其作用力的分佈情形，因 接觸面積極小，故求取其 確切作用點並不重要。
200lb
1
Resolving T2 along x and y directions:
T1Y T2Y
Ry Fy T 1 y T 2 y 200 0 T 1 sin 20 T 2 sin 30 200 0.342T 1 0.5T 2 200
T1 T1X
概論
概述
介紹自由體圖 介紹單物件之平衡
介紹組合體之平衡
介紹桁架之平衡
平衡的定義
平衡之條件1
點的平衡必須處於靜止狀態，或以等速度運動。欲滿足上
述要求，則其充要條件為質點上受力的和必須為零。
(a)
(b)
平衡之條件2
應用上述原理，將推展出剛體平衡的條件。考慮下圖(a)中的剛體，對
繩索與滑輪 (cables and pulleys)
除特別說明外，所有的繩索或纜繩都假設為無重量，且不
具有伸縮性。繩索只能承受張力或拉力，且作用力方向必 定沿著繩索方向。一穿過無摩擦滑輪的連續繩索 (continuous cable)，將受到一張力 T，不論角度 為何值， T 值的大小都是一樣的。
二維平衡方程式
前一節曾提及物體平衡的充要條件為 F = 0, MO = 0。
T2 T2X T3=200lb
Substituting equation 1 in the above equation, we get
.342T1+.5425T2=200
.8845T1=200 T1=226lb
From equation 1 we get
T2=1.085*226 T2= 245.56lb
ri Fi + ri fi = 0
上式第二項，因兩質點間之內力相反，以及力的遞移性，
以致此內力之力矩和為零，可將MO = ri fi 表示成 MO = 0
即使一物體達成平衡必須滿足
F = 0; MO = 0
(a) (b)
欲使一物體成平衡必須作用於物體上所有外力和為零，以
中與不必相同 (9) 連桿固定於光滑導桿-未知力數為2，為力偶矩及與光滑桿垂直之力 (10) 固定端-未知力數為3，兩力及一力偶矩或一力偶矩及力的大小與 方向
外力與內力
由於剛體是由質點所構成，可承受內力與外力。然而作自
由體圖時，物體的內力並不須要繪出，如前一節中所述， 內力都是以大小相等卻是反向作用於一直線上，故對物體 的作用效果為零。