全等三角形的提高拓展题教师版
学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).提高班.教师版
1初二秋季·第4讲·提高班·教师版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）2初二秋季·第4讲·提高班·教师版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型3初二秋季·第4讲·提高班·教师版NMCBABNC【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形∴AC CM =，BC CN =60ACM BCN ∠=∠=°典题精练OHGDF ECBA4初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCMNDNM CBA∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形． 证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠典题精练题型二：双垂+角平分线模型5初二秋季·第4讲·提高班·教师版EN MDCBA NMD CBA 45∴∠=∠∴=AE AF【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 求证：AF CG =． 【分析】 要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．【解析】 作EH AB ⊥于H∵12∠=∠，90ACB ∠=° ∴EC EH =（角平分线定理） 又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【解析】 延长ND 到E 使DE BM = 典题精练题型三：半角模型54321HG FEDC BA54321GFE DC BA6初二秋季·第4讲·提高班·教师版DHFECBA∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB在ADE △和ABM △ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△∴AM =AE ∠=∠BAM DAE∵45MAN ∠=︒ ∴45∠+∠=︒BAM NAD ∴45∠=∠=︒MAN EAN在AMN △和AEN △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MA EA MAN EAN AN AN ∴AMN AEN △≌△ ∴MN =EN∴DE +DN =BM +DN=MN【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【解析】 延长FD 到H ，使DH =BE ，易证ABE ADH △≌△， 再证AEF AHF △≌△1122∴∠=∠=∠=∠EAF FAH EAH BAD【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移7初二秋季·第4讲·提高班·教师版动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.【解析】 ⑴如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC=MN ． ⑵猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．BD=CD 且120BDC ∠=．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ECD ∠=∠=∠=． 在MBD △与ECD △中：BM CEMBD ECD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MBD △≌ECD △(SAS ) ． ∴DM=DE , BDM CDE ∠=∠ ∴60EDN BDC MDN ∠=∠-∠=在△MDN 与△EDN 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ENMDC BA8初二秋季·第4讲·提高班·教师版∴MDN EDN △≌△(SAS) ∴MN NE NC BM ==+第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究； 【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若ABC ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1EDC BA图2EDC BA【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；图3DCB图4E D CB A FG 图5ED CB A如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）9初二秋季·第4讲·提高班·教师版图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；图9E图10图11【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）图12图13图14结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）图15NM O 图16EDC BA10 初二秋季·第4讲·提高班·教师版结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ） 结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）11初二秋季·第4讲·提高班·教师版SFEDCBA MPNMH GFEDCBANM DCBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确 的是（ ）A. ABD ACE △≌△B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△【解析】 D【练习2】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数． 【解析】 先证ABG AFC △≌△可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB ∵∠=∠NPG APC∴108∠=∠=︒GNC GAC题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习3】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对 【解析】 A题型三 半角模型 巩固练习【练习4】 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ． 【解析】 6【练习5】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且复习巩固F E DCBAFEDC BA12 初二秋季·第4讲·提高班·教师版EHGDCBAFDEGCBA12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【解析】 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠，∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．训练1. 如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 同侧作等边ACD △和等边BCE △，AE 交DC 于G 点，DB 交CE 于H 点，求证：GH AB ∥． 思维拓展训练(选讲)13初二秋季·第4讲·提高班·教师版A B C DH QNM【分析】 本题中，ACD △与BCE △是等边三角形，因此AC CD =，BC CE =，60ACD ECB ∠=∠=°，因为A 、C 、B 在同一条直线上，故60DCE ∠=°．这样可以得到ACE DCB △≌△，AEC DBC ∠=∠，故可以得到CEG CBH △≌△，则GC HC =，60CGH CHG ∠=∠=°，所以60ACG CGH ∠=∠=°，故GH AB ∥．【解析】 ∵ACD △和BCE △是等边三角形（已知）∴AC CD =，BC CE =（等边三角形的各边都相等）60ACD BCE ∠=∠=°（等边三角形的每个角都等于60°）∵180ACD DCE BCE ∠+∠+∠=° ∴60DCE ∠=°，120ACE DCB ∠=∠=°． 在ACE △和DCB △中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC DCACE DCB CE CB∴ACE DCB △≌△（SAS ）∴AEC DBC ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 在BCH △和ECG △中，60∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCH ECG BC CE CBH CEG °∴BCH ECG △≌△（ASA ）∴CH CG =（全等三角形的对应边相等） ∴CGH CHG ∠=∠（等边对等角）∵180GCH GHC CGH ∠+∠+∠=°（三角形内角和定理） ∴60GHC CGH ∠=∠=°．∴60ACG CGH ∠=∠=°（等量代换） ∴GH AB ∥（内错角相等，两直线平行）训练2. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.A B M C H ND14 初二秋季·第4讲·提高班·教师版【解析】 ⑴在CD 上取一点Q ，使DQ =BM先证AMB AQD △≌△ 可得AM =AQ再证AMN AQN △≌△∴MN =NQ∴DN DQ DN BM NQ MN -=-==⑵可证△ANH ≌△AND ，∴AH=AD=AB训练3. 如图，在Rt ABC △中，锐角ACB ∠的平分线交对边于E ，又交斜边的高AD 于O ，过O引OF BC ∥，交AB 于F ，请问AE 与BF 相等吗？理由是什么？OO 12ABCD E F FEDCBA21543G O54321G FE DC BA【解析】 相等．理由如下：如图，过E 作EG BC ⊥于G ∵EC 平分ACB ∠，∴12∠=∠ ∵90EAC ∠=°，AD BC ⊥ ∴1490∠+∠=°，2390∠+∠=° ∴34∠=∠ ∵35∠=∠， ∴45∠=∠∴AE AO =∵EC 平分ACB ∠，EA AC ⊥，EG BC ⊥ ∴EA EG =，∴AO EG =，∵FO BC ∥∴AFO B ∠=∠，90BDA FOA ∠=∠=° ∴BEG FAO ∠=∠∴AFO EBG △≌△（AAS ） ∴AF BE =∴AF EF BE EF -=- ∴AE BF =．N M DBA15初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCDO E训练4. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.测试1. 如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连接BE 、CD ，则线段BE 、CD具有什么样的数量关系和位置关系 【解析】 先证明ABE ADC △≌△∴BE =CD ，再类似例1倒角即可得到BE ⊥CD测试2. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.课后测N M DA初二秋季·第4讲·提高班·教师版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。
全等三角形复习提高版
A
2
1
C
B
D
思考
二、经典集粹
如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积。
构造两次全等
思考
二、经典集粹
思考
如图，直角梯形ABCD，AD//BC，AD=2，BC=3，等腰直角三角形CDE，CE为斜边，连结AE，求三角形ADE的面积。
如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
01
A．相等 B．不相等 C．相等或互余 D．相等或互补
02
二、经典集粹
1
2
3பைடு நூலகம்
4
5
答案D
请同学们谈谈这节课的收获!
三角形ABC中，AB=AC,顶角为100度，BE为底角的角平分线，求证：BC=AE+BE。
思考
角平分线构造全等
A
B
C
E
二、经典集粹
已知：如图，在△ABC中， ∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2， 求证：BC=AB+AD． （分别用截长法和补短法各证一次）
一、变化中探究全等
一、变化中探究全等
N
B
A
C
E
F
Ｏ
(4).现以AB所在的直线为X轴,以△ACN的高线NO所在的直线为Y轴建立坐标系,如图所示. B,C的坐标分别是(4,0),(2,0). I)求点M的坐标; II)写出直线AM的函数解析式; III)求出△AFB的面积.
D
与后续内容可以再综合
二、经典集粹
二、经典集粹
如图，直角梯形ABCD，AD//BC，AD=2，BC=3，等腰直角三角形CDE，CE为斜边，连结AE，求三角形ADE的面积。
《全等三角形》拓展50题(含解析)
第一种情况：当∠B 是直角时，如图 1，△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B
＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B 是锐角时，如图 2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线 EM 上有点
28．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接 AE，CD，
AE 与 CD 交于点 M，AE 与 BC 交于点 N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接 BM，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE；②MB 平分∠AMD．其中正确的
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判
定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”
的情形进行研究
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．
小聪的探究方法是对∠B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
．（填写序号）
13．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD＝BC，E 为 BD 延长线上的一点，BE＝
BA，过 E 作 EF⊥AB，F 为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；
③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是
（填序号）
14．如图，两个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 是正方形 ABCD 的中心，则阴影部分
P、Q（点 Q 是不同于点 F 的点），若以 O、P、Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，则符
合条件的点 P 的坐标为
6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)
专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。
全等三角形的提高拓展训练全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AD【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCB A O ED CA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CB ANM D CB AC EDBA【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.CDBADCBAANMCBA【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.M CA B全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABADB C3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
人教版初中数学八年级上册《全等三角形》专项拓展练习题
八年级上册《全等三角形》专项拓展练习题 1.下面两图中PA=PB 一定成立吗？2.下面两图中，PD 垂直平分AB,问：①△APD 与△BPD 全等吗？②△PAD=△3.如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．4. 如图， ΔABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于点E,△A=30°，△ACB=80°，则△BCE=P A BC PA B DE B C FA E BA C D5.已知：QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上QA B6.如图，△DBC=△DCB, AB=AC,连结AD，E为AD上任一点，试判断BE与CE的数量关系，并说明理由。
AEB CD7. 如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线l，m交于点O。
求证：O在AC的垂直平分线上8.已知：如图，AB=AC, △BAC=120°，AB 边的垂直平分线交BC 于点F ，连接AF 。
问：△AFC 是什么形状？9. 如图所示，在ΔABC 中，边BC 的垂直平分线MN 分别交AB 于点M,交BC 于点N, ΔBMC 的周长为23,且BM=7,求BC 的长。
10.如图，△ABC 中，△CAB=120º，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则△EAF等于 度。
A CF B E AB C M N11.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF 。
12. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.A FB CD E。
(完整)全等三角形的提高拓展经典题(教师版)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．D OECBA【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NEB M A DF AB C D EO O E D C B A _ F _ E_ D_ C _ B _ A _ N _ C _ D _ E _ B _ M _ A【例5】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.D CB A N MDCB AC ED BA DC BA【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC∠的度数.【例11】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.CDB ADCBAD E C B A NMCBA【例13】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.M C A B全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF。
人教版数学八年级上册《第十二章 全等三角形》期末高分突破卷附解析教师版
人教版数学八年级上册《第十二章全等三角形》期末高分突破卷附解析教师版一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）如图，△ABC△△A'B'C'，则△C的度数是（）A．107°B．73°C．56°D．51°【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC△△A'B'C'，∴△B'=△B=51°，∴△C=180°-△A-△B=180°-56°-51°=73°.故答案为：B.【分析】根据全等三角形的性质得出△B'=△B=51°，再根据三角形内角和定理得出△C=180°-△A-△B，即可得出答案.2．（3分）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是（）A．9B．12C．15D．24【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，∴ΔABD的面积=12AB·DE=12×10×3=15.故答案为：C.【分析】过点D作DE△AB于E，由角平分线的性质可得DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算.3．（3分）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于12ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【解析】【解答】解：连接EC，CD.在△ODC和△OEC中，{OE=OD OC=OC EC=DC，∴△ODC△△OEC（SSS）.故答案为：A.【分析】由作图可知OE=OD，CE=CD，结合OC为公共边，根据SSS可证△ODC△△OEC.4．（3分）如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC△△EDC.判定全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中{∠ABC=∠EDC=90°BC=CD∠BCA=∠DCE，∴△ABC△△EDC（ASA），依据是两角及这两角的夹边对应相等.故答案为：C.【分析】根据ASA证明△ABC△△EDC.5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，△A＝△D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（）A．AC＝DF B．△B＝△E C．BC＝EF D．△C＝△F【答案】C【解析】【解答】解：A、在△ABC与△DEF中，{AB=DE ∠A=∠D AC=DF，∴△ABC△△DEF（SAS），故A不符合题意；B、在△ABC与△DEF中，{∠B=∠E AB=DE ∠A=∠D，∴△ABC△△DEF（ASA），故B不符合题意；C、在△ABC与△DEF中，BC=EF，AB=DE，△A=△D ∴不能判断△ABC△△DEF，故C符合题意；D、在△ABC与△DEF中，{∠C=∠F ∠A=∠D AB=DE，∴△ABC△△DEF（AAS），故D不符合题意.故答案为：C.【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.6．（3分）如图，在△ABO和△CDO中，OA=OB=a，OC=OD=b，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，下列结论正确的是（）A．AD=BC B．AC=2OEC．∠BOD=2∠AOC D．|a−b|<OE<a+b【答案】B【解析】【解答】解：连接AD 、BC ，∵OA=OB，OC=OD，∴AD=BC需满足的条件是△AOD△ △BOC，∴∠AOB与∠COD不一定相等，∴∠AOD与∠BOC不一定相等，∴△AOD与△BOC不一定全等，∴AD与BC不一定相等，故A错误；作DF//OB交OE 的延长线于点F ，则∠F=∠BOE，∵E是BD 的中点，∴DE=BE，在△DFE和△BOE中，{∠F=∠BOE∠DEF=∠BEODE=BE，∴△DFE△ △BOE(AAS)，∴DF=OB=OA，∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠FDO+∠BOD=180°，∴∠FDO=∠AOC，在△FDO和△AOC中，{DF=OA∠FDO=∠AOCDO=OC，∴△FDO△ △AOC(SAS)，∴FO=AC，∴FO=2OE，∴AC=2OE，故B正确；∵∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=2∠AOC需满足的条件是∠AOC=60°，显然与已知条件不符，∴∠BOD不一定等于2∠AOC，故C错误；∵|DF−OD|<FO<DF+OD，且DF=OB=a，OD=b，∴|a−b|<2OE<a+b，∴12|a−b|<OE<12(a+b)，故D错误，故答案为：B.【分析】连接AD、BC，AD＝BC需满足的条件是△AOD△△BOC，由△AOB与△COD不一定相等，可推导出△AOD与△BOC不一定相等，则△AOD与△BOC不一定全等，可判断A错误；作DF△OB交OE的延长线于点F，则△F＝△BOE，可证明△DFE△△BOE，则DF＝OB＝OA，再证明△FDO△△AOC，得FO＝AC＝2OE，可判断B正确；由△AOC＋△BOD＝180°，可知△BOD＝2△AOC需满足的条件是△AOC＝60°，与已知条件不符，可判断C错误；由|DF−OD|＜FO＜DF＋OD，得|a−b|＜2OE＜a＋b，则12|a−b|＜OE＜12（a＋b），可判断D错误.7．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=80°，∠B=40°，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠E=∠C，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=40°，∴∠E=∠C=180°−80°−40°=60°，故答案为：C．【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠C，再利用三角形的内角和可得∠E=∠C=180°−80°−40°=60°。
中考数学几何模型重点突破讲练专题12 全等三角形中的手拉手模型(教师版)
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BOD＝120°ห้องสมุดไป่ตู้
(3)不改变，理由见解析
【分析】（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE 即可；
（2）由全等三角形的性质得∠ADC＝∠BEC，再由三角形的外角性质得∠AOB＝60°，即可求解；
（3）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出∠DAC＝∠EBC，根据三角形外角求出∠AOE=120°，即可得出答
【模型 2】等边三角形中的手拉手全等模型 如图，△ABC 与△CDE 均为等边三角形，点 B、C、E 三点共线，连接 AE、BD，则△BCD≌△ACE。
【模型 3】一般三角形中的手拉手全等模型 如图，在任意△ABC 中，以 AB 为边作等边△ADB，以 AC 为边作等边△ACE，连接 DC、BE，则△ADC ≌△ACE.
故答案为：10． 【例 3】如图 1，B、C、D 三点在一条直线上，AD 与 BE 交于点 O，△ABC 和△ECD 是等边三角形．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠BOD 的度数；
(3)如图 2，若 B、C、D 三点不在一条直线上，∠BOD 的度数是否发生改变？
（填“改变”或“不改
变”）
A．∠AOB=60° C．PQ∥AE 【答案】D
B．AP=BQ D．DE=DP
【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是 ∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出 A 正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出 B 正确；由△ACD≌△BCE 得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA）， 再根据∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出 C 正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出 D 错误． 【解析】解：∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中，
人教版八年级数学上《三角形全等的判定》拓展练习
《三角形全等的判定》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD＝AC，在AC上截取AE＝AB，连接DE、BE，并延长BE交CD于点F，以下结论：①△BAC≌△EAD；②∠ABE+∠ADE＝∠BCD；③BC+CF＝DE+EF；其中正确的有（）个．A．0B．1C．2D．32．（5分）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°3．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是（）A．28B．24C．26D．304．（5分）如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC＝AB+CD B．AB+AC＝DB+DCC．AD+BC＜AB+CD D．AB+AC＜DB+DC5．（5分）对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，∠ADB、∠ADC 的角平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4），C 的坐标为（﹣2，6），如果存在点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标．（写出所有可能的情况）7．（5分）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是．8．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，EF⊥AB于点D，交BC的延长线于点E．若AB＝EF且BE＝16，CF＝6，则AC＝．9．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为时，能够使△BPE与△CQP全等．10．（5分）如图，在△P AB中，P A＝PB，M、N、K分别是P A、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝50°，则∠P的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．12．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．13．（10分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．14．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．．15．（10分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．《三角形全等的判定》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD＝AC，在AC上截取AE＝AB，连接DE、BE，并延长BE交CD于点F，以下结论：①△BAC≌△EAD；②∠ABE+∠ADE＝∠BCD；③BC+CF＝DE+EF；其中正确的有（）个．A．0B．1C．2D．3【分析】只要证明△BAC≌△EAD，∠ABE＝∠ACD，FE＝FC即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，∴△BAC≌△EAD（SAS），故①正确，∴∠ACB＝∠ADE，BC＝DE，∵AB＝AE，AC＝AD，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACD＝∠ADC，∴∠BAE+2∠ABE＝180°，∠CAD+2∠ACD＝180°，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠ABE+∠ADE＝∠ACD+∠ACB＝∠BCD，故②正确，∵∠CEF＝∠AEB，∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ACD，∴∠FEC＝∠ECF，∴EF＝CF，∴BC+CF＝DE+EF，故③正确，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（5分）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于（）A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°【分析】根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD＝DB，推出∠DAB＝∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．【解答】解：分为两种情况：①如图1，∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC＝∠BDH＝90°，∠BEC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∠C+∠HBD＝90°，∴∠CAD＝∠HBD，在△HBD和△CAD中，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，②如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠HDB＝∠AEH＝90°，∴∠H+∠HAE＝∠C+∠HAE＝90°，∴∠H＝∠C，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．3．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是（）A．28B．24C．26D．30【分析】连接BD，可看出阴影部分的面积等于正方形的面积+一个三角形的面积，用相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证．【解答】解：连接BD，EF．设DE交BF于G．∵阴影部分的面积＝△ABD的面积+△BDG的面积（G为BF与DE的交点），∴△ABD的面积＝正方形ABCD的面积＝×36＝18，∵△BCD中EF为中位线，∴EF∥BD，EF＝BD，∴△GEF∽△GBD，∴DG＝2GE，∴△BDE的面积＝△BCD的面积．∴△BDG的面积＝△BDE的面积＝△BCD的面积＝×18＝6．∴阴影部分的面积＝18+6＝24．故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边长相等，关键是连接BD，把阴影部分分成两部分计算．4．（5分）如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC＝AB+CD B．AB+AC＝DB+DCC．AD+BC＜AB+CD D．AB+AC＜DB+DC【分析】在AP上截取AF＝AC．首先证明△DAF≌△DAC（SAS），再根据三角形的三边关系即可解决问题；【解答】解：在AP上截取AF＝AC．∵AF＝AC，∠DAF＝∠DAC，AD＝AD，∴△DAF≌△DAC（SAS），∴DF＝DC，∴BD+DF＞BF，∴BD+DC＞AB+AC．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（5分）对于任意△ABC（见示意图）．若AD是△ABC的边BC上的中线，∠ADB、∠ADC 的角平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF，那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）A．BE+CF＞EF B．BE+CF≥EF C．BE+CF＜EF D．BE+CF＝EF 【分析】延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，证△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH ＞FH，代入求出即可．【解答】证明：延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一定的难度．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4），C 的坐标为（﹣2，6），如果存在点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标（4，6）；（﹣2，﹣2）；（4，﹣2）．（写出所有可能的情况）【分析】由条件可以知道要使△ABD与△ABC全等，则点C与点D关于直线AB、AB的中点或AB的垂直平分线对称，再根据点C的坐标就可以求出D的坐标．【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4），C的坐标为（﹣2，6），∴当点D与点C关于AB对称时，△ABD与△ABC全等，此时D（4，6）；当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，△ABD与△ABC全等，此时D（﹣2，﹣2）；当点D与点C关于AB的中点对称时，△ABD与△ABC全等，此时D（4，﹣2）；故答案为：（4，6）；（﹣2，﹣2）；（4，﹣2）．【点评】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质的运用，轴对称的性质的运用，解题时注意分类思想的运用．7．（5分）若满足∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是k＝2或k≥4．【分析】分两种情况讨论，依据∠AOB＝30°，OA＝4，AB＝k的△AOB的形状与大小是唯一的，即可得到k的取值范围．【解答】解：如图所示，以点A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线OB有唯一交点B，即△AOB的形状与大小是唯一的；以A为圆心，大于等于4为半径画弧，弧线与射线OB（不含端点）有唯一交点B'，即△AOB'的形状与大小是唯一的；综上所述，k的取值范围是k＝2或k≥4．故答案为：k＝2或k≥4．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断，考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形．8．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，EF⊥AB于点D，交BC的延长线于点E．若AB＝EF且BE＝16，CF＝6，则AC＝10．【分析】利用AAS证明△ACB≌△ECF，推出BC＝CF＝6，AC＝EC，求出EC即可解决问题；【解答】解：∵∠ACB＝90°，EF⊥AB于点D，∴∠ECF＝∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠E+∠B＝90°，∴∠A＝∠E，在△ACB和△ECF中，，∴△ACB≌△ECF（AAS），∴AC＝EC，BC＝CF＝6，∵BE＝16，∴AC＝EC＝BE﹣BC＝16﹣6＝10，故答案为10．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．9．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．10．（5分）如图，在△P AB中，P A＝PB，M、N、K分别是P A、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝50°，则∠P的度数为80°．【分析】由△MAK≌△KBN，推出∠AMK＝∠BKN，由∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，推出∠A＝∠MKN＝50°，推出∠A＝∠B＝50°，由此即可解决问题．【解答】解：∵P A＝PB，∴∠A＝∠B，在△MAK和△KBN中，，∴△MAK≌△KBN（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠BKM＝∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝50°，∴∠A＝∠B＝50°，∴∠P＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为80°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】（1）证明：∵在△AED和△CEF中∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵AC平分∠BCF，∴∠ACB＝∠ACF，∵∠A＝∠ACF，∴∠A＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，∴2∠A＝130°，∴∠A＝65°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．12．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．13．（10分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．【分析】（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F，证明△ABE≌△FCE（ASA）即可解决问题方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．想办法证明DC＝DG即可解决问题；（2）如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．只要证明△CNE≌△CND（ASA）即可解决问题；【解答】解：（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；∵AB∥DF，∴∠B＝∠ECF，∵BE＝EC，∠BEA＝∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝CD+AB．方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．∵AB＝AG，∠BAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE＝EG＝EC，∠AEB＝∠AEG，∴∠EGC＝∠ECG，∵∠BEG＝∠EGC+∠ECG，∴∠BEA＝∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG＝∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE＝∠DCG，∴∠DCG＝∠DGC，∴CD＝DG，∴AD＝AB+CD．（2）证明：如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．由（1）可知：AN＝NM，AE＝EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD＝60°，MN∥AB，∴∠MND＝∠BAD＝60°，∴∠ENM＝∠ENA＝60°，∴∠CND＝∠CNE，∵∠B+∠ECN＝180°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，∴∠NCE＝∠NCD，∵CN＝CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．．【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM＝CN，由△ADM≌△CDN，可得∠ADM＝∠CDN，再根据∠CDN+∠ADN＝90°，可得∠ADM+∠ADN＝90°，即可得出∠MDN＝90°．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ABD与△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS）；（2）∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM＝AB，CN＝CE，∴AM＝CN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（SAS），∴∠ADM＝∠CDN，∵∠CDN+∠ADN＝90°，∴∠ADM+∠ADN＝90°，∴∠MDN＝90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．15．（10分）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；∵【解答】（1）证明：证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），（2）∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．。
全等三角形的提高拓展经典题
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．【例5】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．_F _E_D_C _B _A _N _C _D _E _B _M _A【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC∠的平分线，且AC AB BD=+，求ABC∠∠=︒，AD是BAC∆中，60BAC的度数.【例8】在等腰ABC∠=︒，在边AB上取点D，使AD BC=，A∆中，AB AC=，顶角20求BDC∠.【例9】如图所示，在ABC∠=︒，又M在AC上，N在BC上，且满足C=，20∆中，AC BC∠=︒，求NMB∠.ABMBAN50∠=︒，60【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC∠的度数.【例11】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADAB CD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF。
【教师卷】初中数学八年级数学上册第十二章《全等三角形》提高卷(培优)
一、选择题1．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．64B解析：B【分析】 过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质求出OE ＝OD ＝OF ＝4，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，∵点O 为∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OD ＝4，∴OE ＝OD ＝4，OF ＝OD ＝4，∵AB +AC ＝16，∴四边形ABOC 的面积S ＝S △ABO +S △ACO ＝1122AB OE AC OF ⨯+⨯ ＝114422AB AC ⨯+⨯ ＝42×（AB +AC ） ＝42×16 ＝32，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OD ＝OE ＝OF ＝3是解此题的关键．2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】 先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A 3 3B 5C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等C解析：C【分析】 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 、3的平方根是3的逆命题是：3是3的平方根，是假命题；B 、5是无理数的逆命题是：无理数是5，是假命题；C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°B解析：B【分析】 由SAS 证明△BDE ≌△CFD ，得出∠BDE=∠CFD ，∠EDF 可由180°与∠BDE 、∠CDF 的差表示，进而求解即可．【详解】解：在△BDE 与△CFD 中，BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△CFD （SAS ）；∴∠BDE=∠CFD ，∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF ）=180°-（∠CFD+∠CDF ）=180°-（180°-∠C ）=50°； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．5．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3B解析：B【分析】 根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ，∴BC=EF ，∴BE+EC=CF+EC ，∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．6．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D 、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:4B解析：B【分析】 过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.【详解】解：过D 点作DF AB ⊥于F ,∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），∴DF CD =，设DF CD R ==，在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115SAB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF＝CD是解此题的关键.8．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D解析：D【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．9．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL C解析：C【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，②再分别以F、E为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点M，③画射线OM，射线OM即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．10．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等C解析：C【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL 定理针对四个选项分别进行判断即可．【详解】A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS 即可证明全等，故此选项正确；D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键． 二、填空题11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．12．如图，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需要补充一个条件：___．（一个即可）AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）【分析】根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC 再添加任意一组角或是AB=CD 即可【详解】∵∠ABC=∠DCBBC=CB ∴当AB=解析：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）【分析】根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB 及公共边BC ，再添加任意一组角，或是AB=CD 即可．【详解】∵∠ABC=∠DCB ，BC=CB ，∴当AB=CD 时，利用SAS 证明△ABC ≌△DCB ；当∠A=∠D 时，利用AAS 证明△ABC ≌△DCB ；当∠ACB=∠DBC 时，利用ASA 证明△ABC ≌△DCB ，故答案为：AB=CD （或∠A=∠D 或∠ACB=∠DBC ）．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 13．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．14．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．15．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D∴OE ＝OF ＝OD ＝3，∵△ABC 的周长是22，∴S △ABC ＝12×AB×OE ＋12×BC×OD ＋12×AC×OF ＝12×（AB ＋BC ＋AC ）×3 ＝12×22×3＝33． 故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．17．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．18．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．2或【分析】分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上根据全等三角形的性质分情况列式计算【详解】由题意得AP ＝3tBQ ＝2tAC ＝8cmBC ＝6cmCP ＝8﹣3tCQ ＝6﹣2t①如图当与全等时PC=QC 解得；②如解析：2或145． 【分析】分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上，根据全等三角形的性质分情况列式计算．【详解】由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ， ∴ CP ＝8﹣3t ，CQ ＝6﹣2t ，①如图，当PMC △与QNC 全等时，PC=QC ，6283t t -=-，解得2t =；②如图，当PMC △与QNC 全等时，点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇， 则PC=QC ，6238t t -=-，解得145t =；故答案为：2或145． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解决问题的关键． 19．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．AD=BD 【分析】要判定△BCD ≌△ACD 已知∠1=∠2CD是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS 的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD 【详解】解：由图可知只能是AD=BD 才能组成SAS 故答案为解析：AD=BD【分析】要判定△BCD ≌△ACD ，已知∠1=∠2，CD 是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD.【详解】解：由图可知，只能是AD=BD ，才能组成“SAS”，故答案为：AD=BD.【点睛】本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键. 20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可解析：①③【分析】由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠AED=∠AFD=90°，∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，故①正确；②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=120°．∴∠ABC=60°．∵∠ABC 是否等于60°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④错误．因此正确的结论是：①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题21．如图，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，AB DB =，C E ∠=∠，CDE ABD ∠=∠．（1）求证：ABC DBE ≌；（2）已知162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CDE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）66°【分析】（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ，再证明∠ABC=∠DBE ，根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ；（2）根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数，从而得到∠CDE ．【详解】解：（1）∵∠C=∠E ，∠CPD=∠EPB ，∴∠CDE=∠CBE ，∵∠CDE=∠ABD ，∴∠CBE=∠ABD ，∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ，即∠ABC=∠DBE ，又∠C=∠E ，AB=DB ，∴△ABC ≌△DBE （AAS ）；（2）∵162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，∴∠CDE=∠CBE=66°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．22．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．解析：（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒ 90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴= 在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．23．如图，直角梯形ABCD 中，//,,AD BC AB BC E ⊥是AB 上的点，且,DE CE DE CE =⊥，（1）证明：AB AD BC =+．（2）若已知AB a ，求梯形ABCD 的面积．解析：（1）见解析；（2）12a 2 【分析】（1）由DE 垂直于EC ，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，又三角形BEC 为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及DE ＝CE ，利用AAS 可得出三角形AED 与三角形BCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝EB ，AE ＝BC ，由AB ＝AE +EB ，等量代换可得证；（2）由第一问的结论AB ＝AD +BC ，根据AB ＝a ，得出此直角梯形的上下底之和为a ，高为a ，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD 的面积．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥EC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠AED +∠BEC ＝90°，又AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴∠BCE +∠BEC ＝90°，∴∠AED ＝∠BCE ，又AD ∥BC ，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝∠B ＝90°，在△AED 和△CBE 中，A B AED BCE ED CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝EB ，AE ＝BC ，则AB ＝AE +EB ＝BC +AD ；（2）由AB ＝a ，及（1）得：AB ＝BC +AD ＝a ，则S 直角梯形ABCD ＝12AB •（BC +AD ）＝12a 2． 【点睛】此题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，以及梯形的面积公式，利用了转化的思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键，本题在做第二问时注意运用第一问的结论． 24．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．解析：3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA ∠=∠，根据“AAS”可证CEB △≌ADC ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．【详解】解：∵BE CE ⊥，AD CE ⊥，∴90E ADC ∠=∠=︒，∴90EBC BCE ∠+∠=︒．∵90BCE ACD ∠+∠=︒，∴EBC DCA ∠=∠．在CEB △和ADC 中，E ADC EBC ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CEB △≌ADC （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．25．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．解析：见详解【分析】先证明ACE △≅DBF ，从而得∠DBF=∠ACE ，进而即可得到结论．【详解】∵AB DC =，∴+AB BC DC BC =+，即：AC=DB ，∵//AE FD ，∴∠A=∠D ，又∵AE FD =，∴ACE △≅DBF （SAS ），∴∠DBF=∠ACE ，∴CE ∥BF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及平行线的判定和性质定理，熟练掌握SAS 证明三角形全等，是解题的关键．26．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标； （2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案； （2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案； （3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．27．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．解析：∠CAQ ＝65°【分析】先根据三角形外角和定理求出∠EHQ 的度数，再根据平行的性质和判定证明DE ∥AF ，可以求出∠FAQ 的度数，再由角平分线的性质即可得出结果．【详解】解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，∵BD ∥GE ，∴∠E ＝∠1＝50°，∵∠AFG ＝∠1＝50°，∴∠E ＝∠AFG ，∴DE ∥AF ，∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，∵AQ 平分∠FAC ，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°．【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练运用这些性质定理进行求解．28．下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．求作：直线l的垂线，使它经过点P ．作法：如图2，① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；② 连接PA和PB；③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．④ 作直线PQ ．∴直线PQ就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：∵ PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵ PA= ，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（）（填推理依据）．∴∠PQA=∠PQB（）（填推理依据）．又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，∴∠PQA=∠PQB ＝ 90°．∴ PQ ⊥ l ．解析：（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．【详解】（1）如图：（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．。
全等三角形证明之能力提高(经典题目)
全等三角形提高题角度转化问题1．已知:如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B,DE＝CB．求证：AD＝AC．2．已知:如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求证：BD＝CE．3．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证:HN＝PM.4。
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．5．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB,ED＝AC．求证：ED⊥AC．二次全等问题1.已知：如图，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．求证：BO＝DO．2．已知:如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点,求证:OE＝OF。
3．如图,E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4．已知:如图,DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证:AB∥DC。
5、已知：如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,DB=DC，求证:EB=FC【练习】1、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD。
求证：△ADC是等腰三角形。
2、如图:AB=AC,ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证:MB=MCM FEC BA3、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证:BE=AD4、如图:在△ABC 中,∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ，BC=30， BD ：CD=3：2,则DE= 。
5、如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题.(只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF ，________,__________ 求证：_________6、如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=45°，∠BAC=90°,AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ， 求证：BC 垂直且平分DE.【思维拓展】EDCA BEDCBAG FEDC BA证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短"等方法，构造全等三角形。
三角形全等几何模型(半角模型)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-25学年八年级数学上册专项突破
专题12.16三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．如图，在正方形ABCD 中，点P 在直线BC 上，作射线AP ，将射线AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到射线AQ ，交直线CD 于点Q ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，交AQ 于点F ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F分别是边BC 、CD 上的点，EAF ∠=12BAD ．(1)求证：EF BE FD =+．(2)求证：AF 平分DFE ∠．4．问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，他的结论应是；（并写出证明过程）探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠∠=︒＋，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ．先证明CBE CDG △△≌，再证明CEF CGF ≌△△．他得出的正确结论是______．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E 在AB 的延长线上，点F 在DA 的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE ，EF ，FD 之间存在的等量关系是______．7．（1）如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，四边形ABCD 是边长为n 的正方形，45EBF ∠=︒，直接写出三角形DEF 的周长．8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使,AE AD BD CE ==．设,BAC BCE αβ∠=∠=．(1)如图1，如果90,BAC BCE ∠=︒∠=___________度；(2)如图2，你认为αβ、之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点D 在直线BC 上移动时，αβ、之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B 、C 、E 三点不共线）参考答案：1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 的周长为6．2．AMN【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．先说明ABG ADF ≌，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEG AEF ≌，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；（2）根据（1）的结论可得G AFE ∠=∠，AFD G ∠=∠，即可得出AFD AFE ∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒ ，AB AD =，ABG ADF ∴ ≌．AG AF ∴=，12∠=∠．1323EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠=12BAD ∠．GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE = ，AEG AEF ∴ ≌．EG EF ∴=．EG BE BG =+ ．EF BE FD ∴=+；（2）证明：∵ABG ADF ≌，∴AFD G ∠=∠，∵AEG AEF ≌，∴G AFE ∠=∠，∴AFD AFE ∠=∠，即AF 平分DFE ∠．4．（1）EF BE DF =+，证明过程见解析（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）先利用“SAS ”判断ABE ADG △≌△得到AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再证明EAF GAF ∠=∠，接着根据“SAS ”判断AEF AGF ≌，所以EF FG =，从而得到EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG，∵90B ADC ∠=∠=︒，∴18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，在ABE 和ADG △中，90BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG ，∵180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．5．（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，则18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，又90ABC ∠=︒，∴ABC ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，60EAF ∠=︒ ，120BAD ∠=︒，60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，∵180,180B ADC ADC ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠ ，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+．6．问题1：BE FD EF +=；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：DF EF BE =+．【分析】问题1，先证明CBE CDG ≌△△，得到CE CG =，BCE DCG ∠=∠，再证明CEF CGF ≌，得到EF GF =，即可得到EF DG DF BE DF =+=+；问题2，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先判断出ABC GDC ∠=∠，进而判断出CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG，∵90ADC B ∠∠==︒，∴18090CDG ADC ∠-∠=︒=︒，∴90CBE CDG ∠∠==︒，在CBE △和CDG 中，===BE DG CBE CDG BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即120ECG BCD ∠∠==︒，∵60ECF ∠=︒，∴60GCF ECG ECF ∠∠-∠==︒，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，===CE CG ECF GCF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；故他得到的正确结论是：=+EF BE DF ；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，∵+=180ABC ADC ∠∠︒，+=180CDG ADC ∠∠︒，∴ABC GDC ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；即=+EF BE DF ；问题3．结论：DF BE EF =+，理由如下：如图3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，∴ADC CBE ∠=∠，即CDG CBE ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE BCG DCG BCG ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF GF DF DG DF BE ==-=-．即DF BE EF =+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．7．（1）EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，EF BE FD +＝；（3）2n ．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，由“SAS ”可证ABE ADG △≌△，可得AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再由“SAS ”可证AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可解题；（2）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，即可证明ABG ADF ≌，可得AF AG =，再证明AEF AEG △≌△，可得EF EG =，即可解题；（3）延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，由“SAS ”可证ABH CBF ≌，可得BH BF =，ABH CBF ∠=∠，由“SAS ”可证EBH EBF ≌，可得EF EH =，可得EF EH AE CF ==+，即可求解．【详解】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴60BAE FAD DAG FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴60EAF FAG ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中，AG AE EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴EF FG DF DG ==+，∴EF BE DF =+，故答案为：EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG，∵180180ABC D ABG ABC ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，∴ABG D ∠∠＝，同（1）理：()SAS ABG ADF △△≌，∴AG AF =，BAG DAF ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴12DAF BAE BAG BAE BAD EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴GAE EAF ∠=∠，又AE AE =，∴()SAS AEG AEF △△≌，∴EG EF =，∵EG =BE +BG ，∴EF BE FD +＝；（3）如图，延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC AD CD n ====，90BAD BCD ∠=∠=︒，∴90BAH BCF ∠=∠=︒，又∵AH CF =，AB BC =，∴()SAS ABH CBF ≌，∴BH BF =，ABH CBF ∠=∠，∵45EBF ∠=︒，∴45CBF ABE HBA ABE EBH ∠+∠=︒=∠+∠=∠，∴EBH EBF ∠=∠，又∵BH BF =，BE BE ＝，∴()SAS EBH EBF ≌，∴EF EH =，∴EF EH AE CF ==+，∴DEF 的周长2DE DF EF DE DF AE CF AD CD n =++=+++=+=．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．8．(1)90；(2)=180αβ+︒；(3)图象见详解；=180αβ+︒；【分析】（1）先证明ABD ACE ≌（SSS ），则可得B ACE ∠∠=，根据90BAC ∠=︒，可知9090B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=︒+=︒，则；（2）已知ABD ACE ≌，则B ACE ∠∠=，则B ACB BCE ∠∠∠+=，根据180180B ACB BAC BCE BAC ∠∠∠++∠=︒+∠=︒，可得，则=180αβ+︒．（3）连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE ：根据BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，可得BAD CAE ∠∠=，证明ABD ACE ≌，进而可得B ACE ∠∠=，则B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，由此可证明αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒；【详解】（1）解：在ABD 与ACE 中，AB AC AE AD BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌（SSS ），∴B ACE ∠∠=，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠∠+=︒，∴90ACE ACB ∠∠+=︒，故答案为：90；（2）解：已知ABD ACE ≌，∴B ACE ∠∠=，∴B ACB BCE ∠∠∠+=，∵180B ACB BAC ∠∠++∠=︒，∴180BCE BAC ∠+∠=︒，∴=180αβ+︒．（3）解：连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE，可得下图：∵BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，∴BAD CAE ∠∠=；在ABD 和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌()SAS ；∴B ACE ∠∠=；∴B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，∴αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．。
2 全等图形(拓展提高)(解析版)
专题1.2 全等图形（拓展提高）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．两个长方形是全等图形B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】C【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．【详解】A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；C、两个全等图形面积一定相等，故正确；D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；故选：C．【点睛】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．2．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，∴周长为2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能围出不全等的长方形有3个，故选：A．【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【答案】B【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．4．下列图形中与已知图形全等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案是B．【详解】A、圆里面的正方形与已知图形不能重合，错；B、与已知图形能完全重合，正确；C、中间是长方形，与已知图形不重合，错；D、中间是长方形，与已知图形不重合，错．故选：B．【点睛】此题考查全等形的性质，解题关键在于认真观察图形，同时还要想到是否能够重合．5．下列说法正确的个数（）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可．【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确；②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α，（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确；④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确；⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确．故选D．【点睛】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键. 6．下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是()A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④【答案】D【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案【详解】①、②和④都可通过平移或旋转完全重合．故选D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．二、填空题7．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135∠+∠的值，即可得出答案；【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13【详解】如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()△△ACB DCE SAS ≅， ∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒； 故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．8．如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是_____．【答案】24【分析】设两个全等的小长方形卡片的长为a ，宽为b ，先用含a 、b 的代数式分别表示出两个阴影长方形的周长，再相加即得结果．【详解】解：设两个全等的小长方形卡片的长为a ，宽为b ， 则左边的阴影长方形的周长=2(a +6－b )=12+2a －2b ， 右边的阴影长方形的周长=2(b +6－a )=12+2b －2a ，∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a －2b )+( 12+2b －2a )=24． 故答案为：24．【点睛】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的关键． 9．如图，四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''，则A ∠的大小是________．【答案】95︒【分析】由全等形四边形的性质，得到130D D '∠=∠=︒，由四边形的内角和即可求出A ∠的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''， ∴130D D '∠=∠=︒，∴360130756095A ∠=︒-︒-︒-︒=︒； 故答案为：95°．【点睛】本题考查了全等四边形的性质，解题的关键是掌握全等图形中对应角相等．10．在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB 为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8； 如果将图中格点三角形面积记为S ，频数记为x ，根据上述信息计算:当S =3时，x =_______．【答案】4【分析】由题意直接依据三角形的面积公式进行填表即可得出答案. 【详解】解：由题意可知格点三角形面积（S ） 1 2 3 4 频数（x ） 8 6 4 2故答案为：4.【点睛】本题考查网格问题中的三角形，熟练掌握三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键. 11．如图（1）～（12）中全等的图形是________ 和________ ；________ 和________ ；________ 和________；________ 和________ ；________和________ ；________ 和________ ；（填图形的序号）【答案】见解析【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】全等图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）．【点睛】本题考查了全等图形，掌握概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．12．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15cm，HN=6cm，EF=4cm，FH=1cm，则HG= ______ ．【答案】4cm【分析】首先根据全等三角形对应边相等可得MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，再根据等式的性质可得FG-HG=MH-HG，即GM=FH，进而可得答案．【详解】解：∵△EFG≌△NMH，∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15cm，∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1cm，∵△EFG的周长为15cm，∴HM=15-6-4=5cm，∴HG=5-1=4cm .故答案为4cm．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形对应边相等．13．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．【答案】6【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.14．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1=______°．【答案】40°【解析】由四边形ABCD是平行四边形结合旋转的性质易得∠C1=∠BCD=∠A=70°，BC1=BC，由此可得∠BCC1=∠C1=70°，从而可得∠CBC1=40°，由旋转的性质可得∠ABA1=∠CBC1=40°.详解：∵平行四边形A1BC1D1是由平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转得到的，∠A=70°，∴∠C1=∠BCD=∠A=70°，BC1=BC，∠ABA1=∠CBC1，∵点C在线段C1D1上，∴∠BCC1=∠C1=70°，∴∠CBC1=180°-70°-70°=40°，∴∠ABA1=∠CBC1=40°.故答案为40.点睛：这是一道涉及平行四边形、等腰三角形及旋转等图形知识的综合题，熟记“平行四边形的对角相等、等腰三角形的性质和旋转的性质”是正确解答本题的关键.三、解答题15．我们把两个能够互相重合的图形成为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出． 【答案】（1）见解析；（2）能．【分析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等． （2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可． 【详解】解：（1）所画图形如上． （2）能，所画图形如上所示．【点睛】本题考查分割图形的知识，有一定难度，关键是根据题意作答，注意作图的规范性. 16．在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形．分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°.【详解】(1) 如下图1(2) 如下图2 .【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 17．如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值．【答案】a＝3，b＝5.4，c＝7, ∠α＝105°, ∠β＝45°【分析】全等图形的对应边及对应角均相等，据此进行解答.【详解】解：根据全等多边形的对应角相等有∠α＝105°.又由四边形的内角和，得第四个角为360°－(120°＋90°＋105°)＝45°，所以∠β＝45°.根据全等多边形的对应边相等有a＝3，b＝5.4，c＝7.【点睛】本题考查了全等图形的性质.18．将下图分成四个全等的图形,而且每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字.【答案】见解析.【解析】要分成四个全等的图形，且每个图形中恰好有“巧分图形”四个字，所以相同的字必须分开，由此分图即可.试题解析：图(a)中共有36个小方格,平分成4份后,每份应是9个小方格;因为第一份中要有“巧分图形”四个字,所以相同的两个字必须分支;又因为分成的每一份一定要通过大正方形的中心点,所以正方形中间的四个小方格一定是分开的,其中有一块已有“巧”字,它的下面一格一定是与“图”字相连如图(b)19．将一个正方形剖成4个全等的部分.【答案】见解析【解析】根据正方形的性质，由正方形是轴对称图形分解即可；也可以根据面积法分正方形.试题解析：剖成如图或均可,答案不惟一点睛：此题主要考查了全等图形的概念，掌握全等的定义是解题关键，主要抓住能够完全重合这一特点分析.20．把44⨯的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把44⨯的正方形方格图形分割成两个全等图形．【答案】见解析【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．【详解】解：三种不同的分法：【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．。
人教版数学八年级上期第十二章全等三角形证明题提高篇
人教版数学八年级上期第十二章全等三角形证明题提高篇——位置关系1.如图1,AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB.(1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由;(2)如图2,若把△CDE沿直线BD向左平移,使△CDE的顶点C与B重合,此时第(1)问中AC与BE的位置关系还成立吗?(注意字母的变化)2.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F.若CE=BF,AE=EF+ BF,试判断AC与BC的位置关系,并说明理由.3.如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）探索BM和BN的位置关系，并证明你的结论．4.如图，BE、CF是△ABC的高且相交于点P，AQ // BC交CF延长线于点Q，若BP=AC，CQ=AB．（1）试找理由说明△ACQ≌△PBA；（2）线段AP与AQ的位置关系如何？说明理由．5.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD.（1）求证：BD=CE；（2）BD、CE有何位置关系？请证明你的结论.6.如图，四边形ABCD中，CD=BC=2AB，AB∥CD，∠B=90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F，连接AE．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）判断线段AC与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，试求△ADE的面积．7.如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD=AE，且∠DAE=90°连接BE、CE．（1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明；（2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值．8.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．（1）问线段EC与BF数量关系和位置关系？并给予证明．（2）连AM，请问∠AME的大小是多少，如能求写出过程；不能求，写出理由．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．10.如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB=∠CDE=90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F．（1）如图1，直接写出AB与CE的位置关系；（2）如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH=DB，射线HG交AB于K，求证：HK=BK．11.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AB的延长线上的一点，点E在BC边上，且BD=BE，连接AE、DE、DC .(1)△ABE与△CBD全等吗？请说明理由；(2)猜想AE与CD的位置关系，并证明你的结论.12.以点A为顶点作两个等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）在图1中，直接写出线段BD与EC的关系（数量关系、位置关系）（2）如图2放置，上面的结论还成立吗？请说明理由（3）在图2中，连接AF，求证：AF平分∠EFB.13.如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，F为EC的中点，连接AF．写出AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．14.如图，在△ABC中，DA⊥AB，AD=AB，EA⊥AC，AE=AC．（1）试说明△ACD≌△AEB；（2）若∠ACB=90°，连接CE，①说明EC平分∠ACB；②判断DC与EB的位置关系，请说明理由．15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=∠AED=90°，∠EAD=∠EDA=45°，AE=ED，AC=2AB，D是AC的中点，试猜想线段BE和EC的关系（关系包括数量关系和位置关系），并证明你的猜想．16.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．17.我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．（1）如图1，当∠BCE=90°时，求证S△ACD=S△BCE（2）如图2，当0°＜∠BCE＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，如果G点为AD 的中点，连接CG，延长GC交BE于F，试猜想GF与BE的位置关系，并证明你的结论．。
2024年中考数学复习 拓展 全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)(原卷+答案解析)
拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)【类型一】利用角平分线构造全等1如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED+∠AFD=180°．(1)求证：∠AFD=∠CED；(2)求证：DE=DF．2如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于D，过D作DE⊥BA于点E，点F 在AC上，且BD=DF．(1)求证：AC=AE；(2)求证：∠BAC+∠FDB=180°；(3)若AB=9.5，AF=1.5，求线段BE的长，3如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．4已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：(1)AD=AE=EC．(2)BA+BC=2BF．【类型二】倍长中线5如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．6如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：(1)AE=AF.(2)BE=CF.7在△ABC中，∠ABC=45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，点D在线段AM上，且DM=CM．求证：△BDM≌△ACM；(2)如图2，在(1)的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．8规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中点P，连接OP，请证明AC=2OP．【类型三】截长补短9如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC=AB+CD．10如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．11在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：AD+DE=BD．12(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【类型四】直接连接13如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC中点，过点D作DM⊥DN，分别交BA，AC延长线于点M、N，求证：DM=DN．14△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．15如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC延长线于点G．求证：BF=CG．16如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB交AB于D点，过A作AE⊥CD交CD延长线于E点，交CB延长线于F点，取FC中点G，连接DG，过C作CH⊥AC交DG延长线于H，(1)求证：AF=CD；(2)求证：AC=CH+2BD.【类型五】延长交于一点17如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，点E是AB的中点，连接DE，若AC=20，BC=14，求DE的长．18已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分线交AC于E，AD⊥BE于D，求证：AD=12 BE．19如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，交∠ABC的角平分线于E，过点E作EF⊥AE，交AC于点F，求证：AF+BD=AB．20如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，点D为AC中点，AE⊥BD交BC于点E，交BD于点F．求证：(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【类型六】半角模型21如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°．(1)求证：AD为∠BDC的平分线；∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．(2)若∠DAE=1222(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为．(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．23问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．24【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD中，CB=CD，∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接CG．先证明△CBE≌△CDG，再证明△CEF≌△CGF．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ECF= 1∠BCD，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．2【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE，EF，FD之间存在的等量关系是．拓展全等三角形提高证明题含辅助线(六种类型)【类型一】利用角平分线构造全等1如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，E ，F 分别为AC ，AB 上的点，且∠AED +∠AFD =180°．(1)求证：∠AFD =∠CED ；(2)求证：DE =DF．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据同角的补角相等即可得解；(2)过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，根据角平分线性质求出DM =DN ，由(1)知∠MFD =∠DEN ，证出△FMD ≌△END 即可．【详解】(1)证明：∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠CED =180°，∴∠AFD =∠CED ；(2)证明：过D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 平分∠BAC ，∴DM =DN ，∠FMD =∠END =90°，∵∠AED +∠AFD =180°，∠AED +∠DEN =180°，∴∠MFD =∠DEN ，在△FMD 和△END 中，∠MFD =∠DEN∠FMD =∠END DM =DN，∴△FMD ≌△END (AAS )，∴DE =DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解题关键是利用AAS 推出△FMD ≌△END ．2如图，在ΔABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF．(1)求证：AC =AE ；(2)求证：∠BAC +∠FDB =180°；(3)若AB =9.5，AF =1.5，求线段BE 的长，【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BE 的长为4．【分析】(1)根据已知条件，利用AAS 证明△ACD ≌△AED 即可；(2)设∠1=∠2=α，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证明△FAD ≌△MAD ，进而证明Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE ，再证明ΔCFD ≌ΔEBD ，根据∠FDB +∠BAC 即可求证；(3)由(2)可得EB =EM ,AF =AM ,根据BE =AB -AM -ME 即可求得BE 的长．【详解】证明：(1)∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在ΔACD 和ΔAED 中，∠DCA =∠DEA∠1=∠2AD =AD，∴ΔACD ≌ΔAED (AAS )，∴AC =AE ，(2)设∠1=∠2=α，∵∠C =∠DEA =90°，在ΔADC 中，∠ADC =90°-α，在ΔADE 中，∠ADE =90°-α，∵∠FDB =∠FCD +∠CFD =90°+∠CFD ，在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在ΔFAD 和ΔMAD 中，FA =MA∠1=∠2AD =AD∴ΔFAD ≌ΔMAD (SAS )，∴FD =MD ，∠5=∠6，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt ΔMDE 和Rt ΔBDE 中，MD =BDDE =DE∴Rt ΔMDE ≌Rt ΔBDE (HL )，∴∠3=∠4，设∠5=∠6=β，∵∠1=∠2=α，∴∠1+∠5=∠2+∠6=α+β，在ΔFAD 中，∠1+∠5=∠DFC在ΔAMD 中，∠2+∠6=∠3，∴∠DFC =∠3，∴∠DFC =∠4，在ΔCFD 和ΔEBD 中，∠DCF =∠DEB ∠CFD =∠EBD FD =BD，∴ΔCFD ≌ΔEBD (AAS )，∴∠CFD =∠4，∵∠C =90°，在ΔABC 中，∠4=90°-2α，∴∠CFD =90°-2α，∴∠FDB =90°+90°-2α=180°-2α，∵∠BAC =∠1+∠2=2α，∴∠FDB +∠BAC =180°-2α+2α=180°，(3)∵AF =AM ，且AF =1.5，∴AM =1.5，∵AB =9.5，∴MB =AB -AM =9.5-1.5=8，∵MB =BE ，且ME +BE =BM ，∴BE =12BM =4【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．3如图，AD 是△ABC 的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD =BD ．(1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B +2∠DGA =180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)AG =AH +HD ，证明见解析【分析】(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM ，则利用SAS 可得出ΔAHD ≌ΔAMD ，从而得出HD =MD =DB ，即有∠DMB =∠B ，通过这样的转化可证明∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)的结论中得出的∠AHD =∠AMD ，结合三角形的外角可得∠DGM =∠GDM ，可将HD 转化为MG ，从而在线段AG 上可解决问题．【详解】证明：(1)在AB 上取一点M ，使得AM =AH ，连接DM∵AH =AM∠CAD =∠BADAD =AD∴ΔAHD ≌ΔAMD ∴HD =MD ，∠AHD =∠AMD∵HD =DB∴DB =MD∴∠DMB =∠B∵∠AMD +∠DMB =180°∴∠AHD +∠B =180°即∠B 与∠AHD 互补．(2)由(1)∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA∴∠AMD=2∠DGM又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM即∠DGM=∠GDM∴MD=MG∴HD=MG∵AG=AM+MG∴AG=AH+HD．【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法．4已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：(1)AD=AE=EC．(2)BA+BC=2BF．【答案】证明详见解析【详解】分析：(1)根据角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD，然后根据SAS证得△ABD≌△EBC，然后根据全等三角形的性质和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可证；(2)过点E作EG⊥BC于点G，根据三角形全等的判定“HL”证得Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AFE，然后根据全等三角形的对应边相等，等量代换求解.详解：证明：(1)∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD=BC∠ABD=∠CBD BE=BA，∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=EC=AE．(2)过点E作EG⊥BC于点G，∵E是BD上的点，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG，∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE=BE EF=EG，∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，∴BG=BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，EF=EG AE=CE，Rt△CEG≌Rt△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG，=BF+BG=∠BF，∴BA+BC=2BF．点睛：此题考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．【类型二】倍长中线5如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．【答案】见解析.【分析】延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，易证△AEC≌△FEB(SAS)，得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通过SAS证明△ABF≌△△DCA即可.【详解】证明：延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB(SAS)，∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，AB=CD∠ABF=∠DCA BF=AC，∴△ABF≌△△DCA(SAS)，∴AD=FA=2AE.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，一般的中线辅助线都是用的倍长中线.6如图，已知ΔABC中，点M是BC边长的中点，过M作∠BAC的角平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F，求证：(1)AE=AF.(2)BE=CF.【答案】见详解.【分析】(1)要证AE=AF，利用等角对等边只需证出∠AFE=∠AEF，利用平行不难发现这两个角和角平分线分成的两角是内错角和同位角；(2)利用倍长中线法构造出全等三角形即可.【详解】证明：(1)∵MF∥DA∴∠AFE=∠CAD，∠AEF=∠DAE又∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠DAE∴∠AFE=∠AEF∴AE=AF(2)将FM延长至N使FM=MN，连接BN.∵M 为CB 中点∴CM =MB在△FMC 和△NMB 中CM =MB∠FMC =∠NMBFM =MN∴△FMC ≌△NMB (SAS )∴CF =BN ，∠F =∠N又∵∠AFE =∠AEF ，∠AEF =∠BEN∴∠N =∠BEN∴BE =BN∴BE =CF【点睛】此题考查的(1)平行线的性质和等角对等边；(2)倍长中线法构造全等三角形.7在△ABC 中，∠ABC =45°，AM ⊥MB ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．(1)如图1，点D 在线段AM 上，且DM =CM ．求证：△BDM ≌△ACM ；(2)如图2，在(1)的条件下，点E 是△ABC 外一点，且满足EC =AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且F 为线段BC 的中点，求证：∠BDF =∠CEF．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)根据已知条件，利用(SAS )即可证明三角形全等；(2)延长EF 至点G ，使FG =EF ，由上题中△BDM ≌△ACM ，得出AC =BD ，再证△BFG ≌△CFE ，可得BG =CE ，∠G =∠CEF ，从而得BD =CE =BG ，即可得∠BDF =∠G =∠CEF ．【详解】解：(1)如图，∵∠ABC =45°，AM ⊥MB∴BM =AM在△BMD 和△AMC 中∵DM =CM ∠BDM =∠AMC BM =AM∴△BDM ≌△ACM (SAS )．(2)如图，延长EF 至点G ，使FG =EF ，连接BG∵△BDM ≌△ACM∴BD =AC又∵CE =AC∴BD =CE在△BFG 和△CFE 中∵BF =FC ∠BFG =∠EFC FG =FE∴△BFG ≌△CFE (SAS )∴BG =CE ，∠G =∠CEF∴BD =CE =BG∴∠BDF =∠G =∠CEF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)取BD 的中点P ，连接OP ，请证明AC =2OP ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据OA =OB ，OC =OD ，∠AOC +∠BOD =180°即可证明；(2)延长OP 至E ，使PE =OP ，先证△BPE ≌△DPO ，推出BE =OD ，∠E =∠DOP ，进而推出BE ∥OD ，再证△EBO ≌△COA ，即可推出OE =AC ，由此可证AC =2OP ．【详解】(1)证明：∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOC +∠BOD =360°-∠AOB -∠COD =360°-90°-90°=180°，又∵AO =OB ，OC =OD ，∴△OAC 和△OBD 是兄弟三角形．(2)证明：延长OP 至E ，使PE =OP，∵P 为BD 的中点，∴BP =PD ，∵在△BPE 和△DPO 中，PE =PO∠BPE =∠DPO BP =DP，∴△BPE ≌△DPO SAS ，∴BE =OD ，∠E =∠DOP ，∴BE ∥OD ，∴∠EBO +∠BOD =180°，又∵∠BOD +∠AOC =180°，∴∠EBO =∠AOC ，∵BE =OD ，OD =OC ，∴BE =OC ，在△EBO 和△COA 中，OB =AO∠EBO =∠AOCBE =OC∴△EBO ≌△COA SAS ，∴OE =AC ，又∵OE =2OP ，∴AC =2OP ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【类型三】截长补短9如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，试说明：BC =AB +CD．【答案】见解析【分析】在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．则只需证明CD =CE 即可．结合角度证明∠CDE =∠CED ．【详解】解：证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE =BA∠ABD =∠EBD BD =BD，∴△ABD ≌△EBD ．(SAS )∴∠BED =∠A =108°，∠ADB =∠EDB ．又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×(180°-108°)=36°，∴∠ABD=∠EBD=18°．∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．∴∠CDE=∠DEC．∴CD=CE．∴BC=BE+EC=AB+CD．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强．10如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．【答案】证明见解析【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，连接OF，分别证明△AOE≌△AOF SAS，△COD≌△COF ASA，得到CD=CF，即可证明结论．【详解】证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC，∠OCA=∠OCB=12∠ACB，∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠ACB=12∠BAC+∠ACB=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°，如图，在AC上截取AF=AE，连接OF，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF AO=AO，∴△AOE≌△AOF SAS，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCF CO=CO∠COD=∠COF，∴△COD≌△COF ASA，∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．11在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．(1)求∠CDE的度数；(2)求证：AD+DE=BD．【答案】(1)60°；(2)见解析【分析】(1)由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE为等边三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可证∠CDE=∠AEB=60°(2)延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可证△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可证△FBD为等边三角形，可得BD=FD，可推出结论，【详解】解：(1)∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°(2)如图，延长DA至F，使AF=DE，连接FB，由(1)得△ABE为等边三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA与△DBE中，AB=BE∠BAF=∠BED AF=DE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD为等边三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．12(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE 上分别截取AF =AB =9，EG =ED =1，连接CF 、CG ，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC ≌△AFC ，△CDE ≌△CGE ，∴∠ACB =∠ACF ，∠DCE =∠GCE ，BC =CF ，CD =CG ，DE =GE =1，∵C 为BD 边中点，∴BC =CD =CF =CG =3，∵∠ACE =120°，∴∠ACB +∠DCE =60°，∴∠ACF +∠GCE =60°，∴∠FCG =60°，∴△CFG 是等边三角形，∴FG =CF =CG =3，∴AE =AF +FG +GE =9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．【类型四】直接连接13如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠A =90°，点D 为BC 中点，过点D 作DM ⊥DN ，分别交BA ，AC 延长线于点M 、N ，求证：DM =DN．【答案】见解析【分析】连接AD ，可得∠ADM =∠CDN ，可证△AMD ≌△CND ，可得DM =DN ．【详解】解：连接AD ，∵D 为BC 中点，∴AD =BD ，∠BAD =∠C ，∵∠ADM +∠MDC =90°，∠MDC +∠CDN =90°，∴∠ADM =∠CDN ，∵∠MAD =MAC +DAC =135°，∠NCD =180°-∠ACD =135°在ΔAMD 和ΔCND 中，∠ADM =∠CDNAD =CD ∠MAD =∠NCD，∴ΔAMD ≅ΔCND (ASA )，∴DM =DN ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD ≌△CND 是解题的关键．14△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．【答案】DE =DF ，理由见解析【分析】连接AD ，则有AD =CD ，∠DAF =∠C =45°，且AD ⊥CD ，可得∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，所以∠CDE =∠ADF ，可证△CDE ≌△ADF ，可得结论．【详解】DE =DF ，理由如下：连接AD ，因为∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 中点，∴CD =AD ，∠C =∠DAF =45°，AD ⊥CD ，∴∠CDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA =90°，∴∠CDE =∠ADF ，在△CDE 和△ADF 中，∠C =∠DAFCD =AD ∠CDE =∠ADF，∴△CDE ≌△ADF (ASA )，∴DE =DF ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC ，交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 交AC 延长线于点G ．求证：BF =CG．【答案】见解析．【分析】连接EB 、EC ，利用已知条件证明Rt △BEF ≌Rt △CEG ，即可得到BF =CG ．【详解】证明：连接BE 、EC ，∵ED ⊥BC ，D 为BC 中点，∴BE =EC ，∵EF ⊥AB ，EG ⊥AG ，且AE 平分∠FAG ，∴FE =EG，在Rt △BEF 和Rt △CEG 中，BE =CE EF =EG ，∴Rt △BEF ≌Rt △CEG (HL )，∴BF =CG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定：解题的关键是全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16如图，在ΔABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D 点，过A 作AE ⊥CD 交CD 延长线于E 点，交CB 延长线于F 点，取FC 中点G ，连接DG ，过C 作CH ⊥AC 交DG 延长线于H ，(1)求证：AF =CD ；(2)求证：AC =CH +2BD.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)根据垂直推出∠ABF =∠ABC =90°与∠FAB =∠BCD ，则可证明ΔABF ≌ΔCBD ，即可有AF =CD ；(2)连接FD 根据CE ⊥AF ，AB ⊥CF ，推出FD ⊥AC ，即可证明CH ⎳FD ，可有∠HCG =∠DFG ，然后证明ΔFGD ≌ΔCGH 推出CH =FD ，根据已知条件即可有AD =DF ，由(1)知FB =BD ，即可证明AC =CH +2BD .【详解】证：(1)∵∠ABC =90°，CE ⊥AF∴∠ABF =∠ABC =90°∴∠AFB +∠FAB =90°，∠EFC +∠BCD =90°∴∠FAB =∠BCD在ΔABF 与ΔCBD 中，∠ABF =∠CBDAB =CB∠FAB =∠DCB∴ΔABF ≌ΔCBD∴AF =CD (2)连接FD∵CE ⊥AF ，AB ⊥CF∴FD ⊥AC∵CH ⊥AC∴CH ⎳FD∴∠HCG =∠DFG∵G 是FC 中点∴FG =CG在ΔFGD 与ΔCGH 中，∠DFG =∠HCGFG =CG∠FGD =∠CGH∴ΔFGD ≌ΔCGH∴CH =FD ∵CE ⊥AF ，CE 平分∠FCA∴AC =CF∴AD =DF由(1)可知ΔABF ≌ΔCBD∴FB =BD∴CF =CB +BF =AB +BF =AD +DB +BF =CH +2DB即AC =CH +2BD【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，在(1)中找出条件证明ΔABF ≌ΔCBD 是关键，在(2)中作出辅助线是解题的关键.【类型五】延长交于一点17如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，过点A 作AD ⊥CD 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE ，若AC =20，BC =14，求DE的长．【答案】DE 的长为3．【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出AD =DF ，最后用中位线定理即可求解．【详解】解：如图，延长AD ，CB 交于点F ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠FCD ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC =∠FDC =90°，在△ACD 和△FCD 中，∠ACD =∠FCDCD =CD ∠ADC =∠FDC，∴△ACD ≌△FCD ASA ，∴AD =DF ，AC =CF =20，∴BF =CF -BC =20-14=6，∵点D 为AF 中点，点E 为AB 中点，∴DE 为△ABF 的中位线，∴DF =12BF =3，答：DE 的长为3．【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长CB 交AD 延长线于F ，证明DE 是△ABF 的中位线．18已知，Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，∠ABC 的角平分线交AC 于E ，AD ⊥BE 于D ，求证：AD =12BE ．【答案】见解析【详解】试题分析：延长AD 和BC 交于F ，求出∠CBE =∠CAF ，AC =BC ，证△EBC ≌△FAC ，△ABD ≌△FBD ，推出BE =AF ，AD =DF ，即可得出答案．解：如图延长AD 和BC 交于F ，∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =45°，∴∠ABC =45°=∠BAC ，∴AC =BC ，∵∠ACB =90°，∴∠BCE =∠ACF =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBC ，∵BD ⊥AD ，∴∠BCE =∠ADE =90°，∵∠BEC =∠AED ，∴根据三角形内角和定理得：∠DAE =∠CBE ，在△BCE 和△ACF 中，∠FAC =∠CBE AC =BC ∠ACF =∠BCE，∴△BCE ≌△ACF (SAS )，∴BE =AF ，在△ABD 和△FBD 中，∠ABD =∠FDN BD =BD ∠ADB =∠FDB，∴△ABD≌△FBD (ASA )，∴AD =DF ，即AF =2AD ，∴AD =12AF ，∴AD =12BE ．考点：全等三角形的判定与性质．19如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，交∠ABC 的角平分线于E ，过点E 作EF ⊥AE ，交AC 于点F ，求证：AF +BD =AB．【答案】见解析【分析】延长EF ，BC 相交于点M ，分别证明△AEB ≌△MEB 和△AEF ≌△MED 即可得解．【详解】证明：延长EF ，BC 相交于点M ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵AE 平分∠BAC ，BE 平分∠ABC ，∴∠EAB +∠EBA =45°，∴∠AEB =180°-45°=135°，∴∠DEB =180°-135°=45°，∵AE ⊥EF ，∴∠MEB =∠MED +∠DEB =90°+45°=135°=∠AEB ，在△AEB 和△MEB 中，∠AEB =∠MEBEB =EB ∠ABE =∠MBE，∴△AEB ≌△MEB ASA ，∴∠EAB =∠M ，AE =ME ，AB =MB ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE =∠EAB ，∴∠FAE =∠M ，在△AEF 和△MED 中，∠FAE =∠MAE =ME ∠AEF =∠MED =90°，∴△AEF ≌△MED ASA ，∴AF =MD ，∴AF +BD =MD +BD =MB =AB ．【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．20如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =45°，点D 为AC 中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，交BD 于点F．求证：(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据三角形的内角和定理得出∠BAC=90°，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求证；(2)过点C作CA的垂线交AE延长线于点M，先证明△ACM≌△BAD ASA，得出AD=CM，BD= AM，则CM=CD，再证明△MCE≌△DCE SAS，得出EM=ED，即可求证．【详解】(1)证明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．(2)证明：过点C作CA的垂线交AE延长线于点M∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD AB=AC∠MCA=∠CAB∴△ACM≌△BAD ASA，∴AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB CE=CE，∴△MCE≌△DCE SAS∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，直角三角形两锐角互余，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．【类型六】半角模型21如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC+∠BDC=180°．(1)求证：AD为∠BDC的平分线；(2)若∠DAE=12∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系．【答案】(1)见解析；(2)DE=B E+DC.【分析】(1)过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；(2)过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.【详解】证明:(1)如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中,∠AGB=∠F=90°∠BAG=∠CAF AB=AC∴△BAG≌△CAF(AAS)，∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，(2)BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE=B E+DC，理由如下：如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，∵∠DAE=12∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中,∠EAD=∠HAD AD=AD∠ADE=∠ADH ，∴△EAD≌△HAD(ASA)，∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中,AB=AC∠BAE=∠CAH AE=AH，∴△EAB≌△HAC(SAS)，∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．22(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为．(只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】(1)BE+DF=EF；(2)EF+DF=BE．理由见解析．【分析】(1)线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．(2)结论：EF+DF=BE．如图中，在BE上截取BM=DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF SAS，推出AM=AF，∠BAM=∠DAF，再证明△AEM≌△AEF SAS，可得结论．【详解】(1)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF．如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM 和△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠2+∠4=∠BAD ，∴∠2+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM =AF∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△MAE ≌△FAE SAS ，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；故答案为：BE +DF =EF ．(2)结论：EF +DF =BE ．理由：在BE 上截取BM =DF ，连接AM ，∵∠B +∠ADC =180°，∠ADC +∠ADE =180°，∴∠B =∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中，BM =DF∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF SAS ，∴AM =AF ，∠BAM =∠DAF ，则∠BAM +∠MAD =∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD =∠MAF∵∠EAF =12∠BAD ，∠EAF +∠EAM =∠MAF ，∴∠EAF =∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中，AM =AF∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF SAS ，∴EM =EF ，即BE -BM =EF ，即BE -DF =EF ，∴EF +DF =BE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ．∠BAD =120°．∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ．CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．【分析】(1)延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；(2)延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出AF= AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE(SAS)，由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；(3)在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF(SAS)．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF(SAS)，由全等三角形的性质得出结论．【详解】(1)解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；(2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(3)解：结论EF =BE +FD 不成立，结论：EF =BE -FD ．证明：如图③中，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ．∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS )，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．24【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB =CD ，∠B =∠ADC =90°，∠BCD =120°．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且∠ECF =60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG =BE ．连接CG ．先证明△CBE ≌△CDG ，再证明△CEF ≌△CGF ．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB =CD ，∠ABC +∠ADC =180°，∠ECF =。
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全等三角形的提高拓展题教师版Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． 【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE+DF =AE .【例4】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NE B M A D _F _ D_ A _ N _ C _ D【例5】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE 板块二、全等与角度 【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52.已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB =3.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
D C BAN MDCB AC ED B A D C B ADE CBAN M C BAAD BC因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以 AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=ADABACDF21ECDB∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：△AED是等腰三角形。
所以：AE=DE 而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB 作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F 因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC作AG ∥BD 交DE 延长线于GP D ACBFAED C BAGE全等BDEAG=BD=5AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC．延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B 为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB所以MA=MB所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA 27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中OEDCBAFEDC BAMFECBADC BAFDCBABD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：AF=DE。
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）FEDCB AEM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 证明： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE 知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。