江苏省南通市海安2017-2018上学期期末考试

江苏省南通市海安2017——2018上学期期末考试
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。

1、设集合}9|{},1|{2<=>=x x B x x A ，则=B A ；
2、设i R b a ,,∈为虚数单位，若i i bi a 52)(-=+，则ab 的值为 ；
3、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线的方程为
x y 3=则该双曲线的离心率为 ；
4、已知一组数据 9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差 为
5、图是一个算法流程图，运行后输出的结果是 ；
6、若函数)4
cos(3)4
sin()(π
π
-
++=x x a x f 是偶函数，则实数a 的值
为 ；
7、正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则该四棱锥的侧面积为 ；
8、将函数)0)(2sin()(πϕϕ<<+=x x f 的图像向右平移2个单位后得到的函数图像关于原点对称，则实数ϕ的值为 ；
9、二次函数)()(2R x c x ax x f ∈++=的部分对应值如下表：
则关于x 的不等式0)(≤x f 的解集为 ；
10、在正五边形ABCDE 中，已知9=∙AC AB ，则该正五边形的对角线的长为 ； 11、用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼 5 个图案，并将这 8 个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机 取出一个积木，则取出黑色积木的概率是 ；
12、若函数⎩⎨⎧>++-≤-=0
,5ln 0
,)()(2x a x x x a x x f 的最小值为)0(f ，则实数a 的取值范围
是 ；
13、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：0=++c by ax 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ；
14、在平面直角坐标xOy 中，将函数])2,0[(232∈-+=
x x x y 的图像绕坐标原点O 按
逆时针方向旋转角θ，若],0[αθ∈∀，旋转后所得曲线都是某个函数的图像，则α的最大值是 ；
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15、（本题满分14分）
已知5
5
)4sin(),45,43(
=
-∈πθππθ。

（1）求θsin 的值；（2）求)3
22cos(π
θ+的值； 16、（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC —111C B A 中，已知1,CC BC BC AC =⊥。

设1AB 的中点为
D ，
E BC C B =11 。

求证： （1）//DE 平面C C AA 11； （2）11AB BC ⊥；
17、（本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2；
（1）若椭圆C 经过点)1,2
6
(
，求椭圆C 的方程； （2）设A （—2,0），F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 存在点P ，满足2=PF
PA
，求椭圆C 的离心率的取值范围；
18、（本题满分15分）
如图，扇形AOB 是一个植物园的平示意图，其中3
2π
=
∠AOB ，半径OA=OB=1km ，为了方便游客观赏，拟在园内铺设一条从入口A 到出口B 的观赏道路，道路由弧AC ，线段CD ，线段DE 和弧EB 组成，且满足弧AC=弧EB ，CD//AO ，DE//OB ，]3
6
,33[∈OD （单
位：km ）。

设θ=∠AOC 。

（1）用θ表示CD 的长度，并求出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观赏道路最长？
19、（本题满分16分）
已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且数列}{n
n
a S 是等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设)(3
lg *N n a b n n
n ∈=
，问：m k b b b m k ,(,,1均为正整数，且)1m k <<能否成等比数列？若能，求出所有的k 和m 的值；若不能，请说明理由。

20、（本题满分16分）
设a 为正常数，函数x x g ax x f ln )(,)(==； （1）求函数)()()(x g x f x h ⋅=的极值；
（2）证明：R x ∈∃0，使得当0x x >时，)()(x g x f >恒成立。