第三章二阶线性偏微分方程的分类化简

xx xy yy
2 x x y 2 y x x x y y x y y 2 x x y 2 y xx xy yy x y xx xy yBaidu Nhomakorabea x y
x
Eu y Fu G
(2)
F f Gg
假设abc不等于零，我们希望选取一个变量替换使得方程(2)中A和B都等 2 2 ( x, y ), 使得 于零.选择变换， A a x b x y c y 0
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
第三章二阶线性偏微分方程的 分类化简
二阶线性偏微分方程的一般形式为 a u b u cu f （1）
n n ij xi x j i xi i , j 1 i 1
其中未知函数及其偏导函数的系数都是实值函数，当 n=2时候，方程可以写成
2 2
2
, s 一）二阶线性偏微分方程的分类： c i
T I H
注：方程的简单或者复杂取决于方程当中高阶偏导数的数量，化简的目 的就是通过变量替换减少方程当中高阶偏导数的数量.
在区域D内，考察变量替换
J D( , ) x y 0 D ( x, y ) x y
( x, y ), ( x, y ).
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
假设它的Jacobi行列式
直接计算可以得到：
u x u x u x u y u y u y 2 2 u xx u x 2u x x u x u xx u xx u xy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy u u 2 2u u 2 u u y y y y yy yy yy
将其代入到方程(1)中可以得到
pa e D
T I Au Bu s, H Cu Du c i t a c A a b m e 2a b( ) 2c h B t 其中 a M C a b c f o t D a b c d e n e m E a b c d e rt
au xx bu xy cu yy du x eu y fu g
D
t r a ep
t a b 4ac 0 则称方程(1)是双曲型方程 m 在区域D内，如果 e h b 4ac 0 t如果 a 则称方程(1)是抛物型方程 M f o 如果 b 4ac 0 则称方程(1)是椭圆型方程 t n e m二）二阶线性偏微分方程的化简
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
, s c ti
T I H
D
t r a ep
n e m
f o t
t a M
a m he
( x, y ).
2 2 C a x b x y c y 0
经过证明可以上述一阶偏微分方程的解等价于常微分方程： ady 2 bdxdy cdx2 0 ( a( dy )2 b dy c 0 )
dx dx
(3)
D
t r a ep