高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值

第3章 导数的应用

函数的极值与最值

【教学目的】：

1. 理解函数的极值的概念；

2. 掌握求函数的极值的方法；

3. 了解最大值和最小值的定义；

4. 掌握求函数的最值的方法；

5. 会求简单实际问题中的最值。

【教学重点】：

1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件；

2. 导数不存在情况下极值的判定；

3. 函数最值的求解方法；

4. 函数的最值的应用。

【教学难点】：

1. 导数不存在情况下极值的判定；

2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；

3. 区分极值点与极值，最值点与最值；

4. 函数的最值的应用。

【教学时数】：2学时

【教学过程】：

3.3.1函数的极值

从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数

值2y 、5y 比它们近旁各点的函

数值都大；在点1x 、4x 、6x 处

的函数值1y 、4y 、6y 比它们近

旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对

于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.

极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则

（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时，

0)(0<'x f ，则0x 为函数)(x f y =的极大值点，)(0x f 为极大值；

（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0<'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时，0)(0>'x f ，则0x 为函数)(x f 的极小值点，)(0x f 为极小值；

（3）如果当x 取0x 左右两侧侧邻近的值时，)(0x f '不改变符号，则函数)(x f 在0x 处没有极值.

根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：

（1）确定函数的定义域；

（2）求函数的导数)(x f '，并求出函数)(x f 的全部驻点以及不可导点；

（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近)(x f '的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2.12判定极值点和极值.

例2 求函数322

3)(x x x f -=的极值. 解（1）函数的定义域为),(+∞-∞；

（2）311)(--='x x f ；

（3）令0)(='x f ，得驻点1=x .当0=x 时，导数不存在；

由上表知，函数的极大值为0)0(=f ，极小值为2

1)1(-=f . 极值的第二充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内具有二阶导数且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则

（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在0x 处取得极大值；

（2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在0x 处取得极小值.

注意 当0)(0='x f ，且0)(=''x f 时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.

3.3.2 函数的最大值与最小值

求函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最值的步骤如下：

（1）求出函数)(x f 的导数，并求出所有的驻点及不可导点；

（2）计算函数)(x f 在这些点和端点处的函数值；

（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.

注意

（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值．

（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单

调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。

例6 用一块边长为cm 24的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？

解 设截去的小正方形的边长为cm x ，铁盒的容积为3cm V .根据题意，得 2)224(x x V -= )120(<

于是，问题归结为：求x 为何值时，函数V 在区间)12,0(内取得最大值.

)2)(224(2)224(2--•+-='x x x V

)4)(12(12)624)(224(x x x x --=--=，

令0='V ，解得121=x ，42=x .

因此，在区间)12,0(内函数只有一个驻点4=x ，又由问题的实际意义知，函数V 的最大值在)12,0(内取得.所以，当4=x 时，函数V 取得最大值.即当所截去的正方形边长为cm 4时，铁盒的容积为最大.

【教学小节】：

通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生活中遇到的简单最值问题。

【课后作业】：

无