高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值

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函数的最大值和最小值教案

函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。

2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。

3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。

4. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。

五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。

2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。

3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。

六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。

2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。

3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。

七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。

2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。

3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。

八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。

2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。

3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。

高中数学教案认识函数的极值和最值

高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。

本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。

一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。

函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。

函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。

二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。

局部极大值和极小值统称为局部极值。

例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。

2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。

极值点可以通过求导数或观察图像得到。

例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。

当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。

所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。

3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

当函数的导数变号时，极值点就出现了。

例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。

所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。

三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。

最大值和最小值统称为最值。

例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。

2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。

例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。

3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

高中数学教案函数的极值和最值

高中数学教案函数的极值和最值高中数学教案：函数的极值和最值一、引言在高中数学中，函数的极值和最值是一个重要的概念和应用。

本教案将以清晰的例子和详细的解释来介绍函数的极值和最值的概念、求解方法和相关练习题。

二、函数的极值和最值的概念1. 极值的定义函数在某个定义域内有极值，是指在该定义域内存在一个或多个函数值最大或最小的点。

2. 最值的定义函数在某个定义域内有最值，是指在该定义域内函数的取值范围的最大值或最小值。

三、求解函数的极值和最值的方法1. 寻找极值点和最值点通过对函数取导数，并找到导数等于零或不存在的点，可以确定函数的极值点和最值点。

2. 判断极值和最值通过二阶导数的正负来判断极值点和最值点的类型。

四、例题讲解1. 求解函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值通过求解函数的导数 f'(x) 和二阶导数 f''(x)，找到函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负确定其类型。

五、练习题1. 练习题一：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7 的极值和最值。

2. 练习题二：求解函数 f(x) = e^x - 2x + 3 的极值和最值。

六、总结函数的极值和最值是数学中的重要概念，可以通过求解函数的导数和二阶导数来确定函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负来确定其类型。

通过学习和练习，我们可以掌握函数的极值和最值的求解方法和技巧。

七、延伸阅读1. 函数的极值和最值在实际生活中的应用。

2. 更复杂的函数极值和最值问题的解法探究。

以上是本教案关于高中数学中函数的极值和最值的简要介绍和讲解，希望能够对学生们理解和掌握相关概念有所帮助。

希望同学们能够通过大量的练习和实践，深入理解函数的极值和最值的概念，提高解决问题的能力。

高中数学备课教案函数的极值与最值

高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。

本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。

二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。

极值分为最大值和最小值两种。

2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。

（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。

（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。

2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。

并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。

（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。

解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。

将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。

函数的最大值和最小值教案

函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。

五、教学准备1. 教学课件。

2. 相关案例题。

3. 粉笔、黑板。

教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。

2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。

四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。

五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。

六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。

2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。

七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。

2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。

2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。

九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。

高等数学(上册)教案15函数的极值与最值

第3章导数的应用函数的极值与最值【教学目的】：1•理解函数的极值的概念；2.掌握求函数的极值的方法；3.了解最大值和最小值的定义；4.掌握求函数的最值的方法；5.会求简单实际问题中的最值。

【教学重点】：1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件；2.导数不存在情况下极值的判定；3.函数最值的求解方法；4.函数的最值的应用。

【教学难点】：1.导数不器在情况下极值的判定；2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；3.区分极值点与极值，最值点与最值；4.函数的最值的应用。

【教学时数】：2学时【教学过程】：3. 3.1函数的极值从图3-7可以看出，函数y =/(x)在点勺、心处的函数值儿、儿比它们近旁各点的函数值都大；在点河、些、入处的函数值儿、儿、儿比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义：一般地，设函数y = /(x) 在旺的某邻域内有定义，若对于©邻域内不同于厲的所有x，均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值，心称为极大值点；若对于耳邻域内不同于％的所有x,均有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值，©称为极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则(1)如果当x取兀左侧邻近的值时，广(心)>0；当x取心右侧邻近的值时, /V0）＜0，则;为函数y = /（x）的极大值点，/（%）为极大值；（2）如果当x取心左侧邻近的值时，广（心）＜0；当x取心右侧邻近的值时, 厂（心）＞0,则心为函数/⑴的极小值点，/（兀）为极小值；（3）如果当兀取％左右两侧侧邻近的值时，广（X。

）不改变符号，则函数f （x）在丸处没有极值.根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数广（力，并求出函数/（X）的全部驻点以及不可导点；（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近广W的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2. 12判定极值点和极值.3 -例2求函数f（x） = x--x3的极值・乙解（1）函数的定义域为（-O0,+O0）；（2）广（x） = l-丁了；（3）令广（A-） = 0 ,得驻点x = l.当x = 0时，导数不存在;（4）列表讨论如下：由上表知，函数的极大值为/（0） = 0 ,极小值为/（l） = -i.2极值的笫二充分条件设函数y = /（x）在点耳的邻域内具有二阶导数且/V o） = o,厂（“）工0,则（1）当厂（x0）＜0时，函数/（X）在儿处取得极大值；（2）当厂（x0）＞0时，函数/（x）在心处取得极小值.注意当厂（儿）=0,且/Tv） = 0时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.3. 3.2函数的最大值与最小值求函数/（X）在闭区间S，饲上的最值的步骤如下：（1）求出函数/（x）的导数，并求出所有的驻点及不可导点；（2）计算函数/（切在这些点和端点处的函数值；（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.注意（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值.（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。

高中数学教案学习函数的极值与最值

高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。

通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。

一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。

极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

它分为两种类型：极大值和极小值。

1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。

1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。

二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。

常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。

对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。

而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。

2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。

如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。

2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。

如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。

三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。

最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。

在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。

3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。

函数的最大值和最小值(教案与课后反思

函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。

2. 求函数最大值和最小值的方法。

3. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。

3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。

3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。

7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。

在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。

在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。

但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。

2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。

3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。

七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。

函数的极值与最大(小)值(第一课时)(教学设计)

§5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）一、内容和内容解析内容：极值的概念，了解函数的极值与导数的关系，运用导数方法求函数极值.内容解析：（1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念.（2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的.先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的.学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的.从而，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解.二、目标和目标解析目标：结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值.通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程.通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯.目标解析：达成上述目标的标志是：能够通过函数图象判断函数的极值点和极值.能够通过导函数的图象判断函数的极值点.能够利用导数研究解一元三次函数的极值.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：为何可以利用导数直接判断极值是第一个教学问题，也是教学难点，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解.因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始.学生对函数的极值有了初步的了解后，那么困惑产生了：如何求函数的极值呢?2.教学问题二：函数在某点处的导数值为0是可导函数取得极值的必要条件，而非充分条件.这个第二个教学问题，也是教学难点.基于以上分析，确定本节课的教学重难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，求可导函数的极值的步骤.四、教学策略分析t a =时，运动员距水面的高度h t=a 附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在t a =t=a 的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从t a =的左侧移动至右侧时，切线斜率由正数变到为0，再由0变到负数. 五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图情景引入观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？师生活动：学生间激烈地争论着这个问题，教师再给出这节课要研究的角度，结合苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”，描述的是庐山的连绵起伏.由此联想庐山的连绵起伏形成好多的"峰点" 与''谷点"，这就象数学上要研究的函数的极值.将学生从"要我学"被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来.探究新知[问题1]观察下图，图1和图2，函数在点x a =处的函数值与它附近的函数值之间有什么关系？ayxO[问题2] 观察图像，找出图中的极值点，并说明哪些为极大值点，哪些为极小值点？教师1：提出问题1. 学生1：学生观察分析后发表自己的见解.师生共同总结：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们要加以新的定义.教师引导学生，给出极大值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都大，我们把a 叫做函数()y f x =的极大值点，()f a 叫做函数()y f x =的极大值.学生通过类比，给出极小值的概念：函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值. 教师再强调：让学生将观察分析得到的结论用科学严谨的数学语言表达出来，有利于学生思维从感性层面提升到理性层面，培养归纳概括能力.fed cb O xyay=f'(x )O a b x 1x 2x 3x 4x 5x 6。

高中数学教案函数的极值与最值

高中数学教案函数的极值与最值高中数学教案：函数的极值与最值一、引言函数的极值与最值是数学中重要且常见的概念。

通过求解函数的导数和解方程，我们可以确定函数在特定区间内的极值和最值。

本教案将介绍如何理解和求解函数的极值与最值。

二、概念解释1. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。

极大值是最大值，极小值是最小值。

2. 最值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为最值。

最大值是所有极大值中的最大值，最小值是所有极小值中的最小值。

三、求解过程1. 确定定义域：首先确定函数的定义域，即函数的取值范围。

2. 求导数：对函数进行求导，得到函数的导数表达式。

3. 求导数为零的点：将导数表达式等于零，求解方程，得到导数为零的点，即可能的极值点。

4. 求导数不存在的点：在导数表达式中寻找导数不存在的点，即可能的极值点。

5. 确定极值点：将求解得到的导数为零和导数不存在的点代入原函数，求出对应的函数值。

6. 比较大小：通过比较极值点对应的函数值，确定极大值和极小值。

四、示例教学在具体教学中，可以通过以下步骤和实例来引导学生理解和掌握函数的极值与最值。

步骤一：引入问题利用一个实际问题，例如一个汽车行驶的距离和时间的关系，通过绘制图像或给出函数公式，展示函数的变化趋势，并引出极值和最值的概念。

步骤二：概念解释在引入问题后，对极值和最值进行简单而清晰的解释，帮助学生理解这两个概念的含义，并区分极值和最值之间的区别。

步骤三：求解过程演示通过具体的函数例子，例如二次函数或三角函数，演示求解函数的极值与最值的过程。

引导学生理解每一步骤的目的和意义。

步骤四：学生练习提供一些练习题目，让学生自己应用所学的求解方法，求解给定函数的极值与最值。

逐步增加难度，让学生独立思考和解决问题。

步骤五：总结与巩固结合课堂练习的结果，对函数的极值与最值进行总结，强化学生对这一概念的理解和应用能力。

五、教学评估在教学过程中，可以进行以下一些评估方式：1. 课堂练习：通过课堂练习题目的完成情况，评估学生对函数极值与最值的理解和应用能力。

函数的最大值和最小值教案

函数的最大值和最小值教案第一章：函数最大值和最小值的概念1.1 函数最大值1.2 函数最小值1.3 函数的最大值和最小值的意义第二章：函数的单调性2.1 单调递增函数2.2 单调递减函数2.3 单调性与最大值最小值的关系第三章：一次函数的最大值和最小值3.1 一次函数的图像特征3.2 一次函数的最大值和最小值的求法3.3 实际问题中的应用第四章：二次函数的最大值和最小值4.1 二次函数的图像特征4.2 二次函数的最大值和最小值的求法4.3 实际问题中的应用第五章：分段函数的最大值和最小值5.1 分段函数的定义5.2 分段函数的最大值和最小值的求法5.3 实际问题中的应用本教案旨在帮助学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。

在教学过程中，应注意引导学生通过观察函数图像、分析函数性质来求解最大值和最小值，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

结合具体实例，使学生能够更好地理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

第六章：利用导数求函数的最值6.1 导数的定义6.2 导数与函数单调性的关系6.3 利用导数求函数的最值第七章：利用基本不等式求最值7.1 基本不等式的概念7.2 基本不等式在求最值中的应用7.3 常见不等式求最值的方法第八章：函数最值在实际问题中的应用8.1 最大利润问题8.2 最小成本问题8.3 最优路径问题第九章：函数最值的计算技巧9.1 换元法9.2 构造法9.3 利用不等式性质求最值10.1 函数最值的重要性质10.3 函数最值在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析一、函数最大值和最小值的概念补充说明：理解函数最大值和最小值在数学分析中的重要性，以及它们在实际问题中的应用。

二、函数的单调性补充说明：深入解析单调性如何影响函数的最大值和最小值的求解，以及如何利用单调性进行简化计算。

三、一次函数的最大值和最小值补充说明：详细阐述一次函数图像特征对最大值和最小值求解的影响，以及如何通过图像分析得到答案。

高二数学教案：函数的极值与最值教案

高二数学教案：函数的极值与最值教案
【摘要】欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。

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本文题目：高二数学教案：函数的极值与最值教案
一、课前准备：
【自主梳理】
1.若函数f(x)在点x0 的附近恒有(或)，则称函数f(x)在点x0 处取得极大值(或极小值)，称点x0 为极大值点(或极小值点).
2.求可导函数极值的步骤：
①求导数;
②求方程的根;
③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那幺函数y=f(x)在这个根处取得极值;如果左负右正，那幺函数y=f(x)在这个根处取得极值.。

函数的最大值和最小值教案

函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。

1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。

第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。

2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。

2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。

第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。

3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。

3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。

第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。

4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。

4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。

第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。

本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。

5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。

函数的极值与最值教案

不是极值。
注：定理条件改为：若函数 f (x) 在U (x0 ) 可导（ f (x0 ) 可以不存在），
其他条件不变定理也成立。
求极值的步骤：
1）求出导数 f (x) ；）按照定理 2 考察每个驻点和不可导点左右两侧导数的符号，确定是否
为极值点。
dh b
现在问题化为 b 等于多少时目标函数 W 取最大值？为此求 W 对 b 的导数
W 1 (d 2 3b2) 6
解方程 W 0 得驻点 b
1 3
d
由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0 d)内部取得现在函数
W 1 b(d 2 b2) 在(0 d)内只有一个驻点所以当 b 1 d 时 W 的值最大这时
极值与最值的关系设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得则必在开区间(a b)内取得在这种情况下最大值一定是函数的极大值
3
因此函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间[a b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者
2
1）若 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在 x0 点取得极大值；
2）若 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在 x0 点取得极小值。
证明在情形(1) 由于 f (x0)0按二阶导数的定义有
f
(x0)
lim
xx0
f (x) f (x0) 0 x x0
根据函数极限的局部保号性当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时
最大值和最小值的求法

高中数学函数极值的教案

高中数学函数极值的教案
目标：学生能够理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

教学内容：
1. 函数的极值概念及性质
2. 求函数极值的方法
3. 实际问题中的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
引入函数极值的概念，通过举例和讨论让学生了解什么是函数的极值以及它的性质。

二、讲解（15分钟）
1. 解释函数的极值定义和性质；
2. 介绍求函数极值的步骤和方法，包括导数法和判别法；
3. 演示几个例题的解题过程。

三、练习（15分钟）
让学生通过练习题巩固所学知识，包括简单函数的极值求解和应用题。

四、拓展（10分钟）
引导学生思考如何将函数的极值概念应用到实际生活中的问题中，并讨论解决方法。

五、总结（5分钟）
总结函数极值的概念及性质，强调求解函数极值的方法和应用。

六、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，要求学生巩固所学知识并思考函数极值在实际问题中的应用。

教学资源：
1. 课件及讲义
2. 练习题及答案
3. 实际问题解析案例
评估方式：
1. 课堂练习成绩
2. 作业完成情况及正确率
3. 课堂参与程度和问题解决能力
备注：根据学生的实际情况和反馈，灵活调整教学内容和方法，确保教学效果。

函数的极值和最值教学设计

一、函数的极值及其求法（一）新课引入复习函数单调性及判别方法，根据幻灯片中的函数图形引出极值的定义。

（二）新课讲解定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0Î(a,b).如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0)则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值;如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果在去心邻域U(x0)内有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个定义域来说,f(x0)不一定是最大值.关于极小值也类似.极值与水平切线的关系:在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平切线的地方,函数不一定取得极值.定理1 (必要条件)设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么这函数在x0处的导数为零,即f ¢(x0)=0.例2¢ 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km ,A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解设AD =x (km), B 与C 间的运费为y ,则 y =5k ⋅CD +3k ⋅D=5k√400+x 2+3k(100−x) (0£x £100),其中k 是某一正数. 由y ′=k(5x√400+x 2−3) =0, 得x =15.由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,y|x=100=500k√1+152, 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.注意: f(x)在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一D C 20km A B 100km个驻点x 0 , 并且这个驻点x 0 是函数f(x)的极值点, 那么, 当f(x 0)是极大值时, f(x 0)就是f(x)在该区间上的最大值; 当f(x 0)是极小值时,f(x 0)就是f(x)在该区间上的最小值.应当指出, 实际问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值, 而且一定在定义区间内部取得. 这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x 0, 那么不必讨论f(x 0)是否是极值, 就可以断定f(x 0)是最大值或最小值.（三）小结f (x 0) O a x 0 b x y =f (x ) y f (x 0) O a x 0 b xy =f (x ) y。

函数的极值与最值问题的解法

函数的极值与最值问题的解法教案：函数的极值与最值问题的解法引言：函数是数学中一种非常重要的工具，它能够描述两个变量之间的关系。

在实际问题中，很多函数都存在极值和最值问题。

本教案将介绍函数的极值与最值问题的解法，帮助学生了解和掌握这一内容。

一、函数的极值与最值问题的定义对于函数y=f(x)，如果存在一点x=a，使得在其某个邻域内的函数值y=f(x)不小于（或不大于）它的函数值，那么称函数在x=a处有极大值（或极小值）。

给定一个函数y=f(x)，如果在定义域内的任意两个点x1和x2，都有f(x1)≥f(x2)（或f(x1)≤f(x2)），那么称函数f(x)在定义域内有最大值（或最小值）。

二、函数的极大值与极小值问题的解法1. 寻找函数的极值点：为了找到函数的极值点，我们可以使用求导的方法。

先求出函数y=f(x)的导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解，即可得到函数的极值点。

2. 分析极值点的性质：为了判断极值点是极大值还是极小值，我们可以通过二阶导数来分析。

若函数f(x)在极值点处的二阶导数f''(x)大于0，则该极值点为极小值；若f''(x)小于0，则该极值点为极大值。

三、函数的最值问题的解法1. 寻找函数的最值点：为了找到函数的最值点，我们可以使用求导的方法。

先求出函数y=f(x)的导函数f'(x)，然后解方程f'(x)=0，求出方程的解，即可得到函数的驻点。

将驻点和定义域的端点进行比较，即可得到函数的最值点。

2. 分析最值点的性质：为了判断最值点是最大值还是最小值，我们可以将最值点的函数值与定义域内其他点的函数值进行比较。

如果函数值最大（或最小）的点为端点，那么函数在该点达到最大值（或最小值）。

若最值点位于定义域内的某个内部点，那么就需要比较函数值，判断是最大值还是最小值。

四、实例分析这里以一个具体的函数为例，来演示函数的极值与最值问题的解法。

人教版高中数学函数的极值与最值教案2023

人教版高中数学函数的极值与最值教案2023人教版高中数学函数的极值与最值教案（2023）一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 熟练掌握函数极值的概念和判定条件；2. 掌握寻找函数的极值和最值的方法；3. 学会应用函数的极值和最值解决实际问题。

二、教学重点1. 函数的极值的判定条件；2. 如何求函数的极值和最值。

三、教学难点1. 如何将函数极值的概念与实际问题相结合；2. 运用函数的极值解决实际问题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生思考：函数的极值对于解决实际问题有何重要作用？以及探究如何判断一个函数是否存在极值。

2. 学习（25分钟）2.1 函数极值的定义和判定条件解释函数的极值的概念，并介绍函数极值的判定条件。

2.2 寻找函数极值和最值的方法讲解函数的极值和最值的求解方法，包括一阶导数法和二阶导数法。

2.3 练习与实例分析通过一些练习和实例，巩固和应用所学的方法，培养学生的解题能力和实际问题的抽象思维能力。

3. 拓展（10分钟）引导学生思考：在实际问题中，如何运用函数的极值来解决与极值相关的问题？4. 小结（5分钟）对本节课所学内容进行小结，强调函数的极值在解决实际问题中的重要性。

五、课堂练习1. 填空题：设函数$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5$，求它的极值和最值。

2. 计算题：已知函数$y = 3x^3 + 2x^2 - 5x$，求它的极值和最值。

3. 应用题：一块铁皮制成一个圆柱形的水桶，底面半径为$r$，高为$h$，求该水桶的容积的最大值。

六、课后作业1. 预习：阅读教材，预习下节课的内容；2. 练习：完成教材上相应的练习题；3. 思考：寻找身边的实际问题，并思考如何运用函数的极值来解决这些问题。

以上是针对人教版高中数学函数的极值与最值的教案，该教案旨在引导学生理解函数极值的概念、判定条件，以及寻找函数的极值和最值的方法。

通过练习和实例分析，培养学生解题能力并运用函数的极值解决实际问题。

高数教案_函数极值与最值15

课题: 函数极值与最值目的要求：掌握函数极值与最值的判别法掌握初等函数极值与最值的求法掌握函数单调性的判断及单调区间的求法教学重点：掌握初等函数极值与最值的求法教学难点：掌握初等函数极值与最值的求法教学课时：2教学方法：讲练结合教学内容与步骤：函数的单调性：从函数曲线的图形来看，函数曲线的升降与曲线切线的斜率密切相关，斜率为正时，上升，为负时，曲线下降。

定理：设y=f(x)在［a,b ］上连续，在（a,b ）内可导，（1）若(,)x a b ∀∈，有f ’(x)>0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加；（2）若(,)x a b ∀∈，有f ’(x)<0,则f(x)在[a,b]上严格单调减少；区间（a,b ）称为单调区间。

单调递增区间或单调递减区间证：拉格朗日中值定理：2121()()'()(),f x f x f x x ξξ-=-在x 1与x 2之间，注：任一区间总可分为单调递增区间与单调递减区间的并。

分点为函数一阶导数值为零的点或导数值不存在的点。

练习：求函数f(x)=2x e -的单调区间。

解：2'2x y xe -=-＝0时，x=0, 故：(),0,'()0,f x -∞>函数单调递增，(),0,'()0,f x -∞>函数单调减少。

练习：求函数32()69f x x x x =-+的单调区间解：2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--,令()0f x '=，得驻点11x =,23x = .在(,1)-∞内，()0f x '>，在(1,3)内，()0f x '<,（3，＋∞），()0f x '>练习：求函数23()2(1)f x x =--的单调区间解：131322()(1)(1)33(1)f x x x x --=--=≠'-,1x =时,()f x '不存在。