流体力学第六章 势流理论
合集下载
势流理论
第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。
对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。
而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。
速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。
本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。
求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。
对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。
因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。
由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。
因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。
1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。
对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。
求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。
20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
流体力学第6章
第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1) 根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。
ϕ称为速度势函数，简称速度势。
即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：z z y yx x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ 又由矢量分析：k z i y i x k w i i u V v v v v vv v ∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2)即速度势的梯度等于流场的速度。
在柱坐标中：径向速度：rr ∂∂=ϕυ切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s 轴向速度：zz ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V v在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。
函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V v，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。
在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()∫∫++=⋅=B ABAAB z w y x u s V Γd d d d υv v A B BAϕϕϕ−==∫d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。
又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()∫∫++=⋅=KKz w y x u s V Γd d d d υvv ∫Kϕd ＝若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =∫Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程： 0=∂∂+∂∂+∂∂zwy x u υ 则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4)(其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=Δ=∇称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。
船舶流体力学(打印)
相应的速度势函数的拉普拉斯方程为:
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
三个基本解都具有奇异性。因为真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3:理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az2( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为p0，试求:(1)上半平面的流动图案；(2)沿y = 0的速度与压强。
解:令z = rei，于是:
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
等势线方程为：
流线方程为：
在流场任意两点1，2应用伯努利方程，有：
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q。若平行于x轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
图片：
四.平面偶极子：
z = 0点:点汇–Qz0点：点源Q
叠加后得到：
令r0，Q，不变，并且：
---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析=的情况(即，点源沿x轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
因为点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
流体力学第六章
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的
运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，
有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运
动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度
动，无旋流动是指
r 的 0流动。
r 的 0流
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的 旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾 后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况 下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流 体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层 内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至 于工程中大量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大 小旋涡。
旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴所 转过的角度。
流体微团转过的角度为
90 45
2
2
z
lim 1 2 t 0
t
1 (v 2 x
u ) y
同理可得
x
1 2
( w y
v ) z
u xt x
x
vC
v
v x
x
v y
y
线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方向的
相对变化量。
x
lim
t ,x0
x
u x
xt
xt
x
u x
同理可得
y
v y
z
w z
角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边的 夹角的减小量的一半。
流体力学第6章(16节)
dz
O V
vx vx-ivy
W(z)共轭复变数: W i f(z) z x iy
dW i
dz x x
v x i vy V
dW dz
dW dz
v
2 x
v
2 y
v2
vy
V
依据共轭复变数的运算方
α
法可以求出流场中各点的 O
速度v。
V
复势或复速度
速度场
vx+ivy
vx vx-ivy
为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x) cos(s, y) cos(s, z)
s x
y
z
vx cos(s, x) vy cos(s, y) vz cos(s, z)
vs
势函数沿任意方向的导数值 等于该方向上的速度分量
特性2
证明：设对某一流动，存在势函数Φ(x, y, z)，流动的
a
rcta
y n
y
0
2
x x0
ln 2
( x x0 )2 ( y y0 )2
中心点在坐标原点的复势
W(z) i i lnr 2 2
( i lnr) ln (rei )
2
2i
lnz 2i
源点和汇点在z0点的复势
W(z) 2i l n (z z0 )
最后速度势函数为 vx
虚 线 为 等 势 线
例 2. 一平面恒定不可压缩流动的流线为通过原点的 向外发射的射线，速度大小 v 反比于这点到原心距离
r：v q / 2 r （q 是正常数）。证明这一流动是有势
的，并求解势函数。
解：
vx
q cos 2 r
O V
vx vx-ivy
W(z)共轭复变数: W i f(z) z x iy
dW i
dz x x
v x i vy V
dW dz
dW dz
v
2 x
v
2 y
v2
vy
V
依据共轭复变数的运算方
α
法可以求出流场中各点的 O
速度v。
V
复势或复速度
速度场
vx+ivy
vx vx-ivy
为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x) cos(s, y) cos(s, z)
s x
y
z
vx cos(s, x) vy cos(s, y) vz cos(s, z)
vs
势函数沿任意方向的导数值 等于该方向上的速度分量
特性2
证明：设对某一流动，存在势函数Φ(x, y, z)，流动的
a
rcta
y n
y
0
2
x x0
ln 2
( x x0 )2 ( y y0 )2
中心点在坐标原点的复势
W(z) i i lnr 2 2
( i lnr) ln (rei )
2
2i
lnz 2i
源点和汇点在z0点的复势
W(z) 2i l n (z z0 )
最后速度势函数为 vx
虚 线 为 等 势 线
例 2. 一平面恒定不可压缩流动的流线为通过原点的 向外发射的射线，速度大小 v 反比于这点到原心距离
r：v q / 2 r （q 是正常数）。证明这一流动是有势
的，并求解势函数。
解：
vx
q cos 2 r
流体力学6-势流理论
V0
Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
Vr V
边界条件的验证
近场边界条件
Mcos 1 2 V0 rcos 2 r Msin 1 2 V0 rsin 2 r
M 令 0 sin (V0 r )0 2 r sin 0 0或
ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴
§６-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应
绕圆柱体的有环量流动：
绕圆柱体的无环流
环量为Γ 顺时针平面点涡
边界条件仍成立： 1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件
一、边界条件：
势函数与流函数
r02 V0 cos (r ) r 2 r02 V0 sin (r ) ln r r 2
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环量流动
一、圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件（远场边界条件）
在无穷远处为均匀流
ｒ ∞
Vx V0 V y 0
或
Vr V0 cos V V0 sin
2.物面条件（近场边界条件） 圆柱表面不可穿透 r = r０，Vｎ= Vｒ=０ 或r = r０ 的圆周是一条流线 r = r０，ψ=０（零流线）
伯努利方程（沿圆柱表面） p 2 C
v2
v2
1 V 2V0 sin 2 r0
2 pC C (2V0 sin ) 2 2 2 r0
V0 sin 2 2 2 C 2 2 2 V0 sin 8 r0 r0
用迭加法求势函数φ
Q 1 2 (ln r1 ln r2 ) 2
y
A( r , )
M cos 2 r
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布
ｘ＝const，等势线 两组等值线相互正交
0.0
5
v0 v0 y
v0
v0
v0 y
v0
平板
平行平壁间的流动 薄平板的均匀纵向绕流
0.0
6
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
Vr=f(r)， V = 0 2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr
0.0
• 与该平面相平行的所有其它平面上的流动 情况完全相同。
0.0
2
图 6－1
0.0
3
一、均匀流
Vｘ＝Vo， Vy＝０
(1)势函数
d
x
dx
y
dy
Vxdx
Vy dy
V0dx
V0 x C
V0 x
(2)流函数
d
x
dx
y
dy
Vydx
Vx dy
Vody
V0 y
0.0
4
令 V0 y c y const. 令 V0 x c x const.
？讨论：零流线上的速度变化
0.0
23
？讨论：零流线上的速度变化
Vr
V0
cos (1
r02 r2
)
V
V0
sin (1
r02 ) r2
零流线上的速度大小
X轴： V
Vr2
V2
V0
(1
r02 r2
)
圆周：V 2V0 sin
A, 速度减小，A B(D), 速度增加
B(D) C, 速度减小， C ,速度增加
r02 r2
)
0.0
22
二、圆柱表面的速度分布
流体力学 第六章 第二节
L 2 0
r02 rd 2r02 r
表示成直角坐标形式： y u 2 x 2 y 2 x v 2 x 2 y 2 由于纯环流除原点外都是连续的，其流函数为 1 d ( y2 x2 ) ydy xdx 2 d udy - vdx 2 2 2 x y 2 x2 y2 ln( x 2 y 2 ) ln( r ) 4 2 纯环流的旋转角速度为： 1 v u 1 x y z ( ) 2 2 x y 2 y 2 x 2 y 2 0 2 x y 2 x
在不可压缩流体稳定平面流动中，另一个描述流场的函数 是流函数。 流函数： 由流线微分方程可知，对于平面流动： dx dy 或 udy vdx 0 u v 要使上式能够积分的充分和必要条件是： u v x y 对上式积分，得 u v 0 x y
也就是说，不可压缩流体的平面流动是连续的，必满足上式。
从上式可以看出，纯环流是无旋流动，即流核外为势流旋转区， 其速度势为： y d ydx xdy x d udx vdy 2 2 2 2 x y 2 y 1 x 积分，得： y arctan 2 x 2
直角坐标系： r02 y 2 sin r0 2 u r x y2 r02 x 2 v cos r0 2 r x y2 当r 0，u ，v ，原点是不连续点，为奇异点。 u v 2 y 2 x r0 2 0 但 r0 2 2 2 x y x x y y x y 除原点外，纯环流符合连续性条件，包围原点的任意曲线 的环量等于常数。 u ds
r02 rd 2r02 r
表示成直角坐标形式： y u 2 x 2 y 2 x v 2 x 2 y 2 由于纯环流除原点外都是连续的，其流函数为 1 d ( y2 x2 ) ydy xdx 2 d udy - vdx 2 2 2 x y 2 x2 y2 ln( x 2 y 2 ) ln( r ) 4 2 纯环流的旋转角速度为： 1 v u 1 x y z ( ) 2 2 x y 2 y 2 x 2 y 2 0 2 x y 2 x
在不可压缩流体稳定平面流动中，另一个描述流场的函数 是流函数。 流函数： 由流线微分方程可知，对于平面流动： dx dy 或 udy vdx 0 u v 要使上式能够积分的充分和必要条件是： u v x y 对上式积分，得 u v 0 x y
也就是说，不可压缩流体的平面流动是连续的，必满足上式。
从上式可以看出，纯环流是无旋流动，即流核外为势流旋转区， 其速度势为： y d ydx xdy x d udx vdy 2 2 2 2 x y 2 y 1 x 积分，得： y arctan 2 x 2
直角坐标系： r02 y 2 sin r0 2 u r x y2 r02 x 2 v cos r0 2 r x y2 当r 0，u ，v ，原点是不连续点，为奇异点。 u v 2 y 2 x r0 2 0 但 r0 2 2 2 x y x x y y x y 除原点外，纯环流符合连续性条件，包围原点的任意曲线 的环量等于常数。 u ds
工程流体力学第6章课件
φ = Vx x φ = Vy y φ = Vz z
grad = ＝V
→
§6-1 势函数和流函数
(1)速度势的势函数φ (1)速度势的势函数φ，有势流就是无旋流 速度势的势函数 有势流
grad = ＝V
→
Vz 2 V y = z = y z = z y = z y y Vx 2 Vz = x = z x = x z = x z z
dQ = Vx dy V y dx =
B
y
dy +
x
dx = dψ
∴ Q = ∫ dψ = ψ B ψ A
A
两条等Ψ 两条等Ψ线，Ψ值之差即为流 过这两条流线间的体积流量
§6-1 势函数和流函数
（4）不可压平面势流的势函数，流函数方程 不可压平面势流的势函数，
φ φ 将势函数表达式 = Vx， = Vy 代入连续方程 y x Vx V y φ φ 2φ 2φ + = + = 2 + 2 = 0 x y x x y y x y
§6-2 平面势流叠加原理和几种简单的平面定 常势流
(1)势流叠加原理 (1)势流叠加原理 (2)均匀直线运动 (2)均匀直线运动φ＝ax+by ψ=ay-bx (3)点源和点汇 (3)点源和点汇φ＝(Q/2π)lnr ψ=(Q/2π)θ (4)点涡 有势涡） 点涡（ (4)点涡（有势涡）φ＝(Γ/2π)θ ψ=- (Γ/2π)lnr
φ＝(M/2π)(x/r^2) ψ=-(M/2π)(y/r^2)
(3)圆柱绕流（均直流＋偶极流） (3)圆柱绕流（均直流＋偶极流） 圆柱绕流
φ＝Vcosθ(r+R^2/r) ψ=Vsinθ(r-R^2/r)
零流线、远场流动、圆柱表面流动、圆柱表面压强
《高等流体力学》第6章-势流
证明:
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
流体力学第6章
两族直线正交。
用复势表示：wz ax by iay bx
V x cos y sin iV y cos xsin
复速度：
dW dz
V (cos
i sin )
二、线源与线汇
设流量为Q（或-Q），采用极坐标
r
r
,
0
d
r
dr
1 r
d
urdr
o
ur dr
连续性方程： 2r ur 1 Q,ur Q 2r
) cos
r0
1
M
2V
2
V (r
r02 r
) cos
2
2
速度：
u
1 r
V (1
r0 2 r2
) sin
2r
圆柱面上：
ur 0
u
2V sin
2r0
压力分布：
p
p
1 2
V2[1 (2 sin
4rV
)2 ]
2
升力：
FL 0 pr0d sin V
阻力： FD 0
——库塔—儒柯夫斯基定律
为圆周簇
积分： tg1 y 为射线簇。
2 x 2
复势： wz i ln r ln r i
2
2i
复速度：dw sin i cos
dz 2
规定：逆时针旋转Г为“+”，顺时针旋转Г为“-”。
压力分布：
2 p p 8 2r 2
举例：龙卷风，P 142--143
三、速度环量导数与汤姆生定理
d
dt
d dt
V dl
L
L
a
dl
L
f
p
工程流体力学ppt第6章理想流体平面势流
§6-2 几种简单的平面势流
1、均匀平行流
深度和宽度很大的流体流过平面时的流动称 均匀平行流。 特点：各点速度大小相等，方向相同。 设均匀流与 x 轴成 角，速度 v 0 ，分速度
1 v y v x 由， z ( ) C 故为有势流动。 2 x y
v x、v y， x v0 cos ，v y v0 sin 。 v
v y， v x x y
代入，即有：
2 0 2 x y
2 2
0
2
也是调和函数，也可变为求一定起始边界 条件的拉氏方程。 、 满足数学上的柯西黎曼条件，故 、 为共扼调和函数，知其
一就可求另一个。
②平面流动中两条流线间通过的流体流量， 等于两条流线的流函数之差。这也正是流函 数的物理意义。证明从略。
2 2 2 2
由连续方程
对有势 v x， v y， v z x y z 2 2 2 代入 2 2 0 2 x y z
v x v y v z 0 x y z
为调和函数
解有势流动的问题，变成了解满足一定边界 条件的拉普拉斯方程。 注意：不可以用拉普拉斯方程作为判定速度 势存在的判据。 ③沿任意曲线上的速度环量Γ等于曲线两端点 上的速度势之差，而与曲线形状无关。
1.速度势函数
若函数 P( x、y、z）、Q( x、y、z） 偏导数在单连通域中单值连续 R( x、y、z）
则当：
这是 Pdx Q d y R d z 为某函数
P Q y x Q R z y R P x z
成立，
( x、y、z )
全微分存在的充要条件。
则 且有
第六章 势流流动
流函数
势流理论中，除了势函数外，还有流函数 的概念。 对于平面(即二维)不可压缩流动，按照连续 方程(这是必须满足的)：
v y vx v y vx 0,即 x y x y
按照Cauchy-Riemann定理，下列微分式 成为全微分式，即存在一个标量函数
v y dx vxdy
d vy dx vxdy
对于等流函数线，即满足 d 0 的线。显然由
此得出的结论就是流线方程。
c、等势线和等流函数线互相垂直。 [证明] 按照等势线和等函数线的定义，
立即看到，这是互相垂直的。
d 0 d 0 v y dx vxdy 0 vxdx v y dy 0
vr , v r r 或者
d v dr rvr d
说明： ①流函数与势函数在势流理论中的地位相等；但 是它们存在的条件不一样。务必不要混淆。 ②流函数与势函数满足Laplace方程的条件也不 相同。 ③请把与速度的关系以及全微分式都弄清楚。
总结：
存在条件 Lapalce方 与速度的关 柱坐标系下与 系 速度的关系 程成立 条件 不可
V ds
l
[证明]按照Stokes公式，沿曲线的积分等于通过该 曲线所围的面积上被积函数旋度的面积分，即：
V dl v dS
l s
对于无旋流动，被积函数为零，因此，速度环量 为零。
b、等流函数线就是流线。 [证明]因为流线的全微分式为
或者，按照Cauchy-Riemann定理，当
vz v y vx vz v y vx , , y z z x x y
成立时，微分式 vxdx vy dy vz dz 成为全微分式： 这里的 就是无旋流动的速度势，它满足： vx , vy , vz x y z
第六章 势流理论
第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。
求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。
本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。
2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。
6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。
如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。
这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。
一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。
高等流体力学讲义6
r C 1 2 V sin
圆柱绕流
无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合 （一）均匀流、偶极子的组合 在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为
前进
无粘性流体的势流理论
主要内容：
势流理论的地位和作用 有势流动的基本方程 有势流动理论基础 基本势流及其叠加 圆柱绕流 复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流
前进 结束
有势流动的基本方程 连续方程 Euler运动方程 势流条件
不可压缩流体恒定流 u v w D 0 V 2 0 x y z Dt
cy cx ,v 2 x 2 y2 x y2
或 涡量
ur 0,v
v u 1 c y 2 x 2 c y2 x2 z 0 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y
r r
在极坐标中，自由涡流的势函数φ 的全微分为 1 d d rd u d v rd r r ——自由涡流的流速势 把ur, uθ代入后积分，可得 2 1 1 和Φ是共轭的，故， u ,v
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
c
任一点的流速为
圆柱绕流
无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合 （一）均匀流、偶极子的组合 在坐标原点，布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子，再叠加一个 沿x轴的均匀流，这两个流动叠加所得新势流的流速势及流函数为
前进
无粘性流体的势流理论
主要内容：
势流理论的地位和作用 有势流动的基本方程 有势流动理论基础 基本势流及其叠加 圆柱绕流 复变函数及保角变换 若干简单势流的复势 儒可夫斯基翼型绕流
前进 结束
有势流动的基本方程 连续方程 Euler运动方程 势流条件
不可压缩流体恒定流 u v w D 0 V 2 0 x y z Dt
cy cx ,v 2 x 2 y2 x y2
或 涡量
ur 0,v
v u 1 c y 2 x 2 c y2 x2 z 0 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y
r r
在极坐标中，自由涡流的势函数φ 的全微分为 1 d d rd u d v rd r r ——自由涡流的流速势 把ur, uθ代入后积分，可得 2 1 1 和Φ是共轭的，故， u ,v
（ii）求流函数——Dirichlet问题
（iii）求复势W（z）函数
有势流动中的奇点 不可压缩流体有势流动的两个基本条件是各点流速的散度为零， 各处涡量为零。 其中一个条件被破坏的点或线称为奇点或奇线 （1）连续条件中的奇点· 源和汇 m r 流速矢量V=gradφ与 φ=const的表面垂直，流动系径向流动，
c
任一点的流速为
2010 第六章节 平面势流 流体力学
=
M
2πz
4、点涡；
ϕ
=
ψ =
Γθ 2π
Γ ln r
⇒W (z)
=
Γ
2π
(θ
− i ln
r)
=
Γ
i2π
ln(reiθ
)
=
−
iΓ
2π
ln
z
2π
15:58
平面势流基本解物理效应
奇点:
W (z) = ϕ + iψ
V0
Q
Γ
M
• 奇点的物理效应 最简单的流动——解决复杂势流的基础。
• 均匀流——顺流
15:58 •复杂物面绕流——多个奇点的叠加
一、平面势流基本解的叠加
势流叠加意义：将简单的势流叠加起来，得到新的 复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。
• 复势的可叠加性 W (z) = W1 (z) + W2 (z) + —— 基本解叠加法
• 由基本解构造复杂流动的解 —— 基本解（奇点）叠加法。
Γθ 2π Γ ln
r
⇒
W
(z)
=
Γ 2π
(θ
−
i
ln
r)
=
Γ i2π
ln(reiθ
)
=
−
iΓ 2π
ln
z
2π
• 偶极子 ——兼厚度效应与升力效应
ϕ=
M
2π
x x2 + y2
ψ
=− M
2π
y x2 + y2
⇒W (z) =
M
2π
x − iy (x + iy)(x − iy)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极子迭加形成的流动。
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
1
2
V0rCos
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
流函数为： M sin 2 r
（６-12）
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
固体的力和力矩。
求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍 一个简单的方法： “迭加法”
迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调
和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始 条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数 就是所需要的解。
§６-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
vs 2 r
vr 0
（６－15）
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到 点涡的距离
采用极坐标来求φ和ψ
图 6-9
d
vr dr
vsrd
2
d
积分得速度势函数:
2
流函数
d
vsdr
vrrd
2 r
dr
积分得流函数： ln r
2
（６－16） （６－17）
流线：ψ＝const 同心圆
Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋
图 6-9
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶
M
2
x2
y y2
c
或
y x2 y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 ( y 1 )2 1
2c1
4c12
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
注意：
偶极子的轴线和方向
轴线：源和汇所在的直线
３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，
要求出ｐ，必须先求出速度V
４. 对于势流，存在速度φ，满足：
vx
x
,
vy
y
,
vz
z
（６-１）
V
vx2
v
2 y
vz2
(６-２)
５.φ满足拉普拉斯方程：
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
（６-３）
若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉
斯方程可以解出φ。
求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于
现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：
d
x
dx
y
dy
Vx dx
Vy dy
V0 dx
积分得势函数： V0 x
积分常数不起作用，可省去。
（６-4）
流函数的全微分：d
x
dx
y
dy
Vydx Vxdy
Vody
积分得流函数：ψ＝Voｙ
（６-5）
由（６-4） 和（６-5）有：
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
在直角坐标系下：
（６-6）
图6－5
Vx
x
y
在极坐标下：
Vyyຫໍສະໝຸດ xVrrs
1 r
Vs
s
1 r
r
（6－7）
采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：
d
(
r
dr
d )
Vr dr rVsd
Q
2 r
dr
d
(
r
dr
d )
VsdrrVrd
Q
2
d
Q 2
ln
r
Q 2
（６-8）
流线为θ＝const，为原点
图6－8(a)
这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。
用迭加法求φ和ψ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2
)
场点Ａ离源和汇的距离
r１≈r2＋δx cosθ１
Q ln r1 Q ln r2 x cos1
2 r2 2
r2
Q ln(1 x cos1 )
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得:
Q x cos1 2 r2
第六章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）
ｘ＝const，等势线
两组等值线相互正交
图6－3
例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。
图6－4
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ
Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程：
2πrVr ＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2πr
引出的 一组射线
等势线为ｒ＝const，流
线为同心圆,相互正交。
图6－6
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
图6-7
三、偶极子
无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δx→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即： Ｑδx→Ｍ （δx→０） (6-9)
均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动
圆柱绕流的边界条件：
1. 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处
为均匀流。
2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即
r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０， 或ｒ=ｒ0 的圆周是一条流线。
边界条件的数学表达式
（a）无穷远条件：
ｒ ∞
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 6－1
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 6－2
一、均匀流
设所有流体质点均具有与
ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０
Vx V0 Vy 0
或
（ｂ）物面条件：
Vr V0 cos V V0 sin
r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０ （零流线）
均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:
1
2
V0rCos
对于流函数：
1
2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q x sin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ
流函数为： M sin 2 r
（６-12）
直角坐标系下： M y
2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r
利用泰劳展开: ln(1 z) z z2 z3
23
令 z x cos1
r2
展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
Q x cos1 2 r2
极坐标下： M cos
2 r
（６-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（６-11）
固体的力和力矩。
求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍 一个简单的方法： “迭加法”
迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调
和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始 条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数 就是所需要的解。
§６-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
vs 2 r
vr 0
（６－15）
涡索旋涡强 度的两倍
所求速度的点到 点涡的距离
采用极坐标来求φ和ψ
图 6-9
d
vr dr
vsrd
2
d
积分得速度势函数:
2
流函数
d
vsdr
vrrd
2 r
dr
积分得流函数： ln r
2
（６－16） （６－17）
流线：ψ＝const 同心圆
Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋
图 6-9
§6－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶
M
2
x2
y y2
c
或
y x2 y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 ( y 1 )2 1
2c1
4c12
（６－14）
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
注意：
偶极子的轴线和方向
轴线：源和汇所在的直线
３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，
要求出ｐ，必须先求出速度V
４. 对于势流，存在速度φ，满足：
vx
x
,
vy
y
,
vz
z
（６-１）
V
vx2
v
2 y
vz2
(６-２)
５.φ满足拉普拉斯方程：
2
x 2
2
y 2
2
z 2
0
（６-３）
若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉
斯方程可以解出φ。
求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于
现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：
d
x
dx
y
dy
Vx dx
Vy dy
V0 dx
积分得势函数： V0 x
积分常数不起作用，可省去。
（６-4）
流函数的全微分：d
x
dx
y
dy
Vydx Vxdy
Vody
积分得流函数：ψ＝Voｙ
（６-5）
由（６-4） 和（６-5）有：
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
在直角坐标系下：
（６-6）
图6－5
Vx
x
y
在极坐标下：
Vyyຫໍສະໝຸດ xVrrs
1 r
Vs
s
1 r
r
（6－7）
采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：
d
(
r
dr
d )
Vr dr rVsd
Q
2 r
dr
d
(
r
dr
d )
VsdrrVrd
Q
2
d
Q 2
ln
r
Q 2
（６-8）
流线为θ＝const，为原点
图6－8(a)
这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。
用迭加法求φ和ψ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2
)
场点Ａ离源和汇的距离
r１≈r2＋δx cosθ１
Q ln r1 Q ln r2 x cos1
2 r2 2
r2
Q ln(1 x cos1 )
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得:
Q x cos1 2 r2
第六章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）
ｘ＝const，等势线
两组等值线相互正交
图6－3
例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。
图6－4
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ
Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程：
2πrVr ＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2πr
引出的 一组射线
等势线为ｒ＝const，流
线为同心圆,相互正交。
图6－6
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
图6-7
三、偶极子
无界流场中等流量的源和汇 无限靠近，当间距δx→０时，流 量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一 个有限数值，即： Ｑδx→Ｍ （δx→０） (6-9)