量子论习题(2)

合集下载

量子力学——第二章作业参考答案

+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3）（4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下：由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t

量子力学第二章习题答案

第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。

大学物理相对论量子论练习题答案

相对论、量子理论练习题解一．选择题1．D ．2．D ．3．A ．4．B ．5.A 6.B 7.A 8.A 二．填空题1．光速不变，真空中的速度是一个常量，与参考系和光源的运动无关。

狭义相对性，物理规律在所有惯性系中具有相同的形式。

2．同时，不同时。

3．与物体相对静止的参考系中所测量的物体，本征长度最长，绝对。

4．同一地点，本征时间最短。

5．等效，弱，引力场同参考系相当的加速度等效；广义相对性原理；物理学规律对任何以加速度抵消掉该处引力场的惯性系都具有相同的形式。

6．引力红移；雷达回波延迟；水星近日点的进动，或光线在引力场中偏折。

7． 1.33X10-23 .8．德布罗意波是概率波，波函数不表示实在物理量在空间的波动，其振幅无实在物理意义。

9．自发辐射，受激辐射，受激辐射。

10．受激辐射，粒子数反转分布，谐振腔。

11．相位 ,(频率, 传播方向, 偏振态。

12．能量，能量，动量。

三．小计算题 1.cv c v c v x t cv x c v t t 6.0541451145450's 4'11)''(22222222=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-====∆=∆-=∆+∆=∆γγγγγcv l l c v l l c v l l 8.0531531.222202=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=－光年光年c v c v v c v c v c v c v c v c v t c t v c v x x tcx t S 171616171616)1(1611641'1'164''.322222222222=∴=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆∆==∆=∆光年原长年（原时）系32m 075.03.05.05.0m3.06.05.01=⨯⨯==⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=V c v l l 沿运动方向长度收缩5. MeV49.1eV 1049.11051.01000.2eV 1051.0J 102.81099.811091011.966620261415163120=⨯=⨯-⨯=-=⨯=⨯≈⨯=⨯⨯⨯=---c m mc E c m K6.c v c v c v c v c v c v c v c m c m mc E K 359413211123111211115.04111122222220202=∴=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=7.120201020102010202002201010011222)(221)4()3()4()()2()3()()1(ννννννννννννννννννννννν-=-=--=-=--=-+==-+=eU h h eU h eU h h eU h8.120201020102010202002201010011222)(221)4()3()4()()2()3()()1(ννννννννννννννννννννννν-=-=--=-=--=-+==-+=eU h h eU h eU h h eU h9.13)(44431212323212121020222022======v v nn v v n r r n r e r m e v r e r v m n n nn n n πεεππε10.aaa a a a aa 2122122145cos 16523cos12265=⋅-=⋅-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ψππψ概率密度四、大计算题1. (1)对不同金属斜率相同。

高三历史相对论与量子论试题答案及解析

高三历史相对论与量子论试题答案及解析1.爱因斯坦在1935年指出“（甘地的不抵抗）只有在理想的条件下才可实行，在印度实行不抵抗主义来反对英国也许是行得通的，但是在今天的德国却不能用这种办法来反对纳粹。

” 据材料并结合所学指出下列各项中符合史实的是：A．爱因斯坦直接参与原子弹研制，之后反对核战争B．两人都赞成和平斗争，都因条件变化而调整策略C．两人都重视现代科技，并重视其对人类的双刃性D．甘地的非暴力不合作运动是一场特殊的空想运动【答案】B【解析】该题属于史实判断型选择题，旨在考查学生对史实的记忆与理解的准确性。

题中涉及爱因斯坦与甘地二人关于战争的相关思想的比较。

根据相关史实，B项表述正确，二人在历史条件和状况变化之后变成了新的斗争思想。

【考点】现代科学技术·相对论和量子论·爱因斯坦2.某理论以一种全新的模式重建了宇宙体系，认为宇宙是有限的，物体不只是三维空间，而是四维的，长、宽、厚与时间组成四维的“时空连续统一体”。

该理论A．大大加强了人类对微观世界的研究B．为人们发现海王星提供了理论依据C．为经典力学的创立奠定了理论基础D．改变了人们认识世界的角度和方式【答案】D【解析】首先要正确理解材料的内容，材料叙述的是爱因斯坦的相对论的内容，其次对应备选项来筛选答案。

A项是量子力学理论创立的意义，所以排除A项。

B项内容是牛顿的经典力学理论的意义，所以排除B项。

C项明显错误。

【考点】现代科学技术·相对论和量子论·相对论3. 1922年12月，一部名为《爱之光》的剧本基本剧情是：一位科学博士以前认为，时间先生和空间小姐毫无联系、相对独立，所以在科学研究中遇到许多无法克服的困难。

一天，光之神给他带来了重要灵感。

最后，科学博士摘下了他的“有色眼镜”，明白了时间先生和空间小姐的本质联系。

该剧情反映的科学成就A．说明了物体的颜色形成原理，奠定近代光谱学的基础B．是人类对自然界认识上的第一次理论大综合C．成为天文学上的基础定律，可以解释潮汐现象D．是原子能科学、宇宙航行等科学的理论基础【答案】D【解析】本题主要考查学生对材料的理解能力。

早期量子论(附答案)

早期量子论(初稿)一、填空题（10道）1.在加热黑体过程中，其最大单色辐射度对应的波长由0.8μm变到0.4μm，则其辐射度增大为原来的______________倍。

2.100W的白炽灯灯丝表面积为 5.3×10-5 m2。

若视其为黑体，则工作温度为______________K。

3.若黑体的半径有R增大为2R，则总辐射功率为原来的______________倍。

4.当绝对黑体的温度从27 ºC升到327 ºC时，其辐射出射度（总辐射本领）增加为原来的______________倍。

5.在均匀磁场B内放置一极薄金属片，其红限波长为λ0。

今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子（质量为m，电荷绝对值e）在垂直于磁场的平面内做半径为R的圆周运动，那么此照射光光子的能量是______________。

6.当照射光的波长从4000 Å变到3000 Å时，光强保持不变，对同一金属，在光电效应实验中测得的遏止电压将增大______________。

7.在康普顿散射中，若入射光子与散射光子的波长分别为λ和λ',则反冲电子获得的动能E k=______________。

8.在X射线实验中散射角为45º和60º的散射光波长改变量之比为______________。

9.质量为1 g，以速度v=1cm/s运动的小球的德布罗意波长为______________。

10.某金属产生光电效应的红限为υ0，当用频率为υ（υ>υ0）的单色光照射该金属时，从金属中溢出的光电子（质量为m）的德布罗意波长为______________。

二、计算题（10道）1. 红限波长为λ0=0.15Å的金属箔片至于B=30×10 4T的均匀磁场中。

现用单色γ射线照射儿释放出电子，且电子在垂直于磁场的平面内做R=0.1m的圆周运动。

求γ射线的波长。

量子论习题

（2)
光谱线为什么是分立的；
（3）纳蒸汽为什么会发射黄光，即有标志谱线（4）重核会发生α衰变。
量子力学的历史
早期量子论
普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说康普顿效应玻尔的氢原子理论
量子力学
德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系
狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合
氢原子光谱
1 1 实验规律 R 2 2 T (m) T (n) m n m 1, 2,3, 4,5 R 1.096776 107 m1 1 n m 1, m 2, m 3 经典解释原子核模型
玻尔理论
A.定态假设。 C.跃迁条件。
2、从经典物理学到近代物理学过渡的三个重大问题
1887年的迈克耳孙—莫雷实验否定了绝对参考系的存在； 1900年瑞利和金斯用经典的能量均分定理说明黑体辐射问题，出现了所谓“紫外灾难”； 1896年贝克勒尔发现放射性现象，说明原子不是物质的基本单元，原子是可分的。
3、原子和分子领域的困难而一旦深入到分子、原子领域，一些实验事实和经典理论发生矛盾或无法理解。（1）为什么原子不坍塌；
证明在康普顿散射实验中，波长为0的一个光子与质量为m0的静止电子碰撞后，电子的反冲角与光子散射角之间的关系为：
h tg (1 )tg ( ) m0 c0 2
1
解：散射前后体系动量守恒，所以有
h
h
mev
0

mv sin
mv cos h
0

4
斯特藩常数
2）维恩位移定律之间满足关系
5.67051108W / m2 K 4

早期量子论习题

λmT = b
或
νm = C T ν
Cν = 5.880×1010 Hz / K
2π hc2 1
hc
2π h υ3 或 M0ν = 2 hυ kT c e −1
ε =h υ
M0λ(T) =
λ5
e
kλ T
−1
二.光电效应
爱因斯坦的光子理论
三.康普顿散射
1 2 光电效应方程： ν 光电效应方程： h = m + h υm ν0 2
λm2
= 8.28×103 (k)
M0 (T2 ) = σT24 = 2.67×108 (Wm−2 )
2. 太阳辐射到地球大气层外表面单位面积的辐射通量 Io 称为太阳常量，实验称为太阳常量，试把太阳近似当作黑体，测得其值为 Io =1.35 kW/m2 。试把太阳近似当作黑体，由太阳常数估计太阳表面的温度。太阳，面的温度。太阳，地球之间的平均距离为 r =1.496×1011 m 太阳半径为 R = 6.960×108 m 解: 太阳辐射能 4 R2M0 (T ) = 4 r2 I0 π π
2 2
2 电子的动能等于碰撞前光子的能量减去碰撞后光子的能量，电子的动能等于碰撞前光子的能量减去碰撞后光子的能量，即：
λ − λ0 hc hc Ek = mc − m0c = h 0 − h = − = hc ν ν
由相对论质量关系，可得由相对论质量关系，
λ0
λ
λλ0
m0c2 1− v2 c2 ∴
解得
− m0c2 = hc =1+ (
λ − λ0 λλ0
1 1− v2 c2
λ − λ0 h λ − λ0 )⋅ =1+ λc =1+ 4.335×10−5 λλ0 m0c λλ0

量子考试题及答案

量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。

答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。

答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。

量子论基础填空1经典物理学不能解释_________

第一章量子论基础一、填空1.经典物理学不能解释：___、___、___、___ 和___等问题。

2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式____；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式____。

这两个关系式合称为普朗克－爱因斯坦关系式。

3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。

二、概念与名词解释1.黑体辐射2.玻尔的量子论3.光的波粒二象性4.德布罗意关系5.杜隆－珀蒂定律三、计算1.设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上.若电子的动能转化为一个光子，求当这个光子相应的光波波长分别为500nm（可见光）、0.1nm（X射线）以及0.0001nm（γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？2.求下列各粒子的德布罗意波的波长：(1)能量为0.1eV，质量为1g的质点；(2)T=1K 时，具有动能E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子；(3)速度为500m/s ，质量为20g 的子弹.3.利用玻尔量子化条件求：(1)一维谐振子的能量；(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的可能轨道半径.4.设箱的长宽高分别为a 、b 、c ，用玻尔量子化条件求箱内运动粒子的能量。

5.利用玻尔量子化条件求转动惯量为I 的平面转子的能量.6.由p=mv 及220/c v -1/m m =出发，利用202c m -mc T =，导出相对论粒子德布罗意波长与动能的关系。

m 0为该粒子的静止质量。

7.一个德布罗意波在k 空间的表示/4)k -(k a -1/4202e )(2a C(k)π=，求： (1)ψ(x,t)和|ψ(x,t)|2，在时刻t 这是否是个高斯波包？(2)波包的宽度Δ(x,t)； (3)⎰+∞∞-ψdx t)(x ,2是否依赖于t?8.两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对. 如果两光子的能量相等, 问要实现这种转化, 光子的波长最大是多少?9.当自由电子与中子的德布罗意波长均为10-10m 时，求它们各自具有的能量。

量子教育测试题及答案

量子教育测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的“量子”一词最早是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 薛定谔D. 波尔2. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，以下哪项描述是错误的？A. 纠缠粒子间存在超距作用B. 纠缠粒子的某些属性在测量前不确定C. 纠缠粒子的属性在测量后立即确定D. 纠缠粒子的属性与空间距离无关3. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为：A. 测不准原理B. 波粒二象性C. 量子叠加D. 量子隧穿4. 量子计算机与传统计算机的主要区别在于：A. 存储容量B. 处理速度C. 信息表示方式D. 能耗更低5. 以下哪个不是量子力学的基本原理？A. 波函数坍缩B. 量子叠加C. 量子纠缠D. 经典力学的完备性6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 向量B. 矩阵C. 标量D. 张量7. 量子力学中的“观察者效应”指的是：A. 观察者的存在会影响实验结果B. 观察者必须使用仪器来观察量子系统C. 观察者可以改变量子系统的波函数D. 观察者可以预测量子系统的未来发展8. 以下哪项不是量子计算的潜在应用？A. 加密通信B. 药物设计C. 天体物理模拟D. 经典计算机编程9. 量子比特（qubit）是量子计算的基础，它与经典比特的主要区别在于：A. 存储容量B. 可以同时表示0和1C. 处理速度D. 能耗更低10. 量子退相干是量子系统与环境相互作用的结果，它会导致：A. 量子纠缠B. 量子叠加C. 量子坍缩D. 量子系统的稳定性增强答案：1. B2. A3. A4. C5. D6. A7. A8. D9. B10. C二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。

答：量子力学与经典力学的主要区别在于其对微观粒子行为的描述方式。

经典力学基于牛顿定律，适用于宏观物体的运动描述，而量子力学则适用于微观粒子，如原子和亚原子粒子。

量子思考题与解答-2

量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。

解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。

（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。

如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。

由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。

3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。

4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。

（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。

这种理解正确吗？解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

量子力学试题及答案

量子力学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数描述了粒子的哪种属性？A. 位置B. 动量C. 能量D. 概率密度答案：D2. 哪个原理表明一个粒子的波函数可以展开成一组完备的本征函数？A. 泡利不相容原理B. 薛定谔方程C. 玻恩规则D. 量子态叠加原理答案：D3. 量子力学中，哪个算符代表粒子的位置？A. 动量算符B. 能量算符C. 位置算符D. 角动量算符答案：C4. 量子力学中，哪个原理描述了测量过程对系统状态的影响？A. 海森堡不确定性原理B. 量子纠缠C. 量子退相干D. 量子测量原理答案：D5. 哪个方程是量子力学中描述粒子时间演化的基本方程？A. 薛定谔方程B. 狄拉克方程C. 克莱因-戈登方程D. 麦克斯韦方程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，粒子的状态由______描述，而粒子的物理量由______表示。

答案：波函数；算符2. 根据量子力学，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为______。

答案：海森堡不确定性原理3. 在量子力学中，粒子的波函数在空间中的变化遵循______方程。

答案：薛定谔4. 量子力学中的______原理指出，一个量子系统在任何时刻的状态都可以表示为该系统可能状态的线性组合。

答案：态叠加5. 量子力学中，粒子的波函数必须满足______条件，以保证物理量的概率解释是合理的。

答案：归一化三、计算题（每题10分，共20分）1. 假设一个粒子处于一维无限深势阱中，势阱宽度为L。

求该粒子在基态时的能量和波函数。

答案：粒子在基态时的能量E1 = (π^2ħ^2) / (2mL^2)，波函数ψ1(x) = sqrt(2/L) * sin(πx/L)，其中x的范围是0 ≤ x ≤ L。

2. 考虑一个粒子在一维谐振子势能中运动，其势能表达式为V(x) = (1/2)kx^2。

求该粒子的能级和相应的波函数。

答案：粒子的能级En = (n + 1/2)ħω，其中n = 0, 1, 2, ...，波函数ψn(x) = (1/sqrt(2^n n!)) * (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx^2/(2ħ)) * Hn(x)，其中Hn(x)是厄米多项式。

量子力学答案

第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThc ekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

早期量子论和量子力学基础作业习题及解答

13-12. 如果一个光子的能量等于一个电子的静止能量，问该光子的频率、波长和动量各是多少? 在电磁波谱中属于何种射线?解：设电子的静止质量为m e 0，相应的静止能量为E e 0，一个光子的能量为E 。

则200,e e E m c E h ν==。

由题意有：0e E E =，即有：20e h m c ν=所以该光子的频率为：23182200349.1110(310)Hz=1.2410Hz 6.6310e m c h ν--⨯⨯⨯==⨯⨯ 光子波长为：1232.4310m=2.4310nm cλν--==⨯⨯光子动量为：220 2.7310kg m/s e E hp m c c λ-====⨯⋅ 在电磁波中属于γ射线13-23. 设电子与光子的波长均为λ，试求两者的动量之比以及动能之比。

解：设电子与光子的动量分别为p e 和p o ，动能分别为E e 和E o 。

根据德布罗意关系：λ=h /p ，且λe =λo =λ，则电子与光子的动量之比为：oo 1e ep p λλ== 光子动能可表示为：83416o 9310 6.6310J 3.97810J 2.486KeV 0.5010hE h c cp νλ---⨯⨯⨯====≈⨯≈⨯ 电子的静能为：231821409.1110(310)J 8.2010J 0.512MeV m c --=⨯⨯⨯≈⨯≈电子动能：2022022)(c m c m c p E e -+=，由以上计算知：20c m c p pc e <<=所以电子动能：222222000024001(1)22e p c p E m cm c m c m c m c m =≈+-= 则电子与光子的动能之比为：230o o 00/2 2.431022e e e E p m p hE cp cm cm λ-===≈⨯13-24. 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。

高考物理量子论初步训练习题

电源G图－1 <<量子论初步>>同步训练习题一、光电效应、光子一、选择题1、下列关于光电效应的说法中正确的是（）A 、入射光频率决定了金属电子的逸出功大小B 、入射光的强度决定了光电子的最大初动能C 、光电子的最大初动能与入射光的频率成正比D 、入射光的频率决定了光电子的最大初动能2、如图1所示，线路中的元件都完好。

当光照射到光电管上时，灵敏电流计中没有电流通过，则其可能的原因是（） A 、入射光太弱 B 、光照时间太短C 、入射光的频率太小D 、电源的正负极接反了 3、下列的四个选项中光的能量最小的是（）A 、红光B 、黄光C 、绿光D 、紫光4、用绿光照射光电管恰好有电子逸出，欲使光电子从阴极逸出的最大初动能增大，下列的做法中可行的是（）A 、增大光的强度B 、增大光照时间C 、增大光电管两极电压D 、改用紫光照射5、某单色光从一种介质进入另一种介质时，保持不变的物理量有（）A 、传播速度B 、波长C 、频率D 、能量6、图2是光电效应中光电子的最大初动能k E 与入射光频率ν的关系图线。

从图可知 ①图象的斜率表示（）； ②图象中OB 的长度表示（）A 、逸出功B 、极限波长C 、普朗克恒量D 、入射光子的能量二、填空题 1、用红、黄、蓝三种色光在同样的双缝仪器上做干涉实验，则相邻明暗条纹间的间距最宽的是，若用这三种色光分别照射同一金属板时均有电子逸出，则用光照射时逸出光电子的最大初动能最大。

2、在做光电效应实验时能否产生光电效应由决定；光电流的最大值由决定。

3、爱因斯坦指出光子的能量跟成正比。

二、光的波料二象性一、选择题1、下列的现象中能说明光具有波粒二象性的是（）A 、光的干涉B 、光的反射C 、光的衍射D 、光的折射2、关于光的波粒二象性，下列说法中正确的是（）A 、传播中的光，一部分是波一部分光是粒子B 、光电子就是光子和电子的总称C 、光的波长越长，波动性就越明显D 、光子数越多，粒子性就越明显著 3、一束复色光从水中射向空气中时分成a 、b 、c 三束，如图3所示，下列的说法中正确的是（） A 、a 光的波长最大ＡＢＯＥk ν0ν图 2 a b c 空气水图312345-13.6-3.4-1.51-0.85-0.54∞E/eV n 图3 B 、c 光的波速最大C 、a 光比c 光易衍射D 、c 光的光子能量最大4、下列的说法中正确的是（）A 、麦克斯韦的电磁说认为光具有波粒二象性B 、光电效应证明了光具有粒子性C 、光的衍射和干涉都说明了光具有波动性D 、光波不是电磁波5、关于光的干涉和衍射，以下说法正确的是（）A 、在波峰跟波峰叠加的地方，光就互相加强，出现亮条纹。

量子力学习题集及答案

23．设氢原子的状态为，求：（1）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几率；（2）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。解： .
(1) 能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; (2) =
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（）和（）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为=（），（）。 5．动量算符的归一化本征态（），（）。 6． t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函
数，则（）。 7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（），几率
流密度=（）。 8．设描写粒子的状态，是（粒子的几率密度），在中的
平均值为=（）。 9．波函数和是描写（同一）状态，中的称为（相因子
），不影响波函数的归一化，因为（）。 10．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指
（无穷远处波函数为零）的状态。 11．是定态的条件是（），这时几率密度和（几率密度）
二、计算、证明题
1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.
解：当当令得
，
2．一粒子在一维势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。解：令则
3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一化）。 { 提示：在态中 } 解：当当令得
立。
23．力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属
于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。

【强烈推荐】大学量子(考试)必出题及其答案

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =.如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么e p E μ22= .如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc , ph =λ nmmm E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解由于两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有2c hv E e μ== ， λhcpc E ==2chce μλ=⇒2c hc e μλ=nmm m 31266104.2104.21051.01024.1---⨯=⨯=⨯⨯=2.2 由下列定态波函数计算几率流密度 ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21 在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r m r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr3202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。

高考真题分类汇总专题03量子论和粒子物理附答案

专题3 量子论和粒子物理一、波粒二象性基本知识1、麦克斯韦建立了完整的电磁场理论，预言了电磁波的存在。

2、赫兹用实验验证了电磁场理论，发现了电磁波，也最早发现了光电效应。

3、普朗克提出能量子假设。

4、爱因斯坦提出光子说，建立了光电效应方程。

5、康普顿效应的意义：证明了爱因斯坦光子假说的正确性，揭示了光子不仅具有能量，还具有动量。

νh E =λhp =6、光子的能量，光子的动量。

7、光既有粒子性，又有波动性，也就是波粒二象性；光电效应说明光具有粒子性，光的干涉、衍射说明光具有波动性，光的偏振说明光波是横波。

8、光的粒子性，指的是光是“不连续的”，也宏观概念的粒子不；光的波动性，指的光子在空间各点出现的概率可用波动规律描述，光波是概率波，也与宏观概念的波不同。

9、德布罗意提出物质波假设：实物粒子既有粒子性，也有波动性（称为物质波）。

10、电磁波谱π4hp x ≥∆⋅∆11、海森堡提出不确定关系 12、光电子的最大初动能与遏止电压的关系：c m km eU mv E ==221 00νh W =13、逸出功与截止频率的关系：0W h E k -=ν14、光电效应方程：习题1、【2017·全国3av 】在光电效应实验中，分别用频率为、b v a b 的单色光、照射到同种金属上，测得相应的遏止电a U b U ka E 压分别为和、光电子的最大初动能分别为和kb E h 。

为普朗克常量。

下列说法正确的是 A a b v v >a b U U <．若，则一定有B a b v v >ka kb E E >．若，则一定有C a b U U <ka kb E E <．若，则一定有D a b v v >a ka b kbhv E hv E ->-．若，则一定有2、【2016·全国1】现用一光电管进行光电效应的实验，当用某一频率的光入射时，有光电流产生。

29量子论习题课

24
二、薛定谔方程
1.一维自由粒子定态薛定谔方程 i Px 与时间无关，一维定态波函数。 0
( x) e
2
d ( x) 2mE K ( x) 0 2 2 dx
2.势场中粒子的定态薛定谔方程
若粒子在势场中：
2
E EK U
若 U与时间无关
2m 2 [ E U ( x)] 0
时，发射或吸收一个光子。
h En E K
（3）轨道角动量量子化假设
L
2013-7-26
h mvr n 2
n n 1,2,3, ,19来自二、玻尔的氢原子理论
氢原子
rn n r1 E1 En 2 n E E E n
2
类氢离子
n r1 r 'n Z 2 E1 E 'n Z 2 n
l
n 1 2 3 4 5 6 7
2
0
s
2 2 2 2 2 2 2
6
1
p
2
d
3
f
4 Z 2n2
g
2
K L M N O P Q
2
6 6 6 6 6 6
2
8 10 10 10 10 10
6
18
14 14 14 14
2
32
18 18 18
10 6 2
15
50
1s 2 s 2 p 3 s 3 p 4 s 3d 4 p 5 s
例如：第二激发态的电子 n=3 对应角量子数l =
n个
0 — 3s ——L = 0
1 —3p—— L=
2
6
2 —3d——L= 6

30道量子力学知识选择题和答案

30道量子力学知识选择题和答案1. 关于量子态，以下说法正确的是（）A. 量子态是可连续变化的B. 量子态是离散的答案：B2. 量子叠加原理是指（）A. 多个量子态可以同时存在B. 量子态只能有一个答案：A3. 量子纠缠现象说明了（）A. 量子之间存在相互作用B. 量子之间存在非定域性关联答案：B4. 在量子力学中，测量会导致（）A. 量子态的改变B. 量子态的保持不变答案：A5. 关于波函数，以下说法正确的是（）A. 描述了量子系统的状态B. 是一个实数函数答案：A6. 海森堡不确定性原理涉及到哪两个物理量的不确定性（）A. 位置和动量B. 能量和时间答案：A7. 量子力学中的算符表示（）A. 物理量B. 对量子态的操作答案：B8. 泡利不相容原理适用于（）A. 电子B. 所有费米子答案：B9. 以下哪种现象与量子力学有关（）A. 黑体辐射B. 光电效应答案：B10. 在量子力学中，能量的量子化表现为（）A. 能量只能取特定的值B. 能量可以连续变化答案：A11. 关于量子隧道效应，以下说法正确的是（）A. 粒子可以穿过势垒B. 粒子不能穿过势垒答案：A12. 量子力学中的可观测量对应的是（）A. 厄米算符B. 非厄米算符答案：A13. 狄拉克方程描述的是（）A. 电子的运动B. 所有粒子的运动答案：B14. 关于量子力学的诠释，以下说法正确的是（）A. 只有一种诠释是正确的B. 有多种诠释，且都有实验支持答案：B15. 量子力学中的全同粒子（）A. 是完全相同的B. 可以区分答案：A16. 关于量子力学的基本假设，以下说法错误的是（）A. 物理量都可以用实数来描述B. 量子态的演化是确定性的答案：AB17. 量子力学中的概率幅表示（）A. 概率的大小B. 概率的相位答案：B18. 以下哪种实验验证了量子力学的基本原理（）A. 双缝干涉实验B. 迈克尔逊-莫雷实验答案：A19. 量子力学中的守恒量对应的是（）A. 不变的物理量B. 随时间变化的物理量答案：A20. 关于量子力学中的对称性，以下说法正确的是（）A. 存在多种对称性B. 对称性与物理规律无关答案：A21. 量子力学中的密度算符描述的是（）A. 量子系统的概率分布B. 量子系统的能量分布答案：A22. 以下哪种量子系统具有简并性（）A. 氢原子B. 自由粒子答案：A23. 量子力学中的散射理论主要研究（）A. 粒子的碰撞过程B. 粒子的传播过程答案：A24. 关于量子力学中的表象，以下说法正确的是（）A. 有多种表象可以选择B. 表象是唯一确定的答案：A25. 量子力学中的时间演化算符描述的是（）A. 量子态随时间的变化B. 物理量随时间的变化答案：A26. 以下哪种量子系统的能级是分立的（）A. 谐振子B. 自由电子答案：A27. 量子力学中的角动量算符具有（）A. 分立的本征值B. 连续的本征值答案：A28. 关于量子力学中的路径积分表述，以下说法正确的是（）A. 是一种量子力学的表述方式B. 与薛定谔方程等价答案：AB29. 量子力学中的对称性破缺会导致（）A. 新的物理现象B. 物理规律的改变答案：A30. 以下哪种量子系统的波函数可以用球谐函数来描述（）A. 氢原子B. 原子核答案：A。