数列的通项与求和(教学案)

数列的通项与求和（教学案）

【热身训练】

1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则该数列的第6项为________．

解析：由递推关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 以及对n 分别取1,2,3,4即可得到a 6＝－3.

2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2

n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *

)，则它的通项公式a n ＝________.

解析：由(n ＋1)a 2

n ＋1－na 2

n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)可知，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以{na n }为常数列，即a n ＝1

n

.

3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为________．

解析：由等差数列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫S n n 为等差数列，且首项为－2，公差为12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫S n n 的前

21项和为63.

4．已知数列a n ＝4n

2

－1，则数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫1a n 的前n 和为________．

解析：因为1

a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以由裂项法求和可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为n

2n ＋1

.

【热点追踪】

在高考数学中，数列问题一直占有较大的分量，数列的通项与求和是

研究数列问题的基本内容，涉及的内容和方法较多，也常融入以数列为压轴题的高考试题中，此时，数列的通项与求和往往作为解决此类压轴题的基础.

（一）数列中的通项与求和基本问题 例1. 已知数列{a n }的前n 项和

S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫12n －1

＋2(n 为正整数)．

(1)令b n ＝2n

a n ，求证数列{

b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；

(2)令c n ＝n ＋1

n

a n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n

.

令b n ＝2n

a n ，所以

b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝n ，所以a n ＝n

2

n .

(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫12n

，所以 T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122

＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123

＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122

＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123

＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124

＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12n ＋1

②

由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12

n ＋1＝1＋

－(n ＋1)⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫12

n ＋1＝32－n ＋32n ＋1 所以T n ＝3－n ＋3

2n

变式1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式．

将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122

＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫12n －2

＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪

⎪⎫

12n －1

1－

12

＝2－2⎝ ⎛⎭

⎪

⎪

⎫12n －1

.

又因为b 1＝1，所以b n ＝3－2⎝ ⎛⎭

⎪

⎪

⎫12n －1

(n ＝1,2,3，…)．

变式2：设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2

3，n ∈N *.

求数列{a n }的通项公式．

（二）数列中的常见的裂项求和问题

例2. (2017·扬州期末)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *

，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2

，b 1＝2，求B n ；

(2)若对任意n ∈N *

，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜1

3

成立，求

正实数b 1的取值范围．

解析：(1)因为A n ＝n 2

，所以当n ≥2，a n ＝A n －A n －1＝2n －1，又a 1＝1符合a n ，所以a n ＝2n －1.

故b n ＋1－b n ＝1

2(a n ＋1－a n )＝1，所以数列B n 是以2为首项，1为公差的等

差数列．所以B n ＝n ＋1.

(2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1

b n

＝2，所以

数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2

n

1－2

×b 1