数列的通项与求和(教学案)
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
等差数列求和公式教案
等差数列求和公式教案一、教学目标1.理解等差数列的概念和性质；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等差数列的公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列的通项公式和求和公式；2.应用等差数列的公式解决实际问题。
三、教学难点1.等差数列求和公式的推导；2.应用等差数列的公式解决复杂问题。
四、教学内容1. 等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等的数列。
例如：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质有：1.公差相等；2.任意两项的和等于它们的中间项之和；3.等差数列的前n项和可以表示为n的某个函数。
2. 等差数列的通项公式和求和公式等差数列的通项公式是指根据数列中的位置n，求出该位置上的数的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1) * d等差数列的前n项和公式是指求出等差数列前n项的和的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的前n项和公式为：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，an为等差数列的第n项。
3. 应用等差数列的公式解决实际问题等差数列的公式可以应用于很多实际问题中，例如：1.求和问题：某人每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推，到第30天时，他一共存了多少钱？解法：这是一个等差数列，首项为1，公差为1，共有30项。
根据等差数列的前n项和公式，可得：Sn = 30 * (1 + 30) / 2 = 465所以，他一共存了465元。
2.求项数问题：一个等差数列的首项为3，公差为4，如果它的第n项为35，求n是多少？解法：根据等差数列的通项公式，可得：an = a1 + (n - 1) * d35 = 3 + (n - 1) * 4n = 9所以，该等差数列的第9项为35。
五、教学方法1.讲解法：通过讲解等差数列的概念、性质、通项公式和求和公式，让学生掌握等差数列的基本知识；2.案例法：通过实际问题的案例，让学生应用等差数列的公式解决问题，提高学生的实际应用能力；3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固等差数列的公式和应用能力。
数列的通项与求和教学方法和教学手段
数列的通项与求和教学方法和教学手段在数学中，数列作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用和研究价值。
常常需要确定数列的通项公式和求和方法，在教学过程中，教师需要采用恰当的教学方法和教学手段来帮助学生理解和掌握数列的通项与求和。
一、数列通项的教学方法和教学手段1. 直接法：对于一些简单的数列，可以直接通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式。
例如等差数列(1, 3, 5, 7, 9...)的通项公式为an = 2n-1，等比数列(2, 4, 8, 16, 32...)的通项公式为an = 2^n。
在教学过程中，教师可以通过多举一些示例，引导学生通过观察规律来总结数列的通项公式，培养学生的数学思维能力和归纳总结能力。
2. 递推法：对于一些较为复杂的数列，可以通过递推的方法来确定数列的通项公式。
递推法的基本思想是通过前一项和通项公式推导出后一项，从而得到数列的通项公式。
例如斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5...)的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
在教学中，教师可以引导学生通过不断迭代计算，观察数列的变化规律，最终确定数列的通项公式。
3. 数学归纳法：对于一些复杂的数列，可以采用数学归纳法来证明和确定数列的通项公式。
数学归纳法是一种数学推理方法，通过证明基础情况成立，并通过假设前n项成立来证明第n+1项成立。
在教学过程中，教师可以通过引导学生分析数列的特点，确定归纳假设，并逐步进行数学归纳法的证明过程。
二、数列求和的教学方法和教学手段1. 直接求和法：对于一些简单的数列，可以通过直接求和的方法来计算数列的和。
例如等差数列的和公式为Sn = n(a1+an)/2，等比数列的和公式为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中n为项数，an为首项，q为公比。
在教学过程中，教师可以引导学生根据数列的特点，将求和公式变形为更容易计算的形式，培养学生的运算能力。
《等差数列求和公式》教案
《等差数列求和公式》教案教案：等差数列求和公式一、教学目标：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和部分和公式；2.能够根据所给的等差数列求出其前n项的和。
二、教学重点：1.等差数列的通项公式和部分和公式的掌握；2.能够根据实际问题应用等差数列的求和公式。
三、教学难点：1.等差数列部分和公式的推导；2.将实际问题转化为等差数列的求和问题。
四、教学过程：1.情境导入（5分钟）教师展示一段视频：小明每天放学回家都会经过一家自动贩卖机，他每天都会从自动贩卖机里买一瓶饮料。
他发现，每天他付的饮料价格比前一天多2元。
请大家思考一下，小明连续买了n天的饮料，他总共花费了多少钱呢？2.理解等差数列的概念（10分钟）教师引导学生思考，并给予提示，帮助学生定义等差数列：等差数列：指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差都相等。
这个相等的差叫做公差。
学生根据提示得出答案并讨论。
3.推导等差数列的通项公式（15分钟）教师通过提问引导学生思考，帮助学生推导出等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an；由等差数列的定义可知：a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……an = a1 + (n-1)d4.理解等差数列的部分和公式（15分钟）教师通过引导学生思考推导出等差数列的部分和公式：等差数列的前n项和Sn = a1 + a2 + a3 + … + an又a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = an-1 + a2 = an +a1由此可以得出：2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)Sn = (a1 + an) × n/25.运用等差数列求和公式解题（30分钟）教师给学生提供一些实际问题，引导学生运用等差数列求和公式解决问题。
例如：小明连续买了n天的饮料，第一天他支付了2元，第二天支付了4元，第三天支付了6元，以此类推，请计算小明总共支付的饮料费用。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
(完整版)职高数学复习-数列教案
第 课时教学内容：数列的定义教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn 的含义，掌握通项公式的求法及其应用，了解递推的含义．教学重点：数列的基本概念．教学难点：求通项公式、递推公式的应用 教学过程：一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n 注 求数列通项公式的一个重要方法： 对于数列}{n a ,有： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn例1、已知数列{100-3n}，（1）求a 2、a 3；（2）67是该数列的第几项；（3）此数列从第几项起开始为负项． 解：例2 求下列数列的通项公式：（1）1，3，5，7， ……（2）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯.…… （3）9,99,999,9999,……解：（1）12-=n a n ；（2）)1(1)1(+-=n n a nn ；（3）110-=nn a练习：定写出数列3，5，9，17，33，……的通项公式： 答案：a n =2n +1 。
例3 已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项．解 据题意可知：3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a 例4 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： （1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n-1.解：（1）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求. （2）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =⎩⎨⎧≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求．注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合四、提高：例5 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．分析：前n 项之和最大转化为10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．五、同步练习：1．已知：2n a n n =+，那么 （C ） （A ）0是数列中的一项 （B ）21是数列中的一项 （C ）702是数列中的一项 （C ）30不是数列中的一项2、在数列2，5，9，14，20，x ，…中，x 的值应当是 （D ） （A ）24 （B ）25 （C ）26 （D ）273、已知数列11,7,3，…,79,…且a n =179，则n 为 （C ） （A ）21 （B ）41 （C ）45 （D ）494、数列{a n }通项公式a n =log n+1(n+2)，则它的前30项之积是 （B ）（A ）51（B ）5 （C ）6 （D ）231log 3log 3215+ 5、已知数列1,-1,1,-1，…，则下列各式中，不是它的通项公式的为 （D ） （A ）1)1(--=n n a （B ）2)12(sinπ-=n a n （C ） 1 ()1()n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（D ）n n a )1(-=6、数列 ,541,431,321,211⋅⋅-⋅⋅-的一个通项公式是 （A ）（A ）)1(1)1(+-=n n a n n （B ）)1(1)1(1+-=+n n a n n（C ）nn a nn)1(1)1(-⋅-=（D ）)2()1(+-=n n a nn7、数列通项是nn a n ++=11，当其前n 项和为9时，项数n 是 （B ）（A ）9 （B ）99 （C ）10（D ）100 8．数列112，223，334，445，…的一个通项公式是 （B ）（A ）21n n a n =+ （B ）221n n n a n +=+ （C ）211n n n a n ++=+ （D ）221n n n a n +=+ 92,5,22,11,,则25 （B ） （A ）第六项 （B ）第七项 （C ）第八项 （D ）第九项 10．已知数列{a n }满足a 1=1,且121(2)n n a a n -=+≥，求数列的第五项a 5= 31 11、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2 (S n + 1) = n + 1，求a n .（答案： 3 n=12 n 2n n a ⎧=⎨≥⎩）12、已知数列{100-4n}，（1）求a 10；（2）求此数列前10项之和； （3）当此数列前n 项之和最大时，求n 的值． 答案（1）60（2）780（3）24or2513、设数列{a n }中，S n =－n 2＋24n ，（1）求通项公式； (2)求a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 20的值； (3)求S n 最大时a n 的值.答案：（1）an=25-2n （2）-55（3）1 补充：1、已知数列{a n }满足a 1=b(b ≠1),且)(211N n a a nn ∈-=+, （1）求a 1, a 2, a 3; （2）求此数列的通项公式．2、已知数列{a n }前n 项之和S n =1nn +，求a n .3、一数列的通项公式为a n = 30 + n －n 2. ①问－60是否为这个数列中的一项. ②当n 分别为何值时，a n = 0, a n >0, a n <0第 课时教学内容：等差数列（1）教学目的：通过复习，巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式 教学重点：等差数列 教学过程：（一）主要知识 1．等差数列的定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=． 3．求和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c （二）主要方法： 1．等差数列的判定方法(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 2．知三求二(n n S a n d a ,,,,1),要求选用公式要恰当.3．设元技巧: 三数:d a a d a +-,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- （二）基础题型： 讲练题：1．求等差数列8，5，2…的第20项。
高中数列通项公式求法及数列求和
数列的综合应用【教学目标】：1、掌握常见的求数列通项的一般方法；2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学重难点】：1、掌握常见的求数列通项的一般方法；2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来解决.4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】知识要点梳理知识点一：求数列通项公式的一般求法1．公式法：①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.②若已知数列的前n项和公式，则。
2．观察法：观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。
（3）项若正负相间，注意用或表示。
3．累加法：利用恒等式求通项公式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。
4．累乘法：利用恒等式求通项公式的方法；形如的递推数列求通项公式常用此法。
5．转化法：通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。
常用转化途径：（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比数列；（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。
具体步骤：设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。
6．数列通项与的关系法：如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。
注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.1.复利的概念：银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.2.分期付款采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.规律方法指导求数列通项公式的常用方法总结：1．公式法：①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.②若已知数列的前n项和公式，则。
《数列求和》教学设计
第四章数列《数列求和》教学设计1.理解一些常见数列的求和方法．2.会求一些常见数列的前n项和．教学重点：常见数列的求和方法.教学难点：错位相减法求一类数列的和.PPT课件．【新课导入】问题1：等差数列的前n项和公式是什么？设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.问题2：等比数列的前n项和公式是什么？师生活动：学生回顾公式并回答．预设的答案：设计意图：通过回顾公式，引入新课．问题3：如果一个数列既不是等差数列也不是等比数列，如何求它的前n项和呢？常见数列的求和方法有哪些？设计意图：通过该问题，引起学生思考既不是等差数列也不是等比数列的特殊数列求和．【探究新知】知识点一 错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.知识点二 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.知识点三 分组求和法对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和.知识点四 倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.知识点五 并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论. 并项求和一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．【巩固练习】例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n ＋2)·2n ，求该数列前n 项和S n . 师生活动：学生分组讨论，教师讲解． 预设的答案：S n ＝5×2＋8×22＋11×23＋14×24＋…＋(3n －1)·2n －1＋(3n ＋2)·2n ……① 2S n ＝5×22＋8×23＋11×24＋14×25＋…＋(3n －1)·2n ＋(3n ＋2)·2n ＋1……② ①－②得：－S n ＝5×2＋3×22＋3×23＋3×24＋…＋3·2n －1＋3·2n －(3n ＋2)·2n ＋1 ＝10＋3(22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n )－(3n ＋2)·2n ＋1＝10＋3(2n ＋1－4)－(3n ＋2)·2n ＋1q {}n n a b ±{}{},n n a b 1()n a a +(1)()nn a f n =-＝3·2n ＋1－(3n ＋2)·2n ＋1－2 ＝(1－3n )·2n ＋1－2故S n ＝(3n －1)·2n ＋1＋2. 设计意图：通过该题让学生理解乘公比错位相减法的应用及步骤.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．易错点剖析：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)两式相减时最后一项因为没有对应项不要忘记变号；(4)对相减后的和式的结构要认识清楚，中间是n －1项的和；(5)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.例2 已知等差数列为递增数列，且满足,．（1）求数列的通项公式； （2）令，为数列的前n 项和，求．师生活动：学生分析题意，完成（1）；师生一起完成（2）．预设的答案：（1）由题意知，或为递增数列，，故数列的通项公式为（2）. 设计意图：通过该题让学生理解裂项相消法的应用及相消规则.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：等差数列中相邻两项积的倒数构成的数列求和用裂项相消法；常见的通项分解（裂项）有： （1） [一般] {}n a 12a =222435a a a +={}n a *1()(1)(1)n n n b n N a a =∈+-n S {}n b n S 222(22)(23)(24)d d d +++=+23440d d ∴--=2d ∴=23d =-{}n a 2d ∴={}n a 2.n a n =1111()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+11(1)221n =-+21nn =+111(1)1n a n n n n ==-++1111()()n a n n k k n n k==-++（2）（3） （4）（5）例3 求和：.师生活动：学生分组讨论，派代表发言；教师完善．预设的答案：原式. 设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.例4求和 师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：设 ①②①+②得，所以.设计意图：通过该题让学生理解倒序相加法.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：如果一个数列距离首末两项的和相等，就可以采用倒序相加法. 例5求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善．预设的答案：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+2(2)1111()(21)(21)22121n n a n n n n ==+--+-+1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==--++++n a ==()()()12235435235n n ----⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()122462353535n n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()()()1215152233152154nn n n nn -----+=-⨯=+---︒++︒+︒+︒89sin 3sin 2sin 1sin 2222 ︒++︒+︒+︒=89sin 3sin 2sin 1sin 2222T ︒++︒+︒+︒=1sin 87sin 88sin 89sin 2222 T ︒++︒+︒+︒=89cos 3cos 2cos 1cos 2222 T 289T =44.5T =＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.设计意图：通过该题让学生理解并项求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：通常数列中的项是正负交替或奇偶项各有规律的，往往采用并项求和法.【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：目标检测题【目标检测设计】 1.已知若等比数列满足则（ ）A ．B ．1010C ．2019D ．2020 设计意图：进一步巩固错位相减法.本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 2.求数列的前n 项和. 设计意图：进一步巩固错位相减法.该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和. 3.求数列前n 项的和.设计意图：让学生进一步巩固裂项相消法. 参考答案： 1.D等比数列满足即2020故选D. 2.①， ②， 22()(),1f x x x=∈+R {}n a 120201,a a =122020()()()f a f a f a +++=201922n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S {}n 12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()()32121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭22()(),1f x x x =∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++{}n a 120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=122020()()()f a f a f a +++=231123122222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++234111*********n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++①-②得， . 3.∵， .23411111112222222n n n n S +=++++⋅⋅⋅+-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--111,22n n n +=--11222n n nnS -∴=--()()3311212122121n a n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭3111111131311233557212122121n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
等差数列的定义与通项公式教案
等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。
2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。
3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。
2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。
3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。
4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。
5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。
6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。
8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。
六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。
针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。
七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。
对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。
八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。
十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。
数列的通项与求和教案
一．体验高考1.(2012年高考辽宁卷,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( B ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 解析:法一:∵a 4+a 8=16,∴S 11=2111a a +×11=284a a +×11=216×11=88.故选B.法二:设数列{a n }的公差为d,∵a 4+a 8=16,∴a 1+3d+a 1+7d=16,a 1+5d=8. S 11=2111a a +×11=21021da +×11=(a 1+5d)×11=88. 故选B.2.(2012年高考福建卷,理14)数列{a n }的通项公式a n =ncos 2πn +1,前n 项和为S n ,则S 2012= . 解析:∵a n =ncos2πn +1, ∴S 2012=(1×0-2×1+3×0+4×1+…+2012×1)+2012 =(-2+4-6+…-2010+2012)+2012 =2×503+2012=3018. 答案:30183.(2012年高考江西卷,理16)已知数列{a n }的前n 项和S n =-21n 2+kn(其中k ∈N *),且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,并求a n ;(2)求数列{nna 229-}的前n 项和T n . 解:(1)当n=k ∈N *时,S n =-21n 2+kn 取最大值,即8=S k =-21k 2+k 2=21k 2,故k 2=16,因此k=4,∴S n =-21n 2+4n. 从而a n =S n -S n-1=29-n(n ≥2).又a 1=S 1=27满足上式,所以a n =29-n.(2)设b n =n n a 229-=12-n n,T n =b 1+b 2+…+b n =1+22+223+…+221--n n +12-n n,①21T n =21+222+323+…+121--n n +n n2,② ①-②得21T n =1+21+221+…+121-n -n n 2=2(1-n 21)-n n 2, ∴T n =4(1-n 21)-12-n n =4-122-+n n .二．感悟备考等差数列和等比数列的通项公式、中项性质及求和公式的每两个知识点的综合是高考客观题命题的热点,在备考中,要理解、熟记并能灵活运用等差数列和等比数列的通项公式、中项性质及求和公式,灵活运用方程(组)的思想和整体代入的思想提高解题速度,该类题目在平时练习中要达到在1~2分钟内准确无误的解决.而等比数列求和公式的推导方法(错位相减法)是高考解答题命题的热点,在复习时,不但要熟练掌握此类问题的求解方法,并且还要保证结果准确无误.三．热点考向突破考向一 求数列的通项1.热点内容根据数列的递推关系式求数列的通项的解题思路通常是先将所给递推关系式进行适当变形整理(如分解因式,待定系数,同除或者累加、累乘等)构造或转化为等差数列、等比数列,然后求其通项.2.问题引领下面数列{a n }的条件关系式如何转化才能求通项?(1)2n a -21-n a =a n +a n-1(n ≥2);(2)a n a n-1+3a n =3a n-1(n ≥2); (3)a n =2a n-1+2n (n ≥2); (4)a n =2a n-1+2(n ≥2);(5)a n+1=c 2n a (c>0).答案:(1)分解因式法;(2)两边同除a n a n-1;(3)两边同除2n ;(4)构造等比数列;(5)两边取对数转化为(4)的形式.【例1】 (2011年浙江四校联考)已知数列{a n }的首项a 1=t>0, a n+1=123+n na a ,n ∈N *. (1)若t=53,求证{na 1-1}是等比数列,并求出{a n }的通项公式; (2)若a n+1>a n 对一切n ∈N *都成立,求t 的取值范围. 解:(1)由题意知a n >0,11+n a =n n a a 312+=n a 31+32, 11+n a -1=31(n a 1-1),又11a -1=32,所以数列{na 1-1}是首项为32,公比为31的等比数列.na 1-1=32(31)n-1=n 32,即a n =233+n n .(2)由(1)知11+n a -1=31(n a 1-1),na 1-1=(t 1-1)(31)n-1,由a 1>0,a n+1=123+n n a a 知a n >0,故由a n+1>a n 得11+n a <na 1,即(t 1-1)(31)n +1<(t 1-1)(31)n-1+1,得t1-1>0, 又t>0,则0<t<1. 即t 的取值范围为(0,1). 细节关注：形如a n+1=bda ca n n+(cd ≠0,b 为常数)型数列通项公式常用两边取倒数的方法将其转化为b n+1=kb n +t 型后求解变式训练1:已知数列{a n }的首项a 1=1,a 2=3,前n 项和为S n ,且11-+--n n n n S S S S =nn a a 12+(n ≥2,n ∈N *),设b 1=1,b n+1=log 2(a n +1)+b n .(1)判断数列{a n +1}是否为等比数列,并证明你的结论; (2)求{b n }的通项公式.. 解:(1)数列{a n +1}是等比数列.证明如下: 由题意得11-+--n n n n S S S S =n n a a 12+⇒a n+1=2a n +1(n ≥2,n ∈N *), ∴a n+1+1=2(a n +1)(n ≥2,n ∈N *),又a 2+1=4,a 1+1=2, ∴a n+1+1=2(a n +1)(n ∈N *), ∴数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知a n +1=2n ,∴a n =2n -1(n ∈N *),由a n =2n -1及b n+1=log 2(a n +1)+b n 得b n+1=b n +n, b n -b n-1=n-1, b n-1-b n-2=n-2,…, b 2-b 1=1, 以上式子相加,∴b n =1+2)1(-n n (n ∈N *,n ≥2),n=1也适合, ∴b n =1+2)1(-n n (n ∈N *).考向二 求数列的前n 项和问题引领下面数列{a n }的通项公式具有什么结构特点?分别采用什么方法求数列{a n }的前n 项和? (1)a n =(2n-1)3n ;(2)a n =)2(1+n n ;(3)a n =2n+(21)n .答案:(1)一个等差数列与一个等比数列的积,错位相减法;(2)可分解成两项差的形式,裂项相消法;(3)一个等差数列与一个等比数列的和,分组求和法. 【例2】 (2012年安徽省第一次联考)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=4a n -3n+1,n ∈N *.(1)证明:数列{a n -n}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =n a nn -,数列{b n }的前n 项和为S n , 求证:S n +b n >916. 证明:(1)由题设a n+1=4a n -3n+1,得a n+1-(n+1)=4(a n -n),n ∈N *, 又a 1-1=1.∴数列{a n -n}是首项为1,且公比为4的等比数列. ∴a n -n=1×4n-1,a n =4n-1+n. (2)由(1)可知b n =n a nn -=14-n n . ∴S n =1+2×41+3×241+…+(n-1)×241-n +n ×141-n .则41S n =1×41+2×241+…+(n-1)×141-n +n ×n 41, 相减得43S n =(1+41+241+…+141-n )-n ×n 41 =34(1-n 41)-n ×n 41, ∴S n =916(1-n 41)-143-⨯n n,∴S n +b n =916-916×n 41-143-⨯n n +14-n n=916+1431-⨯n ·(2n-34).∵n ≥1, ∴2n-34>0, ∴S n +b n >916. 变式训练2:(2012年福建省普通高中毕业班质检)等差数列{a n }的公差为-2,且a 1,a 3,a 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =)12(2n a n - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)由已知得a 3=a 1-4,a 4=a 1-6, 又a 1,a 3,a 4成等比数列, 所以(a 1-4)2=a 1(a 1-6), 解得a 1=8, 所以a n =10-2n. (2)由(1)可得b n =)12(2n a n -=)1(1+n n =n 1-11+n ,所以S n =b 1+b 2+…+b n=(1-21)+(21-31)+…+(n 1-11+n )=1-11+n =1+n n . 高考新动向 分类讨论思想在数列求和中的应用【典例】 (2012年高考新课标全国卷,理16,5分)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为 .解析:当n=2k(k ∈N *)时,a 2k+1+a 2k =4k-1,① 当n=2k-1(k ∈N *)时,a 2k -a 2k-1=4k-3,② ①-②得a 2k+1+a 2k-1=2, ∴(a 1+a 3)+(a 5+a 7)+…+(a 57+a 59)=2×15=30; n=2k+1(k ∈N *)时,a 2k+2-a 2k+1=4k+1,③ ①+③得a 2k+2+a 2k =8k ,∴(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+…+(a 58+a 60)=8×(1+3+5+…+29)=8×215)291(⨯+=1800, ∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 59+a 60=30+1800=1830.答案:1830小结：数列求和,高考一般考查转化化归的思想,而该题主要考查了分类讨论的思想和整体代入的思想.高考如果在数列求和不设置解答题,而在选择题或填空题的最后一题呈现时,会有新的命题视角. 对于条件式中含有(-1)n,对n要进行分类讨论,项数n分别要用奇数2k-1(k ∈N*)和偶数2k(k∈N*)表示,求出相邻奇数项之间的关系和相邻偶数项之间的关系,观察规律,求出奇数项的和与偶数项的和,问题得到解决.第2讲数列的通项与求和一、选择题1.(2012年东北三省三校第二次联考)已知数列{a n}的前n项和S n=3n-1,则其通项公式a n等于( B )(A)3·2n-1(B)2·3n-1(C)2n(D)3n解析:∵a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1(n≥2),又n=1时,S 1=a 1=2适合,∴a n =2·3n-1.2.(2012年惠州高三模拟)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于( C ) (A)18 (B)24 (C)60 (D)90解析:设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),由24a =a 3a 7得(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+6d),得2a 1+3d=0,再由S 8=8a 1+256d=32得2a 1+7d=8,则d=2,a 1=-3, 所以S 10=10a 1+290d=60.故选C.3.(2012年山东省威海高三第一次模拟)数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则232221a a a +++…+2n a 等于( B ) (A)(3n -1)2 (B)21 (9n -1) (C)9n -1 (D)41 (3n -1) 解析:a 1=2,a 1+a 2+…+a n =3n -1,① n ≥2时,a 1+a 2+…+a n-1=3n-1-1,② ①-②得a n =3n-1·2(n ≥2), n=1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n-1.∴21a +22a + (2)a =91)91(21--n a =91)91(4--n =21(9n -1).4.已知数列{a n }中,a 1=1,2na n+1=(n+1)a n ,则数列{a n }的通项公式为( B )(A)a n =n n 2 (B)a n =12-n n (C)a n =12-n n(D)a n =n n 21+解析:由2na n+1=(n+1)a n 得nn a a 1+=n n 21+,于是有12a a =122⨯,23a a =223⨯,34a a =324⨯,…,1-n n a a =)1(2-n n(n ≥2),将以上n-1个式子相乘得1a a n =12-n n(n ≥2), 又a 1=1,所以a n =12-n n ,故选B.5.(2012年泉州四校联考)已知数列{a n }满足a 1=1,且a n =31a n-1+(31)n (n ≥2,且n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为( B )(A)a n =23+n n (B)a n =n n 32+(C)a n =n+2 (D)a n =(n+2)3n解析:a n =31a n-1+(31)n (n ≥2且n ∈N *)得, 3n a n =3n-1a n-1+1, 3n-1a n-1=3n-2a n-2+1,…,32a 2=3a 1+1,相加得3n a n =n+2,a n =n n 32+.故选B. 6.(2012年浙江省高三联考)已知数列{a n }满足:a 1=a 2-2a+2,a n+1=a n +2(n-a)+1,n ∈N *,当且仅当n=3时,a n 最小,则实数a 的取值范围为( D )(A)(-1,3) (B)(25,3)(C)(2,4) (D)(25,27)解析:∵a n+1-a n =2(n-a)+1=2n+(1-2a).∴a n -a n-1=2(n-1)+(1-2a). a n-1-a n-2=2(n-2)+(1-2a), …a 3-a 2=2×2+(1-2a), a 2-a 1=2×1+(1-2a), a 1=a 2-2a+2.∴a n =2[1+2+3+…+(n-1)]+(n-1)(1-2a)+a 2-2a+2=(n-a)2+1. 对称轴为n=a.又∵当且仅当n=3时,a n 最小.∴运用二次函数的对称思想易得25<a<27. 二、填空题7.(2012年唐山高三第一次模拟)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1-a n =2n+1,则数列的通项a n = . 解析:∵a n+1-a n =2n+1, ∴a 2-a 1=2×1+1, a 3-a 2=2×2+1, …a n -a n-1=2(n-1)+1, a n+1-a n =2n+1,将以上各式左、右两边分别相加得 a n+1-a 1=2(1+2+…+n)+n=n 2+2n. ∴a n+1=n 2+2n+1=(n+1)2, ∴a n =n 2. 答案:n 28.正项数列{a n },定义H n =nna a a a n++++ 32132为{a n }的“光阴”值,现已知某数列的“光阴”值为H n =22+n ,则数列{a n }的通项公式为 . 解析:由H n =nna a a a n++++ 32132可得a 1+2a 2+3a 3+…+na n =nH n =2)2(+n n ,①a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=2)1)(1(+-n n (n ≥2),② ①-②得na n =2)2(+n n -2)1)(1(+-n n =212+n (n ≥2),所以a n =n n 212+ (n ≥2).又a 1=23满足a n =n n 212+,所以a n =n n 212+.答案:a n =nn 212+9.(2012年福州高三联考)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且a n 和S n 满足:4S n =(a n +1)2(n=1,2,3,…),则S n = . 解析:由题意知S n =(2n a +21)2, 当n=1时,易得a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n a +21)2-(21-n a +21)2=(2n a +21-n a +1)·(2n a -21-n a) =(4212--n n a a )+(2n a -21-n a ).整理得21-+n n a a =4212--n n a a ⇒a n -a n-1=2.所以a n =2n-1,所以S n =n 2.答案:n 2三、解答题10.(2012年福州高三质量检测)在数列{a n }中,a 1=2,点(a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线y=2x 上.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =log 2a n ,求数列{11+⋅n n b b }的前n 项和T n . 解:(1)由已知得a n+1=2a n ,又a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以a n =a 1·2n-1=2n (n ∈N *). (2)由(1)知a n =2n ,所以b n =log 2a n =n, 所以11+⋅n n b b =)1(1+⋅n n =n 1-11+n , 所以T n =(11-21)+(21-31)+(31-41)+…+(n 1-11+n )=1-11+n =1+n n . 11.(2012年黄山高三第二次质量检测)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+1=4a n -3a n-1(n ∈N *且n ≥2).(1)证明数列{a n+1-a n }是等比数列,并求出数列{a n }的通项公式; (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ,且对一切n ∈N *,都有11a b +222a b +…+nnna b =2n+1成立,求S n . 解:(1)由a n+1=4a n -3a n-1可得a n+1-a n =3(a n -a n-1), 又a 2-a 1=2,所以数列{a n+1-a n }是以2为首项,3为公比的等比数列. 故有a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=31)31(21---n +1=3n-1(n ≥2),又a 1=1适合上式,∴a n =3n-1. (2)由11a b +222a b +…+n n na b =2n+1可知当n=1时,11a b =3,b 1=3,S 1=3. 当n ≥2时,nnna b =2n+1-(2n-1)=2, b n =2n ×3n-1,S n =b 1+b 2+…+b n =3+2×2×3+2×3×32+…+2×n ×3n-1 =2(1×30+2×31+3×32+…+n ×3n-1)+1, 设x=1×30+2×31+3×32+…+n ×3n-1, 3x=1×31+2×32+…+(n-1)×3n-1+n ×3n, 2x=n ×3n -(3n-1+3n-2+ (30)=n ×3n-213-n ,所以S n =(n-21)×3n +23. 而当n=1时S 1=3适合上式, 故S n =(n-21)×3n +23,n ∈N *.12.(2012年福建长汀一中高三模拟)若数列{a n }满足21+n a -2n a =d,其中d为常数,则称数列{a n }为等方差数列.已知等方差数列{a n }满足a n >0,a 1=1,a 5=3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =n 2n a ,则当实数k 大于4时,不等式kb n >n(4-k)+4能否对于一切的n ∈N *恒成立?请说明理由.解:(1)由21a =1,25a =9得25a -21a =4d,∴d=2.2na =1+(n-1)×2=2n-1, ∵a n >0, ∴a n =12-n ,故数列{a n }的通项公式为a n =12-n . (2)法一:由(1)知b n =n(2n-1),不等式kb n >n(4-k)+4恒成立, 即kn 2-2n-2>0对于一切的n ∈N *恒成立. 设g(n)=kn 2-2n-2(n ≥1,n ∈N *) 当k>4时,由于对称轴n=k1<1, 且g(1)=k-2-2>0,而函数g(n)在[1,+∞)是增函数, 故g(n)>0恒成立,即不等式kb n >n(4-k)+4恒成立,即当k>4时,不等式kb n >n(4-k)+4对于一切的n ∈N *恒成立. 法二:由(1)知b n =n(2n-1),不等式kb n >n(4-k)+4恒成立,即kn 2-2n-2>0对于一切的n ∈N *恒成立. ∴k>n2+22n. 又n ≥1,∴n2+22n ≤4. 而k>4,∴k>n 2+22n恒成立.故当k>4时,不等式kb n >n(4-k)+4对于一切的n ∈N *恒成立.。
数列_教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：- 理解数列的概念，掌握数列的通项公式和求和公式。
- 学会识别数列的类型，如等差数列、等比数列等。
- 能够运用数列知识解决实际问题。
2. 过程与方法目标：- 通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。
- 通过小组合作探究，提高学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对数学的兴趣和热爱，激发学生的求知欲。
- 培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯。
二、教学内容1. 数列的概念与性质2. 等差数列与等比数列3. 数列的求和4. 数列的应用三、教学对象初二学生四、教学时间2课时五、教学过程第一课时：数列的概念与性质1. 导入新课- 通过生活中的实例（如等差数列的楼梯高度、等比数列的细菌繁殖等），引导学生进入数列的学习。
2. 新课讲授- 讲解数列的定义，通过实例展示数列的特点。
- 介绍数列的通项公式和求和公式，讲解其推导过程。
- 分析数列的性质，如单调性、有界性等。
3. 练习巩固- 学生独立完成课本上的例题，巩固所学知识。
- 教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 小组讨论- 将学生分成小组，讨论数列在生活中的应用，如经济、科技、生物学等领域。
第二课时：等差数列与等比数列1. 复习导入- 回顾数列的概念与性质，引入等差数列与等比数列。
2. 新课讲授- 讲解等差数列与等比数列的定义、性质和通项公式。
- 通过实例分析等差数列与等比数列的求和公式。
- 比较等差数列与等比数列的异同。
3. 练习巩固- 学生独立完成课本上的例题，巩固所学知识。
- 教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 应用拓展- 给出实际生活中的问题，让学生运用等差数列与等比数列的知识进行解决。
- 鼓励学生发挥想象力，提出自己的问题。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的积极性等。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
《等差数列求和公式》详细教案
《等差数列求和公式》详细教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义解释等差数列的定义，即数列中每一项与它前一项的差是一个常数。
通过示例来让学生理解等差数列的特点。
1.2 等差数列的性质介绍等差数列的性质，包括：1) 任何两个连续项的差是常数。
2) 等差数列中任意一项都可以用首项和公差表示。
第二章：等差数列的通项公式2.1 通项公式的推导引导学生通过观察等差数列的性质，推导出通项公式。
解释通项公式中各项的物理意义。
2.2 应用通项公式求等差数列的项教授如何使用通项公式来求等差数列中任意一项的值。
提供练习题，让学生巩固通项公式的应用。
第三章：等差数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义解释等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。
强调前n项和公式的意义和应用。
3.2 等差数列的前n项和公式的推导通过数学推导，引导学生得出等差数列的前n项和公式。
解释公式中各项的物理意义。
第四章：应用前n项和公式求等差数列的和3.1 应用前n项和公式求等差数列的和教授如何使用前n项和公式来求等差数列的和。
提供练习题，让学生巩固前n项和公式的应用。
3.2 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生更好地理解和应用等差数列的前n项和公式。
第五章：总结与复习5.1 总结对本节课的内容进行总结，回顾等差数列的概念、通项公式和前n项和公式的推导过程。
强调等差数列的性质和公式的应用。
5.2 复习练习提供一些复习练习题，让学生巩固本节课所学的知识和技能。
第六章：等差数列的图形表示6.1 等差数列的图形特征介绍等差数列的图形表示方法，包括数列项的连线和数列曲线的特点。
强调图形表示在理解等差数列性质方面的重要性。
6.2 等差数列前n项和的图形表示解释如何通过图形来表示等差数列的前n项和。
提供练习题，让学生通过图形来求解等差数列的和。
第七章：等差数列的实际应用7.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的应用，如计算存款利息、统计数据等。
等比数列的通项与求和教学要点和教学手段
等比数列的通项与求和教学要点和教学手段数学教学是一门精密且需要有条理性的学科，尤其是对于等比数列的通项与求和这一概念而言。
本文将介绍一些关于等比数列的通项与求和的教学要点和教学手段，以帮助教师在教学过程中更好地传授这一知识点。
一、教学要点在教学等比数列的通项与求和时，有一些重要的要点需要强调和重点讲解。
1. 等比数列的定义首先，需要明确等比数列的定义。
等比数列是指每一项与它前面一项之比始终相等的数列。
这一定义是学生理解后续内容的基础，因此需要花费一定的时间和精力进行解释和举例说明。
2. 通项公式等比数列的第n项可以通过通项公式来求解。
通项公式是指通过已知的前两项和公比来计算任意一项的公式。
在教学中，应当详细介绍通项公式的推导过程，并通过具体的例子进行讲解和练习。
3. 求和公式除了计算某一项的值，学生还需要掌握等比数列的求和公式。
求和公式可以帮助学生快速计算等比数列的所有项之和，并培养学生发现规律和总结公式的能力。
4. 解题技巧在教学等比数列的通项与求和时，需要给学生提供解题的技巧和方法。
例如，掌握快速判断数列是否为等比数列的方法、观察公比的正负性对问题的影响等等。
这些技巧能够帮助学生更好地理解和应用等比数列的知识。
二、教学手段在教学等比数列的通项与求和时，采用多种教学手段可以提高学生的学习效果和兴趣。
1. 板书与讲解在教学的过程中，可以通过清晰的板书和讲解来展示等比数列的定义、通项公式和求和公式。
通过有条理和逻辑性的讲解，帮助学生理解和掌握每个概念和公式。
2. 举例与演算为了加深学生对等比数列的理解，可以设计大量的例题并进行演算。
通过解答例题，学生可以更加直观地感受到等比数列的特点和规律。
同时，可以引导学生通过观察和推理找到解题的方法和技巧。
3. 案例分析与讨论在教学中，可以选择一些实际应用的案例进行分析和讨论。
例如，金融中的年利率、物理中的速度等问题，都可以通过等比数列的概念和公式来描述和解决。
数列单元教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能：掌握数列的概念、性质，学会识别数列的类型，并能运用数列的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、归纳、类比等方法，培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探索精神和创新意识。
二、教学重难点1. 教学重点：数列的概念、性质，数列的类型。
2. 教学难点：数列的通项公式，数列求和。
三、教学过程1. 导入新课（1）提问：同学们，你们在生活中见过哪些数列？（2）展示生活中的数列实例，如：电话号码、商品价格等。
（3）引导学生思考数列的特点，引出数列的概念。
2. 新课讲解（1）讲解数列的概念、性质，让学生理解数列的定义和特点。
（2）举例说明数列的类型，如：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
（3）讲解数列的通项公式，让学生掌握求解数列的方法。
（4）讲解数列求和，让学生掌握数列求和的公式和方法。
3. 课堂练习（1）完成课后习题，巩固所学知识。
（2）小组合作，解决实际问题，如：计算商品折扣、计算等差数列的前n项和等。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结数列的概念、性质、类型、通项公式和求和。
（2）强调数列在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
5. 作业布置（1）完成课后习题，巩固所学知识。
（2）观察生活中的数列，思考数列在现实生活中的应用。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 实践能力：评价学生在解决实际问题时运用数列知识的能力。
五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教。
2. 采用多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。
3. 注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
4. 结合实际生活，让学生体会数列在现实生活中的应用，提高学生的综合素质。
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数列的通项与求和（教学案）【热身训练】1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则该数列的第6项为________．解析：由递推关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 以及对n 分别取1,2,3,4即可得到a 6＝－3.2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)可知，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以{na n }为常数列，即a n ＝1n.3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为________．解析：由等差数列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，且首项为－2，公差为12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为63.4．已知数列a n ＝4n2－1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 和为________．解析：因为1a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以由裂项法求和可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为n2n ＋1.【热点追踪】在高考数学中，数列问题一直占有较大的分量，数列的通项与求和是研究数列问题的基本内容，涉及的内容和方法较多，也常融入以数列为压轴题的高考试题中，此时，数列的通项与求和往往作为解决此类压轴题的基础.（一）数列中的通项与求和基本问题 例1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋2(n 为正整数)．(1)令b n ＝2na n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝n ＋1na n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n.令b n ＝2na n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝n ，所以a n ＝n2n .(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n，所以 T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1②由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝1＋－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1 所以T n ＝3－n ＋32n变式1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －11－12＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.又因为b 1＝1，所以b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1(n ＝1,2,3，…)．变式2：设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．（二）数列中的常见的裂项求和问题例2. (2017·扬州期末)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围．解析：(1)因为A n ＝n 2，所以当n ≥2，a n ＝A n －A n －1＝2n －1，又a 1＝1符合a n ，所以a n ＝2n －1.故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列B n 是以2为首项，1为公差的等差数列．所以B n ＝n ＋1.(2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n－1)，所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1n－n ＋1－，即b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2nb 1n－b 1n ＋1－＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1，所以1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1＜13恒成立，即b 1＞3⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1，所以b 1≥3.变式1 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.变式2已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝1，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)若a n ＝2n －1，求S n ；(2)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2. 解析：(1)当a n ＝2n －1时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14·12n ＝32n ＋2.所以，S n ＝38⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋…＋12n －1＝34－32n ＋2. (2)因1＝a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故a n ＞0,0＜a n a n ＋1≤1，于是0＜a 2na 2n ＋1≤1.所以，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1≥0，n ＝1,2,3，….所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ≥0.又，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a n a n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1·a n a n ＋1≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1. 故S n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2－1a 3＋ (2)⎛⎭⎪⎪⎫1a n－1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝2(1－1a n ＋1)＜2.所以，0≤S n ＜2. （三）有关等差数列的通项探究问题例3. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1)若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)求λ的值，使数列{a n }是等差数列．由归纳假设a k ＝2k －1，且S k ＝2k－1同时成立．则当n ＝k ＋1时，(S k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k ＋1，(S k ＋a k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k＋1，(2k －1＋a k ＋1＋1)2k －1＝(2k －1＋1)a k ＋1，解得a k ＋1＝2k.从而S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k－1＋2k＝2k ＋1－1.(2)S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1由题意知λ＝0时，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝1，下面用数学归纳法证明a n ＝1.①n ＝1时，a n ＝1成立．②假设n ＝k 时，a n ＝1成立，即a k ＝1， 则有S k ＋1a k ＝(S k ＋1)a k ＋1， (S k ＋a k ＋1)＝(S k ＋1)a k ＋1S k ＝S k ·a k ＋1 a k ＋1＝1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝1也成立． 由①②易知，a n ＝1，所以为等差数列．变式1 已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项a n .变式2 已知数列{a n }满足a 1＝1， a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．把上面n －1个等式左右两边分别相加，得a n －1n －1－a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n －1，整理，得a n ＝2n －5.当n ＝2时，满足． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件．当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0.令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ，f化简得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得，n ≤1或n ≥5.所以满足条件的k 存在，k 的最小值为5.【乘热打铁】1．若数列{a n }满足a n －(－1)na n －1＝n (n ≥2)，S n 是{a n }的前n 项和，则S 40＝________.解析：当n ＝2k 时，即a 2k －a 2k －1＝2k ①，当n ＝2k －1时，即a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1 ②，当n ＝2k ＋1时，即a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1③，①＋②得a 2k ＋a 2k －2＝4k －1，③－①得a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋＋2＝440.2．若数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝1a n ＋1，则a 25＝________.3．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________.解析：利用数列中S n 与a n 的关系求解a n .由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1得3S 2n －2(S n＋1－S n )·S n ＝(S n ＋1－S n )2，整理得S 2n ＋1＝4S 2n ，又数列{a n }各项为正，故S n ＞0，所以S n ＋1＝2S n ，即S n ＋1S n ＝2为常数，所以数列{S n }是以S 1为首项，2为公比的等比数列，故S n ＝2·2n －1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，n ＝1不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝12n －1，n ≥2. 4．若数列{a n }中不超过f (m )的项数恰为b m (m ∈N *)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m )是数列{a n }生成{b m }的控制函数．已知a 2＝2n ，且f (m )＝m ，则{b m }的前m 项和S m ＝________. 解析：当m 为偶数时，则2n ≤m ，则b m ＝m 2；当m 为奇数时，则2n ≤m －1，则b m ＝m －12；所以b m ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －12，m 为奇数，m 2，m 为偶数. 当m 为偶数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝12(1＋2＋…＋m )－12×m 2＝m 24；当m 为奇数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝S m ＋1－b m ＋1＝m ＋24－m ＋12＝m 2－14；所以S m＝⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－14，m 为奇数，m 24，m 为偶数.。