两点间的距离-课件ppt

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2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解：法一因为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二因为所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法总结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是

2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)

求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版选择性必修一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B

-2,0
,C

,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4

151平面上两点间的距离共17张PPT

第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
解析 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),
则
n m m
0 2 2 2
2, 2 n
2
0
8
0,
解得 mn 8,2,故A'(-2,8).
因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时,PA+
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e
直线关于点的对称直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.
直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程. 如果l1∥l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(m≠C1),然后在l1上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P'(x',y'),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m. 如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在l1上确定一点M(不同于交点),找出这一点关于l2的对称点M',由两点即可确定所求直线的方程.
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 方法技巧关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.
第1讲 I 描述m 运动的N 第基1本章概a 念直o 线g 与方程 e

人教版数学空间两点间的距离公式 (共16张PPT)教育课件

学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一）空间中的点与坐标原点的距离公式问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B，则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了，获得了一个大公司的面试机会，很不想失去这个机会，一天只吃一顿饭在恶补基础知识。不禁要问，之前做什么去了？机会当真就那么少？在我看来到处都是机会，关键看你是否能抓住。运气并非偶然，运气都是留给那些时刻准备着的人的。只有不断的积累知识，不断的进步。当机会真的到来的时候，一把抓住。相信学习真的可以改变一个人的运气。在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙，比房子、比车子、比票子、比小孩的教育、比工作，往往被压得喘不过气来。而另外总有一些人会运用自己的心智去分辨哪些快乐或者幸福是必须建立在比较的基础上的，而哪些快乐和幸福是无需比较同样可以获得的，然后把时间花在寻找甚至制造那些无需比较就可以获得的幸福和快乐，然后无怨无悔地生活，尽情欢乐。一位清洁阿姨感觉到快乐和幸福，因为她刚刚通过自己的双手还给路人一条清洁的街道；一位幼儿园老师感觉到快乐和幸福，因为他刚给一群孩子讲清楚了吃饭前要洗手的道理；一位外科医生感觉到幸福和快乐，因为他刚刚从死神手里抢回了一条人命；一位母亲感觉到幸福和快乐，因为他正坐在孩子的床边，孩子睡梦中的脸庞是那么的安静美丽，那么令人爱怜。。。。。。

2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)

1.求下列两点间的距离 :
(1) A(6, 0), B( 2, 0);
(2)C (0, 4), D(0, 1);
(3) P (6, 0), Q(0, 2);
(4) M (2,1), N (5, 1).
(1) AB ( 2 6) (0 0) 8;
2
2
(2) CD (0 0)2 ( 1 4) 2 3;
段的长度？
追问2 如何求向量1 2 的模长？
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
, ， , 两点间的距离公式
1 2 =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
特别地，原点O(0，0)与任一点 , 间的距离
=
2 + 2.
上式利用向量法证明！
(3) PQ (0 6) ( 2 0) 2 10;
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(4) MN (5 2) ( 1 1) 13.
2
2
2.已知点A(a, 5)与B(0,10)间的距离是17, 求a的值.
解： AB (0 a ) (10 5) 17,
2
解得a 8.
=
=
+

−

+ −

+ −
+ + ，
=

=
− + .
由 = ，得
+ + = − + .
解得 =1.
所以,所求点为P(1，0)，且
=
+

2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册

2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，，得xy＝＝41，，因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－－13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．

两点间的距离公式-PPT课件

A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n，则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．

高中数学两点间的距离优秀课件

-1〔) 1〕 AB= -2-62+0-02=8
〔2〕 CD= 0-02+-1+42=3
〔3〕 PQ=0-62+-2-02=210
〔4〕 M N52211213
例1 点 A(，1,2) B(2,，7在) 轴上x求一
点，P使 PA P，B 并求 PA的值。
解：设所求点为P(x,0) ，于是有
P A (x 1 )2 (0 2 )2x2 2 x 5 P B(x 2 )2 (07)2x2 4 x 1。 1
由 PA PB 得 x22x5x24x1,1
解得 x1.
所以，所求点为P(1,0) ，且 P A(11)2(02)222.
练习：点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。
(7,11)或(7,1)
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立适当
y 3
2
A
1
x1 = x2, y1 ≠ y2
-2
-1
1
-1
-2
B
2
3x
|P 1P 2||y2y1|
问题2、求两点A〔—2，0〕，B〔3，0〕间的距离
y 3
2
1
A
-2
-1
-1
B
1
2
3x
x1≠x2, y1=y2
|P 1P 2||x2x1|
-2
已知：P1x1， y1 和 P2x2， y2，试求：两点间的距离
3.3.2 两点间的距离
• 教学重点：两点间距离公式的推导。 • 教学难点：应用坐标法证明几何问题。
问题1、求两点A〔0，2〕，B〔0，-2〕间的距离

2.3.2两点间的距离公式课件(共15张PPT)

.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2

P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)

x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)

x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)

两点间的距离公式课件

工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度，根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
在计算两点之间的直线距离、确定物体运动轨迹、解决实际问题等方面都需要用到该公式。
在地理信息系统、地图绘制、导航等领域，该公式也是不可或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距离。
√：表示开平方运算。
06
公式注意事项

《空间两点间的距离》课件

参数方程
由给定曲线的参数方程推导出两点之间的距离公式。
距离公式
两点之间的距离公式为：√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
三维空间坐标系中的距离计算方法
方法
勾股定理点到面距离公式点到线距离公式切线方程
公式
√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²) |ax1+by1+cz1+d|/√(a²+b²+c²) |ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²) x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct
总结与展望
1 空间两点间距离的重要性
在地理、数学、工程、物理等领域都有广泛应用，是各种计算和规划的基础。
2 未来研究的方向
研究更多距离度量方式和计算方法，以及与其他学科的结合。
切比雪夫距离
适用于平面坐标系和三维空间坐标系，计算两点在各个坐标轴上距离差的最大值。
更多距离度量方式
如哈密尔顿距离、马氏距离、相关系数等。
平面坐标系中的距离计算方法
笛卡尔坐标系
平面直角坐标系中，两点之间的距离等于它们坐标差的平方和的平方根。
极坐标系
平面极坐标系中，两点之间的距离等于它们极径差的平方和的平方根。
《空间两点间的距离》 PPT课件
在这个课程中，我们将研究空间中两个点之间距离的概念和度量方式，以及距离的计算方法和实际应用案例。
பைடு நூலகம்离的度量方式
欧氏距离
适用于平面坐标系和三维空间坐标系，计算两点之间的直线距离。
曼哈顿距离
适用于平面坐标系和三维空间坐标系，计算两点在各个坐标轴上的距离差的绝对值之和。

[数学]3.3.2[两点间的距离]课件(a版必修2)

2 2 2 2 2
o A(0,0)
B (a,0) x
所以,|AB| |CD| |AD| |BC| |AC| |BD|
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
例题分析
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0) 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 y
D (b,c) C(a+b,c)
|AB|2 a 2 , |CD|2 a 2 |AD|2 b2 c2 , |BC|2 b2 c 2 2 2 2 2 2 2 |AC| (a b) c , |BD| (b - a) c
2 2
作业: 书本P109 (A)6,7,8(B)7 随堂:P103 12,14
由|PA||PB|得 x 2x 5 x 4x 11
2 2
解得x=1，所以所求点P(1,0)
2 2 |PA| (1 1) (0 2) 2 2
练习
2.已知点A(1, 2), B(3, 4), C (5,0), 求证 : ABC是等腰三角形.
3.若点P( x, y)在直线x y 4 0上, O是原点, 求 OP 的最小值.
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是