大学物理参考答案(白少民)第4章 静电场

E=
1 q ⋅ 2 πε 0 4a − L2
(2) 在棒的垂直平分线上，离棒 a 处的场强为
E= q 1 ⋅ 2πε 0 a L2 + 4a 2
证明：选棒的中心为坐标原点，沿棒的方向为 x 轴方向，垂直于棒的方向为 y 轴
1 （1） E = 4πε 0
（2） E =
∫
l 2 l − 2
λdx λ 1 l/2 1 q = | −l / 2 = ⋅ 2 2 4πε 0 a − x πε 0 4a − L2 (a − x)
r1 < R < r2 ）的高斯面上任意一点的场强大小由
Q 4πε0 R 2
变至 ______，电势由
Q 变 4πε0 R
至_______，通过这个高斯面的 E 的通量由 Q / ε0 变至______ 。 答：（1）变为 0（高斯面内无电荷，且球对称）；（2）
Q 4πε0 r2
；（3）0
4.4 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？ 分别举例说明之。 答：电势为零的地方，电场强度不一定为零（电势零点可选任一位置）；电场强度为零的地 方，电势也不一定为零。例如导体内电场为零，但电势可以不为零。
7
由于铜的电阻率大于铝的电阻率，所以铜线中的电流小于铝线中的电流。 4.10 电力线(电场线)与电位移线之间有何关系？当电场中有好几种电介质时，

电力线是否连续？为什么？ 电场线和电位移线都是用来形象描述电场分布的，前者与电场强度 E 相对应， 后者与电位移矢量 D 相对应，它们的关系通过介质的性质方程 D = ε0 E + P 相联系。 当电场中有好几种电介质时，电力线是不连续的，这是由于介质极化将在介质的表面
q E ⋅ d S = ∫∫ ε0 S
中，问： （1）高斯面上的 E 是否完全由式中的 q 产生？ （2）如果 q = 0 ，是否必定有 E = 0 ？ （3）如果在高斯面上 E 处处为零，是否必定有 q = 0 ？ 答：（1）高斯面上的场强 E 是由所有的电荷产生的。 （2）若 q = 0 ，但 E 不一定为零。 （3）在高斯面上 E 处处为零，则必定有 q=0。 4.3 将一个均匀带电（量值为 Q ）的球形肥皂泡，由半径 r 1 吹至 r2 。则半径为 R （
* * * * * * * * * *
说明带电系统形成过程中的功能转换关系，在此过程中系统获得的能量储
图 4.22 题 4.12 图
4.13 两个点电荷所带电荷量之和为ｑ，问它们各带多少电荷时，相互作用力最大？ 解：设一个带电 q1 ，则另一个带电 q − q1 ，其相互作用力大小为
F=
q1 ( q − q1 ) 4πε 0 r 2
eE 1.0 × 10 3 1.6 = −1.6 × 10 −19 × =− × 1015 m / s 2 − 31 m 9.1 9.1 × 10
3
（1）由于速度方向和加速度（受力）方向相反 电子作运减速运动。 （2）由 υ t = υ 0 + at = 5.0 × 10 −
6
1.6 × 1015 t = 0 9.1
整理得
由此得
q1 q2 = 2 x (l − x ) 2
(q 2 − q1 ) x 2 + 2q1lx − q1l 2 = 0
x= q1 − q1 q 2 q1 − q 2 l
（舍去了负根）
解之得
（2）若两电荷异号，电场为 0 的点在 q1 与 q 2 的延长线上，且在电量较小的电荷一边。 若 q1 < q 2 设 E = 0 在 q1 外距 q1 为 x 处，则有
图 4.23 题 4.18 图
解：本问题可等效为面电荷密度为 σ 的均匀无限大带电面与面电荷密度为- 的叠加。前者在 p 点产生的场强为 E1 = 2ε0
后者在 P 点所产生的电场为
E2 = ∫
− σds x σ ⋅ 2 e =− [1 − 2 2 2 1/ 2 x 2ε 0 4πε 0 ( r + x ) ( r + x )
第 4章
4.1 根据点电荷的场强公式
静电场
E=
q 4πε 0 r 2
当所考察的点到点电荷的距离 r 接近于零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。 对此 应作何解释？ 答：这是由于 r → 0 时，带电体已不能再看成是点电荷，点电荷是一种理想的模型，只有在 带电体的线度远小于源点到场点的距离时才可把带电体看成是点电荷。本题中 r → 0 ，则带电体 要按实际分布计算其场强，而不能用点电荷的场强公式。 4.2 在高斯定理
4.5 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否
1
等于零？静电屏蔽的效应是如何体现的？ 答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的 存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电 场为零。 4.6 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B 是否维持零电 势？其上面是否带电？ 答：导体 B 维持零电势，其上带负电。 4.7 在同一条电场线上的任意两点 a、b，其场强大小分别为 E a 及 E b ，电势分 别为 Va 和 Vb ，则以下结论正确的是： (1 ) E a = Eb ； (2 ) E a ≠ Eb ； (3) Va =Vb ； (4) Va ≠Vb 。 答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电 势降低，所以选（4）。 4.8 电容器串、 并联后的等值电容如何决定？在什么情况下宜用串联？什么情况
q1 q2 = 即 2 4πε 0 x 4πε 0 (l + x) 2
整理得
q1 q2 = 2 x (l + x ) 2
解之得 x =
(q 2 − q1 ) x 2 − 2q1lx − q1l 2 = 0
1 + q 2 / q1 q 2 / q1 − 1 l
l
若 q1 > q 2 ，则在 q 2 外距 q 2 为（同上计算）
0 点的电场强度是
1 圆周电贺产生的，即 E = E1 + E 2 + E 3 = E3 4
Ex = ∫2
0
π
λRdθ λ λ 2 cos θdθ = cos θ = ∫ 2 4πε 0 R 0 4πε 0 R 4πε 0 R
4.15 两个点电荷 q1 和 q 2 相距为 l。若 (１) 两电荷同号； (２) 两电荷异号．求它们连线上电场强度为零的点的位置． 解：（1）若两电荷同号，电场为零的点在 q1 与 q 2 的连线上，设距 q1 为 x 处，则有，
q1 q2 = 2 4πε 0 x 4πε 0 (l − x) 2
4
F = 2⋅
2e 2 r e2 r ⋅ = ⋅ 2 2 2 2 2 πε 0 (l + r 2 ) 3 / 2 4πε 0 (l + r ) l + r
dF =0 dr
得r =
2 l 2 2 倍时所受之力为最大。 4
由极值条件
即 α 粒子到两核中心的距离等于两核距离的
4.17 若电荷 q 均匀地分布在长为 L 的细棒上，求证： (1) 在棒的延长线上，离棒中心为 a 处的场为
2
=
=
q 1 ⋅ 2 2πε 0 a l + 4a 2
4.18 如图 4.23 所示为一无限大均匀带电 平面中间挖去一个 半径为 R 的 圆孔 ，电荷面密度为 σ ， 求 通过 圆孔 中 心 且与 平 面 垂直 的线上 P 点的场强． 设 Ｐ 点到 孔心 的距离为 x ， 讨 论 x >> R 和 x << R 两种情况下，Ｅ为多少？
1 1 =∑ c c i i
下宜用并联？ 解：串：
ci 并： c = ∑ i
当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐 压值比所需要的小，宜采用电容器串联。 4.9 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压．问铜线中的 场强与铝线中的场强之比是多少？铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少？
1 4πε 0
∫
l 2 l − 2
λdx a λa ⋅ 2 = 2 2 2 1/ 2 4πε 0 (x + a ) (x + a )
∫
l 2 l − 2
dx (a + x 2 )3 / 2
2
=
λa 1 x |l−/l 2 /2 4πε0 a 2 ( a 2 + x 2 )1 / 2
1 ⋅ 4πε 0 q a a2 + l 4
x=
1 + q1 / q 2 q1 / q 2 − 1
4.16 α 粒子快速通过氢分子中心，其轨道垂直于两核连线中心，问 α 粒子在何处受到的力最 大？假定 α 粒子穿过氢分子时，两核无多大移动，同时忽略分子中电子的电场． 解： 设 两 核 间的距离为 2 l ， α 粒 子在距两 核 中 心 的距离为 r 时所 受 力为 最 大，其值为


2
及两种介质的交界面出现面束缚电荷的原因。 4.11 藏在何处？ 答：在带电系统的形成过程中，外力做功使系统的能量增加，系统获得的能量储 存在电场中成为静电场能量。 4.12 如 图 4.22 所 示 ，在 图 (a ) 充 电 后不 断开 电源 ， 图 (b) 充 电 后 断 开 电 源的 情况 下， 将相 对电 容率 为 εr 的电介质 填充 到电容器中，则 电容器 储 存的电场能量对 图 (a)的情 况是_____________ ，对图(b)情况是______________。 答：（a）当充电后不断开电源（V 不变），填充介质使电容器储存的电场能量 增大； （b）当充电后断开电源（q 不变），填充介质使电容器储存的电场能量减小。
x R +x
2 2
]e x
5
∴
σ P 点的电场强度为 E = E1 + E 2 = 2ε 0
x R +x
2 2
ex
讨论：（1）当 x >> R
σ E≈ ex 2ε 0
即在很远处，挖掉的圆孔对电场强度影响不大可以忽略。 （2）当 x << R 时， E → 0 ，即当场点无限接近带电面时，其电场强度只与 该处的电荷分布有 关，（该处电荷面密度 σ = 0 ） 4.19 设均匀电场的场强Ｅ与半径为Ｒ的半球面的轴平行．求通过此半球面的电通量． 解：取半径为 R 的平面与半径面构成封闭面，对于该封闭面，由高斯定理便知其闭面通量为 零，所以通过半径面的电通量与垂直于电场方向的平面（半径 R）的电通量大小相同。即
得从以
υ0
运动到停止所需时间为 t =
5.0 × 10 6 × 9.1 = 2.84 × 10 −8 s 15 1.6 × 10
（3）这段时间电子的位移为
s = υ 0t +
1 2 1 1.6 at = 5.0 × 10 6 × 2.84 × 10 −8 − × × 1015 × 2.84 2 × 10 −16 = 7.1 × 10 − 2 m 2 2 9.1
−7 −8 （已知 ρ铝 = 4.4 ×10 Ω ⋅ m, ρ铝 = 2.8 ×10 Ω ⋅ m ）
答：电压 V 相同和导线长度 l 相同，则电场强度 E 相同；
铝 = 铝 = = 由 j = σE = ρ 得： ρ 铝 j 铝 = ρ铝 j铝 ⇒ j铝 ρ铝 4.4 × 10 −7 110
E
j
ρ
2.8 × 10 −8
Φ e = Es = πR 2 E
4.20 一均匀带电线，线电荷密度为 λ ，线的形 状如图 4.24 所示。 设曲率半径为 R 与线的长度相比为足够小。求 O 点处的电场强度的大 小。 解： 0 点处的电场可看成是由两个半无限长线和一个
1 圆周 电 4
图 4.24 题 4.20 图
荷产生的电场，而两半无限长线上的电荷在 0 点产生的电场 E1 和 E 2 大小相等，方向相反，则
dF 1 = [ q − q1 − q1 ] = 0 得 dq1 4πε 0 r 2
∴ q1 =
q1 =
q 2
又
d 2F 1 = ( −2) < 0 2 dq1 4πε0 r 2
q 是 F 的极大值点 2
所以当两电荷的电量相等均为
q 时，其相互作用力最大。 2
4.14 电子以 5.0×10 6 m ·s -1 的速率进入场强为 E =1.0×103 V·m-1 的匀强电场中，若电子的初 速度与场强方向一致．问 （1）电子作什么运动？ （2）经过多少时间停止？ （3）这段时间电子的位移是多少？ 解： a = −