I 基本概念与抽样分布1-8#

应用数理统计概述不确定性数学：1 . 概率论、数理统计),,(P F Ω 2 . 模糊数学 )}(,{x x ϕM 3 . 灰色数学 ],[b a H 4 . 未确知数学 )}(],,{[x F b a对于上述各个数学分支，各自有相应的运算法则和适用范围。

（一） 概率论：1．),,(P F Ω： E 是一个随机试验，Ω 为E 的全体基本事件的集合 F 由Ω的一些子集为元素 所构成的集合人们通过对某事件A 的频率)(A f 的研究，发现了概率 )(A P 和性质及运算 2．讨论的一般方法： 随机变量 → 分布 → 数学期望、方差等（宏观指标） ① 对于一维 ： )(ωξξ= )(i i x ωξ= ∑<=<=x x i i p x P x F }{)(ξ, i i p x P ==}{ξ ；⎰∞-=<=xdt t p x P x F )(}{)(ξ, 0)(≥x p .⎰∑∞+∞-∞==dx x xp p x E i i i )(1或ξ； 2)(ξξξE E D -=② 对于n 维 ： 随机变量),,,(21n ξξξ → 实数),,,(21n x x x},{})({),,(2211121n n ni i i n x x x P x p x x x F <<<=<==ξξξωξω ；（二） 数理统计：1．基础：统计量⎪⎩⎪⎨⎧=∑=数据分区间处理经验型，如：公式型，n i in 11ξξ 及其分布 ⎩⎨⎧经验分布（直方图）分布如：统计分布2χ2. 样本的处理：① 参数估计； ② 假设检验（参数假设检验<本科>、非参数假设检验<分布拟合 与 两总体相等性检验>）；③ 回归分析； ④ 方差分析 与 正交试验设计．数理统计的基本概念与抽样分布（复习）一. 基本概念：1． 总体ξ( 被研究对象的全体 )；2. 样本 (n ξξξ,,,21 ) → 观测值(样本值 或 样本点) (n x x x ,,,21 ) 定理：→)()(~x p x F 或ξ∏∏==ni i n i i n x p x F 1121)()(~),,,(或ξξξ3．统计量 针对要解决的问题而构造的相应的样本的函数 ),,,(21n T T ξξξ = 注：统计量不含任何未知参数， ∑==ni in11ξξ如：等212*)(11ξξ--=∑=ni in S，它是公式性质的量．二．经验分布函数与直方图：目的：用观测值（数据）去估计和推断总体ξ的分布)()(x p x F 或 即：用数据 → 样本分布)(x F n ≈)(x F ； 直方图)(x p n ≈)(x p１．经验分布函数： ① 定义 若n x x x ,,,21 →ξ记 )(x n ν 为 n x x x ,,,21 中＜x 的个数，则称)(x n ν为 经验频数 ； 并称+∞<<∞-=x nx x F n n )()(ν 为总体ξ的 经验分布函数（样本分布函数）．② 操作 将)()2()1(21,,,,,,n n x x x x x x → 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=≤<≤==+)()1()()1(11,,2,10)()(n k k n n x x n k x x x n k x x n x x F ν易知：1})()({lim =<-∞→εx F x F P n n ； )())((x F x F E n =；1}0)()(lim{==-+∞<<∞-∞→x F x F SupP n x n （格利汶科 Гливенко）２．直方图： 总体ξ的分布称为理论分布，即：)()(x p x F 或这里是用样本（数据）构造经验分布)(x p n ≈)(x p 其中)(x p n 的图象称为直方图① 离散型：设总体ξ的分布列 i i p x P ==}{ξ 未知，若n ξξξξ,,,21 →令 )(x i ν 表示该抽样中事件}{i x =ξ出现的次数， 则用n i p nx ii ,,2,1)( =≈ν 事实上，)(∞→−→−n p niPi ν② 连续型：设总体ξ的分布密度)(x p 未知，若n ξξξξ,,,21 →设 ),[],[)()1(b a n ⊂ξξ， 将 ),[),[1+−−→−i i m a a b a 个分 令 i ν 为样本落在),[1+i i a a 中的个数，则⎰+=<≤−→−+1)(}{1i ia a i i Pidx x p a a P nξν ≈ma b a P i -=}{ξ所以 ≈=}{i a P ξn m m i ab m ni<-=-⋅；1,,2,1 ν故③ 作图实例： (P.65 例1考察钢的含硅量ξ的)(x p n , 以此说明直方图的作法)1+i i处理方法 ：找 95.0,64.0)()1(==n x x ；确定 )955.0,635.0[),[=b a ；确定小区间个数 16=m 以得 组距02.0=-ma b ； 计算 i ν ；画出以 ),[1+i i a a 为底边，高为的各个矩形 ．有p.67 直方图p注： 区间个数m 的大小应根据数据个数n 的大小而定； 当n 、m (m <n ) 都充分大( 即：缩小组距 ) 时，)(x p n 的上边缘将以光滑的曲线)(x p 为极限．)(x p ≈三．常用统计分布： 1．分布2χ：① 若n N ξξξξ,,,)1,0(~21 →，则 统计量 )(~2122n ni iχξχ∑==② 若n N ξξξσμξ,,,),(~212 →，则 )(~)(12222n n i χμξσχ∑-=③ 分布2χ的密度曲线为： ④ 分布2χ的实用性结论⑴ 若 22221,,,m χχχ 独立，且),,2,1()(~22m k n k k =χχ则)(~1212∑∑==mk k mk kn χχ称为分布2χ的可加性⑵ 若)(~22n χχ则)()1,0(22∞→−→−-n N nnLχ⑶ 若)(~22n χχ则)()1,0(1222∞→−→−--n N n Lχ 或 )()1,12(22∞→-−→−n n N Lχ证明思路：}122{)(2x n P x F n <--=∆χ}2{}2)12({222n x nn P n x P εχχ+<-=-+<=其中 0lim =∞→n n ε 所以 )(21lim )(lim 22x dt ex F tx n n n nΦ==-+∞-∞→∞→⎰επ２．t 分布：① 若ξ、η独立，且)1,0(~N ξ，)(~2n χη则 统计量 )(~n t nt ηξ=② 若),(~2σμξN ，)(~22n χση，ξ、η独立，则 )(~n t nt ημξ-=xp③ t 分布的密度曲线为： ④ 结论 ：设 )(~n t t ，记 密度为)()(x p n t则 ∞→n lim )()(x p n t )(2122+∞<<-∞=-x exπ一般 )30(2)(>≈n ex p t π3．F 分布：① 若ξ、η独立，且)(~2m χξ，~2χηm ξ推论：若),(~n m F F ，则 ,(~1n F F② F 分布的密度曲线为：4．分位数（分位点）： αx αλ ① 分位数的概念：（i ）下侧分位点 αx 使 αξαα==<)(}{x F x P （ii ）上侧分位点αλ 使αλξα=≥}{P 显然αλξα-=<1}{P ② 几种分布的常用分位数说明：（本教材利用下侧分位点作为分位数，有）（i ） 标准正态分布 )1,0(~N U ， α的分位数记为αu ，即：ααα=Φ=<)(}{u u U P （查正态表）或 αααα=≥⇒-=>-}{1}{21uU P u U P（ii ）2χ分布：)(~22n χχα的分位数记为 )(2n αχ，即：αχχα=<)}({22n P （查2χ表） 或 αχχχχαα=≥<-}{2212222及P注：当n >45 时，使用 22)12(21)(-+≈n u n ααχ（iii ）t 分布： )(~n t t α的分位数记为 )(n t α，αα=<)}({n t t P （查t 表）注：当n >45 时，使用 ααu n t ≈)(x或 αααα=≥⇒-=>-)}({1)}({21n tt P n t t P（iv ）F 分布：),(~n m F F α的分位数记为 ),(n m F α，即：αα=<)},({n m F F P （查F 表） 或 ααα=≥<-}{212FF F F P 及注： ),(1),(1m n F n m F αα=-四．抽样分布的常用结论：1．,),(~1),(~122∑==nk knN nN σμξξσμξ，则)1,0(~N nσμξ-且2． 1,,,),(~21211n N ξξξσμξ →设2,,,),(~21222nN ηηησμη →独立与且}{}{21k k ηξ)1,0(~)()(222121212221N n n σσμμηξσσ+---为已知，则，若21212222111)()(n n S w+---==μμηξσσσ则未知，若)2(~21-+n n t 2)1()1(2212*222*1121222211-+-+-=-++=n n S n S n n n S n S n S w 其中∑=--=11212*1)(11n k kn Sξξ ∑=--=21222*2)(11n k kn Sηη3． ),,(~2σμξN )1(~1---=-*n t n S nSμξμξ则4． ),1,0(~N ξ 独立；或与则)(22*S S ξ ；且)1(~)()1(222*2--=-=∑n Sn nSi χξξ),,(~2σμξN 独立；或与则)(22*S S ξ；且)1(~)(1)1(22222*22--=-=∑n Sn nSiχξξσσσ5． 1,,,),(~21211n N ξξξσμξ →设2,,,),(~21222n N ηηησμη → 则)1,1(~2121222*22211--⋅*n n F S n S n σσ注：对于非正态总体的抽样分布，一般不易求出．但在大样本抽样的情况下，样本均值ξ有如下的近似分布： 设总体ξ，ξD 存在，n ξξξξ,,,21 → 则ξ近似服从 ),(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛n D E N ξξ 五．顺序统计量与样本极差： 1．顺序统计量的概念：设n ξξξξ,,,21 →n x x x ,,,21 →排序 )()2()1(,,,n x x x ， 则 ),,,(21)(n k k x x x f x =称),,,(21)(n k k f ξξξξ = 为 顺序统计量 （它不含未知参数）称)(k ξ为样本的第k 个顺序统计量， k nk ξξ≤≤=1)1(min 为样本的最小顺序统计量knk n ξξ≤≤=1)(max 为样本的最大顺序统计量．2． 样本极差的概念：设n ξξξξ,,,21 →)()2()1(,,,n ξξξ →称 ji nj i n n R ξξξξ-=-=≤≤,1)1()(m a x 为 样本极差注：关于样本极差的分布，若 ),1,0(~N ξ 那么，样本极差的分布函数、分位数、nER 、nDR在较详细的数理统计用表中，都有已编制的数值表可查．。