内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学2020学年高二数学上学期期末考试试题理

内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题 理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

）11、已知全集U=R ，集合{}{}2,332≥=<-=x x B x x x A ，则 （ ） A 、B A ∈-4 B 、B A ∈-3 C 、{}()2U AC B ⊆D 、{}()3U C A B -⊆2.下列命题是真命题的是 （ ）A.a b >是22a b >的充分不必要条件B.a b >是22a b >的必要不充分条件C.2,210x R x x ∀∈-+≤， D.2000,210x R x x ∃∈-+≤ 3.已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （ ） A.2524- B.2512- C.2512 D.25244.若x ，y 满足220330x y x y x y +≥⎧⎪-⎨⎪-+⎩，≤，≥，则yz x =的最大值为 （ ）A ．12B ．1C ．53D ．25．阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可 填写 （ ）． A.3?i < B. 4?i < C ．5?i <D ．6?i <6.焦点在x 轴的双曲线的一条渐近线过点（2,3），则该双曲线的离心率为 （ ）A.32 B.43 C.13 D.13 7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π- D ．84π-8.已知4(3,4),3a b a ==，则b=（ ） A 4 B 163 C 203D 20 9.抛物线218x y =与直线10x y +-=相较于A 、B ，则线段AB 的中点坐标为 （ ）A.（5，-4）B.（5,4）C. （4,5）D.（-4,5） 10.已知三棱柱111ABC A B C -，侧棱与底面垂直，1112AA AB BC ===，AB BC ⊥，点P 、M 、N分别是棱1111,,BB CC AC 的中点，则异面直线AP 与MN 所成角的余弦值为 （ ） A.36-B. 36C.63-D.6311.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y +=交椭圆E 于A 、B 两点，若4AF BF +=，MAB ∆面积的最大值为41313，则椭圆E 的离心率的取值 范围为（ ） A.3(0,) B.3(0,] C.3[,1) D.3(,1)12.设函数()=2,x f x e x +-2()=ln 3g x x x +-，若实数,a b 满足()0,()0,f a g b ==则（ ）A.()0()f b g a <<B.()0()g a f b <<C.0()()f b g a <<D.()()0f b g a <<第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.命题：2000,20x R x x m ∃∈++≤是假命题，则实数m 的取值范围为14.抛物线212y x =-上与焦点距离为8的点的坐标为15.以 椭圆221916x y +=的焦点为顶点，离心率为7的双曲线的标准方程为16.过点M （-1,1）作斜率为12的直线l ，直线l 与过点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，若M 是弦AB 中点，则AB = 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）已知曲线C 上的点到定点F （0,1）的距离比它到直线3y =-的距离小2. （1）求曲线C 的方程. （2）若倾斜角为4π的直线l 过点M （0,3），且与曲线C 相交于A ，B 两点，求FAB 的面积18.（12分）已知数列{}n a 中，1121,13n n a a a +==-，设3n n b a =+. （1）求证：{}n b 是等比数列. （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19.（12分）在ΔABC 中BC=ɑ，AC=b,ɑ、b 是方程220x -+=的两个根， 且2cos(A+B)=1,求：（1）角C 的大小. （2）求AB 的长.20.（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，点P 为1DD 的中点.点M 为1BB 的中点. （1）求证：1PB PAC ⊥平面（2）求直线CM 与平面PAC 所成角的正弦值.21.（12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，且PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，AD ⊥DC ，ΔADC 和ΔABC 均为等腰直角三角形，且PA=AD=DC,点E 为侧棱PB 上一点. （1）求证：平面PCD ⊥平面PAD.（2）若直线PD//平面EAC ，求二面角E-AC-B 的余弦值.22.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为22，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 答案理选择题：1-5 DDACD 6-10 DBCAB 11-12 CB填空题：13.m>1 14.()5,215-± 15.22172x y -= 16.21517.解析：（1）24x y =（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为3y x =+，联立243x yy x ⎧=⎨=+⎩消去y ，得24120x x --=640=>∴12124,12x x x x +==-∴FAB 的面积()21212121482S MF x x x x x x =-=+-=18.解（1）因为1213n n a a +=-，3n n b a =+，所以112(3)323333n n n n n n a b a b a a ++++===++· 因为11,a =所以14b = ∴数列 {}n b 是以4为首项，23为公比的等比数 （2）由（1）知，112234,4333n n n n n b a a --⎛⎫⎛⎫=+=⋅∴=⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭19.解：（1）∵A B C π++=∴2cos()2cos()2cos 1A B C C π+=-=-= ∴1cos 2C =- ∴23C π=（2）∵ɑ、b 是方程22320x x -+=的两个根 ∴232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩由余弦定理22222cos ()2(1cos )10AB a b ab C a b ab C =+-=+-+= 20.（1）证明：以D 为原点建立空间直角坐标系如图∴11110110PB CP PB CA ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ∴1PB PAC ⊥平面（2）M （1,1,1）∴(0,1,1)CM =，2CM =∵1PB PAC⊥平面，∴平面PAC 的法向量为1(1,1,1)PB =，13PB =，12PB CM ⋅=设直线CM 与平面PAC 所成角为θ，则116sin 332PB CM PB CMθ⋅===⋅ 21. （1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ∵AD ⊥CD ，PA ∩AD=A ∴CD ⊥平面PAD ∵CD ⊂平面PCD∴平面PCD ⊥平面PAD（2）∵ΔADC 与ΔABC 都为等腰直角三角形，AD ⊥CD ，AB ⊥AC设AD=1，则PA=DC=1，AC=AB=2，∴BC=2 以A 为原点建立空间直角坐标系如图，x 轴//CD A(0,0,0),B(1,-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1)(0,1,1),(1,1,1)PD PB =-=--，∵E 在PB 上，∴存在实数λ，使得PE PB λ=∴(,,1)E λλλ--，∴(,,1),(1,1,0)AE AC λλλ=--= 设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =则(1)00m AE x y z m AC x y λλλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令x=1,则21,1y z λλ=-=-，∴2(1,1,)1m λλ=-- ∵直线PD//平面EAC ，∴2101PD m λλ⋅=--=-，得13λ=，∴(1,1,1)m =--平面ABC 的法向量(0,0,1)n =，3cos ,m n m n m n⋅==-⋅，由图可知， 二面角E-AC-B 为锐角，设为θ，3cos 3θ=22.解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，所以 2,1a b ==， 因此 椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()11212221231,21221k x x x x k k +==-++，所以 221121122118121+2++=+-=k k AB kx x k .由题意可知圆M 的半径r为2r==3AB，由题设知12k k =，所以2k =因此直线OC的方程为y x =.联立方程221,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2221221181,1414k x y k k ==++， 因此OC ==.由题意可知 1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OC r==令2112t k =+， 则()11,0,1t t>∈，因此1OC r===≥，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为3π.综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为1k =.。