数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编

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数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

部分习题参考解答

P.4 习题

1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是a

ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，

1

再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有

（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，

所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+

∈R c b a ,,证明|

|||

2222c b c a b a -≤+-+

证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA

的长度是

2

2b

a +，OC 的长度是2

2c a +，

a

c

b

)

,(b a A )

,(c a C x

y

O

n 有公约数 p 。这与“m 、n 互素”矛盾。所以

p

是无理数。

P.9 习题

2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：

（1）S 无上界； 若M ∀，S

x

∈∃0

，使得M

x

>0

，则称S 无上界。

（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）

（2）S 无界。 若0>∀M ，S

x

∈∃0

，使得M

x

>||0

，则称S 无界。

（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）

3．试证明数集}

,2|{2

R x x

y y S ∈-==有上界而无

下界。

1

证明 S

x ∈∀，有2

22

≤-=x

y ，故2是S 的一个

上界。

而对0>∀M ，取M

x

+=30

，S

M x y

∈--=-=122

00

，但

M

y -<0。故数集S 无下界。

4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

（1）}

,2|{2

R x x x S ∈<=

解 2

sup =S ，2inf -=S 。下面依定义加以验

证2

sup =

S （2inf -=S 可类似进行）。 S

x ∈∀，有2

2<<-

x ，即2是S 的一个上界，

2

-是S 的一个下界。

2

<∀α，若2-≤α，则S

x

∈∀0

，都有α

>0

x

；若

2

2<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，

使得2

2<<<-

r α，即S r ∈，α不是上界，所以

2

2

sup =S 。

（2）},!|{+

∈==N n n x x S

解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup 。

1

inf =S 。

S

x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界； 1

>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界。所

以

1

inf =S 。

(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =

解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：

1

sup =S 。

inf =S

7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+

证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+

证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在。

3

B

A z +∈∀，由定义分别存在

B y A x ∈∈,，使得

y

x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，

即B A sup sup +是数集B A +的一个上界。

B

A sup sup +<∀α，（要证α不是数集

B A +的上界），

A

B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A

x

∈0

，

使得B

x

sup 0

->α。于是B

x

sup 0

<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B

y ∈0

，使得00

x y

->α。从而α

>+=000

y x z

，

且B

A z

+∈0

。因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即

B

A B A sup sup )sup(+=+

另证

B

A z +∈∀，由定义分别存在

B y A x ∈∈,，

使得y x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是

B

A B A sup sup )sup(+≤+。 ①

由上确界的定义，0>∀ε，A

x

∈∃0

，使得