固体推进剂能量计算方法

固体推进剂能量计算方法
一 固体推进剂能量计算原理 1，基本假设
在火箭发动机工作时，固体推进剂的化学潜能转换为燃气的动能，经历了推进剂燃烧和燃烧产物膨胀两个过程。

发动机的实际工作过程是非常复杂的。

其复杂性在于：由于存在热损失，难以保证燃烧过程是等压绝热的；燃烧产物在燃烧室内分布是不均匀的；对于含铝、含镁、含硼推进剂或含有某些金属化合物的性能添加剂的推进剂，存在凝聚相产物，这些凝相产物在喷管膨胀过程中导致两相流损失；喷管流动难以保证等熵条件等等。

为了反映固体推进剂能量转换过程的本质，抓住主要矛盾，在进行其理论性能预估时，进行了一些基本假设。

(1) 在燃烧室中，推进剂的燃烧反应达到化学平衡，且燃烧过程为等压绝热过程，即热力学中的等焓过程；而且燃烧产物的分布是均匀的。

(2) 燃气为理想气体，凝相产物的体积忽略不计。

(3) 喷管中燃气的流动过程为绝热可逆过程，即为等熵过程；燃气在喷管中的流动为一维定常流，即在喷管的任一截面上，燃气的组成及各性能参数的分布是均匀的。

(4) 不考虑凝聚相燃烧产物的两相流损失。

2， 基本方程 (1) 质量守恒方程
常见的固体推进剂是由C 、H 、O 、N 、Cl 、Al 等元素构成的某些化学物质的混合物。

对于这样一个复杂的系统，假设固体推进剂的燃烧产物共有n 种，而固体推进剂所含有的元素共l 种。

对j 元素的质量守恒方程可表达成：
()1
1,2,,n
ij i
j i a x
b j l ===⋅⋅⋅∑ (1)
式中，ij a 为混合物系中第i 种产物含j 种元素的原子摩尔数，它由i 燃烧产物的分子式得到；
i x 为单位质量燃烧产物中第i 种产物的摩尔数；
j b 为单位质量推进剂中含第j 种元素的原子摩尔数，它由推进剂的假想化学式得到。

(2) 能量守恒方程
根据假设(1)，燃烧室内燃烧为等焓过程，则有
p c H H = (2)
式中，p H 为单位质量推进剂在初温0T 时的总焓(通常取0298T K =)； c H 为单位质量推进剂燃烧产物在平衡火焰温度c T 下的总焓。

实际上，在燃烧室热力计算中，等焓方程式(2)是作为判据使用的。

即根据式(2)来
确定平衡火焰温度，进而计算出在定温(c T )和定压(燃烧室工作压强c P )条件下单位质量推进剂燃烧产物的平衡组成分布{}ci x ()1,2,,i n =⋅⋅⋅。

然后可求出平衡燃烧产物在c T 下具有的总熵c S 。

根据假设(3)，喷管中燃气的流动为等熵过程，则有
c e S S = (3)
式中，c S 为单位质量推进剂燃烧产物在c T 下的总熵；
e S 为单位质量推进剂燃烧产物在喷管出口处温度e T 下的总熵。

同样，在喷管热力计算中，等熵方程也是作为判据使用的，即根据式(3)来确定燃烧产物在喷管出口处的平衡温度e T ，然后求出喷管出口处平衡燃烧产物的总焓e H 。

最后求得固体推进剂的理论比冲以及其它能量参数(特征速度、定压暴热)：
sp I =
(4)
*
C =
(5) 式中，c R 为燃烧室中燃气的平均气体常数；
比热比函数Γ=
2981
n
K p c ci fi
i Q H x H
==-
∆∑ (6)
式中下标c 表示燃烧室，f 表示生成焓。

3， 固体推进剂性能计算的一般过程
Step1 求单位质量(1kg)推进剂的假定化学式j b 和推进剂总焓p H ；
Step2 燃烧室热力计算，使用温度尝试法，根据等焓方程求解*c T 、{}
*
ci x 以及c S 等； Step3 喷管热力计算，使用温度尝试法，根据等熵方程求解*e T 、{}
*
ei x 以及e H 等；
Step4 推进剂能量参数计算，计算sp I 、*
C 、p Q 等。

温度尝试法基本原理：由热力学知识可知，随着温度的增加，燃烧产物总焓的绝对值和总熵是单调上升的。

以燃烧室热力计算为例，首先假设一个燃烧温度c T ，进而求
出该温度和燃烧室工作压强下的燃烧产物平衡组分{}()1,2,,ci x i n =⋅⋅⋅，然后求出燃烧产物在燃烧室的总焓c H ，进一步用等焓方程式(2)进行比较，若c p H H >，则可知
*c c T T <，其中*c T 为燃烧室工作压强下的平衡火焰温度。

此时，使c T 增加一个步长h ，
即c c T T h =+，然后重新计算该温度和c P 下的平衡组成和总焓c H ，再将c H 与推进剂总焓p H 比较，此计算过程可以构成一个迭代计算过程。

步长h 可以变化，如取100K 、10K 、1K 、0.1K 等，根据所需的精度要求去逼近推进剂总焓p H 。

二 最小自由能法求解定温定压下产物的平衡组成
经过上面的阐述，剩下的问题是如何求解定温定压下燃烧产物的平衡组成。

目前工程上经常使用的是吉布斯最小自由能法。

最小自由能原理：对于一个混合物系，求该物系的产物平衡组成，就是求该系统的自由能函数达到最小时的产物分布。

1，自由能函数
为了使问题得到一定简化，只考虑无凝相的混合物系的化学平衡组成，即只考虑C 、H 、O 、N 、Cl 五种元素组成的体系。

下面简要推导混合物系自由能函数的表达式。

设一个混合物系共含有l 中元素，由n 种气态产物组成。

若该物系在给定温度和压强下，单位质量的混合物系中有i x 摩尔的第i 种产物，则单位质量该物系的总自由能函数为
()()()0
01
1
ln ln ln n
n
i i i i g i i G x g x x g R T P x X ==⎡⎤==++-⎣⎦∑∑ (7)
式中，1
n
g i
i X x ==∑，将(7)式除以0
R T 进行无量纲化，又由吉布斯自由能的定义式
可得
000001i i i g H S R T R T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(8)
式中，0
i H 为第i 种产物的摩尔焓，可由式(9)求得；
0i S 为第i 种产物的摩尔熵，可由式(10)求得。

()234501234562345i i i i i i i H R d T d T d T d T d T d =+++++ (9) ()2340123457ln 234i i i i i i i S R d T d T d T d T d T d =+++++ (10)
式中，0R 为普适气体常数；T 为温度；1i d 、2i d 、⋅⋅⋅、7i d 为第i 种物质的温度系数。

将(8)式代入(7)式，又令
0ln i i g C P R T
≡+ (11)
该物系的总自由能函数可写成
()()1
ln ln n
i i i g i G x x C x X ==+-∑ (12)
2，Lagrange 乘数法求平衡组分 (1) 自由能函数的近似表示
首先假设满足质量守恒方程式(1)的解为{}i y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅，此时该混合物系的总自由能函数为
()()1
ln ln n
i i i g i G y y C y Y ==+-∑ (13)
式中1
n
g i
i Y y
==
∑。

令i i i x y ∆=-，即i ∆为体系平衡时第i 种产物的摩尔数(真解)与假设值只差。

又令
g g X Y ∆=-，则1
n
i i =∆=∆∑。

假设i ∆很小，取()G x 在x y =处Taylor 级数展开的前三项()Q x 来近似表示
()G x ，利用多元函数的微分原理，整理可得
()()()()22111ln ln 2n
n i i i g i i i i
g G x Q x G y C y Y y Y ==⎛⎫
∆∆≈=++-∆+- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ (14) (2) 线性方程组的建立
现在面临的问题是求出混合物系的自由能函数式(12)在满足质量守恒条件系达到最小时的产物组成{}i x ，这是一个多元函数的条件极值问题。

写出Lagrange 函数，即
()()()1111l
n l n
j j ij i j j ij i j i j i L x G x b a x Q x b a x λλ====⎛⎫⎛⎫
=+-≈+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑ (15)
当反应达到平衡时，混合物系的自由能函数达到最小值，即该点处Lagrange 函数的一阶导数应为零。

将Lagrange 函数对i x 求导，有
1
ln ln 0l
g i i i g j ij j i g X x C y Y a y Y λ=+-+--=∑ (16)
对上式进行整理，可改写成
()1
l
g i i i j ij i j g
X x y y a g y Y λ==
+-∑ (17)
将上式两边对i 求和，进行整理可得
()1
1
l
n
j j
i
j i b g y λ===∑∑ (18)
另一方面，将式(18)代入元素质量守恒方程式(1)，有
()()1111
1,2,,n l
n n
g
ik i j ik ij i ik i k i j i i g X a y a a y a g y b k l Y λ====⎛⎫+-==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (19) 整理上式，同时令1
n
kj jk ik ij i i a a y γγ===
⋅⋅∑，1g g
X W Y =
-，则式(20)可写成
()()1
1
1,2,,l
n
k kj j ik i j i b W a g y k l γλ==⋅+⋅=⋅=⋅⋅⋅∑∑ (20)
联立式(19)和(21)构成一个()1l +元一次线性方程组，解该方程组可以求出l 个待定系数12,,,l λλλ⋅⋅⋅和未知数W ，然后利用式(18)可求得n 个平衡组分{}i x 。

(3) 负值修正
推进剂的燃烧产物大致可分为含量较多的主要产物和含量甚微的次要产物。

一般情况下，假设的初值{}i y ()1,2,,i n =⋅⋅⋅往往与真值偏差较大，其结果是利用不合理初值计算出来的结果{}i x 部分出现负值，显然在下一次迭代前，需对负值进行修正。

设本次计算用假设值为{}i y ，本次计算结果为{}i x ，修正后的值为{}
'
i x 。

负值修
正的公式为
()'i i i i x y x y φ=+- (21)
式中φ为修正系数。

负值修正的具体作法是： Step 1 令i
i i i
y x y δφ-=
-，式中δ取很小(如15
10
δ-=)。

Step 2 在{}()1,2,,i i n φ=⋅⋅⋅中选最小值min φ，取m in φφ=，利用式(22)对{}i x 进行
修正，这样可使全部i x 均修正为正值。

Step 3 检验()
()'
0G x G y -≤是否成立，若不成立，令0.8φφ=，重新对{}i x 进行修正，直至()
()'
G x G y ≤为止。

Step 4 令'(1,2,,)i i y x i n ==⋅⋅⋅，进行下一步迭代计算。

Step 5 精度检验要求max
1,2,,i i x y i n ε-≤=⋅⋅⋅。

满足上式时的{}i x 即为给定T 、P 下的平衡组成。