两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题

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【高中数学】新人教A版高一第 2 课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(练习题)

新人教A版高一第 2 课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2006)1.sin35∘cos5∘−cos35∘sin5∘=（）A.12B.1C.2D.2sin40∘2.sin(−285∘)=（）A.√6−√24B.−√6−√24C.√6+√24D.−√6+√243.已知点P(1，a)在角α的终边上，tan(α＋π4)=−13，则实数a的值是（）A.2B.12C.−2 D.−124.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则cos(α+π4)=（）A.7√210B.−7√210C.−√210D.√2105.若tan(α+β)=25,tan(α−β)=14，则tan2α=（）A.16B.2213C.322D.13186.√2sin(π4−x)＋√6sin(π4＋x)的化简结果是（）A.2√2sin(5π12＋x) B.2√2sin(x−5π12)C.2√2sin(7π12＋x) D.2√2sin(x−7π12)7.在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定8.函数f(x)=sin x−cos(x＋π6)的值域为（）A.[−2,2]B.[−√3，√3]C.[−1,1]D.[−√32，√32]9.若cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−45，且450∘<β<540∘，则sin(60∘−β)=.10.已知锐角α,β满足(tanα−1)(tanβ−1)=2，则tan(α+β)=,α+β=.11.已知“在△ABC中,cos Acos B=+sin Asin B”中的横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是.12.下列式子的结果为√3的有.(填序号)①tan25∘+tan35∘+√3tan25∘tan35∘;②2(sin35∘cos25∘+sin55∘cos65∘);③1+tan15∘1−tan15∘.13.已知α，β∈[π2,π]，且cosα=−35.(1)求tan(π4−α)的值；(2)若sin(α−β)=35，求sinβ的值.14.在平面直角坐标系xOy中，以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为2√55,3√10 10．(1)求tan(α−β)的值；(2)求α+β的值．15.已知锐角α，β满足sin(3α+β)cosα=sin(2α+β)，则下列选项正确的是（）A.sin2α=sinβB.sin2α=cosβC.cos2α=−sinβD.cos2α=−cosβ16.若关于x的方程sin x−√3cos x=c有实数解，则c的取值范围是.17.在△ABC中，tan B＋tan C＋√3tan Btan C=√3，且√3tan A＋√3tan B＋1=tan Atan B，试判断△ABC的形状.参考答案1.【答案】:A2.【答案】:C3.【答案】:C4.【答案】:B5.【答案】:D6.【答案】:A7.【答案】:C【解析】:由A，B为△ABC的内角，tan Atan B>1，可得A，B都是锐角，即tan A和tan B都是正数，∴tan(A+B)=tan A+tan B1−tan Atan B<0，故A+B为钝角.由三角形的内角和为180∘可得，内角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故选C.8.【答案】:B【解析】:f(x)=sin x−cos(x+π6)=sin x−√32cos x＋12sin x=32sin x−√32cos x=√3sin(x−π6)，所以函数f(x)的值域为[−√3，√3].故选B.9.【答案】:−3+4√310【解析】:由已知得cos[(α+β)−α]=cosβ=−45，又∵450∘<β<540∘,∴sinβ=35，∴sin(60∘−β)=√32×(−45)−12×35=−3+4√310.10.【答案】:−1；3π4【解析】:因为(tanα−1)(tanβ−1)=2，所以tan α+tan β=tan αtan β−1，因此tan(α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=−1，又因为α+β∈(0,π)，所以α+β=3π4.11.【答案】:b <a <c【解析】:由题意得，横线处的实数等于cos(A +B)，即cos(π−C)，故当C 是直角时，a =cos π2=0; 当C 是锐角时，−1<b <0;当C 是钝角时，0<c <1.故b <a <c .12.【答案】:①②③【解析】:①tan 25∘+tan 35∘+√3tan 25∘tan 35∘=tan 60∘·(1−tan 25∘·tan 35∘)+√3tan 25∘tan 35∘=√3；②2(sin 35∘cos 25∘+sin 55∘cos 65∘)=2(sin 35∘·cos 25∘+cos 35∘sin 25∘)=2sin(35∘+25∘)=√3； ③1+tan 15∘1−tan 15∘=tan 45∘+tan 15∘1−tan 45∘tan 15∘=tan 60∘=√3. 13(1)【答案】因为cos α=−35，α∈[π2,π]，所以sin α=√1−(−35)2=45，因此tan α=sin αcos α=−43，所以tan (π4−α)=tan π4−tan α1+tan π4·tanα=1+431−43=−7.(2)【答案】因为α，β∈[π2,π]，所以−π2⩽α−β⩽π2，又sin(α−β)=35，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=45，因此sin β=sin[α−(α−β)]=sin αcos(α−β)−cos αsin(α−β)=45×45+35×35=1.14(1)【答案】由条件得cos α=2√55，cos β=3√1010，因为角α,β是锐角，所以sin α=√55，sin β=√1010，故tan α=12,tan β=13，则tan(α−β)=tan⁡ α−tan⁡ β1+tan⁡ αtan⁡ β =17.(2)【答案】由(1)得tan(α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=1，又角α,β是锐角，所以0<α+β<π，故α+β=π4.15.【答案】:B【解析】:由题意得，sin[(2α+β)+α]=sin(2α+β)cos α⇒cos (2α+β)sin α=0，又α，β是锐角，∴cos(2α+β)=0⇒2α+β=π2，即2α=π2−β，∴sin 2α=cos β，故选B.16.【答案】:[−2,2]【解析】:关于x 的方程sin x −√3cos x =c 有解，即c =sin x −√3cos x =2sin (x −π3)有解，由于x 为实数，则2sin (x −π3)∈[−2，2]，故−2⩽c ⩽2.17.【答案】:tan A =tan[180∘−(B ＋C)]=−tan(B ＋C) =tan B ＋tan Ctan Btan C−1=√3−√3tan Btan Ctan Btan C−1=−√3，又0∘<A <180∘，所以A =120∘.tan C =tan[180∘−(A ＋B)]=−tan(A ＋B) =tan A ＋tan Btan Atan B−1 =√3tan A ＋√3tan B=√33，又0∘<C <180∘，所以C =30∘，所以B =180∘−120∘−30∘=30∘. 所以△ABC 是顶角为120∘的等腰三角形.。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习试题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础训练一、选择题 1．已知α为锐角,55cos ,=α则=+)24tan(απ( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43 D ．－72.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则cos(α＋β)的值为( ) A ．－2425 B ．－725C ．0 D.2425 3．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2 4．(2015·嘉兴模拟)2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32C. 3D. 2 5．若,33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα则=+)2cos(βα( ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69 6．已知,534sin )3sin(-=++απα则=+)32cos(πα( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.45 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝23，则=+)4(cos 2πα( ) A.16 B.13 C.12 D.23二、填空题8．已知,2)4tan(=+πx 则tan x tan2x 的值为________． 9．已知,31)6sin(=-απ则=+)232cos(απ_______. 10．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________． 11．设当θ=x 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.三、解答题12．(2014·广东卷)已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求)43(θπ-f . 13．(2014·四川卷)已知函数)43sin()(π+=x x f .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求cos α－sin α的值．巩固训练1．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则=-+)4cos(2sin sin 22πααα( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D.255 2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.2334．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或525 5．若),2,0(πα∈且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 7．已知),2,0(,πβα∈满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是________．8．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，)2,2(ππθ-∈. (1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若,0)2(=πf f (π)＝1，求a ，θ的值． 9．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式例题1.求下列各式的值（1）cos1050；（2）cos460cos160+sin460sin160例题2.求值：（1）cos150cos1050+sin150sin1050；（2）cos （α﹣350）·cos （250+α）+sin （α﹣350）·sin （250+α）（3）cos400cos700+cos200cos500（4）00008cos 8sin 15sin 7cos -例题3.已知α是第一象限角，sin α=53，β是第四象限角，cos β=54，求cos （α+β）和cos （α﹣β）的值。

例题4.求下列各式的值：（1）sin1650；（2）sin （540﹣x ）cos （360+x ）+cos （540﹣x ）sin （360+x ）例题5.已知cos （α+β）=31-，cos2α=135-，α、β均为锐角，求sin （α﹣β）例题6.化简下列各式：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4tan ；（2）000076tan 74tan 176tan 74tan -+；（3）0015tan 3115tan 3+-；（4）000070tan 50tan 370tan 50tan -+例题7.0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -∙+例题8.求值：（1）12cos 12sin 22ππ-；（2）sin750cos750；（3）0215sin 3432-；（4）02015tan 115tan 2-；例题9.（1）求125cos 12cos ππ的值；（2）已知215sin -=x ，求⎪⎭⎫⎝⎛-42sin πx 的值；例题10.求值：（1）sin100sin500sin700；（2）sin60sin420sin660sin780例题11.求值：（1+tan10）（1+tan20）（1+tan30）…（1+tan440）例题12.化简：（1）cos720·cos360；（2）cos200·cos400·cos600·cos800；（3）1322cos 2cos 2cos 2cos cos -∙∙∙∙n ααααα例题13.化简：αααα3cos cos 3sin sin 33+例题14.已知31sin sin -=-βα，21cos cos =-βα，求)cos(βα-的值。

两角和与差的正弦余弦正切公式课后练习

3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-；其中假命题是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A ．。

两角和与差正弦-余弦-正切公式试题

3 3 3 3
7. 已知角的终边经过点 P3a,4aa 0 则 sin 2
2 的值等于______. 5 5 1 2 sin cos 1 9.已知 tan ，则 2 2 sin cos 2
.
8. log4 cos log4 cos
两角和、差的正弦、余弦、正切测验题
班级
学号
姓名
得分
.
一、选择题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。) 1. ( ) A.0 D.
1 2
cos 24o cos 36o cos 66o cos 54o
的
值
等
于
B.
1 2
C.
3 2
2. 在 △ ABC 中，如果 sinA=2sinCcosB. 那么这个三角形是 ( ) A.锐角三角形等边三角形 3. 已知

10.函数 y 2 x 2 ( x 2) 的反函数是
。
三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.( 本小题满分 10 分 ) 已知
4 4 7 3 cos , cos , ,2 , , ， 5 5 4 4
1 3
A. a n 34 8n
D. a n 162 ( ) n
1 3
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
6.化简 cos 2 x cos x sin 2 x sin x ______.
1 tan 21 1 tan 22 1 tan 23 1 tan 24

专题11 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(A卷)-2018-2019学年高一数学同步单元双基双测“AB”卷

班级姓名学号分数（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】=.故答案为：A.2．设θ为第二象限的角，，则 ( )A． B． C． D．【答案】D3．计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，故选B.学！科网4．=A． B． C． D．【答案】D5．若，是第三象限角，则A． B． C． D．【答案】D【解析】∵sinα=﹣，α是第三象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则sin（α+）=sinα+cosα=×（﹣﹣）=﹣．故选：D．6．（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为A． B． C． D．【答案】C7．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，则，.本题选择B选项.8．已知计算的值A． B． C． D．【答案】B【解析】由条件可得，∴．故选B．9．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．【答案】B10．函数的最大值为，A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，，故函数最大值为. 故选C.11．已知，，则（）A． B． C． D．【答案】C12．若均为锐角，，，则A． B． C．或 D．【答案】B【解析】：∵α为锐角， s，∴α＞45°且，∵，且，∴，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．的值等于__________．【答案】【解析】，故答案为．14．已知，则__________.【答案】【解析】依题意，而所求. 15．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则=___________．【答案】16．已知，，则____________.【答案】【解析】，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且()(,)2παβπ∈－，3()(,2)2παβπ+∈，求角β的值．【答案】2πβ=18．（本小题12分）(2018年浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或 .【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.19．（本小题12分）设，.求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）因为,所以,又，，所以，所以.（2）因为，所以，又所以，因为，所以.学！科网20．（本小题12分）已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间．【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知，，所以．令，得，所以函数的单调增区间是，．21．（本小题12分）已知函数.（I）求的最小正周期和最大值；（II）求的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为，最大值1；（2），.（II）由，可得：，，所以的单调递增区间为，.22．（本小题12分）已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标. （1）求的值；（2）若，求点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】由题得，，所以=-7.。

两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例题型 1 给角求值一般所给出的角都是非特别角，利用角的关系（与特别角的联系）化为特别角知识重点：3 tan10 )] ? 2sin 2 80 的值.1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式例 1 求[2sin50sin10 (1C(α－β) ： cos( α－β ) ＝； C( α＋β) ： cos( α＋β ) ＝；S( α＋β) ： sin( α＋β ) ＝； S( α－β) ： sin( α－β ) ＝；T( α＋β) ： tan( α＋β ) ＝； T( α－β) ： tan( α－β) ＝；变式 1：化简求值：2cos10sin 20 .cos202、二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin2α＝；T2：tan2α＝；C2：cos2α＝＝＝；3、在正确娴熟地记着公式的基础上, 要灵巧运用公式解决问题: 如公式的正用、逆用和变形用等。

如 T( α±β) 可变形为 :tanα±tanβ=___________________；tanα tanβ==.考点自测：1、已知 tan α＝ 4，tan β＝ 3，则 tan( α＋β) ＝ ()7、7C、7D、-7、1313 111147ππ2、已知 cos α－6＋ sinα ＝53，则 sinα＋6的值是()234A．－5C．－53、在△4＝5C的值是 ()中，若 cos ＝， cos，则 cosABC A 5B1356D16或．－65654、若 cos2θ＋ cos θ＝ 0，则 sin2θ＋sinθ 的值等于()A． 0B．± 3C．0或 3D．0或± 3 2cos55°－3sin5 °)5、三角式cos5°值为 (C． 2D． 1题型 2 给值求值三角函数的给值求值问题解决的重点在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()，2() ()，2() ()2，2222例 2设 cos αβ1α2π，β∈0，π，求 cos( α＋β) ．－＝－， sin－β ＝，此中α ∈，π229232变式 2：已知0π3π,cos(π)3,sin(3 π)5, 求sin(α+β)的值.4445413题型 3 给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1) 确立角所在的范围；(2) 求角的某一个三角函数值( 要求该三角函数应在角的范围内严格单一) ；（ 3）求出角。

4.5-两角和与差的正弦、余弦、正切练习题

§4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题1.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A.12C.2解析原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A. 答案 A2.已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案：A3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34.∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 D4．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4. 答案 A 5．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )． A.33B ．－33 C.539D ．－69解析对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.答案 C6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237 C ．－247 D ．－83解析由sin (π＋α)＝－35，得sin α＝35，又α是第二象限角，故cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案 C7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )．A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.答案：4＋269．化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°的结果是________．解析原式＝2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋2sin 10°·cos －cos 10°·2cos 10° ＝22(sin 50°cos 10°＋sin 10°cos 50°)＝22sin 60°＝ 6. 答案 610．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．解析法一 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2 θ1＋tan 2 θ－1 ＝45－35－1＝－45. 法二 sin 2θ－2cos 2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2 θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ－1＝－1－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ1＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝－1－91＋9－2×31＋9－1＝－45.答案－4511．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－ 2. 答案 1－ 212．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsinβ＝35，则有cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，sin αsin βcos αcos β＝12，即tan αtanβ＝12.答案12三、解答题13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求1－tan x 1＋tan x .解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴π4＋x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－1213，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－512，∴1－tan x1＋tan x＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－125. 14．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R.(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解析 (1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.15．在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋3cos 2B－2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m ＞2恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f (B )＝4cos B ×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B 2＋3cos 2B －2cos B＝2cos B (1＋sin B )＋3cos 2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3.∵f (B )＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝2，π3＜2B ＋π3＜73π，∴2B ＋π3＝π2.∴B ＝π12. (2)f (B )－m ＞2恒成立，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＞2＋m 恒成立．∵0＜B ＜π，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3∈[－2,2]，∴2＋m ＜－2.∴m ＜－4.16． (1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解析 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。

高一两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习含答案

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为．答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为．答案 54π 解析因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案－255解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域．解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α）＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

课时作业4：§4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1322 C.322 D.16答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α的值为( )A ．4 3 B.654C ．4 D.233答案 B解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α， ∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2α得2＋8tan 2α2tan α＝654. 4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32 C. 3 D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40° ＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3. 5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1答案 C解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x )＝3cos(x －π6)＝－1. 6． sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 答案－4 3解析原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 9．已知 1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．解因为1＋sin α1－sin α－ 1－sin α1＋sin α ＝(1＋sin α)2cos 2α－ (1－sin α)2cos 2α ＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α||cos α| ＝1＋sin α－1＋sin α|cos α| ＝2sin α|cos α|，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α. 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于() A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A 解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.12．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于() A.22 B.33 C. 2 D. 3答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝________. 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 14．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. 15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。