圆中计算及综合训练(讲义及答案)

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九年级数学下册 27.3 圆中的计算问题同步练习(含解析)华东师大版(2021学年)

九年级数学下册27．3 圆中的计算问题同步练习(含解析）（新版)华东师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学下册27．3 圆中的计算问题同步练习(含解析）（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第27章第3节圆中的计算问题课时练习一、单选题(共15小题)１.如图,要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是４：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )A ． 28８°B ．ﻩ144° C. 216°ﻩD ．ﻩ120°答案: A 解析:解答：∵底面圆的半径与母线长的比是4:5，∴设底面圆的半径为4x ，则母线长是5x ，设圆心角为ｎ°，则2×4x = 5180n x π⨯，解得：n ＝288，故选：A ．分析:由底面圆的半径与母线长比的关系去设，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算．2.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计）,圆锥的底面圆的直径是8０ｃm,则这块扇形铁皮的半径是( ）A. 24cmB.ﻩ4８ｃm ﻩC ． 96cm Ｄ． 19２cm 答案:Ｂ解析:解答:设这个扇形铁皮的半径为ｒｃm ，由题意得300180r π=π×80，解得r =48．故这个扇形铁皮的半径为4８cm.故选:B ．分析:底面周长=展开图的弧长3.在长方形ABCD中AB＝16,如图所示裁出一扇形AＢE，将扇形围成一个圆锥（ＡＢ和AＥ重合)，则此圆锥的底面半径为（)Ａ．4ﻩB.ﻩ１6ﻩ2 D.ﻩ8答案:A解析：解答:设圆锥的底面圆半径为r，依题意,得π⨯,2πr＝9016180解得ｒ=4.故小圆锥的底面半径为4．故选：A.分析：圆锥的底面圆半径为r,由圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解.４.圆锥的侧面展开图是一个弧长为１２π的扇形,则这个圆锥底面积的半径是（)Ａ. 24 B．１2 C. 6ﻩD.ﻩ3答案:C解析:解答:设底面圆半径为ｒ,则2πr＝1２π,化简得ｒ=6.故选:C.分析:本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算,用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长.5.若用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不计,则所得圆锥的高为( ）ｃｍＤ. 10cmA. 53cmﻩB．55cmﻩ C.ﻩ5152答案:A解析:解答：设这个圆锥的底面半径为r,π⨯，解得r=5,根据题意得2πr= 18010180所以这个圆锥的高＝22-=５3(cｍ）．105故选：A.π⨯,解得r=５,在利分析:设圆锥的底面半径为r,由圆锥的底面周长和弧长公式得到2πr=18010180用勾股定理计算这个圆锥的高．６.如图，用一个半径为30cm,面积为3０0πcm２的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为（)Ａ. 5cmﻩB. 10cｍﻩC. 2０ｃmﻩD. 5πcm答案：B解析：解答:设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、ｌ,圆锥形容器底面半径为r，则由题意得R=３0,由1Rｌ＝３０0π得l＝20π；2由２πr=ｌ得r=10ｃm.故选: Ｂ．分析:由圆锥的几何特征,圆锥的底面周长等于扇形的弧长,据此求得圆锥的底面圆的半径.7.将圆心角为90°,面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面,则所围成的圆锥的底面半径为（）A ． 1cm ﻩB.ﻩ2cm ﻩC ．ﻩ3ｃmD ．ﻩ4cm答案：Ａ解析：解答:设扇形的半径为R ，根据题意得290360R π ＝4π，解得Ｒ=４, 设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•２π•r •4＝4π,解得r =1，即所围成的圆锥的底面半径为1ｃm ．故选:A.分析:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．８.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为2４０°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6c ｍﻩB.ﻩ９cm ﻩＣ.ﻩ12ｃｍﻩＤ.18cm答案：Ｃ解析：解答:圆锥的弧长为:24018180π⨯=２４π， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π=1２．故选: C分析:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．9．将弧长为2πc ｍ,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高及侧面积分别是（ )A ．m,３πc ｍ2ﻩm ,3πcm 2 Ｃ,6πcm 2 ,6πc ｍ2答案:B解析：解答：（2π×18０）÷１２0π＝3(cm),2π÷π÷２=1(ｃm),＝）， 21203360π⨯＝3π（cm 2). 故这个圆锥的高是m ，侧面积是3πcm2．故选:Ｂ.分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.１０.已知圆锥的侧面积是20πcm 2,母线长为５cm ，则圆锥的底面半径为（ )A. 2cm ﻩB.3cm ﻩC. ４ｃｍＤ．ﻩ6cm答案：C解析:解答:∵圆锥的母线长是５c ｍ,侧面积是20πcｍ2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l =2s r ＝405π=８π, ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,∴ｒ=2l π＝82ππ=4（ｃｍ)．故选:C分析:圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长,利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径.11．一个圆锥的底面圆的周长是2π,母线长是3,它侧面展开图的圆心角的度数是( ）A ． 60°B ． 9０°ﻩC ． 120° D.ﻩ150° 答案：Ｃ解析:解答:圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm,弧长为4πcｍ,代入扇形弧长公式l =180n r π, 即2π=3180n π⨯，解得ｎ=120,即扇形圆心角为１20度.故选：C ．分析:圆锥的母线长等于扇形的半径,圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而根据扇形的弧长公式就可以求出n 的值．12．如图，从一块半径是1m 的圆形铁皮（⊙Ｏ)上剪出一个圆心角为６0°的扇形(点A ，Ｂ，C 在⊙O 上)，将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是( )A. 36m ﻩＢ. 312m ﻩC ．m 32ﻩ D. 1ｍ答案:Ａ解析:解答:如图所示连接ＯA,作ＯD ⊥AB 于点D.在直角△OAD 中,ＯＡ=1，∠OA Ｄ=12∠B ＡC ＝30°,则ＡD=ＯＡ•cos 33 则Ａ3603π3，设底面圆的半径是ｒ，则2πr =33π，解得:r =36．故选:Ａ．分析:连接ＯA ，作OD ⊥ＡＢ于点D,利用三角函数即可求得ＡD 的长，则AB 的长可以求得,利用弧长公式即可求得弧长；再利用圆的周长公式即可求得半径．１3.已知圆锥的侧面积为10πc ｍ2,侧面展开图的圆心角为36°,则该圆锥的母线长为（ )Ａ．１0０c ｍﻩB ．c 10ﻩｍﻩC. １0cm Ｄ．1010ｃm 答案:C解析:解答：设母线长为Ｒ，圆锥的侧面积=2360n R π=10π， ∴R=１0cm故选:C分析:利用了扇形的面积公式求解，扇形的面积公式=2360n r π．１４.如图，扇形ＯA Ｂ是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为１厘米,则这个圆锥的底面半径为（ )厘米.A.12 B ．C.ﻩ22ﻩ 2D ．2答案：B 解析:解答:2222+2厘米,.故选:B分析:利用弧长公式可求得扇形的弧长,圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.１5．已知圆锥形模具的母线长、半径分别是12cm、4cｍ,求得这个模具的侧面积是（) A．100πcm2Ｂ．８０πｃm2ﻩC.60ﻩπcm2ﻩD.4ﻩ８πcｍ2答案：D×8π×１2=48πｃm2．解析：解答：半径是４ｃｍ，则底面周长＝８πcm，侧面积=12故选:D分析:利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.二、填空题（共5小题）16．已知圆锥的底面圆半径为３,母线长为5,则圆锥的全面积是．答案:24π解析：解答:底面周长是：2×３π=6π,则侧面积是：1×6π×5=1５π,2底面积是:π×３2＝９π,则全面积是：15π+9π＝24π．故答案为：２4π.分析：首先求得底面周长,即侧面展开图的扇形弧长,然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积,即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积,侧面积与底面积的和就是全面积．17.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径是．答案:2解析:解答:扇形的弧长=1206180π⨯＝4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷２π＝2.故答案为：2分析:圆锥的弧长等于底面周长.18.已知圆锥的侧面积等于６0πcm 2,母线长10ｃm,则圆锥的高是 cm.答案：8解析:解答:设圆锥的底面圆的半径为r , 根据题意得12•2π•r •10=6０π,解得r =6,所以圆锥的高=(ｃm).故答案为8分析：设圆锥的底面圆的半径为r ,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到r ，然后根据勾股定理计算圆锥的高．1９．用一个圆心角为90°,半径为４的扇形围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径 . 答案：1解析:解答：根据扇形的弧长公式l =180n r π=904180π⨯=2π，设底面圆的半径是r ，则2π=2πｒ∴r =1.故答案为:１分析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．２０.已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为ｃm 2．答案：3π解析:解答:圆锥的侧面积=２π×3×1÷2=3π．故答案为:3π分析：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.三、解答题（共５小题）21．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面半径为６米，高为4米,下方圆柱高为３米．(１)求该粮仓的容积；答案:解答:体积V ＝π×６2×3＋13×π×６２×(4﹣3)＝10８π+1２π=120π;(2）求上方圆锥的侧面积.（计算结果保留根号）答案：解答：圆锥的母线长为l =2261+=37，所以圆锥的侧面积为ｓ＝π×6×37=６37π.解析:分析:（１)确定该几何体为圆锥和圆柱的组合体,然后计算圆锥和圆柱的体积的和;(２)利用圆锥的侧面积公式直接计算.22.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r =2cm ，扇形的圆心角θ=１２０°,求该圆锥的高h 的长.答案：解答：如图所示:1202360AB r ππ=,而r ＝2，∴ＡB=１2,∴由勾股定理得：AO2=AＢ2﹣OB2，而ＡB＝12，OＢ=2,∴AO=235.即该圆锥的高为235．解析:分析：运用弧长公式求出ＡB的长度,即可.2３.一个几何体的三视图如图所示,根据图示的数据计算出该几何体的表面积．答案:解答:由三视图可知该几何体是圆锥,圆锥的高为12,圆锥的底面圆的半径为5，圆锥的母线长=22=13,512圆锥的表面积=π•５2＋1•２π•5•13＝90π．2解析：分析:根据三视图可判断该几何体是圆锥,利用勾股定理计算出母线长,然后求底面积与侧面积的和即可．2４.已知一个几何体的三视图如图,根据图示的数据计算该几何体的全面积及侧面展开图的圆心角（结果保留π).答案:解答:∵如图所示可知,圆锥的高为4,底面圆的直径为6,∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πr ｌ=π×3×5=1５π，底面圆的面积为:πｒ2=9π,∴该几何体的表面积为24π．∴圆心角的度数:636021610ππ⨯︒=︒解析:分析：根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积,再求出底面圆的面积,即可得出表面积.25.在△ABC 中,AB ＡＢC ＝1．（1)求证:∠A≠30°;答案:解答:证明：∵BC 2+AC 2=１+2=3=ＡB 2，∴△AB Ｃ是直角三角形，且∠Ｃ=90°. ∵1sin sin 302BC A AB ==>=︒, ∴∠A≠3０°.（2)将△ＡBC 绕BC 所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积．答案：解答:将△ABC 绕ＢC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥,∴圆锥的底面圆的半径∴几何体的表面积23π+π×（２解析：分析:（1）根据勾股定理的逆定理得到△ＡB Ｃ是直角三角形,利用三角函数计算出sin Ａ,然后与sin ３0°进行比较判断∠Ａ≠30°;（2)将△ABC 绕ＢC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥,几何体的表面积分为底面积和侧面积,分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

圆综合(答案版)

圆综合一、圆中基本定理的运用例1、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD 交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．二、圆中相似例2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．1、如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．2、如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF•AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=，AB=，求△AFG的面积．三、双圆问题例3、如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D．（Ⅰ）求证：C，P，B三点共线；（Ⅱ）求证：CD=CA．（Ⅰ）连接PC，PA，PB，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC=90°，作⊙O1与⊙O2的内公切线MP交AB与点M．又∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°，∴∠CPB=180°．∴C，P，B三点共线．（Ⅱ）∵CD切圆O2于点D，∴CD2=CP•CB．在△ABC中，∠CAB=90°，又∵AP⊥BC，∴CA2=CP•CB．故CD=CA．1、如图，⊙O1、⊙O2外切于点P，它们的半径分别为4cm、1cm．直线l分别与⊙O1、⊙O2相切于A、B，且与直线OlO2相交于T．求AB和BT 的长．2、如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M 相交于点D、点E，连结DE.若AB=.(1)求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0<x<3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.解：（1）连结．则在中，，，．，．．连结．则．．[或：延长与相交于点，连结．则有，且．在中，，．又，．，．]（2）在和中，，，．．连结．则．在中，，．．．即．．[或：点在上移动，恒为，长始终不变．当点移动到延长线与交点处时，可求得．]（3）连结．是的直径，．由，可得，．在中，，，；．又由（2），知．．在中，，．[或：由（2），知，．又由（2），知，，．连结．在中，由勾股定理，得．又，即．而]3、如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．。

中考数学-圆讲义及练习

第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）（第14题图）（第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．（第16题图）（第17题图）（第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为．（第19题图）（第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。

第11讲圆中的线段计算专题九年级数学上学期重难点及章节分类讲义(浙教版)(原卷版)

第11讲圆中的线段计算专题【知识点睛】❖圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；❖圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④⋂⋂=BCAC；⑤⋂⋂=BDAD；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

❖常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角【类题训练】1．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5B．4C．3D．23．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．44．已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个5．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2C．4D．6．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（）A．36B．24C．18D．727．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（）A．3B．4C．2D．58．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（）A．1B．1.5C．2D．不能确定9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2，则△AOC的面积为（）A．B．2C．2D．410．如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）11．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF ＝（）A．2B．2.5C．4D．512．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．13．如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（）A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s14．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．2B．4C．2或4D．2或415．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC ＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．B．C．D．16．如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．B．1C．D．17．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（）A．4+B．9C．4D．618．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE ⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（）A．4B．4.5C．5D．619．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（）A．2B．5C．6D．720．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”，除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的菜洛三角形和圆形滚木的截面图．有下列4个结论：①莱洛三角形是轴对称图形；②图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等；③图2中，莱洛三角形的周长、面积分别与圆的周长、面积对应相等；④使用截面的莱洛三角形的滚木搬运东西，会发生上下抖动．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③21．如图，在半径为5的⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC、EB．若CD＝2，则EC的长为（）A．2B．8C．2D．222．已知：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝2，则DE 的长是（）A．B．C．D．123．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C ＝60°，则⊙O的半径长为（）A．B．C．D．24．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（）A．B．C．D．25．如图，用边长分别为1和3的两个正方形组成一个图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为（）A．2B．2.5C．3D．26．已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为cm．27．如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P 运动的时间t为秒．28．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．29．如图所示，AB为⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，＝2，点P是OC上一动点，则阴影部分周长的最小值为．30．如图，⊙O的直径AB＝10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ 为．31．如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB＝1，则四边形ABCD的面积的最大值是．32．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为．33．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．34．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．35．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．（1）求弦AC的长；（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．36．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC＝AO，点D为BC的中点，（1）如图1，连接AC、OD，设∠OAC＝α，请用α表示∠AOD；（2）如图2，当点B为的中点时，求点A、D之间的距离：37．阅读材料，并完成相应任务．问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．（1）如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“CD＝DB+BA”，于是他在CD上截取CE＝AB，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；（2）如图3，在⊙O中，＝，DE⊥AC，若AB＝3，AC＝7，则AE的长度为．38．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE 与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．。

重难点07 圆中的计算及其综合(解析版)-【查漏补缺】2024年中考数学复习冲刺过关(全国通用)

重难点07圆中的计算及其综合圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。

解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故选：D．2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（）A．70°B．105°C．125°D．155°【分析】利用圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得∠BPC的范围，继而得出答案．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°，∵点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC+∠OCP＝140°+∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故选：D．3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32°B．42°C．48°D．52°【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝35°．【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，∵∠ACB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝110°，∵点O为△ABC的内切圆的圆心，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∴∠AOB＝125°，∵OE＝OD，BD＝BE，∴OB垂直平分DE，∴∠OGE＝90°，∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，故答案为：35°．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（）A．40°B．25°C．40°．D．30°【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，从而可得∠ABC＝50°，再根据已知易得：＝，从而可得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠ABD＝25°，即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝50°，∵点D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝25°，∴∠ACD＝∠ABD＝25°，故选：B．3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】先利用圆周角定理可得∠AOB＝106°，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠OBA＝37°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝53°，∴∠AOB＝2∠ACB＝106°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝＝37°，∵∠CAB＝17°，∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝20°，故选：C．4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B 两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数60°．【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：由图可知：∠P＝30°，∵＝，∴∠AOB＝2∠P＝60°，故答案为：60°．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是62.5°．【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OA，OC是△ABC的角平分线，∴，．∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∴，∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°，∴．故答案为：62.5°．题型02“知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CDAB；③OM=ON；④FE∠=∠；⑤CODAOB∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

13.中考数学圆中计算综合(一) 解析版

计算力专训五十、圆中计算综合（一）1．（2020·德州市第九中学初三期中）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB，，1）求BC的长；，2）求证：PB是⊙O的切线．【答案】（1）2（2）见解析【解析】解：（1）连接OB，∵弦AB∵OC，劣弧AB的度数为120°，∵弧BC与弧AC的度数为：60°．∵∵BOC=60°．∵OB=OC，∵∵OBC是等边三角形．∵OC =2，∵BC=OC=2．（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∵BC=CP．∵∵CBP=∵CPB．∵∵OBC是等边三角形，∵∵OBC=∵OCB=60°．∵∵CBP=30°．∵∵OBP=∵CBP+∵OBC=90°．∵OB∵BP．∵点B在∵O上，∵PB是∵O的切线．（1）连接OB，由弦AB∵OC，劣弧AB的度数为120°，易证得∵OBC是等边三角形，则可求得BC的长．（2）由OC=CP=2，∵OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∵P=∵CBP，又由等边三角形的性质，∵OBC=60°，∵CBP=30°，则可证得OB∵BP，从而证得PB是∵O的切线．2．（2020·潮州市潮安区雅博学校初三一模）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】，1，连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；，2，根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA，，3，根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】，，，1，直线PD为⊙O的切线，理由如下，如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD，∵点D 在⊙O 上，∴直线PD 为⊙O 的切线，，2，∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO=90°，在Rt △PDO 中，∠ ∴0tan 30ODPD =，解得OD=1，∴PO∴PA=PO，AO=2，1=1，，3，如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD ∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE，ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB，∠ADF=90°，30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．的平分线交⊙O 3．（2019·全国初三单元测试）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，CAB，1）如图①，若BC 为⊙O 的直径，6AB =，求AC ，BD ，CD 的长．，2）如图②，若60CAB ∠=︒，求BD 的长．【答案】（1）AC=8，，，2，5.【解析】【分析】(1)根据直径得出，CAB=，BDC=90°，然后根据Rt，CAB 的勾股定理得出AC 的长度，然后根据等腰直角，BDC 求出BD 和CD 的长度；(2)连接OB ，OD ，根据AD 平分，CAB ，且，CAB=60°得出，DOB=2，DAB=60°，从而得出，OBD 为等边三角形，从而得出BD 的长度.【详解】(1)如图，，，BC 是，O 的直径，，，CAB=，BDC=90°．，在直角，CAB 中，BC=10，AB=6，∵由勾股定理得到：=8．，AD 平分，CAB ，，，CD=BD．在直角，BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，(2)、如图，，连接OB，OD．，AD平分，CAB，且，CAB=60°，∵∵DAB=12∵CAB=30°，，，DOB=2，DAB=60°．又，OB=OD，，，OBD是等边三角形，，BD=OB=OD．，，O的直径为10，则OB=5，，BD=5．考点：圆的基本性质4．（2020·浙江温州·初三月考）如图，AB是，O的直径，C是BD的中点，CE，AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则，O的半径和CE的长．【答案】（1）见解析（2）5 ，24 5【解析】【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．又∵C 是BD 的中点,∴CD CB =∴∠DBC=∠A ，∴∠ECB=∠DBC ，∴CF=BF ；（2）解：∵CD CB =∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，10AB ∴===∴⊙O 的半径为5， 1122ABC S AB CE BC AC == 6824105CE ⨯∴== 【点睛】此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键．5．（2019·山东冠县·初三二模）如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC 的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．（1）求证：EF 为半圆O 的切线；（2）若DA ＝DF ＝（结果保留根号和π）﹣6π【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【详解】（1）证明：连接OD，，D为弧BC的中点，，，CAD＝，BAD，，OA＝OD，，，BAD＝，ADO，，，CAD＝，ADO，，DE，AC，，，E＝90°，，，CAD+，EDA＝90°，即，ADO+，EDA＝90°，，OD，EF，，EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，，DA＝DF，，，BAD＝，F，，，BAD＝，F＝，CAD，又，，BAD+，CAD+，F＝90°，，，F＝30°，，BAC＝60°，，OC＝OA，，，AOC为等边三角形，，，AOC＝60°，，COB＝120°，，OD，EF，，F＝30°，，，DOF＝60°，在Rt，ODF中，DF＝，OD＝DF•tan30°＝6，在Rt，AED中，DA＝，CAD＝30°，，DE＝DA•sin30°＝EA＝DA•cos30°＝9，，，COD＝180°﹣，AOC﹣，DOF＝60°，由CO＝DO，，，COD是等边三角形，，，OCD＝60°，，，DCO＝，AOC＝60°，，CD ，AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝2160962360π⨯⨯⨯＝62π-．【点睛】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．6．（2019·天津河西·）在，ABC 中，90︒∠=C ，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与BC 相切于点D ，分别交AB ，AC 于点E ，F（I ）如图①，连接AD ，若25CAD ︒∠=，求∠B 的大小；（Ⅱ）如图②，若点F 为AD 的中点，O 的半径为2，求AB 的长．【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.【解析】【分析】，1，连接OD，由在，ABC中, ，C=90°，BC是切线,易得AC，OD,即可求得，CAD=，ADO,继而求得答案;，2，首先连接OF,OD,由AC，OD得，OF A=，FOD,由点F为弧AD的中点,易得，AOF是等边三角形,继而求得答案.【详解】解:(1)如解图，,连接OD,，BC切，O于点D,，，ODB=90°,，，C=90°,，AC，OD,，，CAD=，ADO,，OA=OD,，，DAO=，ADO=，CAD=25°,，，DOB=，CAO=，CAD，，DAO=50°,，，ODB=90°,，，B=90°，，DOB=90°，50°=40°;(2)如解图，,连接OF,OD,，AC，OD,，，OFA=，FOD,，点F为弧AD的中点,，，AOF=，FOD,，，OFA=，AOF,，AF=OA,，OA=OF,，，AOF为等边三角形,，，FAO=60°,则，DOB=60°,，，B=30°,，在Rt，ODB中,OD=2,，OB=4,，AB=AO，OB=2，4=6.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明，AOF为等边三角形是解，2）的关键.7．（2019·四川资中·初三一模）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC=BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB 于点D ．（1）求∠ABC 的度数；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）45°；（2）14π-．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB =90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据阴影部分的面积=S △ABC －S 扇形DBC 即可得到结论．【详解】（1）∵AB 为半圆⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵AC =BC ，∴∠ABC =45°；（2）∵AC =BC ，∴∠ABC =45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∵AB =2，∴BC =2AB ，∴阴影部分的面积=S △ABC －S 扇形DBC =21452360π⨯⨯14π=-．【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．8．（2020·全国初三课时练习）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，OF ⊥AC 于点F ，BE＝OF ．（1）求证：△AFO ≌△CEB ；（2）若BE ＝4，CD ＝，求：①⊙O 的半径；②求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①8；②643π-【解析】【分析】（1）根据垂径定理知BC ＝BD ，再利用圆周角定理知∠A ＝∠DCB ，而∠AFO ＝∠CEB ，故可证明△AFO ≌△CEB ；（2）①利用垂径定理得出CE = OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，根据勾股定理可得r 2＝（r﹣4）2+（）2，即可求出r ；，根据阴影部分等于扇形OABD 的面积减去，CDO 的面积即可求出.【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC ＝BD ，∴∠A ＝∠DCB ，∴OF ⊥AC ，∴∠AFO ＝∠CEB ，∵BE ＝OF ，∴△AFO ≌△CEB （AAS ）．（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE ＝12CD ＝设 OC ＝r ，则 OE ＝r ﹣4，∴r 2＝（r ﹣4）2+（2∴r ＝8．②连结 OD ．∵OE ＝4＝12OC ，∴∠OCE ＝30°，∠COB ＝60°，∴∠COD ＝120°，∵△AFO ≌△CEB ，∴S △AFO ＝S △BCE ，∴S 阴＝S 扇形OCD ﹣S △OCD＝2120?·8360π﹣142⨯＝643π﹣.【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用.9．（2020·全国初三课时练习）如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝6，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60°．（1）连接DB ，求证：∠DBF ＝∠ABE ；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积为60π﹣【解析】【分析】（1）要证明∠DBF ＝∠ABE ，需证∠EBF ＝ABD ＝60°，则∠ABE ＝∠DBF ＝60°﹣∠DBE ，可得∠DBF ＝∠ABE ；（2）过B 作BQ ⊥DC 于Q ，则∠BQC ＝90°，可证明△ABM ≌△DBN ，阴影部分的面积S ＝S 扇形DBC ﹣S △DBC＝2606163602π⨯-⨯⨯60π﹣【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，AD ∥BC ，∵∠A ＝60°，∴∠ADB ＝∠DBC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠EBF ＝ABD ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBF ＝60°﹣∠DBE ，即∠DBF ＝∠ABE ；（2）解：过B 作BQ ⊥DC 于Q ，则∠BQC ＝90°，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝6，∴DC ∥AB ，∠C ＝∠A ＝60°，BC ＝AB ＝6，∴∠ADC ＝120°，∴∠QBC ＝30°，∴CQ ＝12BC ＝3，BQ ＝∵∠A ＝60°，∠CDB ＝120°﹣60°＝60°，∴∠A ＝∠CDB ，∵AB ＝BD ，∴在△ABM 和△DBN 中A BDN AB BD ABM DBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM ≌△DBN （ASA ），∴S △ABM ＝S △DBN ，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形DBC ﹣S △DBC＝2606163602π⨯-⨯⨯60π﹣【点睛】本题考查全等三角形的证明定理，通过构建全等三角形，可求出阴影部分的面积. 10．（2019·山东中考真题）如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）163π-【解析】【分析】（1）连接OD ，再根据AB AC =可得ABC C ∠=∠，而OB OD =可得ODB ABC C ∠=∠=∠，再结合DF AC ⊥，便可证明90ODF ∠=︒，即直线DF 是O 的切线.（2）连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∵30OAE OEA ∠=︒=∠，∵120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 22OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠=21201643603OAES OAE S S ππ︒︒=-=⨯⨯-=-阴影部分扇形【点睛】本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点.11．（2020·全国初三课时练习）如图，在O 中，弦,AC BD 相交于点,,30,4M AC BD A B OA ⊥∠=∠=︒=，求图中阴影部分的面积．【答案】2043π+ 【解析】【分析】如图，过点O 作OG AC ⊥于点G ,OH BD ⊥于点H ，连接OM ，则由直角三角形的知识可以求出AOM BOM S S 和，再由圆周角知识算得AOB ∠的大小，并算出OAB S 扇形，最后求出整个阴影部分面积．【详解】如图，过点O 作OG AC ⊥于点G ,OH BD ⊥于点H ，连接OM ．在Rt AOG △和Rt BOH 中，4,30OA OB A B ︒==∠=∠=，122OG OH OA ∴=== AG BH ∴==,,OG AC OH BD AC BD ⊥⊥⊥，且OH OG =，∴四边形OGMH 是正方形．2GM HM OG ∴=== 2AM BM ∴==+∴1(2222AOM BOM S S ⨯+⨯===+30,A B AC BD ︒∠=∠=⊥于点M ，360180180AOB AOM BOM AOM BOM ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠+︒-∠303090150A AMO B BMO A B AMB =∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒21504202(243603AOM BOM OAB S S S S ππ⨯∴=++=+⨯+=+扇形阴影．【点睛】本题考查圆的综合知识，综合利用其他几何知识和圆的有关知识是解题关键．。

人教中考数学圆的综合的综合复习含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5=,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴223635+=∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.3．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是=，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；BD中点，推出CD CB（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，∵点C是BD中点，∴CD CB=，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．（2）如图2中，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC，∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，∵∠EFB=∠EBF ，∴∠G=∠HOF ，∵∠HOF=∠EOG ，∴∠G=∠EOG ，∴EG=EO ，∵OH ⊥AB ，∴AB=2HB ，∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，∴cos ∠GBA=12HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ，∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ， ∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+132， ∴OE=EF ﹣OF=FB ﹣OF=132﹣a ，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a ， ∵NE=12EF=12a+134， ∴ON=OE=EN=（132﹣a ）﹣（12a+134）=134﹣32a ， ∵BO 2﹣ON 2=EB 2﹣EN 2， ∴（172﹣a ）2﹣（134﹣32a ）2=（a+132）2﹣（12a+134）2，解得a=32或﹣10（舍弃）， ∴OE=5，EB=8，OB=7， ∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC ，AC=AC ，∴△ACK ≌△ACT ，∴CK=CT ，AK=AT ， ∵CD CB =，∴DC=BC ，∴Rt △DKC ≌Rt △BTC ，∴DK=BT ，∵FT=12FC=5，∴DK=TB=FB ﹣FT=3，∴AK=AT=AB ﹣TB=10，∴AD=AK ﹣DK=10﹣3=7．4．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；(3)如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．【答案】（1）CG与⊙O相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE＝2【解析】【分析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；（2）证△ABC∽△FBO得BC ABBO BF=，结合AB＝2BO即可得；（3）证ECD∽△EGC得EC EDEG EC=，根据CE＝3，DG＝2.5知32.53DEDE=+，解之可得．【详解】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，∴CG 与⊙O 相切；（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，∴∠OAE ＝∠F ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△FBO ， ∴BC AB BO BF=，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，∴2OB 2＝BC •BF ；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，∴∠F ＝∠GCF ，∴∠EGC ＝2∠F ，又∵∠DCE ＝2∠F ，∴∠EGC ＝∠DCE ，∵∠DEC ＝∠CEG ，∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DE DE =+，整理，得：DE 2+2.5DE ﹣9＝0，解得：DE ＝2或DE ＝﹣4.5（舍），故DE ＝2．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．5．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2，求BE 的长.【答案】(1)见解析；(2) 233【解析】【分析】（1）根据EF＝BD可得EF＝BD，进而得到BE DF，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)∵EF＝BD，∴EF＝BD∴BE DF∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（235．【解析】【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD225DE CE-=△CDE∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的⊙O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB ＝∠DCE ．（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝2，BC ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线CE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）⊙O 的半径为64【解析】【分析】（1）首先连接OE ，由OE=OA 与四边形ABCD 是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE ⊥EC ，即可证得直线CE 与⊙O 的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE ∽△CBA ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE 的长，又由勾股定理即可求得AC 的长，然后设OA 为x ，即可得方程222)x x -=，解此方程即可求得⊙O 的半径．【详解】解：（1）直线CE 与⊙O 相切．…理由：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，BC ∥AD ，CD ＝AB ，∴∠DCE +∠DEC ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ，又∠DCE ＝∠ACB ，∴∠DEC +∠DAC ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠DAC ，∴∠DEC +∠OEA ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴OE ⊥EC ，∵OE 为圆O 半径，∴直线CE 与⊙O 相切；…（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ，∴△CDE ∽△CBA ，∴ BC AB DC DE=，又CD ＝AB BC ＝2，∴DE ＝1根据勾股定理得EC又AC =…设OA 为x ，则222)x x +=，解得x =，∴⊙O ．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．8．如图，已知△ABC，AB=2，3BC=，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是DF的中点，求:BD CD的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．【答案】(1) 2442y x x(0≤x≤3); (2) 45; (3) BD的长是1或1+52.【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度．联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在Rt△ADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式．（2）由勾股定理求得：22AH DH+．设DF与AE相交于点Q，通过解Rt△DCQ和Rt△AHC推知12DQCQ=．故设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：①当AF∥DC、②当AD∥FC．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．【详解】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD DF x x ADF ==-+∠ ∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC +=．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ DCQ CQ ∠=．在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =．设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==， ∵35k =5k =，∴2253DC DQ CQ =+=． ∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =．（3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD DF DC =． ∵2DF AD =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即()222-23x x x +=-,整理得 210x x --=，解得 152x ±=（负数舍去）．综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+5．【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．9．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB”的中点，即AE ＝EC+CB ．（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．【答案】（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 313．【解析】【分析】（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明. （3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解：（1）如图2，在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，在△FAG 和△FBC 中，,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC （SAS ），∴FG ＝FC ，∵FE ⊥AC ，∴EG ＝EC ，∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，理由：如图3，在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，∵点F 是AFB 的中点，∴FA ＝FB ， FA FB =,∴∠FCG ＝∠FCB ，在△FCG 和△FCB 中，,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB （SAS ），∴FG ＝FB ，∴FA ＝FG ，∵FE ⊥AC ，∴AE ＝GE ，∴CE ＝CG+GE ＝BC+AE ；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝2OA ＝4，∠BAC ＝30°， ∴12232BC AB AC ===，，当点P 在弦AB 上方时，如图4，在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ，∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB （SAS ），∴PG ＝PB ，∴PA ＝PG ，∵PH⊥AC，∴AH＝GH，∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，∴2322AH=+，∴31AH=-，当点P在弦AB下方时，如图5，在AC上截取AG＝BC，连接PA，PB，PC，PG∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠PAB，∴PA＝PB，在△PAG和△PBC中，,AG BCPAG PBCPA PB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG≌△PBC（SAS），∴PG＝PC，∵PH⊥AC，∴CH＝GH，∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，∴2322CH，=+∴31CH=-，∴()233131AH AC CH=-=--=+，即：当∠PAB＝45°时，AH的长为31-或3 1.+【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.10．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求BD的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析（2）π（3）213【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴BD的长度=π（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG=2222-=-=6，CG CD108∴EG=2222+=+=213.64DG DE。

人教中考数学复习圆的综合专项综合练含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD 是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B 为弧CD 中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ，∵∠DBE=∠DBA ，∴△DBE ∽△ABD ， ∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.3．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_____cm ．（用含t 的代数式表示）（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB=22AC BC=10．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．故答案为t﹣1．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，解得：t＞1，∴1＜t＜4．∵△DFN∽△ABC，∴DNFN=ACBC=86=43．∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）．（3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ，∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ，∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =356s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =356s （舍）．综上所述：当t =103s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切．点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．4．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA．（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4339π-.【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3BH=3，OB=2OH=23，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，∴△BOC ≌△CDA （AAS ）(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC =∠ACB∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形∴O 是△ABC 的内心也是外心∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC .在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴OA=OB=OC=233∵∠AOC=120°，∴=AOB AOB S S S-阴影扇 =21202313()2360323π-⨯⨯ =4339π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.5．如图，△ABC 中，∠A=45°，D 是AC 边上一点，⊙O 经过D 、A 、B 三点，OD ∥BC ．（1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE 的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB ，求出∠DOB 度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO 交⊙O 于点F ，连接AF ，求出∠ABF ，解直角三角形求出BE ．详解：（1）证明：连接OB ．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD ∥BC ，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．6．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE，由（1）知DE⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴，∴∠BED=∠BME；∵四边形BMDE内接于⊙O，∴∠HMD=∠BED，∴∠HMD=∠BME；∵∠BME是△HEM的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若CFOF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若CFOF＝k，求12SS的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)∠DGE ＝60°；(2)72；(3)12S S =211k k k +++. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE 的度数；（2）过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3,根据勾股定理求出BF 的长度，再证得△FGO ∽△FCB ，进而求得BF GF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出12S S 的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HF 33HB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF 22HB HF 7=+=由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ，∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12， ∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中， BF=由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OF CB BF=，即1GO k =+， ∴GO =过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ， ∴PC ＝DE ，∵DE ⊥OE ， ∴12S S =BF GO=211k k k +++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．8．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠OCA ＝28°，∴∠POC ＝56°，∵CP 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，∴OD ⊥AC ，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞2），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．（1）求证：△OBC≌△ABD（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时，直线EF∥直线BO；这时⊙F和直线BO的位置关系如何？请给予说明．【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：33=-y x（3）C点运动到(4,0)处时，直线EF∥直线BO；此时直线BO与⊙F相切，理由见解析.【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等边△BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.（3）由EA ∥OB ，EF ∥OB ，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF 与EA 重合，所以F 为BC 与AE 的交点，又F 为BC 的中点，得到A 为OC 中点，由A 的坐标即可求出C 的坐标；相切理由是由F 为等边三角形BC 边的中点，根据“三线合一”得到DF 与BC 垂直，由EF 与OB 平行得到BF 与OB 垂直，得证.【详解】（1）证明：∵△OAB 和△BCD 都为等边三角形，∴OB=AB ，BC=BD ，∠OBA=∠DBC=60°，∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC ，即∠OBC=∠ABD ，在△OBC 和△ABD 中，OB AB OBC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△OBC ≌△ABD.（2）随着C 点的变化，直线AE 的位置不变，∵△OBC ≌△ABD ，∴∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，∴∠OAE=60°，又OA=2，在Rt △AOE 中，tan60°=OE OA，则∴点E 坐标为（0，设直线AE 解析式为y=kx+b ，把E 和A 的坐标代入得：02k b b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得，k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AE的解析式为：y =-（3）C 点运动到(4,0)处时，直线EF ∥直线BO ；此时直线BO 与⊙F 相切，理由如下： ∵∠BOA=∠DAC=60°，EA ∥OB ，又EF ∥OB ，则EF 与EA 所在的直线重合，∴点F 为DE 与BC 的交点，又F 为BC 中点，∴A 为OC 中点，又AO=2，则OC=4，∴当C 的坐标为（4，0）时，EF ∥OB ，这时直线BO与⊙F相切，理由如下：∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，∴DF⊥BC，又EF∥OB，∴FB⊥OB，∴直线BO与⊙F相切，【点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.10．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（235.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD22AC CD5∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即3425∴OB＝352∴⊙O35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键。

圆综合复习题带答案

圆综合复习题带答案圆综合复习题带答案在数学学习中，圆是一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

掌握圆的性质和相关定理，对于解决各种数学问题都是至关重要的。

本文将为大家提供一些圆的综合复习题，并附带详细的答案解析，希望能够帮助大家巩固和加深对圆的理解。

题目一：已知圆O的半径为r，点A在圆上，点B在圆外，且AB是圆O的切线。

若OA=8，求OB的长度。

解析：根据切线的性质，切线和半径的垂直关系，可以得出△OAB是一个直角三角形。

根据勾股定理，可得OB²=OA²+AB²。

由于AB是切线，所以AB与半径的夹角为90°，可以得出AB=r。

代入已知条件，可得OB²=8²+r²。

因此，OB的长度为√(8²+r²)。

题目二：已知圆O的半径为6，点A、B、C分别在圆上，且∠ABC=60°，求△ABC的面积。

解析：根据圆心角的性质，圆心角的度数等于其所对的弧度数。

由于∠ABC=60°，所以弧AC的度数也为60°。

根据圆的周长公式，可以得出弧AC的长度为1/6πr。

由于∠ABC=60°，所以△ABC是一个等边三角形，即AB=BC=AC。

根据等边三角形的面积公式，可以得出△ABC的面积为√3/4(AB²)。

代入已知条件，可得△ABC的面积为√3/4(1/6πr)²。

题目三：已知圆O的半径为10，点A、B、C分别在圆上，且∠AOC=120°，求弧AB的长度。

解析：根据圆心角的性质，圆心角的度数等于其所对的弧度数。

由于∠AOC=120°，所以弧AC的度数也为120°。

根据圆的周长公式，可以得出弧AC的长度为1/3πr。

由于弧AC的度数为120°，所以弧AB的度数为360°-120°=240°。

根据弧长公式，可以得出弧AB的长度为240/360(1/3πr)。

人教中考数学圆的综合的综合复习及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．【答案】（1）见解析；(2)413【解析】分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接CO .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠，∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径，∴CE 是半圆的切线.（2）解：设AC =2x ，∵在Rt △ACB 中，2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x.∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ，∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵1132OA AB x ==，AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =⨯=. 则半圆的半径为413.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2．图 1 和图 2 中，优弧AB 纸片所在⊙O 的半径为 2，AB ＝23 ，点 P 为优弧AB 上一点（点 P 不与 A ，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A ′．发现：（1）点 O 到弦 AB 的距离是，当 BP 经过点 O 时，∠ABA ′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，3∴22OB HB-222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴BG=3．∵OG⊥BP，∴BG=PG=3．∴BP=23．∴折痕的长为23拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB2．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．4．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：①t的值；②∠MBD的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t 的值；②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t3=2t+6，解出即可；第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣2），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE ，BE =3﹣2=1，∴AB=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE∴tan ∠EBA =AEBE =，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =11202⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ． ∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形，∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．∵ME =1，∴EB ∴3t =2t +6，t =6第二种情况：如图6．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠DBC =60°，∴∠NBE =120°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =60°．∵ME =MN =1，∴Rt △BEM 中，tan60°=ME BE ，EB =160tan ︒∴3t =2t t综上所述：当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，t =6或6+3．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．5．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝3D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）93﹣2π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=23，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=12，，在Rt △DEP 中，∵∴=2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，∴△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=1，∴∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ， ∴BE AE DF AD=，即5DF = ，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=12， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=221601223604π⨯⨯-﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．7．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．连接BE ．（1）当射线CP 经过AB 的中点时，点E 处的读数是，此时△BCE 的形状是；（2）设旋转x 秒后，点E 处的读数为y ，求y 与x 的函数关系式；（3）当CP 旋转多少秒时，△BCE 是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝12∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．6【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O【解析】【分析】（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程222-=，解此方程即可求得⊙O的半径．3)6)x x【详解】解：（1）直线CE与⊙O相切．…理由：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，∴∠DCE +∠DEC ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ，又∠DCE ＝∠ACB ，∴∠DEC +∠DAC ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠DAC ，∴∠DEC +∠OEA ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴OE ⊥EC ，∵OE 为圆O 半径，∴直线CE 与⊙O 相切；…（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ，∴△CDE ∽△CBA ，∴ BC AB DC DE =，又CD ＝AB ＝2，BC ＝2， ∴DE ＝1根据勾股定理得EC ＝3，又226AC AB BC =+=，…设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，解得6x =， ∴⊙O 的半径为64．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．9．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．10．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，过O 点作OD ⊥BC ，交⊙O 的切线CD 于点D ，交⊙O 于点E ，连接AC 、AE ，且AE 与BC 交于点F ．（1）连接BD ，求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，∴∠COD=∠BOD ，在△COD 与△BOD 中， OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△COD ≌△BOD ，∴∠OBD=∠OCD=90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，AC⊥BC，∵OD⊥CB，∴AC∥DE，设OD与BC交于G，∵OE∥AC，AF：EF=2：1，∴AC：EG=2：1，即EG=12AC，∵OG∥AC，OA=OB，∴OG=12AC，∵OG+GE=12AC+12AC=AC，∴AC=OE，∴AC=12AB，∴∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∵CE BE，∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°，∴tan∠CAF=tan30°3【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．。

第44课时圆中的计算问题(含答案)

第44课时《圆中的计算问题》◆考点聚焦1．理解正多边形的有关概念，•并能熟练完成正多边形的有关计算及画出正多边形．其中相关公式的理解记忆及其灵活运用是本节重点之一．2．灵活求解圆周长、弧长以及圆、扇形、弓形和简单的组合图形的面积．•其中求组合图形和不规则图形的周长和面积是本节的难点．3．能进行圆柱、圆锥的侧面积、全面积的计算，了解它们的侧面展开图，•这也是本节的重点和中考热点．◆备考兵法1．圆中的计算问题多以选择题、填空题的形式出现，通过作图、识图、•阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本节问题的关键．2．本节出现的面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，•所以要将其转化为与其面积相等的规则图形，等积转化的一般方法是：（1）利用平移、•旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）•根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积和或差求不规则图形的面积．◆识记巩固：1．正多边形的定义：________相等，________也相等的多边形叫做正多边形．2．正多边形和圆的关系，把圆分成n（n≥3）等份．（1）依次连结各______所得的多边形是这个圆的_______；（2）经过各分点作圆的切线，•以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的__．3．与正多边形有关的概念：（1）正多边形的中心：正多边形_________（或_____）的圆心；（2）正多边形的半径：正多边形的_________的半径；（3）正多边形的边心距：•_________•到正多边形一边的距离，•也是正多边形_______的半径；（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角．4．圆周长公式：C=_______或C=_______，其中r为圆半径，d为圆直径．5．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长L=______，其中r为半径．6．扇形面积公式：（1）n°圆心角的扇形面积是S扇形=______；（2）弧长为L的扇形面积是S扇形=_____．7．•圆锥是由一个_____•和一个______•围成的，•我们把连结圆锥______•和_________的线段叫做圆锥的母线．8．圆锥的基本特征：（1）圆锥的轴过底面的______，并且_______于底面；（2）圆锥的________相等；（3）经过圆锥的轴的平面截圆锥得到的图形是_______；（4）圆锥的侧面展开图是_________，其半径等于________，弧长等于_______．9．圆锥的有关计算公式：（1）•若圆锥的底面半径为r，•母线长为L，•则它的侧面积S侧=•_______，•全面积S全=______；（2）圆锥的体积V=_______．10．圆锥的侧面展开图是_______，其长是________，宽是________．11．设圆柱底面半径为r，高为h，则S侧=_____，S全=______，V=_______．识记巩固参考答案:1．各边各角2．（1）分点内接正n边形（2）外切正n边形3．（1）外接圆•内切圆（2）外接圆（3）中心内切圆（4）圆心角4．2πr πd 5．180n rπ6．（1）2360n rπ•（2）12Lr 7．底面侧面顶点底面圆周上任意一点8．（1）圆心垂直（2）•母线长（3）等腰三角形（4）扇形母线长底面圆的周长9．（1）πrL πr（L+r）（2）13πr2h •10．矩形底面圆周长圆柱高（或母线长）11．2πrh 2πrh+2πr2πr2h◆经典例题：例 1 （2008，湖北黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧拱门，•黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：•这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少．例2 （2008，浙江义乌）如图，△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于点H，过A•点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=5，请求出：（1）∠AOC的度数；（2）劣弧 A C的长（结果保留π）；（3）线段AD的长（结果保留根号）．例3 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA．又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA =12CA·r，∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12Lr（可作为三角形内切圆半径公式）．（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在与各边都相切的内切圆，如图2且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不少于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，…，a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说出理由）．图1 图2◆中考热身：1．（2008，山东临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC切于点M，与AB交于点E．若AD=2，BC=6，则 D E的长为（）A．32πB．34πC．38πD．π2．（2008，浙江衢州）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，⊙O切AC边于点E，切BC边于点D，连结OE．如果由线段CD，CE及劣弧 D E围成的图形（阴影部分）面积与△AOE•的面积相等，那么B CA C的值约为（π取3.14）（）A．2.7 B．2.5 C．2.3 D．2.13．（2008，山东青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF•上的点A•处有一块爆米花残渣，•且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A•点，•则此蚂蚁爬行的最短距离为_____cm．4．（2008，福建永春）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____cm．5．（2008，江西南昌）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC•于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．◆迎考精练一、基础过关训练1．如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，•其中∠AOB为120°，OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（）A．64πcm2B．112πcm2C．144πcm2D．152πcm2(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，•将留下的扇形围成一个圆锥（按缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（） A ．6cm B ．3 C ．8cm D ．cm3．如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB ，已知半径OA=•60cm ，•∠AOB=108°，则管道的长度（即 AB 的长）为_______cm ．（结果保留π）4．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在圆O 上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC=120°，• 四边形ABCD 的周长为10．（1）求此圆的半径；（2）求圆中阴影部分的面积．二、能力提升训练5．如图，在半径为4的⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，以半径OA ，OB 的中点C ，F •为顶点作矩形CDEF ，顶点D ，E 在⊙O 的 AB 上，OM ⊥DE 于点M ，试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）．6．如图，在△ABC 中，AC=BC=6，∠C=90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC 相切于点D ，• 与BC 相切于点E ，设⊙O 交OB 于点F ，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ．（1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？（2）求由DG ，GE 和弧ED 围成的图形（阴影部分）的面积．7．如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连结AD ，BD ，OC ，OD ，且OD=5．（1）若sin ∠BAD=35，求CD 的长；（2）若∠ADO ：∠EDO=4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积．（结果保留π）8．如图，有一弓形钢板ACB，的度数是120°，弧长为L ，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为多少？第44课时《圆中的计算问题》（答案）◆经典例题：例 1 （2008，湖北黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧拱门，•黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：•这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少．解析设圆心为O，⊙O与BD相切于点E（如图）．连结AC，OE相交于点F，由题易知四边形ABDC为矩形．∵BD切⊙O于点E，∴OF⊥AC，∴EF=AB=20cm，AF=100cm．设⊙O半径为rcm，则OF=（r－20）cm．在Rt△AOF中，由勾股定理得r2=（r－20）2+1002，∴r=260（cm）．∴圆弧形拱门的最高点离地面的高度为2r=2×260=520cm．点评在弓形有关计算中，常构造以半径，弦长的一半是半径与弓高的差所构成的直角三角形来解决问题．例2 （2008，浙江义乌）如图，△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于点H，过A•点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=5（1）∠AOC的度数；（2）劣弧 A C的长（结果保留π）；（3）线段AD的长（结果保留根号）．解析（1）∵∠B=30°，∠AOC=2∠B=60°．（2）∵∠AOC=60°．又OH⊥AC于点H，OA=OC，∴∠AOH=12∠AOC=30°，∴OA=cos302O H=︒．?? ∴L AC=6010180π⨯⨯=103π．（3）∵AD切⊙O于点A，∴OA⊥AD，∵∠AOC=60°，∴AD=tan60°OA=10．点评在圆中求弧长及扇形面积的有关计算时，•常常和垂径定理及切线相关性质结合在一起，这类题型尤其要重视．例3 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，OC，△ABC 被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．S△ABC=S△OAB+S△OBC +S△OCA．又∵S△OAB=12AB·r，S△OBC=12BC·r，S△OCA=12CA·r，∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12Lr（可作为三角形内切圆半径公式）．（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在与各边都相切的内切圆，如图2且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不少于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，…，a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说出理由）．图 1 图2解析（1）∵52+122=132，∴以5，12，13为边的三角形为直角三角形，∴S=12×5×12=30．又∵L=5+12+13=30．由S=12Lr，可知：R=223030Sl⨯==2．即此三角形内切圆半径为2．（2）连结OA，OB，OC，OD，四边形ABCD被划分为四个小三角形，则：S四边形ABCD=S△OAB +S△OBC +S△OCD +S△OAD=12AB·r+12BC·r+12CD·r+12AD·r=12r（AB+BC+CD+AD）=12（a+b+c+d）·r∴r=2A B C DSa b c d+++四边形．（3）半径r=122nSa a a+++多边形．点评通过阅读自学某些知识后加以应用是近几年的一类热点题型，•一定要加以重视．◆强化训练答案：中考热身1．A2．C 3．4．5．（1）BC=BD，BC2+AC2=AB2，BC2=BE·AB．（2）连结OC．∵∠D=30°，∴∠COB=60°，∴OC=OB=BC=1，∠AOC=120°，∴S扇形OAC =212013603ππ⨯⨯=．又OF⊥AC于点F，∴∠FOC=60°，∴∠FCO=30°．∴OF=12OC=12．∴=2，∴2S△OAC=12×AC×OF=12×12=4，∴S阴=S扇形OAC－S△OAC=3π4．迎考精练：基础过关训练1．B 2．B 3．36π4．解：（1）连结OD．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．又AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD，∴∠DAC=∠DCA．∵∠ADC=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠BCD=60°，∠AOB=60°．∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形．∴AB=OA=OB．设⊙O的半径为R，则AB=OB=OC=CD=AD=R，∴5R=10，∴R=2，即⊙O的半径为2．（2）∵∠AOD=60°，∴S阴=S扇形OAD－S△OAD=2602360π⨯－12×=23π－12×23π能力提升训练5．解：∵C，F为OA，OB的中点，∠AOB=90°，∴CF=2又∵CDEF为矩形，OG⊥DE，∴DM=12DE=12CF=在Rt△ODM中，Rt△ANO中，ON=2．∴MN=OM－ON=S阴影=14S圆－S△AOB－S矩形PQED=14π×42－12×4×4－×）=4π－8－+8 =4π－．6．解：（1）∠BFG=∠BGF．理由：连结OD．∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD．∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC．又∵∠C=90°，即GC⊥AC，OD∥GC，∴∠BGF=∠ODF．又∵∠BFG=∠OFD，∴∠BFG=∠BGF．（2）连结OE，则四边形ODCE为正方形且边长为3．∵∠BFG=∠BGF，∴BG=BF=OB－OF=3－3．∴S=S－（S－S）=12×3×（32－14π×32）=94π+2－92．7．解：（1）∵AB为⊙O的直径．∴∠ADB=90°，AB=2OD=10．又∵sin∠BAD=35，∴BD=6．∵BD2－ED2=（5－2，∴ED=245．又∵直径AB⊥CD于点E，∴CD=2ED=485．（2）∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．又∵∠ADO：∠EDO=4：1，∠AED=90°，∴∠OAD=∠ODA=40°，∴∠AOD=100°．又∵AB⊥CD，∴点A为 CAD的中点，∴∠COA=∠DOA=100°，∴S扇ACO=2100512536018ππ⨯=．8．解：设所在圆的圆心为O，当所剪出的圆形板料与相切于的中点M，且与AB相切时，圆形板料最大，此时∠AOM=60°，△AOM为等边三角形，AB⊥OM．∴小圆直径为12OM．又由弧长公式L=120180π·OM，∴OM=32lπ．∴所剪出的圆的周长为·12OM=34L．。

17.中考数学圆中计算综合(二) 解析版

计算力专训五十一：圆中计算综合（二）1．（2020·全国初三课时练习）如图，已知等腰直角三角形ABC ，∠ACB=90°，D 是斜边AB 的中点，且AC=BC=16分米，以点B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 于点F ，以点C 为圆心，CD 为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、G ．求阴影部分的面积．【答案】阴影部分的面积是64平方分米．【解析】【分析】根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是△ABC 的面积减去扇形BFD 的面积和右上角空白部分的面积，由题目中的数据可以求出各部分的面积，从而可以解答本题．【详解】解：等腰直角三角形ABC ，∠ACB=90°，D 是斜边AB 的中点，且AC=BC=16分米，∴分米，∠DBF=45°，∴分米，∴阴影部分的面积是：16162⨯−245(306π⨯⨯−12[16162⨯−290(306π⨯⨯]=64平方分米，故阴影部分的面积是64平方分米．【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2020·全国初三课时练习）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA DC=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（l）求证：⊙ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据切线的定义可知AB⊙BM，又⊙BM//CD，⊙AB⊙CD，根据圆的对称性可得AD=AC，再根据等弧对等弦得DA=DC，即DA=DC=AC，所以可得⊙ACD是等边三角形；（2）⊙ACD为等边三角形，AB⊙CD，由三线合一可得⊙DAB=30°，连接BD，根据直径所对的角是直角和三角形的内角和可得⊙⊙EBD＝⊙DAB＝30°，因为DE＝2，求出BE＝4，根据勾股定理得BD=角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半得，AB=OB=Rt⊙OBE中，根据勾股定理即可得出OE的长．【详解】解：（1）⊙BM是⊙O切线，AB为⊙O直径，⊙AB⊙BM，⊙BM//CD，⊙AB⊙CD，⊙AD＝AC，⊙AD＝AC，⊙DA＝DC，⊙DC＝AD，⊙AD＝CD＝AC，⊙⊙ACD为等边三角形.（2）⊙ACD为等边三角形，AB⊙CD，⊙⊙DAB＝30°，连结BD，⊙BD⊙AD.⊙EBD＝⊙DAB＝30°，⊙DE＝2，⊙BE＝4，BD=AB=OB=在Rt⊙OBE中，OE===．【点睛】本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质；勾股定理．3．（2020·河北初三其他）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点M 在O 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB .（1）若16CD =，4BE =，求O 的直径；（2）若M D ∠=∠，求D ∠的度数.【答案】（1）20；（2）30【解析】【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由⊙M ＝⊙D ，⊙DOB ＝2⊙D ，结合直角三角形可以求得结果；（2）由OM ＝OB 得到⊙B ＝⊙M ，根据三角形外角性质得⊙DOB ＝⊙B ＋⊙M ＝2⊙B ，则2⊙B ＋⊙D ＝90°，加上⊙B ＝⊙D ，所以2⊙D ＋⊙D ＝90°，然后解方程即可得⊙D 的度数；【详解】解：（1）⊙AB⊙CD ，CD ＝16，⊙CE ＝DE ＝8，设OB r =，又⊙BE ＝4，⊙4OE r =-⊙()22248r r =-+，解得：10r =，⊙⊙O 的直径是20．（2）⊙OM ＝OB ，⊙⊙B ＝⊙M ，⊙⊙DOB ＝⊙B ＋⊙M ＝2⊙B ，⊙⊙DOB ＋⊙D ＝90°，⊙2⊙B ＋⊙D ＝90°，⊙M D ∠=∠，∴⊙B ＝⊙D ，⊙2⊙D ＋⊙D ＝90°，⊙⊙D ＝30°；【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 4．（2019·全国初三单元测试）如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点，⊙O 与AB 相切于点M ，与CD 相切于点N(1)求证：∠AOC ＝135°；(2)若NC＝3，BC＝DM的长．【答案】⊙1⊙∠AOC⊙135°⊙⊙2⊙DM⊙1⊙【解析】【分析】(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，由切线的性质可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分线的性质可得OM=OE，从而得AC是⊙O的切线，继而可得OC平分∠ACD，继而通过推导即可证得∠AOC=135°；(2)由切线长定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，则有BD=3﹣x，在Rt△BDC 中，利用勾股定理进行求解即可.【详解】(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，∴OM=OE，∴AC是⊙O的切线，∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，∴OC平分∠ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠AOC=180°﹣12(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切线，M，N，E是切点，∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，∵AB=AC，∴BD=3﹣x，在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，∵x>0，∴x=1，∴DM=1．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用切线的相关知识是解题的关键.5．（2020·安徽初三三模）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E(1)求线段DE的长；(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【答案】⊙1⊙DE⊙4⊙⊙2）圆O的半径为5⊙【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=12AB，代入相应数值求出即可；(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.【详解】(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD=DC，同理：CE=EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12 AB，∵AB=8，∴DE=4；(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH=BH=12 AB，∵AB=8，∴AH=4，在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，∴AO=5，即圆O的半径为5．【点睛】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.6．（2019·浙江临海·初三期末）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥CE 于点D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）若AB＝10，CD＝4，求BC 的长．【答案】⊙1）证明见解析；（2⊙BC【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可.【详解】(1)如图，连接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O直径且C在半径外端，∴CD为⊙O的切线；(2)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴DC AC BC AB，∴BC•AC=DC•AB=4×10=40，∵BC2+AC2=100，∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20，∴AC﹣BC﹣∴【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.7．（2020·浙江绍兴·初三月考）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣【解析】【分析】（1）过O作OE⊙AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊙AB且OE⊙CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE ﹣CE即可得出结论．【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊙AB于点E，⊙AE=BE，CE=DE，⊙BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.（2）由（1）可知，OE⊙AB且OE⊙CD，连接OC，OA，⊙OA=10，OC=8，OE=6，⊙8CE AE ====.⊙AC=AE ﹣CE=8﹣【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．（2018·天津河西·初三月考）如图，在⊙ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．（1）求证：DF⊙AC ；（2）若⊙O 的半径为4，⊙CDF=22．5°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）48π-．【解析】【分析】（1）连接OD ，易得ABC ODB ∠=∠，由AB AC =，易得A ABC CB =∠∠，等量代换得ODB ACB ∠=∠，利用平行线的判定得//OD AC ，由切线的性质得DF OD ⊥，得出结论；（2）连接OE ，利用（1）的结论得67.5ABC ACB ∠=∠=︒，易得45BAC ∠=︒，得出90AOE ∠=︒，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OB OD =，ABC ODB ∴∠=∠，⊙AB=AC ，⊙⊙ABC=⊙ACB ．⊙⊙ODB=⊙ACB ，⊙OD⊙AC ．⊙DF 是⊙O 的切线，⊙DF⊙OD ．⊙DF⊙AC ．（2）连结OE ，⊙DF⊙AC ，⊙CDF=22．5°．⊙⊙ABC=⊙ACB=67．5°，⊙⊙BAC=45°．⊙OA=OE ，⊙⊙AOE=90°． O 的半径为4，4AOE S π∴=扇形，8AOE S ∆=，48S π∴=-阴影．【点睛】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．9．（2019·四川旌阳·德阳五中初三月考）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB ＝8，CD ＝2．（1）求OD 的长．（2）求EC 的长．【答案】（1）5 （2）【解析】【分析】(1)设⊙O 的半径为r ，根据垂径定理求出AC 的长，在Rt△OAC 中利用勾股定理求出r 的值；(2)连接BE ，由AE 是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC 是△ABE 的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE 中利用勾股定理可计算出CE ．【详解】解：(1)设⊙O 半径为r ，则OA ＝OD ＝r ，OC ＝r ﹣2，∵OD⊥AB，∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝12AB＝4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，r＝5，∴OD＝r＝5；(2)连接BE，如图：由(1)得：AE＝2r＝10，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，由勾股定理得：BE＝6，在Rt△ECB中，EC故答案为：(1)5；(2)【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（2018·河南临颍·初三期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D⊙⊙1）求∠ACD的度数；⊙2）若CD=3，求图中阴影部分的面积．【答案】(1) ∠【解析】【分析】（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解决问题（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．【详解】⊙⊙⊙1）连接OC⊙∵过点C的切线交AB的延长线于点D⊙∴OC⊥CD⊙∴∠OCD=90°⊙即∠D+∠COD=90°⊙∵AO=CO⊙∴∠A=∠ACO⊙∴∠COD=2∠A⊙∵∠A=∠D⊙∴∠COD=2∠D⊙∴3∠D=90°⊙∴∠D=30°⊙∴∠ACD=180°⊙∠A⊙∠D=180°⊙30°⊙30°=120°⊙⊙2）由（1）可知∠COD=60°在Rt△COD中，∵CD=3⊙∴OC=3×3=∴阴影部分的面积=260?132360π⨯=【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．11.（2019·延津县清华园学校初三期中）如图，在△ABC中，AB⊙AC⊙AD⊙BC于点D⊙E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC⊙90°⊙⊙1）求证：AB是⊙O的切线；⊙2）若DF⊙2⊙DC⊙6，求BE的长．【答案】（1）详见解析；（2）BE⊙【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到OD∥BE，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；（2）连接EF、ED，根据等腰三角形的性质求出BF，根据勾股定理求出EF，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】⊙1）证明：∵AB⊙AC⊙AD⊙BC⊙⊙CD⊙DB，又CO⊙OE⊙⊙OD⊙BE⊙⊙⊙CEB⊙⊙DOC⊙90°⊙⊙CE⊙AB⊙⊙AB是⊙O的切线；⊙2）解：连接EF⊙ED⊙⊙BD⊙CD⊙6⊙⊙BF⊙BD⊙DF⊙4⊙⊙CO⊙OE⊙⊙DOC⊙90°⊙⊙DE⊙DC⊙6⊙⊙CE为⊙O的直径，⊙⊙EFC⊙90°⊙⊙EF⊙⊙BE.⊙【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，解题关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理．。

九年级思维拓展：圆中计算和证明(讲义及参考答案).pdf

3 九年级思维拓展：圆中计算和证明➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路（1）标注条件，合理转化（2）组合特征，分析结构（3）由因导果，执果索因2. 圆中常见思考角度（1）遇圆上的点，连半径（依据圆的定义，圆上的点的特征及形成因素）①连半径，得等腰，等腰（等边）三角形中转移角；②与垂径定理等组合，设半径、利用几何特征表达、列方程求解．（2）遇弦①知（求）弦长，作垂线，连半径，垂径定理配合勾股定理求解（核心是利用直角三角形）； ②弦相等，找弧传角．（3）遇角①有角找弧，由弧看角；②有直径找直角，由直角找直径．（4）有切线，连半径．※※注：圆综合问题，往往先从圆的角度来分析，再将其看作三角形、四边形背景下的条件．3. 边与角的常见思考角度（1）边长、角度的量化与转化①当遇到边长、角度间的和差倍分关系时，往往考虑量化方式来进行研究．比如寻求角度关系常借助平行、互余（补）、外角、圆心角、圆周角等；比如遇到三角形相似，会考虑设份数为未知数来进行表达．②借助等边对等角（等角对等边）或三角函数值的定义来实现、边角信息的转化；如 1: :2 与 30°直角三角形的关系．圆背景下往往借助四组量关系定理进行相等线段、相等圆心角、相等弧之间的转化．（2）边长、角的常见求解方式——要求边或角，考虑其所在的三角形或者转移到条件集中的三角形中。

①勾股定理；②利用相似对应边成比例列方程；③解三角形；④面积、周长等信息．...➢精讲精练第一部分：正多边形与圆1.（2020·河北中考说明P20；2014·葫芦岛）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形A1D1C1，使A1D1=AD，D1C1=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P 和Q 的关系是（）A．P＜Q B．P=Q C．P＞Q D．无法确定B E第1 题第2 题2.（2018·唐山模拟；2016·巴中）如图，将边长为3 的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为．3.（2018·唐山模拟）如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚2 次后点B 的对应点B2 的坐标是；翻滚100 次后AB 中点M 经过的路径长为．O1第3 题第4 题4.已知正六边形ABCDEF 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(-2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，则经过2 020 次翻转之后，点B 的坐标是．5.（2016·唐山模拟）如图，边长为1 的正五边形ABCDE，顶点A、B 在半径为1 的圆上，其它各点在圆内，将正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，当点E 第一次落在圆上时，则点C 转过的度数为．第5 题第6 题6.（2019·孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利第二部分：圆上的点的特征应用（形成因素分析，依据定义连半径）7. （2019·鄂尔多斯）如图，△ABC 中，AB =AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC ，AC 交于点 D ， E ，连接 DE ，过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F ．若 AB =6，∠CDF =15°，则阴影部分的面积是．D第 7 题第 8 题8. 如图，有一张矩形纸片 ABCD ，其中 AD =6cm ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切．将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 A′处，则图中阴影部分的面积为．︵9. （2020·中考说明 P73）如图，四边形 OABC 为菱形，点 B ，C 在以点 O 为圆心的EF 上，若 OA =3，∠1=∠2，则 S 扇形 OEF = ．BO 2A1EFCB第 9 题第 10 题10. （2019·苏州）如图，扇形 OAB 中，∠AOB =90°，P 为弧 AB 上的一点，过点 P 作 PC ⊥OA ，垂足为 C ，PC 与 AB 交于点 D ．若 PD =2，CD =1，则该扇形的半径长为．11. （2020·中考说明 P72）如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P ，当点 C 在上半圆（不包括 A ，B 两点）上移动时，点 P （）A. 到 CD 的距离保持不变 B ．位置不变 C ．等分弧 BDD ．随 C 点移动而移动CAO BD第 11 题第 12 题12. （2019·泰州）如图，⊙O 的半径为 5，点 P 在⊙O 上，点 A 在⊙O 内，且 AP =3，过点 A 作 AP 的垂线交⊙O 于点 B ，C ．设 PB =x ，PC =y ，则 y 与 x 的函数表达式为．P D第三部分：垂径定理、圆中量化计算13. （2018·嘉兴）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C ，直尺另一边交量角器于点 A ，D ，量得 AD =10 cm ，点 D 在量角器上的读数为 60°，则该直尺的宽度为cm ．B第 13 题第 14 题14.（2019·襄阳）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形 OBCD 是平行四边形，AC 与 OB 相交于点 P ，下列结论错误的是（）A.A P =2OPB ．CD =2OPC ．OB ⊥ACD ．AC 平分 OB15. （2020·中考说明 P29）将球放在一个圆柱形玻璃杯的杯口上，图中所示是其轴截面的示意图．杯口内径 AB 为⊙O 的弦，AB =6cm ，⊙O 的直径 DE ⊥AB 于点 C ，测得 tan ∠DAB = 5，求该3球的直径．︵16. （2020·中考说明；2018·莱芜）如图，正方形 ABCD 的边长为 2a ，E 为 BC 边的中点， AE ，︵DE 的圆心分别在边 AB ，CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点 F ，则 E ，F 间的距离为．DCEAB第 16 题第 17 题17. （2019·潍坊）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD =CD ．过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F ．若 sin ∠CAB = 3，DF =5，则 BC 的长为（）5FE O13 2 BDB B 1ADB B 1B 2ADD 1C 2 C 1BOCE18. （2020·中考说明；2018·金华）如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A ，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC =60 cm ．沿 AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D 1 时，有 AD 1=30 cm ， ∠B 1D 1C 1=120°．（1）图 2 中，弓臂两端 B 1，C 1 的距离为cm ；（2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D 2，使弓臂 B 2AC 2 为半圆，则 D 1D 2 的长为cm ．A D 2图 1图 2图 3第四部分：由角看弧，由弧找角，圆的内接四边形对角互补19. （2019·台州）如图，AC 是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线，点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上，连接 AE ．若∠ABC =64°，则∠BAE 的度数为． B AEODACDDE BC 第 19 题第 20 题第 21 题︵︵20. （2020·路北区模拟）如图，点 A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点， AC = AE ，∠B =122°，则 ∠D =（）A ．58°B ．116°C ．122°D ．128°21. （2019·十堰）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交 CB 的延长线于点 E ，若 BA 平分 ∠DBE ，AD =5， CE ，则 AE =．22. （2020·中考说明 P72；2018·锦州）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，过 B ，C 两点的⊙O 交 AC 于点 D ，交 AB 于点 E ，连接 EO 并延长交⊙O 于点 F ，连接 BF ，CF ．若∠EDC =135°，CF =2 ，则 AE 2+BE 2 的值为（） AA ．8B ．12C ．16D D ．20BCDF C GA E B23. 如图，△ABC 内接于⊙O 且 AB =AC ，延长 BC 至点 D ，使 CD =CA ，连接 AD 交⊙O 于点 E ，连接 BE ，CE ．（1）求证：△ABE ≌△CDE ；（2）填空：①当∠ABC 的度数为时，四边形 AOCE 是菱形； ②若 AE =3，EF =2，则 DE 的长为．D24. （2020·中考说明 P74；2018·湘潭）如图，AB 是以 O 为圆心的半圆的直径，半径 CO ⊥AO ，︵点 M 是AB 上的动点，且不与点 A ，C ，B 重合，直线 AM 交直线 OC 于点 D ，连接 OM 与 CM ．（1）若半圆的半径为 10．①当∠AOM =60°时，求 DM 的长；②当 AM =12 时，求 DM 的长．（2）探究：在点 M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．DA O B第五部分：外心、内心25. （2016·台湾）图中的矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，有一圆过 C ，D ，E 三点，且此圆分别与 AD ，BC 相交于 P ，Q 两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心 O ，其作法如下：（甲）作∠DEC 的角平分线 L ，作 DE 的中垂线，交 L 于 O 点，则 O 即为所求；（乙）连接 PC ，QD ，两线段交于一点 O ，则 O 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A. 两人皆正确 B ．两人皆错误 C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确第 25 题第 26 题26. （2018·无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A ，D ，G 三点的圆 O 与边 AB ，CD 分别交于点 E ，点 F ．给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交CMDEE27. （2017·泰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，B ，P 的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点 C 在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P 是△ABC 的外心，则点 C 的坐标为．第 26 题第 27 题 28. （2019·宿迁改编）如图∠MAN =60°，若△ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB =2，点 C 在射线 AN 上运动，当△ABC 的外心在其内部时，BC 的取值范围是．29. 如图，在△ABC 中，AB =AC =4，D 、E 分别是 AB ，AC 的中点，∠BAC =40°．（1）若 DE =m ，求 BC 的长度（用含 m 的代数式表示）；（2）如图，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转，旋转角为 α（0°<α<180°），连接 BD ，CE ，判断 BD 与CE 的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当△ABD 的外心在三角形的外部时，请直接写出 α 的取值范围．AADBB C30. （2019·台湾）如图，有一三角形 ABC 的顶点 B ，C 皆在直线 l 上，且其内心为 I ．今固定点C ，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形 A′B′C 的顶点 A′落在 l 上，且其内心为 I′．若 ∠A ＜∠B ＜∠C ，则下列叙述何者正确？（）A. IC 和 I′A′平行，II′和 L 平行B ．IC 和 I′A′平行，II′和 L 不平行 C ．IC 和 I′A′不平行，II′和 L 平行D ．IC 和 I′A′不平行，II′和 L 不平行l31. （2016·台湾）如图，正六边形 ABCDEF 中，P ，Q 两点分别为△ACF ， △CEF 的内心．若 AF =2，则 PQ 的长度为何？．第 31 题第 32 题32. （2018·荆门）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A (4，0)，B (0，3)，C (4，3)，I 是△ABC 的内心，将△ABC 绕原点逆时针旋转 90°后，I 的对应点 I′的坐标为．33. （2020·中考说明 P67；2018·娄底）如图，P 是△ABC 的内心，连接 PA ，PB ，PC ，△PAB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则 S 1S 2+S 3．（填“＜”或“=”或“＞”）CB第 33 题第 34 题34. （2018·烟台）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC =124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为．35. （2019·河北）如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AD =6，BC =DE ，∠B =∠D =30°，边 AD ，BC 交于点 P （不与点 B ，C 重合），点 B ，E 在 AD 异侧．I 为△APC 的内心．（1）求证：∠BAD =∠CAE ；（2）设 AP =x ，请用含 x 的式子表示 PD ，并求 PD 的最大值；（3）当 AB ⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m °＜∠AIC ＜n °，分别直．接．写出 m ，n 的值． AEAD备用图图1PPIBCFEA36. （2018·威海）如图，在扇形 CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为 D ，⊙E 是 △ACD 的内切圆，连接 AE ，BE ，则∠AEB 的度数为．C第 36 题第 37 题37. （2019·淄博）如图，抛物线 y =-x 2+2x +3 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 C ．若在第一象限的抛物线下方有一动点 D ，满足 DA =OA ，过 D 作 DG ⊥x 轴于点 G ，设△ADG 的内心为 I ，则 CI 的最小值为．38. （2019·安徽模拟）如图，在△ABC 和△ABD 中，AB =AC =AD ，AC ⊥AD ，AE ⊥BC 于点 E ，AE 的反向延长线交 BD 于点 F ，连接 CD ．则线段 BF ，DF ，CD 三者之间的数量关系为（）A.A F -DF = CDB ．BF +DF = CDC ．BF 2+ DF 2= CD 2D ．无法确定BADC D 第 38 题第 39 题39. （2019·荆门）如图，△ABC 内心为 I ，连接 AI 并延长交△ABC 的外接圆于 D ，则线段 DI 与DB 的关系是（）A ．DI =DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定40. （2019·襄阳）如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG ∥BC ．（1）求证：DG 是⊙O 的切线；（2）若 DE =6， BC 6 ︵，求优弧BAC 的长．AO EBC E3 yCDIBOGA xIBC41. （2019·北京）在平面内，给定不在同一直线上的点 A ，B ，C ，如图所示．点 O 到点 A ，B ，C 的距离均等于 a （a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G ， ∠ABC 的平分线交图形 G 于点 D ，连接 AD ，CD ．（1）求证：AD =CD ；（2）过点 D 作 DE ⊥BA ，垂足为 E ，作 DF ⊥BC ，垂足为 F ，延长 DF 交图形 G 于点 M ，连接CM ．若 AD =CM ，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数．ABC42. （2019·葫芦岛）如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上一点，以 AM 为直径的⊙O 交矩形对角线 AC 于点 F ，在线段 CD 上取一点 E ，连接 EF ，使 EC =EF ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若 cos ∠CAD = 3，AF =6，MD =2，求 FC 的长．5︵︵43. （2018·葫芦岛）如图，AB 是⊙O 的直径， AC = BC ，E 是 OB 的中点，连接 CE 并延长到点 F ，使 EF =CE ．连接 AF 交⊙O 于点 D ，连接 BD ，BF ．（1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线；（2）若 OB =2，求 BD 的长．EOD BCDCOP44. （2019·兰州）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，BC =2．将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到 AD ，过点 D 作 DE ⊥AC 于点 E ，∠DAE =∠ABC ， DE =1，连接 DO 交⊙O 于点 F ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）连接 FC 交 AB 于点 G ，连接 FB ．求证：FG 2=GO ·GB ．45. （2020·中考说明 P74；2017·贵港）如图，在菱形 ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上，且 PA =PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若 AC =8，tan ∠BAC =2 ，求⊙O 的半径．246. （2019·鄂州）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A ，AC 是⊙O 的直径，连接 OP 交⊙O 于 E ．过 A 点作 AB ⊥PO 于点 D ，交⊙O 于 B ，连接 BC ，PB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证：E 为△PAB 的内心；（3）若 cos ∠PAB =10 ，BC =1，求 PO 的长．10APFF47.（2019·呼和浩特）如图，以Rt△ABC 的直角边AB 为直径的⊙O 交斜边AC 于点D，过点D 作⊙O 的切线与BC 交于点E，弦DM 与AB 垂直，垂足为H．（1）求证：E 为BC 的中点；（2）若⊙O 的面积为12π，两个三角形△AHD 和△BMH 的外接圆面积之比为3，求△DEC 的内切圆面积S1 和四边形OBED 的外接圆面积S2 的比．EB48.（2019·广东）如图1，在△ABC 中，AB=AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点C 作∠BCD=∠ACB 交⊙O 于点D，连接AD 交BC 于点E，延长DC 至点F，使CF=AC，连接AF．（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF 是⊙O 的切线；（3）如图2，若点G 是△ACD 的内心，BC·BE=25，求BG 的长．图1 图23 9 3 49 34 3 【参考答案】 1.B ； 2.18；3.（2，0）；44π + 68π ； 3 4.（4040， 2 ）； 5.12°； 6.0.14；7. 3π - ；8. 3π - ；9. 3π； 10.5； 11.B ； 12.13.y =30 ； x；14.A ；15. 34 ；5 16. 3a ；2 17.C ；18.（1） 30 19.52°； 20.B ；；（2）10-10 ；21. 2 ； 22.C ；23.（1）略；（2）60°； 9；224.（1）①10；② 14；（2）45°；325.A ； 26.（2）（3）；27.（6，5），（7，4）或（1，4）；5 333 53 4 55 3 3 2 29.（1）2m ；（2）BD =CE ；（3）0°＜BC ＜60°或 90°＜BC ＜180°； 30.C ；31. 2 - 2 ；32.（-2，3）； 33.＜； 34.68°；35.（1）略；（2）3；（3）105；150； 36.135°； 37.3 10 - 3 2 ；238. C ； 39. A ；40.（1）略；（2）8π； 41.（1）略；（2）1 个；42. （1）略；（2） 22；343. （1）略；（2）；44. （1）略；（2）略；45. （1）略；（2）；46. （1）略；（2）略；（3）5； 47. （1）略；（2） 1；1248. （1）略；（2）略；（3）5；。

人教中考数学圆的综合的综合复习含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=23DG，PO=5，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．【解析】【分析】（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出EH∥DG，求出OM=12AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝12MOBM=，tanP=12COPO=,设OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OC=OA，∴∠PAC=∠OCA，∴∠DAC=∠PAC；（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，∵FG∥AD，∴∠FGD+∠D=180°，∵∠D=90°，∴∠FGD=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴∠BED=90°，∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，∴四边形HGDE是矩形，∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，∵BF AF=，∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°，∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，∴∠HEF=∠HFE，∴FH=EH，∴FG=FH+GH=DE+DG；（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，∴△FHO≌△EHO，∴∠FHO=∠EHO=45°，∵四边形GHED是矩形，∴EH∥DG，∴∠OMH=∠OCP=90°，∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，∴HM=MO，∵OM⊥BE，∴BM=ME，∴OM=12 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=23DG，DG=3a，∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，∴ME=CD=2a，BM=2a，在Rt△BOM中，tan∠MBO=122 MO aBM a==，∵EH∥DP，∴∠P=∠MBO，tanP=12 COPO=，设OC=k，则PC=2k，在Rt△POC中，，解得：在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，a=1，∴HE=3a=3，在Rt△HFE中，∠HEF=45°，∴．【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。

圆中计算及综合(讲义及答案)

圆中计算及综合（讲义）➢ 课前预习1. 半径为r 的圆的周长为__________，面积为__________．2. 如图，圆心角为n °的扇形的弧长为_______，面积为________．3. 已知圆上一段弧长为4π cm ，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________．4. 默写圆周角定理的相关推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：________________________________________； _______________________________________________．推论3：圆内接四边形对角互补．5. 我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O 上剪下一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为__________．6. 根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．➢ 知识点睛1. 圆中的计算公式弧长公式：____________________．扇形面积公式：①________________；②________________．主视图左视图俯视图圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①________________________________________________；②________________________________________________．2.圆中处理问题，通常的思考方向有：①找圆心、连半径；②遇弦，作垂线，_____________配合___________建等式；③遇直径找直角，由直角找______________；（此处直角为圆周角）④遇切线，____________；⑤由弧找角，由角看弧．➢精讲精练1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是___________．2.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路径长为______．（结果保留π）l3.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是________．4.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC的长为12分米，伞骨AB的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．5.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．6. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为_______．图1图27. 如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD =10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为_________cm ．8. 如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB =18，∠A =30°，弦CD ⊥AB ，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①BC ︵=BD ︵；②扇形BOC 的面积为274；③△OCF ∽△OEC ；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP ·OP 有最大值20.25．EA9. 如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AB ︵=BF ︵，CE =1，AB =6，则弦AF 的长度为_____________．C10. 如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为___________．B11. 如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙O 与边AB ，CD分别交于点E ，点F ．给出下列说法：①AC 与BD 的交点是⊙O 的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙O 的圆心；③BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3ABC DE F G第11题图第12题图12. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，点D 在边BC 上，CD =5，BD =13．点P是线段AD 上一动点，当半径为6的⊙P 与 △ABC 的一边相切时，AP 的长为________．13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）求证：BC 2=4CF ·AC ；（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF =15°，求阴影部分的面积．14. 如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点．∠APC =∠CPB =60°．（1）判断△ABC 的形状：____________；（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．备用图【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2πr ；πr 22. 180n rπ；2360n r π3. 6 cm4. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5. 906. 图略．➢ 知识点睛1. 180n r l π=；2360n r S π=；2lRS =（l 为弧长）；S =πlr （l 为母线长，r 为底面半径）；全面积；侧面积；底面积；圆锥的底面周长等于扇形的弧长；圆锥的侧面积等于扇形面积 2. 垂径定理；勾股定理；直径；连半径➢ 精讲精练1.25π2. (4π3. 6π4. 54π5. 18°6. cm7.8. ①③④9. 48510. 135° 11. C12. 132或13. （1）证明略；（2）证明略；（3）阴影部分的面积为163π- 14. （1）等边三角形；（2）PC =PA +PB ，证明略；（3）当点P 位于AB ︵中点时，四边形APBC。

第5讲圆-六年级上册数学讲义(含答案)

第5讲圆（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆心、半径、直径用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。

2.同圆或等圆中半径、之间的关系在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆；圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

3.用圆规画圆用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。

知识点二：圆的周长1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。

2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。

3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。

C=Πd或2Πr。

已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。

知识点三：圆的面积1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。

2.已知圆的半径为r，S=Πr2已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。

3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。

S=ΠR2-Πr23.圆与正方形组合的面积问题的应用（1）“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

注意：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长短决定。

第5单元圆(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

圆(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)【圆的认识与圆周率】1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【圆及其性质】1、圆的概念：（1）、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。

圆心一般用字母O 表示。

它到圆上任意一点的距离都相等。

（2）、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用字母r表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

（3）、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用字母d表示。

直径是一个圆内最长的线段。

直径的长度是半径的2倍。

2、圆的性质：（1）、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。

同圆中所有的半径、直径都相等。

（2）．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

（3）、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。

要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

（4）、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

【圆、圆环的面积】1、圆的面积公式：S＝πr22、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）【圆、圆环的周长】1、圆的周长＝πd＝2πr，2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．【扇形的面积】扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，即：S=nπr 2360．【扇形的认识】1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形2、扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。

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圆中计算及综合训练（讲义）
➢课前预习
1.半径为r 的圆的周长为，面积为．
2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为，面积为．
3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的
半径为．
4.默写圆周角定理的相关推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：；
．推论3：圆内接四边形对角互补．
5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4 的⊙O 上剪下
一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为．
6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关
线段长．
主视图左视图
俯视图
1.圆中的计算公式
弧长公式：．
扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：= + ．扇形及其所围圆锥间的等量关系：
2.圆中处理问题，通常的思考方向有：
①找圆心、连半径；
②遇弦，作垂线，配合建等式；
③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆
周角）
④遇切线，；
⑤由弧找角，由角看弧．
1.如图，⊙O的半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则
劣弧BC 的长是．
C
B A B
第1 题图第2 题图
2.如图，直径AB 为6 的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点
B 到了点B′，则图中阴影部分的面积是．
3.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面
料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC 的长为12 分米，伞骨AB 的长为9 分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料平方分米．
B
B
A C
A C
4.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰
长为4、底边为2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为．
A
4
2
主视图左视图
俯视图
D
第4 题图第5 题图
5.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则
图中阴影部分的面积为．
6.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是
50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算
剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是．
7.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的
圆形，使之恰好围成图 2 所示的一个圆锥，则圆锥的高为
图1 图2 8.如图，Rt△ABC 的边BC 位于直线l 上，AC= ，∠ACB=90°，
∠A=30°．若Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3 次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为．（结果保留π）
A
C B l
9.如图，在三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．三
角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应B′
点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，
则点B 转过的路径长为． C
（结果保留π）
A A′B
10.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，已知AO=45 cm，CO= 5
cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，则雨刷器AC 扫过的面积为cm2（结果保留π）．
A' A
A C C'
O P
B C
第10 题图第11 题图
1.如图，在Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内
部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP 的最小值为．
12.如图，CD 是⊙O 的直径，且CD=2 cm，点P 为CD 的延长线
上一点，过点P 作⊙O 的切线PA，PB，切点分别为点A，B．
（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP 是等腰三角形．（2）填空：①当DP= cm 时，四边形AOBD 是菱形；
②当DP= cm 时，四边形AOBP 是菱形．
C
13.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A，B 重合的
一个动点，延长BP 到点C，使PC=PB，D 是AC 的中点，连接PD，PO．
（1）求证：△CDP≌△POB．
（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；
②连接OD，当∠PBA 的度数为时，四边形BPDO
是菱形． C
A O B
14.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点M 是AC 的中点，以
AB 为直径作⊙O 分别交AC，BM 于点D，E．
（1）求证：MD=ME．
（2）填空：连接OD，OE，当∠A 的度数为时，四边形ODME 是菱形．
A
B C
15.已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，点D 在边
BC 上，AE∥BC，AE=BD．
（1）求证：AD=CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．
A E
【参考答案】➢课前预习1.2πr；πr2
2.nπr
180 nπr 2 360
3. 6 cm
4.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
5. 90
6. 图形略
➢知识点睛
1.l =nπR
．
180
nπR2 lR
①S =；②S =．
360 2
S=πlr．
全面积；侧面积；底面积．
①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；
②圆锥的侧面积等于扇形面积．
2.②垂径定理；勾股定理；
③直径；
④连半径
➢精讲精练
1. 2π 5
2. 6π
3. 54π
4. 4π
5. 16π 3
6. 18°
7. 15 cm
8. (4 +
9. 3π 3
10. 500π
3)π
11. 2
12. （1）证明略；（2）①1；② 1
13. （1）证明略．（2）①4；②60°．
14. （1）证明略．（2）60°．
15. （1）证明略；（2）证明略．。