2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第4课时 数列求和

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1、在等差数列{a n }中，a 9＋a 11＝10，则数列{a n }前19项和为( )

A 、98

B 、95

C 、93

D 、90

解析：S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 9＋a 11)2＝19×102

＝95. 答案：B

2、已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43

，则{a n }前10项和等于( ) A 、－6(1－3

－10) B.19(1－3－10) C 、3(1－3－10) D 、3(1＋3－10)

解析：由a n ＋1a n ＝－13，由a 2＝－43

，∴a 1＝4， ∴S n ＝3⎣⎡⎦

⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n ，令n ＝10得S 10＝3(1－3－10)、 答案：C

3、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14

，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A 、16(1－4－n ) B 、16(1－2－

n ) C.323(1－4－n ) D.323

(1－2－n ) 解析：由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14

. 又a 1a 2＝4×2＝8，

故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14

＝323(1－4－n )、 答案：C

4、数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }前10项和为( ) A.14

B.512

C.34

D.712

解析：依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2

，所以{b n }前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512

，故选B. 答案：B

5、已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n a n ＋1前100项和为( )

A.100101

B.99101

C.99100

D.101100

解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n a n ＋1前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101

，故选A. 答案：A

6、数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n

}前10项和为________、 解析：由题意得：

a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2

， 所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1

，S 10＝2011. 答案：2011

7、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }前n 项和，则S 2 017＝________. 解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋

1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.

答案：－1 007

8、数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －

1，…前n 项和为________、 解析：该数列前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，

而a n ＝1＋2＋22＋…＋2

n －1＝1·(1－2n )1－2＝2n －1. ∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2·(1－2n )1－2

－n ＝2n ＋1－2－n . 答案：2n ＋

1－2－n 9、已知{a n } 为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.

(1)求{a n }通项公式；

(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }前n 项和公式、 解析：(1)设等差数列{a n }公差为d .

∵a 3＝－6，a 6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝－10，d ＝2. ∴a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.

(2)设等比数列{b n }公比为q ，

∵b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，

∴－8q ＝－24，

∴q ＝3，

∴{b n }前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－8(1－3n )1－3

＝4(1－3n )、 10、已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4等差中项、

(1)求数列{a n }通项公式；

(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }前n 项和S n .

解析：(1)设数列{a n }公比为q ，

由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，

∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.

∴q ＝2，即a n ＝2·2n －

1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，

∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①

2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋

1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋

1. [B 组 能力提升]

1、数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n

前n 项和为( ) A.2n 2n ＋1

B.2n n ＋1

C.n ＋2n ＋1

D.n 2n ＋1 解析：该数列通项为a n ＝2n (n ＋1)

，分裂为两项差形式为a n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…，则S n ＝2⎝⎛⎭

⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.

答案：B

2、数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)

，…前n 项和为( ) A.n 3n ＋2

B.n 6n ＋4

C.3n 6n ＋4

D.n ＋1n ＋2

解析：∵a n ＝1(3n －1)·(3n ＋2)

＝13⎝⎛⎭

⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n