完整版一元一次方程及其解法

3.1元一次方程及其解法1. 一元一次方程 (1) 一元一次方程的概念 只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一 次方程.如：7 — 5x = 3,3(x + 2) = 4— x 等都是一兀一次方程. 解技巧正确判断一元一次方程 判断一元一次方程的四个条件是： ①只含有一个未知数(元);②未知数的次数都是一次; ③未知数的系数不能为 0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可. 元' (2)方程的解①概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. ②方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点: 元方程的解，也叫做方程的根. 一看，它是不是方程中未知数 的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的 解. 如x = 3是方程2x — 4= 2的解，而y = 3就不是方程2x — 4= 2的解. (3)解方程 求方程的解的过程叫做解方程. 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值), 而解方程是指求出方程的解的过程. 【例1 — 11下列各式哪些是一元一次方程 ( 1 1 , A . S=7ab ； B.x — y = 0； C.x = 0； D. _~ = 1； 2x + 3 =0 ； H.x + 2.解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程； E.3 — 1 = 2; F.4y — 5= 1; G.2x 2+ 2x + 1 G 中未知数的次数是 2,所以不是 H 虽然形式上字母 元一次方程；A 与B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程； 的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程； D 中分母中含有未知数，不是 元一次方程；只有 C , F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程.答案：CF【例1 — 21 x = — 3是下列方程(A . — 5(x — 1) = — 4(x — 2) C .尹+ 5= 5解析：对于选项A ，把x =— 3代入所给方程的左右两边，左边=—5 X (— 3— 1) = 20,右边=—4X (— 3 — 2) = 20,因为左边=右边，所以x =— 3是方程一 5(x — 1) = — 4(x — 2)的解； 对于选项B ,把x = — 3代入所给方程的左右两边，左边=4X (— 3) + 2=— 10,右边=1,因为左边工右边，所以x =— 3不是方程4X + 2= 1的解，选项C , D 按以上方法加以判断，都 不能使方程左右两边相等，只有A 的左右两边相等，故应选 A.答案：A2. 等式的基本性质(1) 等式的基本性质① 性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果 a = b ,那么 a + c = b + c , a — c = b — c.② 性质2 :等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式. 用式子形式表示为：如果 a = b ,那么 ac = bc , |= C(c 工 0).③ 性质3:如果a = b ，那么b = a.(对称性) 如由一8 = y ,得 y =— 8.④ 性质4 :如果a = b , b = c ,那么a = c.(传递性) 女口：若/ 1 = 60° / 2=/ 1,则/ 2= 60°(2) 等量代换 在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替， 谈重点应用不等式的性质的注意事项(1) 应用等式的基本性质 1时，一定要注意等式两边同时加上整式，才能保证所得结果仍是等式. 这里特别要注意：“同时”坏相等关系.(2) 等式的基本性质 2中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1的区别.⑶等式两边不能都除以 0,因为0不能作除数或分母. 【例2— 11下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是( ).5B .若 7a = 5,贝U a = yC .若x= 0，贝U x = 2D .若x— 1 = 1,贝U x — 6= 12 6 解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的， 右边进行相应的变形，得出结论. A 根据等式的基本性质 1,等式U 的两边都减去3y +2,左边是y ，右边是一 3,不是1; C 根据等式的基本性质 2，两边都乘以2,右边应为0,不是2; D 根据等式的基本性质 2, 左边乘以6,而右边漏乘6，故不正确；只有 B 根据等式的基本性质 2，两边都除以 7得 到 a = 7.答案：B)的解.B . 4x + 2= 1 D3x — 1 = 0简称等量代换.(或减去)同一个数或同一个和“同一个”，否则就会破A .若 4y + 2= 3y — 1，贝U y = 1 确定变形的依据，再对等式的【例2— 21利用等式的基本性质解方程：(1)5x — 8 = 12; (2)4x — 2= 2x ; (3)x + 1 = 6; (4)3 — x = 7.分析：利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.解：(1)方程的两边同时加上8,得5x = 20.方程的两边同时除以 5，得x = 4.⑵方程的两边同时减去2x ,得2x — 2 = 0. 方程的两边同时加上 2, 方程的两边同时除以2, (3) 方程两边都同时「减去 得 x + 1— 1 = 6 — 1,• - x = 6 — 1.”(4) 方程两边都加上x ,得 3 — x + x = 7 + x,3= 7+ x , 方程两边都减去7, 得 3 — 7= 7 + x — 7, •• — 4= x , 即卩 x = — 4.3. 解一元一次方程 (1)移项① 移项的概念及依据： 把方程中的某一项改变符号后， 从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质 1.② 移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边. ③ 移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程，^口，一 2 — 3x = 7,把一2从方程的左边移到右边，一 2在原方程中前面带有性质符号“-”，移到右边后需变成“ + ”， 在移动的过程中同时变号， 没有移动的项则不变号. 所 以由移项，得一3x = 7+ 2.④ 要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变.如， + 5x= 1,把 11x = 11变成 号. 辨误区 在移项时注意 “两变”：一变性质符号，即 “ + ”号变为“—”号，而“—”号变为 “+”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边.(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为得 2x = 2. 得 x = 1.1,移项要35x — 15x + 3从方程的左边移到右边要变号，得 5x = 1 — 3，是属于移项；而把 5x + 11x — 15x = 11,是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变移项时应注意的问题1具体儿一次方程 (1)这些步骤「在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行， 可将解出的结果代入原方程进行检解技巧巧解 值得注意的是： 可根据方程的形式，灵活安排步骤； (2)为了避免错误, 验. 【例3— 11下列各选项中的变形属于移项的是 ( A .由 B .由 C .由 D .由 解析： )• 2x = 4,得 x = 27x + 3 = x + 5,得 7x + 3= 5+rX8 — x = x — 5，得一x — x = — 5— 8 x + 9= 3x — 1,得 3x — 1 = x + 9选项A 是把x 的系数化成1的变形；选项 B 中x + 5变成5+ x 是应用加法交换 律，只是把位置变换了一下；选项 C 是作的移项变形；选项 D 是应用等式的对称性 “a = b , 则b = a ”所作的变形.所以变形属于移项的是选项 C. 答案：C 【例3-21解方程宁-5 =亍.分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数 12,去掉分母得4(2 — x) — 60= 3(x — 1)，再按照步骤求解，特别注意— 5不能漏乘分母的最小公倍数 12. 解：「去分母，方程两边都乘以 12, 得 4(2 — X)— 60= 3(x — 1). 去括号，得 8 — 4x — 60= 3x — 3. 移项，得—4x — 3x =— 3 — 8+ 60. 合并同类项，得—7x = 49. 两边同除以一7,得x = — 7.4.解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础. 解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为x= a(a是一个已知数).(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算.(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.▼ I .■ "F亠E 0.4x—9 X —5 0.03 + 0.02x 【例4】解万程 C U — =0.50.030.4x—9 0.03 + 0.02X分析：由于0 5和—0~03—的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子瓷^9的分子、分母中都乘以10,变为^^—聖，在式子驾三严的3 + 2x分子、分母中都乘以100,变为然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解.解：分母整数化，得4x—90 X—5 3+ 2x5 — 2 = 3去分母，得6(4x —90)—15(x—5) = 10(3 + 2x).去括号，得24X—540 —15X + 75= 30 + 20x.移项，得24X—15X—20x = 540 —75 + 30.合并同类项，得—11x= 495.两边同除以一11,得x=—45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点. 解题的关键是理解方程的解的概念.(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值.(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值.【例5—1］关于x的方程3x+ 5= 0与3x+ 3k = 1的解相同，贝U k=( ).B 4B . 35解析：解方程3x+ 5= 0,得x=—3.5 将x = —3代入方程3x+ 3k = 1,得一5+ 3k= 1,解得k= 2,故应选C.答案：C【例5—2］若关于x的方程(m —6)x= m —4的解为x= 2，贝U m =解析：把x= 2代入方程(m —6)x = m—4,得(m—6) X 2 = m—4,解得m= 8.答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1,可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧.(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法.(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快.有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便.巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣.【例6—1］解方程3 3 ^x —1—4 = |x+ 1.3 4 3 3 4 1 1分析：注意到4X 4= 1,把3乘r以中括号的每一项，则可先去中括号，-X 4 * —43 11 3=|x + 1,再去小括号为^x—4—3 = |x + 1,再按步骤解方程就非常简捷了.1 1 3解：去括号，得|x —1—3=討1.移项，合并同类项，得一x= 17.17两边同除以一1,得x=——.x+ 3 x+ 2 = x+ 1 x+ 4【例6-2］解方程7 -5 = 6分析：此题可按照解方程的一般步骤求解, 4 -但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分, 5 x+ 3 —7 x+ 2 2 x+ 1 —3 x+ 435 12把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.—x — 10.去分母，得「12( — 2x + 1) = 35( — x — 10). 去括号，得—24x + 12=— 35x — 350. 移项、合并同类项，得11x = — 362.362两边同除以11,得x =—36j 2.题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题， 理解掌握数学基础知识.【例7— 11 (1)当a = ___________ 时，式子2a + 1与2— a 互为相反数. ⑵若6的倒数等于X + 2,则x 的值为 __________________ .解析：(1)根据互为相反数的两数和为 0，可得一元一次方程 2a +c 1+ (2 — a) = 0,解得a =—3;(2)由倒数的概念：乘积为 1的两个数互为倒数，可得一元一次方程 6(x + 2) = 1,解 /曰 11得 x=— 6 .11答案：⑴―3 (2)-—解：方程两边分别通分，得 5x + 3 — 7x + 2 2x + 1 — 3x + 4.化简, 3512—2x + 1得—3^ =7.列一元一次方程解题(1) 利用方程的解求未知系数的值 当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，代入原方程，得到关于字母系数的等式 (2) 利用概念列方程「求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值， 如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值.列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系. 的取值. 谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在即将方程的解 (或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可.常常采用代入法,再列出方程，解方程从而求出字母发掘隐含条件时需要全面、深刻地【例7-2】已知x=- 2是方程号+誉- 分析：把x=- 2代入原方程，原方程就变成了以k的方程，可以求出k的值.解：把x=-2代入原方程，得-2-k 3k+ 2 - 2+ k+ - (-2)=去分母，得2(- 2-k)+3k+ 2-(- 2) X 6 = 3(-2+ k).去括号，得—4-2k+3k+ 2 + 12=- 6 + 3k.移项、合并同类项，得-2k=- 16.方程两边同除以一2,得k= 8.黑体小四课后作业【题01】下列变形中，不正确的是（【题02】【题03】【题04】A 若x2 5x，则x 5 .C若盘1 x，则r下列各式不是方程的是（A y2c. p2解为xA 2xC 3(xB.D.B.若7x 7,则x 1 .2nax ay .C 22pq q2的方程是（2) (x 3) 5xD.B.D.若关于x的方程2x n23(n 4）0是一儿5x次方程，求n的值.x =爭的解，求k的值.k为未知数的新方程，解含有未知数【题05】 已知(2 m 3)x (2 3m) x 1是关于x 的2儿一次方程，则 m【题06】 若关于 x 的方程 (2 |m|)x 2(m 2)x (52 m) 0 是 儿一次方程，求 m 的解.【题07】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 15k 0是一儿' 次方程，则【题08】 若关于 x 的方程 (k 2)x k 15k儿一次方程，则.若关于x 的方程 (k 22)x 4kx5k 0是,儿一次方程, 则方程的解 x =【题09】 (3a 28b )x 5bx 7a 0是关于x 的儿一次方程，且该方程有惟一解，则21 40 B.空4056 1515【题10】解方程:5(3 |x)3(2【题11】解方程: |(4y)1(y【题12】解方程:【题13】解方程:2x 5x65才）363)【题14】解方程:【题15】解方程:【题16】解方程:【题17】解方程:【题18】解方程:1——X0.70.50.2X丄(0.17 0.2X) 10.033(x 4)------ 5x 190.1250.45 0.015 0.01X0.5X 2.50.250.1X 0.9 0.2X0.03 0.70.0152[4X32 1才2)]【题19】解方程：-[丄（丄X 1） 6] 2 03 4 3。