第5章 标量湍流

标量梯度片状结构的实例
• 假设标量湍流梯度等值面表面积为 Sst ，它包容的体积等于 Vst ，做一 个当量的圆盘，其体积和表面积分别等于 Sst 和 Vst ，当量圆盘的厚 度定义为片状结构的当量厚度。
槽道湍流中片状结构的长宽比大于各向同性湍流中片状结构的长宽比
它有一个强压缩(第3主轴，负值)、一个强拉伸和 一个弱拉伸。强压缩导致片状结构，一个强拉伸 和一个弱拉伸产生长宽比比较大的片状结构。
• 本章将讨论不可压缩流体中温差较低或被 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 输送物质的浓度较小的传热和传质过程。 在这个过程中，流体运动是主动的， 在这个过程中，流体运动是主动的，标量 输运是被动的。 输运是被动的。
本章主要内容
• • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 均匀湍流中的被动标量输运 标量湍流的结构 湍流普朗特数 标量湍流的结构函数方程 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型
贝克来数
它表示标量输运过程中对流输运和扩散输运的量级比 表示对流占绝对优势； 表示分子扩散占绝对优势。
均匀湍流场中标量输运规律Biblioteka Baidu
标量能谱的经典理论
分别分析各种输运过程的标量能谱
惯性-对流标量输运 惯性-扩散标量输运 粘性-对流标量输运 粘性-扩散标量输运
5.2 标量湍流的结构
标量梯度方程
方程表明： 方程表明：
湍流普朗特数是分子普朗特数倒数的线性函数
雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 雷诺平均湍流普朗特数与分子普朗特数的倒数呈线性关系， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在， 既在无剪切的各向同性湍流场中存在，也在有剪切的湍流 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。 场中存在，它是充分发展湍流场中标量输运的特性。
标量点源的湍流扩散
• 实际计算结果表明，欧拉方法不可能获得在点源 附近(称为近场)的浓度分布，因为，欧拉方法不 可能准确计算浓度梯度非常大的对流、扩散过程。 另一方面，点源扩散的物理过程的本质是湍流脉 动携带质点的迁移过程。
• 标量扩散的拉格朗日描述和处理方法更具 物理本质。
湍流场中质点位移的均方根公式
是对流作用在谱空间的贡献，称作标量能量的传输谱； 是对流作用在谱空间的贡献，称作标量能量的传输谱；
是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。 是分子耗散项，它和波数平方及扩散系数成正比。
谱空间中标量脉动的输运
均匀湍流场中标量输运规律
• 为了对比湍流的动量输运和标量输运，把湍流运动方程和 为了对比湍流的动量输运和标量输运， 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较： 标量输运方程写成无量纲形式，并加以比较：
5.3 湍流普朗特数
• 定义湍流普朗特数和湍流施密特数如下：
湍流普朗特数
• 由于不同分子普 朗特数的标量输 运机制不同，因 此湍流普朗特数 和分子普朗特数 有关，而不应当 采用目前工程中 常用的常数湍流 普朗特数的模型。 以各向同性湍流 中加平均等梯度 标量和槽道湍流 加恒定温差为例 来研究湍流普朗 特数。
标量脉动梯度和标量脉动不同，除了被流体质点携带，在流场中迁 移(方程左边)、分子扩散(方程最后一项)以外；标量梯度的变化还来自脉 动速度场的变形和旋转作用，变形作用将改变标量梯度的大小；旋转作 用只改变标量梯度的方向，对其大小没有影响。
标量能量方程
说明:
标量脉动能量的输运过程中，有分子扩散和耗散项； 耗散项和脉动标量梯度的平方成正比：
右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项； 右边第一项是脉动速度携带标量的对流输运项； 右边第二项是分子扩散项。 右边第二项是分子扩散项。
谱空间中标量脉动的输运
定义： 定义：标量脉动的谱
标量的拟能谱
脉动标量谱的输运方程
用脉动标量谱来表示，上式可写作 用脉动标量谱来表示，
标量能谱的输运方程
其中， 其中，
• 5.5.1 标量点源的湍流扩散 • 5.5.2 湍流场中质点位移的均方根公式 • 5.5.3 标量点源的湍流扩散系数
标量点源的湍流扩散 点源标量的定义 假定在各向同性湍流场中某一局部很小 的体积中恒定地注入染色物质， 的体积中恒定地注入染色物质，由于它的 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 体积很小，以至于可以认为它是一个质点， 并称它为点源标量 点源标量。 并称它为点源标量。
由于在槽道垂直方向 湍流的泰勒雷诺在变 化，因此湍流普朗特 数也沿槽道垂直方向 变化
可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时， 可以看到：当分子普朗特数在0.3～1.2之间变化时，同一泰勒雷诺数下湍流 0.3 之间变化时 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同 20％。和各向同性湍流中的情况相同， 普朗特数改变达20％。和各向同性湍流中的情况相同，槽道湍流中湍流普朗 特数也和分子普朗特数的倒数成线性关系
（2）长时间的扩散过程 长时间的扩散过程
标量点源的湍流扩散系数
• 在点源的远场，质点群的湍流扩散和拉格朗日积 在点源的远场， 分时间尺度成正比， 分时间尺度成正比，在均匀各向同性湍流中湍流 扩散系数等于常数。 章中已经论述过， 扩散系数等于常数。第1章中已经论述过，在均匀 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 湍流场中，欧拉统计量和拉格朗日统计量相等， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时， 因此，用欧拉描述法计算点源的空间扩散时，有 湍流扩散系数。 湍流扩散系数。
5.4 标量湍流的结构函数方程 ——Yaglom方程 方程
如果结构函数中的位移 ξ 长度位于惯性子区， 上式表示惯性子区中标量能量的传输特性。如果 贝克来数很小，上式右边第一项可以忽略，这时 表示标量能量的串级关系，惯性子区标量能量通 量和标量能量耗散性平衡。
5.5 标量湍流扩散的拉格朗日随机模型
• 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： 在第1章中已经导出质点位移的Taylor公式： Taylor公式
定义湍流场中质点位移的均方根公式
利用上式可得以下结果
(1)初始的扩散过程 ，由于在短时 间内，质点位移和当时的速度与时间 乘积成正比，经系综平均后，质点位 移的均方根和脉动速度均方根与时间 的乘积成正比。
• 对于标量和粒子群的扩散过程，可以用拉格朗日 描述方法建立模型。在一般的非均匀湍流场中， 需要考虑粒子的平均位移(也称漂移)和随机位移， 对于随机位移需要附加模型，目前，常用的随机 模型多采用Langevin方程。对于粒子运动，还需 要考虑粒子和固壁的碰撞、粒子间的碰撞以及粒 子和流体之间的作用力等。
• 方程左端表示标量梯度平方的质点导数， 或标量耗散的质点导数，它来自右端各项 的贡献：标量脉动梯度与脉动应变率的相 互作用、标量湍流耗散的扩散，以及标量 脉动梯度自身的耗散。
标量梯度片状结构的实例
第一个实例是在各向同性湍流中由平均等梯度标量场产生 的均匀标量湍流场； 的均匀标量湍流场；第二个实例是槽道湍流中的非均匀标 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。 量湍流场，在槽道两个壁面上施加恒定的温度差。
5.1 均匀湍流中的被动标量输运
被动标量输运的控制方程 谱空间中标量脉动的输运 均匀湍流场中标量输运规律
被动标量输运的控制方程
谱空间中标量脉动的输运
• 均匀脉动速度场中的湍流输运过程可用谱分解描述
谱空间中标量脉动的输运
• 把展开式 3a)和(5.3b)代人式 把展开式(5. 代人式(5.2),得谱空间中标量输运方程如下： 得谱空间中标量输运方程如下： 和 代人式 得谱空间中标量输运方程如下