初三数学专题复习——新概念题型

初三数学专题复习 新概念型问题

一、选择题

1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A.13=3+10

B.25=9+16

C.36=15+21

D.49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位：秒），他与教练距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q

答案：D 。

3.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化

材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案：B

4．已知222

22112

11,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足

)1,0(2

1

2121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）

O

30 t / 秒

y /

米

Q

N

M P

C B A

A 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同

B 、因为y 1,y 2的对称轴相同

C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为km

D 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案：D

二、填空题

5.一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数

24y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么

△ABP 的面积是_______________． 答案：8；

6.对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=*)

()

(b a b b b a b b a a a . 根据这个规则，则方

程x *2＝9的解为________________________． 答案：－3或

2

1

37- 7.定义：a 是不为1的有理数，我们把

11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112

=--，1-的差倒数是

111(1)2=--．已知11

3

a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4

a 是3a 的差倒数，……，依此类推，则2012a = ． 答案：

4

3

8.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2－3a +b ，如：3★5＝32－3×3+5，

若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __． 答案： —1或4

9.数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：1111

12151012-=-．因此就将具有

这样性质的三个数称之为调和数，若x 、y 、2 (x >y >2且均为正整数)也是一组调和数．则x 、y 的值分别为 ． 答案：6、3

10.如图是瑞典人科赫（Koch ）在1906年构造的能够描述雪花形状的科赫雪花图案．图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边．分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉．反复进行这一过程，就会得到一

（第10题图）

个“雪花”样子的曲线．这是一个极有特色的图形：在图形不断变换的过程中，它的周长趋于无穷大，而其面积却趋于定值．如果假定原正三角形边长为a ，则可算出下图每步变换后科赫雪花的周长：1C =3a ，2C = ，3C = ，…，则n C = ．

答案：2C =433a g

；3C =2

4()33

a g ；n C =1

4()33

n a -g ，

11.在矩形ABCD 中，已知AD =2cm ，BC =3cm ，现有一根长为2cm 的木棒EF 紧贴着矩形的 边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为____________cm 2. 答案：π-6.

12．若关于t 的不等式组0,214

t a t -⎧⎨

+⎩≥≤恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图

象与反比例函数y ＝32

a x

+的图象的公共点的个数为______． 【答案】0或1．

【解析】解不等式组得a ≤t ≤3

2

．∵原不等式组恰有三个整数解，即－1，0，1，∴－2＜a ≤－1．一次函数y ＝

14

x －a 的图象与反比例函数y ＝32a x +的图象的交点坐标即是方程组

1,

432

y x a a y x ⎧=-⎪⎨+⎪=⎩

的解．消去方程组中的y 得，14x －a ＝32a x +．即x 2－4ax －4(3a ＋2)＝0．其判别式△＝(－4a )2＋16(3a ＋2)＝16(a 2＋3a ＋2)＝16(a ＋1)(a ＋2)．当－2＜a ≤－1时，(a ＋

1)(a ＋2)≤0，即△≤0．∴两个图象的公共点的个数为0或1．

【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等．

三、解答题

13.如图（1），凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且BPC CPD β∠=∠=，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．

（1）在图（3）正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠．

（2）在图（4）四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）． （3）若四边形ABCD 有两个半等角点12P P ，（如图（2）），证明线段12P P 上任一点也是它