初三数学专题复习——新概念题型

初三数学专题复习 新概念型问题一、选择题1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ）A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位：秒），他与教练距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q答案：D 。

3.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案：B4．已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ）O30 t / 秒y /米QNM PC B AA 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1,y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ，则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案：D二、填空题5.一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数24y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△ABP 的面积是_______________． 答案：8；6.对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=*)()(b a b b b a b b a a a . 根据这个规则，则方程x *2＝9的解为________________________． 答案：－3或2137- 7.定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，依此类推，则2012a = ． 答案：438.现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2－3a +b ，如：3★5＝32－3×3+5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __． 答案： —1或49.数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：111112151012-=-．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，若x 、y 、2 (x >y >2且均为正整数)也是一组调和数．则x 、y 的值分别为 ． 答案：6、310.如图是瑞典人科赫（Koch ）在1906年构造的能够描述雪花形状的科赫雪花图案．图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边．分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉．反复进行这一过程，就会得到一（第10题图）个“雪花”样子的曲线．这是一个极有特色的图形：在图形不断变换的过程中，它的周长趋于无穷大，而其面积却趋于定值．如果假定原正三角形边长为a ，则可算出下图每步变换后科赫雪花的周长：1C =3a ，2C = ，3C = ，…，则n C = ．答案：2C =433a g；3C =24()33a g ；n C =14()33n a -g ，11.在矩形ABCD 中，已知AD =2cm ，BC =3cm ，现有一根长为2cm 的木棒EF 紧贴着矩形的 边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为____________cm 2. 答案：π-6.12．若关于t 的不等式组0,214t a t -⎧⎨+⎩≥≤恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝32a x+的图象的公共点的个数为______． 【答案】0或1．【解析】解不等式组得a ≤t ≤32．∵原不等式组恰有三个整数解，即－1，0，1，∴－2＜a ≤－1．一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝32a x +的图象的交点坐标即是方程组1,432y x a a y x ⎧=-⎪⎨+⎪=⎩的解．消去方程组中的y 得，14x －a ＝32a x +．即x 2－4ax －4(3a ＋2)＝0．其判别式△＝(－4a )2＋16(3a ＋2)＝16(a 2＋3a ＋2)＝16(a ＋1)(a ＋2)．当－2＜a ≤－1时，(a ＋1)(a ＋2)≤0，即△≤0．∴两个图象的公共点的个数为0或1．【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等．三、解答题13.如图（1），凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且BPC CPD β∠=∠=，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠．（2）在图（4）四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）． （3）若四边形ABCD 有两个半等角点12P P ，（如图（2）），证明线段12P P 上任一点也是它的半等角点．解：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点，即给2分．（2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求（不写文字说明不扣分）给6分．（说明：画出的点P 大约是四边形ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分） （3）连1111P A PD PB PC ，，，和22P DP B ，，根据题意， 11APD APB ∠=∠，11DPC BPC ∠=∠， 11180APB BPC ∴∠+∠=o ． 1P ∴在AC 上，同理，2P 也在AC 上．································································· 8分 在12DPP △和12BPP △中， 2121DP P BP P ∠=∠，1212DPP BPP ∠=∠，12PP 公共， 1212DPP BPP ∴△≌△． ···················································································· 10分 所以11DP BP =，22DP BP =，于是B D ，关于AC 对称． 设P 是12P P 上任一点，连结PD PB ，，由对称性，得DPA BPA ∠=∠，DPC BPC ∠=∠， 所以点P 是四边形的半等角点． ······································································ 12分图（1） AC D BP α α β β 图（2）C B第2题答案图ACDB1P2PP14．阅读下面材料：小明同学遇到这样一个问题：定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒<α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形．如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形．如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．小明利用旋转解决了这个问题（如图2所示）．图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边△ABC中，E1、E2、E3分别为AB、BC、CA的中点，P 1、P2，M 1、M2，N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点．（1）在图3中画－个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影．．表示（保留画．．．图痕迹．．．）；（2）若△ABC的边长为6，则图3中△ABM1的面积为．（3）若△AB C的面积为a，则图3中△FGH的面积为．解：（1）画图如下：(答案不唯－) ·························3分(2)33···················6分·（3）面积为7a．···············9分15.我们把三角形内部的一个点到这个三角形三边所在直线距离的最小值叫做这个点到这个三角形的距离．如图1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，则称PD的长度为点P到△ABC的距离.在图2、图3中，已知A（6，0），B（0，8）.（1）若图2中点P的坐标为（2，4），求P到△AOB的距离；（2）若点R是图3中△AOB内一点，且点R到△AOB的距离为1，请在图3中画出满足条件的点R所构成的封闭图形，并求出这个图形的周长.FDEFDBACOAB CO图1 图2 图3ACE1E2E3P2P1N1N3M1 M2FGHHFGAB CE1E2E3P1P2M1M2N1N2解： (1) ∵A （6，0），B （0，8）∴OA =6,OB =8,在Rt △AOB 中，AB =10…………(1分) 过点P 分别作PC ⊥OA 、 PD ⊥OB 、 PE ⊥AB ，垂足分别为C 、D 、E ∵S △POB +S △PAB +S △POA =S △ABO∴8621102146212821⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯PE ∴PE =0.8…………………………… (3分)∴P 到△AOB 的距离为0.8………………………… (4分)（2）设点Q 为△AOB 的内心，连接QA ，QB ，QO ，分别取QA ，QB ，QO 的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，GE ，则△EFG 即为所要画的图形. …………… (6分) 由画图可知，△EFG ∽△ABO ，由上题及已知条件可知，△EFG 与△ABO 的相似比为21，因为△ABO 的周长为24，所以△EFG 的周长为12.……………………（9分） 16.已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD 是一次函数1y x =+图像的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数1y x =+，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数ky x=(0)k >，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，点(2,)D m (2)m <在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式； （3）如图3，若某函数是二次函数2y ax c =+(0)a ≠，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为(3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式．答案：解：（1）（I ）如图1，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时：正方形ABCD 的边长为2．………………………………………………（1分） （II ）当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时：设正方形边长为a ，易得32a =，………………………………………（1分） （第16题图3）xy(3,4)-2 -1 O1 32 12 3 4 x y O BDA C 1y x =+（第16题图1）（第16题图2）xy O解得3a =1分） ∴所求“伴侣正方形或3．（2）如图2，作DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△ADE ≌△BAO ≌△CBF ．∵点D 的坐标为(2,)m ，2m <，∴DE = OA = BF = m ， ∴OB = AE = CF = 2 - m ．∴OF = BF + OB = 2，∴点C 的坐标为(2,2)m -．………………………（1分） ∴22(2)m m =-，…………………………………………………………（1分） 解得1m =．…………………………………………………………………（1分）∴反比例函数的解析式为2y x=．…………………………………………（1分） （3）212388y x =+或272234040y x =-+或23177y x =+或235577y x =-+．…（5分）注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分17.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC 中，∠A=2∠B ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别记为a,b,c ，倍角三角形的三边a,b,c 有什么关系呢？让我们一起来探索．（图28-1） （图28-2） （图28-3） （图28-4） （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：（第24题图2）（第24题图1）a（2）如图28-4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA ，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给出的辅助线提示加以证明．解：（1）每空1分共4分（2）cbaab+=，（2分）证明正确（4分）18.如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明．．．E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P恰是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．答案：解⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴12CD AB=，∴CD=BD．∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．⑵①作图略．作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心图28-2 ∠A=2∠B=90︒图28-3 ∠A=2∠B=60︒三角形角的已知量abb ca+图28-2 ∠A=2∠B=90︒22图28-3 ∠A=2∠B=60︒33∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=∠． ∵P 为△ABC 的自相似点∴△BCP ∽△ABC ．∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC=2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP=4∠A∵∠A +∠ABC+∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A+4∠A ＝180°．∴1807A ∠=o ．∴该三角形三个内角的度数分别为1807o 、3607o 、7207o ．19.定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数．（本小题满分5分） 解：(1) 由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分∵ OAC △的面积为4，∴1242n n ⨯=g ∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴ 2,4.k b =-⎧⎨=-⎩ …………………………4分∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--.∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. ………………………5分20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC =∠ADC =90°，则该损矩形的直径是线段 ．（2）在线段AC 上确定一点P ，使损矩形的四个顶点都在以P 为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB ＝3，BD ＝42，求BC 的长．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC 是该损矩形的直径； （2）作图如图：∵点P 为AC 中点， ∴PA=PC=AC ．∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴BP=DP=AC ， ∴PA=PB=PC=PD ，∴点A 、B 、C 、D 在以P 为圆心，AC 为半径的同一个圆上；（3）∵菱形ACEF ，∴∠ADC=90°，AE=2AD ，CF=2CD ， ∴四边形ABCD 为损矩形，∴由（2）可知，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴，∴AD=CD ， ∴四边形ACEF 为正方形．∵BD 平分∠ABC ，BD=，∴点D 到AB 、BC 的距离h 为4， ∴S △ABD=AB ×h=2AB=6．S △ABC=AB ×BC=BC ，S △BDC=BC ×h=2BC ，S △ACD=S 正方形ACEF=AC2=（BC2+9）， ∵S 四边形ABCD=S △ABC+S △ADC=S △ABD+S △BCD ∴BC+（BC2+9）=6+2BC ∴BC=5或BC=-3（舍去）， ∴BC=5．ABCD图1EFDBA图221．一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．探究如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图17-2所示．解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液= 底面积SBCQ×高AB）（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.[温馨提示：下页还有题！]延伸在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm ，BM = CM ，NM ⊥BC .继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.解析：探究 （1）CQ ∥BE 3 ······································································ 2分（2）1=344=242V ⨯⨯⨯液（dm 3） ······························ 4分 （3）在Rt △BCQ 中，tan ∠BCQ=34∴α=∠BCQ=37º ··················································· 6分 拓展 当容器向左旋转时，如图3,0º≤α≤37º ·················· 7分 ∵液体体积不变，∴1x+y)44=242⨯⨯（∴-+3y x =···························································· 9分 当容器向右旋转时，如图4， 同理得124y x=-， ············································· 10分 当液面恰好到达容器口沿，即点Q 与点B’重合时，如图5.由BB’=4，且1'4242PB BB ⨯⨯⨯=，得PB =3 ∴由tan ∠'PB B =34，得∠'PB B =37º，∴α=∠'B PB =53º此时37º≤α≤53º················································ 12分 【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】 延伸 当α=60º时，如图6所示，设FN ∥EB ，'GB ∥EB过点G 作GH ⊥'BB 于点H 在Rt △'B GH 中，GH=MB=2，∠'GB B =30º，∴'HB = 23 ∴MG=BH= 423-<MN此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt △NFM 和直角梯形'MBB G 为底面的直棱柱 ∵S △NFM +'MBB G S =1311(4234)2222⨯⨯+-+⨯= 11386-∴V 溢出= 113244(8)6--= 22383->4（dm 3） ∴溢出液体可以达到4dm 3. ····························································· 14分22.如图1，已知抛物线C 经过原点，对称轴x=3-与抛物线相交于第三象限的点M ，与x 轴相交于点N ，且tan MON 3∠=。