幂函数的性质及其应用

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专题幂函数以及函数的应用(解析版)

专题10 幂函数以及函数的应用【考点预测】考点一、幂函数概念形如y x α=的函数，叫做幂函数，其中α为常数．考点诠释：幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．考点二、幂函数的图象及性质 1．作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．考点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+∞或[0,)+∞，作图已完成；若在(0)-∞，或0]-∞(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a f x x =． 4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．考点三、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．【典型例题】例1．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ，所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例2．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值．【解析】（1）因为2()(33)af x a a x =-+为幂函数，所以2331a a -+=，解得2a =或1a = 因为()f x 为偶函数，所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，对称轴为122mx -=，开口向上，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16m =-；当1212m ->即12m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即32m =-；综上所述：16m =-或32m =-．例3．（2022·全国·高一课时练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2603500h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，20020018010020300y x x x =---=-，当产量大于50万盒时，222002006035001403700y x x x x x =----=-+-，故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为220300,050,N 1403700,50x x y x x x x -≤≤⎧=∈⎨-+->⎩（2）当050x ≤≤时，2050300700y ≤⨯-=；当50x >时，21403700y x x =-+-，当140702x ==时，21403700y x x =-+-取到最大值，为1200．因为7001200<，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，某日的钱塘江观测信息如下：2017年⨯月⨯日，天气：阴；能见度：1.8千米；11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离x （千米）与时间t （分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点(0,12)A ，点B 坐标为(,0)m ，曲线BC 可用二次函数：21(125s t bt c b =++，c 是常数）刻画. (1)求m 值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度02(30)125v v t =+-，0v 是加速前的速度）【解析】（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则(30,0)B ，即30m =，潮头从甲地到乙地的速度120.430=（千米/分钟）. （2）因潮头的速度为0.4千米/分钟，则到11:59时，潮头已前进190.47.6⨯=（千米），此时潮头离乙地127.6 4.4-=（千米），设小红出发x 分钟与潮头相遇，于是得0.40.48 4.4x x +=，解得5x =，所以小红5分钟后与潮头相遇.（3）把(30,0)，(55,15)C 代入21125s t bt c =++，得221303001251555515125b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得225b =-，245c =-，因此21224125255s t t =--，又00.4v =，则22(30)1255v t =-+，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即0.48v =时，22(30)0.481255t -+=，解得35t =，则当35t =时，21224111252555s t t =--=，即从35t =分钟(12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头，设小红离乙地的距离为1s ，则1s 与时间t 的函数关系式为10.48(35)s t h t =+≥，当35t =时，1115s s ==，解得：735h =-，因此有11273255s t =-，最后潮头与小红相距1.8千米，即1 1.8s s -=时，有212241273 1.8125255255t t t ---+=，解得150t =，220t =（舍去），于是有50t =，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时0.48560.4⨯=（分钟），因此共需要时间为6503026+-=（分钟），所以小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 是幂函数，∴22531m m -+=，∴12m =或2.当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ， ∴m ＝2,∴()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0.∵()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∴()()min 11g x g k ==--，由10k -->，得1k <-， ∴实数k 的取值范围是(,1)-∞-.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）若函数()f x x α=的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．3C ．9D ．8【答案】B【解析】由题意知()193f =，所以193α=，即2133α-=，所以12α=-，所以()12f x x -=，所以1211399f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（） A ．b a d c <<< B ．b c a d <<< C ．c d b a <<< D ．b a c d <<<【答案】D 【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，则函数1()()1f x y f x -=+在区间［1,9]上的值域为（） A ．［－1,0] B ．1[,0]2-C ．［0,2]D ．3[,1]2-【答案】B【解析】解法一：因为幂函数()a f x x 的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得12a =，所以()f x x =1()12(1)1()1111f x x x y f x x x x ---+===++++．因为19x ≤≤，所以214x ≤≤，故11,021y x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．解法二：因为幂函数()a f x x 的图象过点(9,3)，所以93a =，可得12a =，所以()f x x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()()1f x f x -+，所以1()1y f x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m n 、是偶数，且1m n> 【答案】C【解析】函数n m nm y x x =y 轴对称，故n 为奇数，m 为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故1mn<，故选：C.5．（2022·全国·高一期中）幂函数2225()(5)m m f x m m x +-=+-在区间(0,)+∞上单调递增，则(3)f =（） A ．27 B ．9C ．19D ．127【答案】A【解析】由题意，令251m m +-=，即260m m +-=，解得2m =或3m =-，当2m =时，可得函数3()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；当3m =-时，可得2()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，即幂函数3()f x x =，则(3)27f =. 故选：A.6．（2022·全国·高一课时练习）向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当容器是圆柱时，容积V =πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D 不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小， ∴A 、C 不满足条件，而B 满足条件. 故选：B ．7．（2022·全国·高一单元测试）某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位【答案】D【解析】设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为750020x +元，后续保养总费用为60030x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，则250750020306008100810040240220x x x x y x x x x x+++-+==++≥⋅=，当且仅当8100x x=，即90x =时取等号，满足50200x ≤≤，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x x ()1f x x =．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数()()22657mf x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，则以下说法正确的是（） A ．3m =B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．函数()f x 是偶函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数()()22657m f x m m x--=+在()0,∞+上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0∞-上单调递增；故选：ABD10．（2022·全国·高一课时练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且21()6205p x x x =-+-，利润率()p x y x =.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（） A ．此时获得最大利润率B ．再投入6万元研发经费才能获得最大利润C ．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D ．再投入1万元研发经费才能获得最大利润【答案】BC【解析】当16x ≤时，2211()620(15)2555p x x x x =-+-=--+，故当15x =时，获得最大利润，为()1525p =，故B 正确，D 错误；()12012012066262555p x y x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1205x x=，即10x =时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C 正确，A 错误.故选：BC.11．（2022·全国·高一课时练习）(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y 1(千元)､乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲､乙所示，则（）A ．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的总费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为10.51y x =+C ．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y 2与证书数量x 之间的函数关系式为21542y x =+ 【答案】ABCD【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A 正确；设甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为y kx b =+，代入点(0,1),(6,4)，可得164b k b =⎧⎨+=⎩，解得0.5,1k b ==，所以甲厂的费用1y 与证书数量x 满足的函数关系式为10.51y x =+，故B 正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为32 1.5÷=元，故C 正确；设当2x >时，设2y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+代入点(2,3),(6,4)，可得2364m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得15,42k b ==，所以当2x >时，2y 与x 之间的函数关系式为21542y x =+，故D 正确.故选：ABCD.12．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数” B ．若()1f x x x=+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【答案】ABD【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确；对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x=+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x =+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x=+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x=+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x ay x a x x==+-+在(]0,2上为减函数，由对勾函数的单调性可知，2a ≥，则4a ≥，综上4a =.故D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）已知1114,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若函数()af x x =在()0,+∞上单调递减，且为偶函数，则=a ______．【答案】4-【解析】由题知：0a <，所以a 的值可能为4-，1-，12-．当4a =-时，()()1440f x x x x -==≠为偶函数，符合题意．当1a =-时，()()110-==≠f x x x x为奇函数，不符合题意．当12a =-时，()12f x x x-==，定义域为()0,+∞，则()f x 为非奇非偶函数，不符合题意．综上，4a =-．故答案为：4-14．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()2232(1)m m f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【答案】()2f x x =【解析】()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =. 故答案为：()2f x x =15．（2022·全国·高一课时练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】58【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒，由第一轮结果可知：1042x y -=，整理可得：220x y =-；由第二轮结果可知：2yx n =-，整理可得：22y x n =-；当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当19n =时，由220238x y y x =-⎧⎨=-⎩得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.16．（2022·全国·高一期中）已知幂函数()223()p p f x x p N --*=∈ 的图像关于y 轴对称，且在()0+∞，上是减函数，实数a 满足()()233133pp a a -<+，则a 的取值范围是_____．【答案】14a <<【解析】幂函数()()223*p p f x xp N --=∈在()0+∞，上是减函数， 2230p p ∴--<，解得13p -<<，*p N ∈，1p ∴=或2．当1p =时，()4f x x -=为偶函数满足条件，当2p =时，()3f x x -=为奇函数不满足条件，则不等式等价为233(1)(33)ppa a -<+，即()11233(1)33a a -<+，()13f x x =在R 上为增函数， 2133a a ∴-<+，解得：14a <<.故答案为：14a <<. 四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小： (1)()32--，()32.5--； (2)788--，7819⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)3412⎛⎫ ⎪⎝⎭，3415⎛⎫ ⎪⎝⎭，1412⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为幂函数3y x -=在(),0∞-上单调递减，且2 2.5->-，所以()()332 2.5---<-．（2）因为幂函数78y x =在[)0,∞+上为增函数，且7788188-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1189>，所以77881189⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以77881189⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7788189-⎛⎫-<- ⎪⎝⎭．（3）41341128⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144115125⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11112582<<，因为幂函数14y x =在()0,∞+上单调递增，所以331444111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x =()2g x x =-.(1)求方程()()f x g x =的解集；(2)定义：{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,∞+上的函数{}()max (),()h x f x g x =，求函数()h x 的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图，并根据图象写出函数()h x 的单调区间和最小值. 【解析】（12x x =-，得2540x x -+=且0x ≥，解得11x =，24x =；所以方程()()f x g x =的解集为{1,4}（2）由已知得()2,01,2,14222,4x x x x x h x x x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨-<-⎪⎪⎩->⎩. （3）函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[]0,1，单调递增区间是()1,+∞，其最小值为1.19．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数()a g x x =的图像经过点(22,，函数2(4)()1g x af x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数a 的值；(2)判断函数f （x ）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【解析】(1)由条件可知22a=12a =，即()12g x x x ==，()42g =，因为()221x a f x x +=+是奇函数，所以()00f a ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以2a =成立； (2)由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.20．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t （件）与销售价格x （元/件）（*x ∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，()()2510050t x a x =-++；②当6076x ≤≤时，()1007600t x x =-+.记该店月利润为M （元），月利润=月销售总额-月总成本.(1)求M 关于销售价格x 的函数关系式；(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.【解析】（1）当60x =时，()260510050100607600a -++=-⨯+，解得2a =.∴()()()()()2**220100003420000,3460,,10076003420000,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧--+--≤≤∈⎪=⎨-+--≤≤∈⎪⎩即()32*2*24810680360000,3460,,10011000278400,6076,x x x x x N M x x x x x N ⎧-++-≤≤∈=⎨-+-≤≤∈⎩（2）当3460x ≤≤，x ∈R 时，设()3224810680360000g x x x x =-++-，则()()26161780g x x x '=---.令()0g x '=，解得182461x =-，()28246150,51x =+，当3450x ≤≤时，()0g x '>，()g x 单调递增；当5160x ≤≤时，()0g x '<，()g x 单调递减.∵*x ∈N ，()5044000M =，()5144226M =，()M x 的最大值为44226.当6076x ≤≤时，()()21001102784M x x x =-+-单调递减，故此时()M x 的最大值为()6021600M =.综上所述，当51x =时，()M x 有最大值44226.∴该打印店的最大月利润为44226元，此时产品的销售价格为51元/件. 21．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值. 【解析】（1）因为()f x 为幂函数所以233112a a a a -+===，得或因为()f x 为偶函数所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--，当1212m-≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当1212m ->即12m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：13m =-或1m =-22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数()()()22tf x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.(1)求()f x 的解析式及定义域； (2)设函数()()()221g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.【解析】（1）因为幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，()f x 在区间()0,+∞上单调递减，所以221+=t t ，解得1t =-或12t =，所以()12f x x -=，定义域为()0,+∞.（2）由（1）知函数()()()()2222110--=-=-≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦g x f x x x x f x ，设120x x >>，则()()()222222211212212222121211------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x因为120x x >>，所以2212x x >，222221210,0-<>x x x x ，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,+∞上单调递减.。

幂函数与对数函数

幂函数与对数函数幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在各个学科领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍幂函数与对数函数的定义、性质及其实际应用，并通过实例详细说明它们在数学问题中的具体应用方法。

一、幂函数幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数，x为自变量，y为因变量。

幂函数的图像通常是一条平滑的曲线，其特点是对于不同的a值，其图像呈现出不同的形状。

1. 幂函数的定义域和值域对于幂函数y=x^a来说，当x>0时，幂函数的定义域为(0,+∞)，其值域依赖于a的取值范围。

当a>0时，值域为(0,+∞)；当a<0时，值域为(0,1)。

2. 幂函数的图像特点当a>1时，幂函数的图像呈现上升的特点；当0<a<1时，幂函数的图像呈现下降的特点；当a=1时，幂函数的图像为y=x直线。

3. 幂函数的性质（1）若a>1，则幂函数是增函数；若0<a<1，则幂函数是减函数。

（2）幂函数的对称中心位于坐标原点。

(0,0)点对称于直线y=x的右上方部分和左下方部分。

（3）幂函数在坐标系中的图像永远不会穿过x轴，但可能与x轴有一个切点。

二、对数函数对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a为底数，x为自变量，y 为因变量。

对数函数的图像常呈现一条曲线，并且在x轴的正半轴上无定义。

1. 对数函数的定义域和值域对于对数函数y=loga(x)来说，底数a必须大于0且不等于1，自变量x的取值范围为x>0，因变量y的取值范围为全体实数。

2. 对数函数的图像特点当底数a>1时，对数函数的图像呈现出上升的特点；当0<a<1时，对数函数的图像呈现出下降的特点；当底数a=1时，对数函数的图像为一条水平直线。

3. 对数函数的性质（1）对数函数的图像在y轴上有一个渐近线x=0，当x趋近于0时，函数值趋近于负无穷。

（2）对数函数的图像关于直线y=x对称，即y=loga(x)与y=loga^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是数学中常见的一类函数，主要应用于数据分析和物理学中。

它有着独特的数学性质，并且能够解释一系列规律性的现象，因此在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将综合介绍幂函数的基本性质、作用机制和表达方式，以及其在实际应用中的各种特性。

一、基本性质幂函数（Power Function）是一类函数，通常定义为 y=x^n，其中x为变量，n为常数。

它同样也是一种一元函数，因为它只有一个变量X，表示函数值由变量X决定。

二、作用机制幂函数的作用机制主要体现在它的图象与数轴上。

因为x的增大会使得y的值也会加大，所以函数的图象通常是一条上凸的曲线。

这条曲线在原点处发散无限，而且具有明显的拐点，即抛物线的最高点。

此外，幂函数的作用机制还表现出了其“加速增长”的性质。

从图象上看，在抛物线最高点处，x增大时，y值会比较稳定，但是在x值增大之后，y值会变化得越来越快，这也是函数的最显著特征。

三、表达方式幂函数的表达方式很简单，一般情况下，以n来表示其幂的值，并且幂的值可以是整数、实数或负数，但必须保证x的值不等于0，这里说明由于x不等于0才有意义，因为若x等于0时，n为任意值，y都等于0.例如：y=x^2，即平方函数，n=2；y=x^3，即立方函数，n=3；y=x^2，即倒数平方函数，n=2.四、实际应用1、数据分析：幂函数在数据分析中应用十分广泛，其特有的“加速增长”性质，让数据分析者能够以规律的路径追求特定的结果。

例如，可以利用幂函数进行回归分析，以拟合给定数据；此外，可以利用幂函数构建概率模型，更好地研究联系型数据间的关系；2、物理学：幂函数在物理学中也有着广泛应用，可以用来模拟夸克的衰变过程，更好地理解物质的衰变规律；另外，也可以利用幂函数，研究物体受力的加速度变化，以及质量变化对物体运动的影响等。

综上所述，幂函数是一类重要的函数，它的基本性质、作用机制和表达方式构成了幂函数的基本框架，而在实际应用中，幂函数又有着广泛的用途，能够用于数据分析和物理学等领域，从而帮助人们更好地理解客观事物的变化规律。

高考数学知识点幂函数知识点知识点总结

高考数学知识点幂函数知识点知识点总结高考数学知识点：幂函数知识点总结在高中数学课程中，幂函数是一个重要的知识点。

幂函数的数学表达式为f(x) = ax^n，其中a和n分别代表常数，x代表自变量。

幂函数具有许多特殊性质和应用，下面将对幂函数的相关知识点进行总结。

一、定义和性质1. 幂函数的定义：幂函数是指具有形如f(x) = ax^n的函数，其中a和n为实数常数，且a≠0。

2. 幂函数的图像：根据a和n的取值不同，幂函数的图像可以表现为增函数、减函数或恒函数。

3. 幂函数的对称性：当幂函数的幂指数n为正偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为正奇数时，函数图像关于原点对称；当n为负数时，函数图像关于x轴对称。

二、基本性质和运算法则1. 幂函数的基本性质：a) 当n>0时，幂函数是增函数；当n<0时，幂函数是减函数。

b) 当a>1时，幂函数递增速度大于直线函数y=x；当0<a<1时，幂函数递增速度小于直线函数y=x。

c) 当n=1时，幂函数是一次函数；当n=0时，幂函数是常值函数。

2. 幂函数的运算法则：a) 幂函数相乘：f(x) = ax^m * bx^n = abx^(m+n)。

b) 幂函数相除：f(x) = (ax^m) / (bx^n) = (a/b)x^(m-n)，其中b≠0。

c) 幂函数相乘的分配律：(a * b)x^n = a * bx^n，其中a和b为常数，n为指数。

d) 幂函数的复合：f(g(x)) = (ax^m)^n = a^n*x^(m*n)，其中a、g(x)和n为常数。

三、幂函数的应用1. 函数图像：通过掌握幂函数图像的特点，我们可以辨认各类函数的图像特征，帮助解题。

2. 变化率计算：由于幂函数在不同区间具有不同的递增、递减性质，可以用来计算变化率，例如速度、增长率等。

3. 经济学应用：幂函数可以描述经济学中的一些指数关系，如价格与需求量的关系等。

数学高考知识点幂函数

数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。

在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。

一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。

2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。

当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。

3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。

4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。

二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。

这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。

2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。

这一性质在求解极限时常常会被用到。

3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。

例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。

三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。

2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。

在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。

幂函数性质的应用

幂函数性质的应用
幂函数是重要的基本初等函数模型之一，它具有如下性质：
（1）幂函数在上有定义，并且图象过定点；
（2）如果，则幂函数的图象过定点和，并且在区间上为增函数；
（3）如果，则幂函数的图象过定点，并且在区间上为减函数；在第一象限内，当趋向于原点时，图象在轴右方并无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方并无限地逼近轴；
例2比较，，的大小。
解析：，，。
因为幂函数在上单调递减，且，
所以，所以。
点评：当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。
二、求函数解析式
例3已知幂函数的图象与轴，轴都无交点，且关于轴对称，试确定函数的解析式。
解析：因为的图象与轴，轴都无交点，所以，即。
又，所以。
当时，，是奇函数，不合题意，舍去；
当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意。
故所求幂函数为。
点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄清幂函数的定义和性质是关键。
三、讨论函数性质
例4讨论函数（）的定义域、奇偶性和单调性。
解析：（1）因为，所以是正偶数，
所以是正奇数，
（4）设互质，，。
①当为奇数，为偶数时，函数为非奇非偶函数，函数在其它象限无图象，只在第一象限内有图象；
②当为偶数，为奇数时，函数为偶函数，图象在第一、二象限，且关于轴对称；
③当、均为奇数时，函数为奇函数，图象在第一、三象限，且关于对称。
利用上述性质，可以解决许多有关幂函数问题。下面举例说明。
一、比较大小
例1比较下列各组中两个值的大小：
（1），；

幂函数与函数的概念

幂函数与函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

而幂函数是一类特殊的函数，它的自变量为底数，因变量为指数。

本文将重点探讨幂函数和其他常见函数的不同之处，以及幂函数的性质和应用。

一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数，y为因变量。

幂函数中的指数可以是整数、分数或者实数，但当指数为0时，函数将变为常函数1。

不同指数的幂函数呈现出不同的特征。

1. 整数指数的幂函数：当指数为正整数a时，幂函数将呈现出不断增长的趋势。

例如，y = x^2表示抛物线，在x轴右侧永远为正，并且随着x的增大而增大。

而当指数为负整数时，幂函数将会变成反比例函数，即随着x的增大而减小。

2. 分数指数的幂函数：当指数为分数时，幂函数的图像将会出现不同的形状。

例如，y =x^(1/2)表示平方根函数，其图像为非负的抛物线，随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减缓。

类似地，指数为倒数、立方等分数时，幂函数的图像也会有所不同。

3. 实数指数的幂函数：当指数为实数时，幂函数的图像将更加多样化。

在指数为实数且底数为正数时，幂函数的图像将呈现出类似指数函数的特点，即随着x的增大而迅速增大或减小。

而当底数为负数时，幂函数则具有奇偶性的变化。

二、幂函数的应用幂函数在自然科学、经济学等领域中有着广泛的应用。

以下是其中几个重要的应用：1. 物理学中的功率函数：功率函数是幂函数的一种特殊情况，其中指数为常数。

在物理学中，功率函数常用于描述功率与时间、功率与速度等之间的关系。

2. 经济学中的收益函数：在经济学中，幂函数用来描述生产函数中的产出与投入之间的关系。

例如，某种产品的产量与投入的关系可以通过幂函数来表示，对经济决策有一定的指导意义。

3. 生物学中的生长模型：幂函数也被广泛用于描述生物体的生长模型。

例如，细菌的繁殖、植物的生长等都可以使用幂函数来描述，从而帮助我们更好地理解和研究生物的生长规律。

幂函数归纳总结

幂函数归纳总结幂函数是高中数学中常见的一种函数形式，其表达式为y = ax^n，其中a和n为常数，x为自变量。

幂函数在数学和实际应用中具有重要的作用，通过对幂函数进行归纳总结，可以更好地理解和应用幂函数。

1. 幂函数的定义和性质幂函数是由一个常数底数a的幂次方函数。

其中，底数a决定了幂函数的基本形态，幂指数n则决定了幂函数曲线的变化。

幂函数的性质包括：- 当a>0时，幂函数在整个定义域上单调递增或递减；- 当a<0时，幂函数在定义域上单调递增或递减，但在奇次幂的情况下函数的值为负；- 当n为偶数时，幂函数图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，幂函数图像关于原点对称。

2. 幂函数图像的特点幂函数的图像特点与其底数a和幂指数n密切相关。

下面分别对这两个因素进行总结：2.1 底数a的影响- 当|a|>1时，幂函数的图像趋向于无穷大。

当a>1时，幂函数为增长函数；当a<1时，幂函数为衰减函数。

- 当|a|<1时，幂函数的图像趋向于零。

当a>0时，幂函数为衰减函数；当a<0时，幂函数为增长函数。

2.2 幂指数n的影响- 当n>1时，幂函数的图像在零点的右侧逐渐上升或下降。

- 当n=1时，幂函数为一次函数。

- 当0<n<1时，幂函数在整个定义域上单调递减。

- 当n=0时，幂函数为常函数，图像为一条水平直线。

3. 幂函数的应用幂函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，在以下领域中尤为重要：3.1 物理学中的应用- 物体自由落体的运动规律中，与时间相关的位移和速度函数可以表示为幂函数的形式；- 电路中的电阻与电流关系、电压与电流关系等多与幂函数相关。

3.2 经济学中的应用- 许多经济学模型中，需求曲线、供给曲线等都可以用幂函数来描述；- 成本函数、收益函数等经济学指标常常涉及幂函数。

3.3 生物学中的应用- 生物种群的增长模型经常使用幂函数来描述；- 营养物质浓度、酶催化反应速率等生物过程也可以通过幂函数来表示。

幂函数

理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；
（3）log0.4 3 0.60.2 50.3 (4)0.70.6 0.60.7 1.40.2
例2： .证明幂函数f ( x) 例1
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
∴ m ＝2或 m ＝－1.
2 1．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点 2，， f(x) 则 2 ＝________.
2 2 解：设f ( x) x , 则由图象过点（2，），可得2 = , 2 2 1 1 1 即2 =2 2 , 所以 = ，即f ( x) x 2 2
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
1）
1.3
0.5
＜
1.5
0.5
5.1 ＜ 5.092 2）
3）
0.5
1 4
2
＞ 0.4
2 3
1 4
4）
0.7
＞
0.8
2 3
练习（5）比较下列各值的大小
(4) y x
1 2
(5) y x

幂函数的性质及其应用课件

幂函数性质
当自变量$x$的取值范围为全体实数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数被用于构建压缩算法，以实现数据的紧凑表示和存储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加密算法中，如RSA公钥密码体系，以提供安全的数据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可以用于实现图像的缩放、旋转和扭曲等变换。

高一数学《幂函数》PPT课件

函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且不等于1的常数，而幂函数的底数可以是任意实数。此外，指数函数的值域为正实数集，而幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线，而幂函数的图像是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变，指数相乘。公式： (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12； (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。公式： (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如，当a>0时，幂函数在定义域内单调递增；当a<0时，幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n（n为实数）
图像
02
一条直线（n=1时）或射线（n≠1时）
性质
03
当n>0时，函数在(0, +∞)上单调递增；当n<0时，函数在(0,

幂函数图像与性质

幂函数的周期性
幂函数性质：周期性是指函数在一定周期内重复
出现的性质。
幂函数周期：幂函数的周期与其指数有关，当指数为正整数时，幂函数具有周期
性。
周期计算：幂函数的周期可以通过将指数除以自变量来计算，得到的结果即为函
数的周期。
周期性特点：幂函数的周期性具有一些特点，例如当指数为偶数时，函数图像关于y轴对称；当指数为奇数时，函数图像关于原
感谢观看
汇报人：XX
左到右下降
幂函数应用：在数学、物理、工程等领域有
广泛应用
幂函数定义域和值域
值域：y>0
定义域：x属于R
定义：幂函数f(x)=x^a，其中a为实数
性质：幂函数图像在第一象限，随着a的增大，函数图
像从右上至左下逐渐上升
02
幂函数图像
幂函数图像特点
幂函数图像在第一象限内单调递增
幂函数图像在第二象限内单调递减
幂函数图像在y 轴两侧对称
幂函数图像在x 轴上无交点
幂函数图像与x轴关系
当a>0时，幂函数图像与x轴有交点
当a=0时，幂函数图像与x轴只有一个交点
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
当a<0时，幂函数图像与x轴无交点
幂函数图像与x轴交点的个数和位置与a的取值有关
幂函数图像与y轴关系
当x>0时，幂函数图像位于第一象限
04
幂函数的应用
幂函数在数学领域的应用
幂函数在微积分中的应用幂函数在求解方程中的应用幂函数在概率论中的应用幂函数在复数分析中的应用
幂函数在物理领域的应用
力学：描述物体的运动规律，如加速度与速度的关系。光学：解释光的干涉和衍射现象，如杨氏双缝干涉实验。电磁学：解释电磁波的传播规律，如无线电信号的传输。量子力学：描述微观粒子的运动状态，如波函数的形式。

幂函数的图像与性质

提高训练
例3.若m 4

1 2
3 2m , 则求 m的取值范围 .

1 2
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0,) 且在定义域上是减函数 , 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围 . 3 2

1 2
重点三、幂函数性质应用：
a<0
a=0
a>1
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
a=1
0<a<1
a=0
2.3 幂函数（2）（77-78页）
y x ( R)

例4 用不等号填空：
＞（1）5.1－2 ____ 5.9－2；＞ 1.73.5 ____ 1.73；（ 2）＞ 0。（3）若3a＞2a，则a ____ ＞（4）1.30.5 ____ 0.51.3；
0
1
＝1
0 1
(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性； (3) 当不能直接进行比较时，可数形结合找一个中间数, 比较大小.
m 2
从而有 f ( x) x +∞）内是减函数.
3
是幂函数，且在区间（0，
提高训练
已知函数 f ( x) m 3m 3x 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。
2 m2 2
解:因为f ( x) m 3m 3 x
2

m2 2
是幂函数

数学高中幂函数知识点总结

数学高中幂函数知识点总结一、幂函数的定义幂函数是形如y = ax^b (a ≠ 0)的函数，其中a、b为常数且b为实数。

当b为自然数时，叫做指数函数；当b为整数时，叫做整数幂函数。

二、幂函数的基本性质1、幂函数的定义域：要求x的b次幂在任何实数范围内都有定义，即x∈R。

2、幂函数的值域：当b为正数时，a为正值时，y的取值范围是(0,+∞)；当b为正数时，a为负值时，y的取值范围是(-∞,0)；当b为负数时，函数图象经过第二象限，y的取值范围是(0,+∞)，a的正负对y的取值范围没有影响。

3、幂函数的奇偶性：b为偶数时，函数图象关于y轴对称；b为奇数时，函数图象关于原点对称。

4、幂函数的单调性：在定义域内，当b>0时，a>0时y随x增大而增大；当b>0时，a<0时y随x增大而减小。

5、幂函数的图象：a) b>0时，a>1时的函数图象是上凸的抛物线，a<1时的函数图象是下凸的抛物线；b) b<0时，a>0时的函数图象是一条破折线；c) b=1时，函数图像是一条直线。

6、幂函数的增长性：a) 当a>1，b>0时，y随x增大而增大；b) 当0<a<1，b>0时，y随x增大而减小；c) 当a>0，b<0时，y随x增大而减小。

三、幂函数的运算性质1、乘法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的乘积是幂函数y=abx^(m+n)。

2、除法运算：幂函数y=ax^m和y=bx^n的商是幂函数y=(a/b)x^(m-n)。

(b≠0)3、幂函数的乘方：(ax^m)^n = a^nx^(m*n)。

四、幂函数的应用1、指数增长和指数衰减：指数增长是指幂函数的指数大于1且底数大于1时，函数值随自变量的增大而呈指数增长；指数衰减是指幂函数的指数大于1且底数小于1时，函数值随自变量的增大而呈指数衰减。

2、复利问题：利息的计算通过年限n^{'}m即可直接得到m*n倍经过以上的总结，我们对高中幂函数的相关知识有了更深入的了解。

幂函数的性质及应用

过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，上凸递增。
图象1.gsp
y x
当>1时，函数图像在第一象限内的规律如下过点（0，0）、（1，1）呈抛物线型，下凸递增。
图象2.gsp
y x
当<0时，函数图像在第一象限内的规律如下
过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。
图象3.gsp
• 变式练习．函数y＝（x2－2x）-1/2的定义域是 • 1 （） • A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）（2，＋∞） • C．（－∞，0）］［2，＋∞］ 2）
D．（0，
答案：B

2．函数y＝ (15＋2 x－x 2 ) 3 的定义域是（ A．5≥x≥－3 B．5＞x＞－3 C．x≥5或x≤－3 D．R
复习: 幂函数的概念
定义：函数y=xα（α是常数）叫做幂函数讨论幂函数的性质：幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）也不同。主要分α>0和α<0两大类情况去讨论它们的定义域、单调性、奇偶性。
y x
当0<<1时，函数图像在第一象限内的规律如下
a
2．对于幂函数y＝x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即a＜0，0＜a＜1 和a＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意a＝0， ±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即a＞0（≠1）时图象是抛物线型；a＜0时图象是双曲线型；a＞1时图象是竖直抛物线型；0＜ a＜1时图象是横卧抛物线型．
）
答案：A

幂的运算性质公式

幂的运算性质公式幂运算是数学中非常重要的运算之一、幂运算的性质和公式在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。

下面我们来详细介绍一些幂运算的性质和公式。

1.幂的定义和基本性质幂运算是指一个数的多次乘积。

设a和n是任意实数，a的n次幂（记作a^n）定义为a与自身连乘n次，即a^n=a×a×...×a（n个a相乘）。

其中a被称为底数，n被称为指数。

幂运算的基本性质有：-a^m×a^n=a^(m+n)（底数相同，指数相加）-(a^m)^n=a^(m×n)（只要指数是相乘关系，底数就可以连乘多次）-(a×b)^n=a^n×b^n（指数作用于括号里的每一项）-a^0=1（任何数的0次幂都等于1）-a^-n=1/a^n（负指数幂的倒数等于正指数幂）-(a/b)^n=a^n/b^n（任意数的商的n次幂等于分子的n次幂除以分母的n次幂）2. 乘方公式（Binomial Theorem）乘方公式是幂运算的常见公式之一、设a和b是任意实数，n是正整数，则有：(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b^1+...+C(n,k)×a^(n-k)×b^k+...+C(n,n)×a^0×b^n其中C(n,k)是组合数，表示从n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!×(n-k)!)该公式可以用于展开一个任意指数幂的多项式。

3.幂函数的性质幂函数是指以底数为变量的函数。

设f(x)=a^x，其中a是正实数，x 是自变量。

幂函数的性质有：-当0<a<1时，函数f(x)是递减的；-当a=1时，函数f(x)恒等于1；-当a>1时，函数f(x)是递增的；-在x=0处，函数f(x)的值为14.对数函数的性质对数函数是幂函数的逆运算。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。

从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。

在本文中，我们将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。

1. 幂函数的定义和表示方式幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。

一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

2. 幂函数的基本性质2.1 幂函数的奇偶性与增减性：当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。

当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂函数是减函数。

2.2 幂函数的单调性：当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递减的。

2.3 幂函数的相关性质：a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)，(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。

3. 幂函数图像和特征幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。

3.1 幂函数的渐近线：当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。

3.2 幂函数的特殊点：当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。

3.3 幂函数的拐点：当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。

4. 幂函数的应用幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：4.1 音乐和声音强度的计算：声音的强度与音源与听者距离的幂函数关系密切，通过对幂函数的建模和计算，可以获得声音强度的变化规律。

幂函数的性质与应用

幂函数的性质与应用幂函数是数学中常见的一类函数，具有许多特殊的性质和广泛的应用。

本文将探讨幂函数的性质及其在不同领域中的应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数可以表示为f(x)=ax^n的形式，其中a是常数，n是指数。

幂函数的性质如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数，当指数n为整数时，值域是正实数；若n是奇数，值域为全体实数；若n是偶数，值域为非负实数。

2. 对称性：幂函数具有关于y轴的对称性，即f(x)=f(-x)。

这是因为当指数n为偶数时，x的正负变化不会影响结果。

3. 增减性：幂函数增减性取决于指数n的奇偶性。

当n为奇数时，幂函数是单调递增或递减的；当n为偶数时，幂函数在正数区间单调递增，在负数区间单调递减。

4. 极限性质：幂函数的极限性质与指数n的正负有关。

当n>0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近正无穷；当n<0时，随着x趋近正无穷，幂函数趋近零。

二、幂函数在科学和实际应用中的应用幂函数在不同领域中具有广泛的应用，包括物理学、经济学、生物学等。

1. 物理学中的应用：幂函数在描述一些物理现象中经常被使用。

例如，牛顿第二定律F=ma中的力与加速度的关系可以用幂函数表示。

2. 经济学中的应用：幂函数在描述经济增长、收入分配等方面起着重要作用。

例如，GDP与时间的关系可以用幂函数来模拟。

3. 生物学中的应用：幂函数在描述生物体积、生物种群增长等方面被广泛应用。

例如，生物体积与体重的关系可以用幂函数来表示。

4. 数据拟合与回归分析：幂函数可以用来拟合一些非线性关系的数据，并进行回归分析。

通过幂函数可以更好地描述数据的变化趋势和关系。

5. 优化问题：幂函数在一些优化问题中也常被应用。

例如，求解最优投资组合问题时，可以利用幂函数对不同资产的风险和收益进行建模。

三、结论幂函数作为一类常见的函数，在数学中具有一些特殊的性质和广泛的应用。

通过了解幂函数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。

幂函数与指数函数的性质

描述电容随电压变化的公式：C=εrε0S/d，其中εr是相对介电常数，ε0是真空介电常数，S是电极面积，d是电极间距，该公式是幂函数形式。
风险评估：指数函数用于评估投资组合的风险
复利计算：指数函数用于计算投资收益的累积效应
资产评估：指数函数用于评估投资组合的价值
保险精算：指数函数用于计算保险费和赔偿金
03
04
幂函数的图像：在第一象限内，随着n的增大，图像越来越靠近y轴；随着^x (a > 0, a ≠ 1)
指数函数具有连续性、可导性和可积性等性质
当 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数
其中，a 是底数，x 是自变量，y 是因变量
函数图像：幂函数的图像在第一象限内单调递增，而指数函数的图像在第一象限内单调递减
导数：幂函数的导数可以表示为幂函数的形式，而指数函数的导数可以表示为指数函数的形式
幂函数在物理学中的应用，例如弹簧的振动和波动
指数函数在金融领域的应用，例如复利计算和股票价格预测
幂函数在生物学中的应用，例如人口增长模型和生物种群数量的预测
03
04
当a<0时，幂函数y=x^a不具有周期性。
指数函数的性质
定义域：全体实数
值域：正实数集
图像特征：在第一象限内单调递增，在第四象限内单调递减
与坐标轴的交点：当x=0时，y=1
当底数大于1时，指数函数在实数范围内是增函数
当底数在(0,1)之间时，指数函数在实数范围内是减函数
奇函数：当指数为奇数时，指数函数是奇函数
指数函数在计算机科学中的应用，例如加密算法和数据压缩技术
汇报人：XX
感谢您的观看
幂函数的性质