信号与系统课后答案(第二版)+曾禹村+第二章作业参考答案

则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 3 t+ c2e- t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-3c1e- 3 t-c2e- t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-3c1-c2) δ(t)+ (9c1e- 3 t+c2e-t)u(t) 将x(t)=δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得：
ˆ ˆ 可 得 h(0+ ) =1/ 4, h(t) = ce u(t) 1 −t ˆ 且 =1/ 4, ∴h(t) = e 8 u(t) c 4 3 ˆ dh(t) 1 3 −8t h(t) = = δ (t) − e u(t) dt 4 32
3
3 − t 8
E t E −t = ∫ δ (τ )dτ + e 8 u(t) 4 4 −∞ 0 E E −t E = u(t) + e 8 u(t) − u(t) 4 4 4 3 E −8t = e u(t) 4 i2 (t) = e`(t) ∗h(−1) (t) = h(−1) (t) ∗(δ (t) −δ (t −T)) = h(−1) (t) ∗δ (t) − h(−1) (t) ∗δ (t −T) = h(−1) (t) − h(−1) (t −T) E −t E − (t−T ) = e 8 u(t) − e 8 u(t −T) 4 4
3 3 3
E(t-τ)
h(τ) T>t>0
E(t-τ)
h(τ) t>T
0
t
τ
0 t-T
t
τ
2.22 某LTI系统的输入信号x(t)和气零状态响应yx(t)的波形如图P2.22所示。 (a)求该系统的冲激响应h(t),(b)用积分器，加法器和延时器(T=1s)构成该系统。 解: (a)
x(t) = δ (t) +δ (t −1) +δ (t − 2) t, 0 ≤ t <1 yx (t) = 1, 1< t ≤ 3 4 − t, 3 < t ≤ 4 x(t) ∗h(t) = yx (t) t, 0 ≤ t <1 h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = 1, 1< t ≤ 3 4 − t, 3 < t ≤ 4
解: (b) 特征方程为 λ2+6λ+8=0 得 λ1=-2， λ2=-4。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 2 t+ c2e-4t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-2c1e- 2 t-4c2e-4t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-2c1-4c2) δ(t)+ (4c1e- 2 t+8c2e-4t)u(t) 将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得： (c1+ c2)δ`(t)+ (4c1+2c2) δ(t)= δ`(t) c1+ c2=1 4c1+ 2c2= 0，得 c1=-1, c2=2， 所以 h(t)= (-e- 2 t+ 2e-4t)u(t) 解: (c) 特征方程为 λ2+4λ+3=0 得 λ1=-3， λ2=-1。
(d). (D2+4D+3)y(t)=x(t) (f). (D2+2D+2)y(t)=Dx(t)
则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 2 t+ c2e-t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-2c1e- 2 t-c2e-t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-2c1-c2) δ(t)+ (4c1e- 2 t+c2e-t)u(t) 将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得： c1+ c2=0 c1+ 2c2= 1，得 c1=-1, c2=1， 所以 h(t)= (-e- 2 t+ e-t)u(t)
c2δ`(t)+ (c1+2c2) δ(t)= δ`(t)+ ３δ(t) c1＝1， c2= １， 所以 h(t)= (t+1)e- 2 tu(t)
解: (f) 特征方程为 λ2+2λ+2=0 得 λ1=-1+j， λ2=-1-j。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- tcost+ c2e- tsint)u(t) 求出 h`(t), h``(t), 和x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得： c1=1 c1+ c2= 0，得 c1=1, c2=-1， 所以 h(t)= e- t(cost – sint )u(t)= 21/2e- tcos(t+π/4)u(t)
x(t)
1
2 t
yx(t)
1 2 3 4 t
0
1
0
Qh(0) = 0, t ≤ 0, 有 0 ≤ t <1 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) = t 时 1≤ t < 2时 h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) + h(t −1) =1 , h(t) =1− h(t −1) =1− (t −1) = 2 −t 2 ≤ t < 3 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) =1 时 h(t) =1− h(t −1) − h(t − 2) =1− (2 − (t −1)) − (t − 2) = 0 3 ≤ t < 4时 h(t) = 4 − t − h(t −1) − h(t − 2) =4 −t − 0 − (2 − (t − 2)) = 0 , t, 0 ≤ t < 1 ∴h(t) = 2 − t, 1 ≤ t ≤ 2 0, t < 0,2 < t
(c1+ c2)δ`(t)+ (c1+3c2) δ(t)= δ`(t)+ δ(t)
c1+ c2=1 c1+ 3c2= 1，得 c1=1, c2=0， 所以 h(t)= e- 3 tu(t)
解: (d) 特征方程为 λ2+4λ+3=0 得 λ1=-3， λ2=-1。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 3 t+ c2e- t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-3c1e- 3 t-c2e- t)u(t)
2.20 图P2.20（a)所示电路图的输入信号如图(b)所示的矩形脉冲，其输出为i2(t).(a) 求单位冲激响应h(t) (b)用卷积积分法求零状态响应i2(t). 解: (a) 由
KCL, KVL得
R1=1Ω,R2=3Ω L=2H i2 (t) e(t) ±
di3 (t) =0 dt
E
e(t)
解: (e) 特征方程为 λ2+4λ+4=0 得 λ1=-2， λ2=-2。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 3 t+ c2e-2 t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-3c1e- 3 t-2c2e- 2t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-3c1-2c2) δ(t)+ (9c1e- 3 t+4c2e- 2t)u(t) 将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得：
3 3 3
3
t
(b) 解一：
E, 0 < t < T e(t) = 0, 其他t = u(t) − u(t −T) e`(t) = δ (t) −δ (t −T)
解二：图解法
0, t < 0 3 3 E t t 3E − t E −8t 8 e dτ = e , 0 < t < T δ (τ )dτ − ∫ i2 (t) = 4 ∫0 0 32 4 3 3 3 − t t 3E − t E E − (t −T ) −∫ e 8 dτ = e 8 − e 8 , T < t t −T 32 4 4 = E −8t E − t E − (t −T ) e [u(t) −u(t −T)] +[ e 8 − e 8 ]u(t −T) 4 4 4 3 3 E −t E − (t −T ) = e 8 u(t) − e 8 u(t −T) 4 4
1
h(t)
0
1
2 t
(b)因
1
GT(t)
1
GT(t)
1
h(t)
所以
0 2 t 1
*
0 1
2 tБайду номын сангаас(b)
=
0
2 (b)
t
GT (t) ∗GT (t) = h(t) 又Q GT (t) = u(t) −u(t −1) ∴h(t) = [u(t) −u(t −1)]∗[u(t) −u(t −1)]
从而有
x(t)
i1(t) = i2 (t) + i3 (t) , i2 (t) R2 − L 有 8i2 `(t) + 3i2 (t) = 2e`(t) ˆ ˆ 由 h`(t) + 3h(t) = 2δ (t)
0
h
(−1) t 3
T
t
t 3E − τ E (t) = ∫ δ (τ )dτ − ∫ e 8 u(τ )dτ −∞ 4 −∞ 32
第二章作业参考答案: 第二章作业参考答案
P70.2.3已知系统的微分方程和初始状态如下，求其系统的全响应。 (a). (D2+5D+6)y(t)=u(t)，y(0)=0，y(1)(0)=1 (b). (D2+4D+3)y(t)=e-2tu(t)，y(0)=y(1)(0)=0 解: (a) 特征方程为 λ2+5λ+6=0 得 λ1=-2， λ2=-3。 则 yh(t)= c1e- λ1 t+ c2e-λ2t= c1e- 2 t+ c2e-3t 令 yp(t)= A,代入原方程，得A=1/6. 全响应为 y(t)=yh(t)+yp(t)= c1e- 2 t + c2e-3t +1/6, 应用初始条件y(0)=0，y(1)(0)=1，解得 c1=1/2，c2=-2/3， ∴ y(t)=（1/2)e- 2 t –(2/3)e-3t +1/6
∫ ∫ D
-1
y1(t)
∫ ∫ D
-1
y1(t)
解: (b) 特征方程为 λ2+4λ+3=0 得 λ1=-3， λ2=-1。 则 yh(t)= c1e- λ1 t+ c2e-λ2t= c1e- 3 t+ c2e-t 令 yp(t)= c3e- 2 t,代入原方程，得c3=-1. ∴ yp(t)=-e- 2 t, 全响应为 y(t)=yh(t)+yp(t)= c1e- 3 t + c2e-t - e- 2 t, 应用初始条件y(0)=0，y(1)(0)=0，解得 c1=c2=1/2， ∴ y(t)=（1/2)e- 3t +(1/2)e-3t - e- 2 t.
2.7已知描述系统的微分方程如下求其系统的单位冲击响应h(t).
(a). (D2+3D+2)y(t)=x(t)
(b). (D2+6D+8)y(t)=Dx(t)
(c). (D2+4D+3)y(t)=(D+1)x(t) (e). (D2+4D+4)y(t)=(D+3)x(t) 解: (a) 特征方程为 λ2+3λ+2=0 得 λ1=-2， λ2=-1。
h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-3c1-c2) δ(t)+ (9c1e- 3 t+c2e- t)u(t)
将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得： c1+ c2=0 c1+ 3c2= 1，得 c1=-1/2, c2=1/2， 所以 h(t)= (-e- 3 t+ 2e- t)u(t)