高考数学平行垂直关系的证明

平行垂直关系的证明

1．平行关系的证明

例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．

求证：

（1）EG ∥平面11BB D D ；

（2）平面BDF ∥平面11B D H ．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，

因为1112

OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．

（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥

，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．

2．垂直关系的证明

例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，

=2AC ，1AA ．

（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；

（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；

（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12

． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．

在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，

又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．

（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．

∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥ ∵=2AC ，∴=1AM

．又∵1AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △

中，

11tan tan AC C A MA ∠==

∴11AC C A MA ∠∠＝，

即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥

∵1BM A M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．

（3）解：当点N 为1BB 的中点，即

112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C

证明如下：

设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，

且11

2DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =，

∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，

∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ， ∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．