正切函数知识点与习题附答案
巩固练习_正切函数的性质和图象_基础
【巩固练习】1．函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3．tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数4．当22x ππ-<<时，函数y=tan |x|的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形5．下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定6．函数1tan y x =（44x ππ-≤≤且x ≠0）的值域是（ ）A ．[―1，1]B ．（―∞，－1]∪[1，+∞）C ．（－∞，1]D ．[－1，+∞）7．（2017 广东惠州月考）直线y ＝a （a 为常数）与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是() A ．2πB ．2πC ．πD ．与a 值有关8．（2015秋 重庆期中）对于函数f (x )=tan 2x ，下列选项中正确的是（ ）A ．f （x ）在(,)24ππ-上是递增的B ．f （x ）在定义域上单调递增C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）的所有对称中心为(,0)4k π9．函数5tan 3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是________。
人教A版数学必修4 正切函数的图象与性质 含解析
必修四 正切函数的图象与性质课时目标1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题．2识记强化 1．ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.2．正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，值域为R .3．正切函数y ＝tan x 在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内均为增函数．4．正切函数y ＝tan x 为奇函数．5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．正切函数无对称轴．课时作业一、选择题1．函数y ＝5tan(2x ＋1)的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 答案：B2．函数f (x )＝tan x1＋cos x的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A解析：要使函数f (x )＝tan x1＋cos x有意义，必须使⎩⎨⎧x ≠k π＋π2(k ∈Z )1＋cos x ≠0，即x ≠k π＋π2且x ≠(2k ＋1)π，k ∈Z .所以函数f (x )＝tan x1＋cos x 的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x1＋cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝tan x1＋cos x为奇函数．故选A.3．下列函数中，周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝sin|x |D ．y ＝|cos x | 答案：B解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．4．函数y ＝tan(x 2＋π3)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π6，2k π＋π6，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π3，k π＋π3，k ∈Z 答案：C解析：由y ＝tan x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，∴k π－π2＜x 2＋π3＜k π＋π2，k ∈Z⇒2k π－5π3＜x ＜2k π＋π3，k ∈Z .故选C.5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5，0 D ．(π，0) 答案：C解析：令x ＋π5＝k π2，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π5，0.令k ＝2，可得函数的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5，0.6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 答案：B解析：∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π，∴－1≤ω<0.二、填空题7．函数y ＝11＋tan x的定义域是________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z 解析：要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎨⎧1＋tan x ≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .∴函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .8．方程x －tan x ＝0的实根有________个． 答案：无数 解析：方程x －tan x ＝0的实根个数就是直线y ＝x 与y ＝tan x 的图象的交点的个数，由于y ＝tan x 的值域为R ，所以直线y ＝x 与函数y ＝tan x 图象的交点有无数个．9．直线y ＝a (a 为常数)与曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．答案：πω解析：∵ω>0，∴函数y ＝tan ωx 的周期为πω，∴两交点间的距离为πω.三、解答题10．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．解：①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z . 11．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解：由题意，得⎩⎨⎧tan x ＋1≥01－tan x >0x ≠k π＋π2，k ∈Z，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．能力提升12．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.答案： 3解析：由图像知T 2＝38π－π8＝π4，T ＝π2，ω＝2， 2×π8＋φ＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝π4.∵函数f (x )的图像过点(0,1)，∴f (0)＝A tan π4＝A ＝1.∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 13．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43.∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值233.(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
6.2 正切函数的图像与性质(含答案)
【课堂例题】根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，结合正切线和诱导公式，依次写出正切函数的定义域、周期、奇偶性、单调区间和值域; 并利用正切线画出正切函数的大致图像：例1.求函数tan(2)4y x π=-的定义域.例2.求函数tan(2)3y x π=+的周期和单调区间.课堂练习1.观察正切曲线，写出满足tan 0x >的x 的取值范围.2.求函数()tan()23f x x ππ=+的定义域、周期和单调区间.【知识再现】1.正切函数y = ，是一个以 为定义域， 为最小正周期，在每一个 内单调 且值域为 的 函数.2.正切曲线的大致如图所示：(画三个周期)【基础训练】1.写出下列函数的周期： (1)tan2xy =, ；(2)tan y x π=, ； (3)tan(2)4y x π=-, .2.观察正切曲线，写出满足tan 0≤的x 值的范围 .3.不求值，根据正切函数的单调性比大小：2tan()3π 3tan()4π;tan()3k ππ- tan()3k ππ+. 4.已知[0,2]x π∈，求适合下列条件的角x 的区间：(1)角x 的正弦函数、正切函数都是增函数 ;(2)角x 的余弦函数是减函数，正切函数是增函数, .注：多个单调区间之间请勿用“ ”符号联结.5.判断下列函数的奇偶性，并说明理由.(1)()2tan3f x x =-; (2)()tan f x x x =.6.求函数()4tan()25x g x π=-的定义域和单调区间.O xy7.已知tan |tan |(),,22x x f x x k k Z ππ+=≠+∈，(1)画出该函数的大致图像；(2)指出它的周期，单调区间和值域.【巩固提高】8.求函数22tan2()1tan 2xf x =-的最小正周期.提示：注意定义域9.在一幢高29米的大楼AC 顶端，树立着一块高7米的广告牌， 求在距离楼水平距离多少远处观看广告牌的视角((精确到0.01)提示：参考上教版教材高一第二学期P94/例2.(选做)10.以下3题任选1题回答：(1)利用正切值与余切值的关系，或者利用余切线，完成下列问题： 正余函数cot y x =是一个以 为定义域， 为最小正周期， 在每一个 内单调递 ，且值域为 的 函数. 利用cot tan()2x x π=-+，可知余切函数的图像可以经过正切函数的图像得到，具体方法是把正切曲线 ，画出余切函数在三个周期内的图像.(2)在同一个坐标系中画出tan ,,sin y x y x y x ===这三个函数在区间(0,)2π上的图像，并分析图像的位置关系及公共点的坐标. (3)证明：正切函数tan y x =在区间(0,)2π上的图像是“下凸”的，即对于任意1212,(0,),2x x x x π∈≠，都有1212tan tan tan()22x x x x++>【温故知新】 11.求证：1cos 4cos 2tan sin 41cos 2ααααα-⋅=+O x y【课堂例题答案】 探究：正切函数tan ,,2y x x k k Z ππ=≠+∈ 定义域是{|,,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈，周期为π，奇函数， 在每一个区间(,),22k k k Z ππππ-+∈上 为增函数，值域为R . 例1.3{|,,}28k x x R x k Z ππ∈≠+∈ 例2.2T π=，单增区间为5(,),212212k k kππππ-+【课堂练习答案】 1.(,),2x k k k Z πππ∈+∈2.定义域为1{|,2,}3x x R x k k Z ∈≠+∈，周期2T =， 单调增区间为51(2,2),33k k k Z -+∈ 【知识再现答案】 1.tan ,{|,,},2x x x R x k k Z πππ∈≠+∈，(,),22k k k Z ππππ-+∈，递增，R ，奇.【习题答案】 1.(1)2π;(2)1;(3)2π 2.(,],2k k k Z πππ-∈3.,<<4.(1)3[0,),(,2]22πππ;(2)[0,),(,]22πππ5.(1)奇函数，()2tan[3()]2tan3()f x x x f x -=--==-；ππππ5π(2)偶函数，()()tan()tan ()f x x x x x f x -=--== 6.定义域7{|,2,}5x x R x k k Z ππ∈≠+∈，单增区间为每一个37(2,2),55k k k Z ππππ-+∈ 7.(1)如图：提示：tan ,tan 0()0,tan 0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(2)T π=,单增区间[,),2k k kπππ+∈值域为[0,)+∞.8.2T π=提示：()tan f x x =，因为tan ,tan2xx 都要有意义， 因此定义域为{|,,2,}2D x x R x k x k k Z ππππ=∈≠+≠+∈，此定义域下0,D D π∈∉所以最小正周期为2π. 9.max () 6.18AMB ∠≈提示：设,,AMC BMC MC x αβ∠=∠==7tan tan()1044AMB x xβα∠=-=≤+， 当且仅当x =max (tan )AMB ∠=max () 6.18AMB ∠≈ .10.(1){|,,},x x R x k k Z ππ∈≠∈，(,k k Z π，减，R ，奇.向左平移2π个单位，再关于x 轴对称.xyO 11-2ππ32ππ-2π-2π12(,0)(0,)22x x -∈-，因此121cos()0x x -->，故①0> 即1212tan tan tan()22x x x x++> 证毕 11.证：左边=cos 2sin 2tan 2tan 1cos 21cos 2αααααα⋅==++=右边 证毕。
(3.21)正切函数练习题
1.函数y ＝tan的定义域为( ) A ．B ．C ．D ． 2.函数f (x )＝tan的单调递增区间为( ) A ．，k ∈Z B ． (k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C ．，k ∈Z D ．，k ∈Z 3.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝|sin x |4.函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是( )A ．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z )B ．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k ∈Z ) D ．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k ∈Z ) 5.y ＝tan(2x ＋π3)(x ∈R )的最小正周期为( )A ．π2B ． πC ． 2πD ． 4π6.函数y ＝tan (12x −π3)在一个周期内的图象是( )7.函数f (x )＝tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f ＝________. 8.函数y ＝3tan 的定义域为________．9.函数y ＝tan (2x +π4)的单调递增区间是________. 三、解答题(共1小题,每小题12.0分,共12分) 10.设函数f (x )＝tan(2x －π3).(1)求f (x )的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式－1≤f (x )≤√3的解集；(3)求f (x )，x ∈[0，π]的值域.答案解析1.【答案】C【解析】∵x －≠k π＋，k ∈Z ，∴x ≠k π＋，k ∈Z .2.【答案】C【解析】3.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 4.【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z )，令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10，∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k ∈Z ).5.【答案】A【解析】函数y ＝tan(2x ＋π3)(x ∈R )的最小正周期T ＝πω＝π2.6.【答案】A【解析】令y ＝tan (12x −π3)＝0，则有12，k ∈Z ，x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z ，再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3，故可排除C 、D ，令１２x －π３＝－π2，得x ＝－π３；令１２x －π３＝π2，得x ＝５π2，故排除B ，选A. 7.【答案】1【解析】由已知＝2π，所以ω＝，所以f (x )＝tan， 所以f ＝tan＝tan ＝1. 8.【答案】【解析】由－≠＋k π，k ∈Z ，得x ≠－－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为. 9.【答案】(−3π8π+kπ2,π8+kπ2)(k ∈Z )【解析】根据题意，得－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π，k ∈Z .解得－38π＋kπ2＜x ＜π8＋kπ2，k ∈Z . 10.【答案】(1)∵函数f (x )＝tan(2x －π3)，∴2x －π3≠k π＋π2，k ∈Z . 求得x ≠kπ2＋5π12，故函数的定义域为{x |x ≠kπ2＋5π12，k ∈Z }. 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，求得kπ2－π12＜x ＜kπ2＋5π12，k ∈Z 故函数的增区间为(kπ2－π12，kπ2＋5π12)，k ∈Z .(2)由不等式－1≤f (x )≤√3，可得k π－π4≤2x －π3≤k π＋π3， 求得kπ2＋π24≤x ≤kπ2＋π3，故不等式的解集为[kπ2＋π24，kπ2＋π3]，k ∈Z .(3)∵x ∈[0，π]，∴2x －π3∈[－π3，5π3]，故tan(2x －π3)∈R . 【解析】。
7.3.4正切函数的性质与图像课后练习题及参考答案
7.3.4正切函数的性质与图像课后练习题及参考答案7.3.4《正切函数的性质与图像》课后练习题1.下列说法正确的是( ) A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第⼀象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间? ????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某⼀区间上是减函数 2.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( ) A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z} C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z} D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z}3.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2 B.2π C.π D.与a 值有关 4.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7 B.tan ? ????－13π4＜tan ? ??－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665° 5.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.? ?k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.? ?k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) C.? ????k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) D.? ??k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 6.函数y ＝tan ? ??12x －π3在⼀个周期内的图象是 ( )7.函数y ＝2tan(3x ＋φ)? ??－π2＜φ＜π2的图象的⼀个对称中⼼为? ??π4，0，则φ＝________. 8.若tan ? ?2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.9.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为________.10.已知函数f (x )＝3tan ? ????12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.参考答案1. C【解析】由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确.⼜y ＝tan x在? ?k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，没有减区间，∴C 正确，D 错误. 2. C【解析】由y ＝tan x 的定义域可知242πππ+≠+k x ，所以定义域为{x |x ≠k2π＋π8，k ∈Z}3. C【解析】直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交，知相邻两点间的距离就是此正切曲线的最⼩正周期，因此可得相交的相邻两点间的距离是π.4. C【解析】对于A ，tan 4π7＜0，tan 3π7＞0.对于B ，tan ? ????－13π4＝tan ? ????－π4＝－tan π4＝－1，tan ? ????－17π5＝tan ? ????－2π5＝－tan 2π5＜－tan π4. ∴tan ?－13π4＞tan ? ????－17π5. 对于D ，tan 281°＝tan 101°＜tan 665°＝tan 125°.故选C.5. C【解析】由题意得1＋tan x ＞0，即tan x ＞－1，由正切函数的图象得k π－π4＜x ＜k π＋π2(k ∈Z ).6.A【解析】由题意可知函数的周期为ππ221=，故答案选A7. ±π4【解析】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中⼼为? ??k π2，0，k ∈Z ，令3x ＋φ＝k π2，k ∈Z .由题意知：3×π4＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2－3×π4＝k π2－3π4，k ∈Z .因为－π2＜φ＜π2，所以当k ＝1时，φ＝－π4；当k ＝2时，φ＝π4.即φ＝π4或－π4. 8. ? ????－π6＋12k π，5π24＋12k π，k ∈Z 【解析】令z ＝2x －π6，在? ??－π2，π2上满⾜tan z ≤1的z 的值是－π2＜z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π＜z ≤π4＋k π，k ∈Z ，解不等式－π2＋k π＜2x －π6≤π4＋k π，k ∈Z ，得－π6＋12k π＜x ≤5π24＋12k π，k ∈Z .9. 【解析】在同⼀坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sinx 的图象，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)，故三个交点.10.【解析】 (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ，所以定义域为x ?x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为⾮奇⾮偶函数.由－π2＋k π＜12x －π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π＜x ＜5π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的单调增区间为?－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )，不存在单调减区间.。
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
高一数学(必修一)《第五章 正切函数的性质与图象》练习题含答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 正切函数的性质与图象》练习题含答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中错误的是（ ） A ．奇函数的图像关于坐标原点对称 B ．图像关于y 轴对称的函数是偶函数 C ．奇函数一定满足()00f =D ．偶函数的图像不一定与y 轴相交2．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π3．函数yA ．(,],4k k k Z πππ+∈B ．(,],2k k k Z πππ+∈C ．(-,],42k k k Z ππππ+∈ D ．(-,],4k k k Z πππ∈4．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()tan f x x x =+，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．,⎛-∞ ⎝⎦B ．,⎛-∞ ⎝⎭C ．,⎛-∞ ⎝⎦D ．,⎛-∞ ⎝⎭6．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈若1sin 1cos 1sin 1cos αβαβ+-=-+，则（ ） A ．2παβ+=B ．αβπ+=C ．2παβ-=D ．2πβα-=7．函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈8．已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．516C ．6D ．1729．直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，若函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题10．函数y ＝4tan 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________．11．已知函数1()tan tan f x x x=+，若()5f α=，则()f α-=__________． 12．若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．13．－65tan π与13tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小关系是______________．14．已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．三、解答题 15．已知()2(R)31x f x a a =-∈+ (1)证明()f x 是R 上的增函数；(2)是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，请求出a 的值，若不存在，说明理由． 16．分别写出满足下列条件的x 值的范围. （1）1tan 0x +≥；（2）cos 0x <. 17．已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2tan 2tan 2f x x x =++求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 值．18．定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 19．求下列函数的值域： （1）1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π；（2）2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ．参考答案与解析1．C【分析】由奇偶函数的性质知A ，B 正确；对于C 可举反例说明C 错误；对于D ，亦可举例说明偶函数的图像不一定与y 轴相交，得到D 正确. 【详解】根据奇偶函数的性质知A ，B 正确； 对于C ，如()1f x x=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞易得函数()f x 是奇函数，但它的图像不过原点，故C 错误； 对于D ，如()21g x x =，()(),00,x ∈-∞⋃+∞易得函数()g x 是偶函数，但它的图像不与y 轴相交，故D 正确． 故选：C ． 2．B【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项.【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B.【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 3．C【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围．【详解】由题可知，104 42tan x x k k Z ππππ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≠+∈⎪⎩1tan 04x π⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭ tan 14x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭244k x k πππππ-+<-≤+ k Z ∈ x ,42k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦．【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 4．A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解． 【详解】由ln ln a b >，得0a b >>． 由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-． 记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥ 所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->- 则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件． 故选：A ． 5．A【分析】由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，根据函数的单调性求出函数()tan f x x x =的最小值即可得出答案.【详解】解：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可因为函数tan y x =和y x =在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数所以函数()tan f x x x =，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数所以()tan 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以a ≤故选：A. 6．D【解析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式化简，再根据正切函数单调性确定结果.【详解】2222sin 1cos 2tan 1cos 22cos 2βββββ-==+ 2221cos()2cos ()1sin 12421sin 1cos()2sin ()tan ()24242ππαααππαπααα+--+===----- 22tan [()]tan ()24242ππαπα=--=+因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(0,)βπ∈所以0,0,24424αππαπ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(0,)22βπ∈ 因此由1sin 1cos 1sin 1cos αβαβ+-=-+得22tan tan ()tan tan()242242βπαβπα=+∴=+ 2422βπαπβα∴=+∴-=故选：D【点睛】本题考查诱导公式、二倍角余弦公式、正切函数性质，考查综合分析化简能力，属中档题. 7．C【分析】利用正切函数的性质求解. 【详解】解：令,2242k x k k Zππππππ-+<+<+∈解得3122,22k x k k Z-+<<+∈所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ k Z ∈8．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥ 由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+， 当02a <<时，则()2228a a a +=-++，即2340a a +-=解得4a =-或1a = 当2a ≥时，则()28228a a -+=-++，无解综上：1a =所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】由条件可得2T ππω==，即12ω=，然后求出()f x 的单调递增区间可得答案.【详解】因为直线y a =与函数()()tan 04f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π所以2T ππω==，所以12ω=，即()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由12242k x k πππππ-<+<+可得322,22k x k k Z ππππ-<<+∈当0k =时可得()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增因为函数()f x 在区间()(),0m m m ->上是增函数，所以实数m 的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故选：B 10．3π 【分析】根据T πω=，直接计算可得结果.【详解】由题可知：T ＝3π. 故答案为：3π 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期，识记公式，属基础题.【详解】因为1()tan tan f x x x=+()()0()() 5.f f f f αααα∴+-=⇒-=-=-故答案为-5. 12．(]0,1【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：因为ππ23a a >-，所以0a > 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈． 故答案为：(]0,1 13．－613tan 55tanππ⎛⎫<- ⎪⎝⎭【详解】613133tan tan ,tan()tan tan 55555πππππ-=--=-=-． ∵30525ππππ<<<< ∴3tan0,tan055ππ>< ∴3tantan55ππ-<-，即613tantan()55ππ-<-． 答案：613tan tan()55ππ-<- 点睛：比较三角函数值大小的方法（1）如果函数值的大小能够求出，则可根据函数值的大小进行判断；（2）如函数值无法求出，则可通过诱导公式等把角转化到同一单调区间内，根据函数的单调性比较大小． （3）若以上方法无法使用，则可选择中间量进行比较． 14．3【分析】函数()ln(1)y f x x =--的零点个数等价于函数函数()f x 与()ln 1y x =-的交点个数 作出函数()f x 与()ln 1y x =-的图象，结合图象即可求出结果.【详解】函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数等价于函数函数()f x 与()ln 1y x =-的交点个数 作出函数()f x 与()ln 1y x =-的图象，如图：由图可知，函数()f x 与()ln 1y x =-有3个交点，故函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数为3故答案为：3.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 15．(1)证明见解析(2)存在实数1a =，理由见解析【分析】（1）根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明；（2）根据()00=f 可求得a 的值，进而根据奇函数的定义证明即可. (1)对任意R x ∈都有()310,xf x +≠∴的定义域是R设1x ，2R x ∈且12x x <，则()()()()()122112122332231313131x x x x x x f x f x --=-=++++ 3x y =在R 上是增函数，且12x x <1233x x ∴<且()()()()()()211212313100xx f x f x f x f x ++>⇒<⇒<－f x 是R 上的增函数． (2)若存在实数a 使函数()f x 为R 上的奇函数，则()001f a =⇒= 下面证明1a =时()2131x f x =-+是奇函数 ()()()23122232111131131313x x x x x xf x f x -+-⋅-=-=-=-=-+=-++++ f x 为R 上的奇函数∴存在实数1a =，使函数()f x 为R 上的奇函数．16．（1）(),42k k k ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭Z ；（2）()112,266k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】（1）先求出当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则满足1tan 0x +≥的解集，再根据正切函数的周期性，得到答案；（2）先求出当(),x ππ∈-时，则满足cos 0x <的解集，再根据余弦函数的周期性，得到答案 【详解】解：（1）由1tan 0x +≥，得tan 1x ≥-. 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由tan 1x ≥-，解得解集为,42ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭又因tan y x =的最小正周期为π所以x 的取值范围是(),42k k k ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭Z .（2）由cos 0x ，得cos x <当(),x ππ∈-时，则由cos x <11,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭又因cos y x =的最小正周期为2π所以x 的取值范围是()112,266k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z . 【点睛】本题考查解三角函数不等式，属于简单题. 17．当4x π=-时，则()f x 有最小值1；当4x π=时，则()f x 有最大值5.【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()()2tan 11f x x =++，由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算得出tan 1x ≤≤，利用二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的最大值和最小值及其对应的x 的值.【详解】()()22tan 2tan 2tan 11f x x x x =++=++，且,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦tan 1x ≤.当tan 1x =-时，则即当4x π=-时，则函数()y f x =取最小值1；当tan 1x =时，则即当4x π=时，则函数()y f x =取最大值5.【点睛】本题考查正切型二次函数最值的求解，考查二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．(1)R(2)偶函数，理由见解析(3)()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域. （1）()()sin cos f x x =的定义域为R .（2）对于函数()()sin cos f x x =()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.（3）()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减. cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.第 11 页 共 11 页 19．（1）(1,1)-；（2）13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由定义域可得()tan ,0x ∈-∞，令tan t x =则(),0t ∈-∞，所以1211t 1t y t +-==-+--，再根据幂函数的性质计算可得；（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为1tan ,,01tan 2+⎛⎫=∈- ⎪-⎝⎭x y x x π，所以()tan ,0x ∈-∞ 令tan t x =则(),0t ∈-∞ 所以1211t 1t y t +-==-+-- 因为(),0t ∈-∞，所以()1,1t -∈-∞-，()11,01t ∈--和()2210,t -∈- ()211,11t --+∈--，即()1,1y ∈- （2）因为2tan 3tan 1,,34⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ所以tan x ⎡⎤∈⎣⎦令tan m x =m ⎡⎤∈⎣⎦所以()223133124y f m m m m ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭ 所以()f m 在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减 31324f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()13f =和(2f =-所以()13,34f m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 即函数的值域为13,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.。
【精品】高中数学 必修4_余弦函数与正切函数的图象和性质_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
余弦函数与正切函数的图象和性质【学习目标】1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.借助图象理解余弦函数的性质.3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质. 【要点梳理】要点一：余弦函数图象的画法 1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法． 2．几何法利用三角函数线作出余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到cos y x =的图象． 3．五点法先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象．在确定余弦函数cos y x =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22ππππ-要点诠释：（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点．（2）若x R ∈，可先作出余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到cos y x =的图象．（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到．要点二：余弦曲线（1）定义：余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做余弦曲线． （2）图象要点诠释：（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题． 要点三：余弦函数的性质函数 余弦函数y=cosx定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 偶函数 周期性最小正周期2π 单调区间（k ∈Z ）增区间[]22k k πππ-，减区间[]22k k πππ+， 最值点（k ∈Z ）最大值点()21k π，最小值点()2,1k ππ+-对称中心（k ∈Z ） (,0)2k ππ+对称轴（k ∈Z ） x k π=要点诠释：（1）余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。
学案5：7.3.4 正切函数的图像与性质
7.3.4 正切函数的性质与图像教学目标1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题． 教学知识梳理 知识点一 正切函数对于任意一个角x ，只要x ≠π2＋k π，k ∈Z .就有 确定的正切值tan x 与之对应，因此y ＝tan x是一个函数，称为正切函数． 知识点二 正切函数的图像与性质解析式y ＝tan x图像定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性单调性在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的对称性 对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )零点k π，k ∈Z探究一 正切函数的定义域、值域问题例1.求函数y =2tan （2x －π4）的定义域．反思感悟 求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”，令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .跟踪训练1.求函数y =x tan +lg （1－tan x ）的定义域．探究二 正切函数的单调性及其应用例2.(1)函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域是__________． (2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4__________tan ⎝⎛⎭⎫－95π． 反思感悟 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练2.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间．探究三 正切函数图像与性质的综合应用 例3.设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3， (1)求函数f (x )的周期，对称中心． (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图像的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是单调递增的，但不能说其在定义域上是递增的．跟踪训练3.画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 课堂小结 1．知识清单：(1)正切函数图像的画法． (2)正切函数的性质．2．方法归纳：三点两线法，整体代换法，换元法．3．常见误区：最小正周期T ＝π|ω|，在定义域内不单调，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )． 课后作业1．观察正切函数的图象，满足|tan x |≤1的x 取值范围是（ ） A ．[2k π－π4，2k π+π4]，k ∈Z B ．[k π，k π+π4]，k ∈Z C ．[k π－π4，k π+π4]，k ∈Z D ．[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z 2．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间（π2，3π2）内的取值范围是（ ）A ．（－∞，0]B ．[0，＋∞）C ．[－2，0]D ．[0，2] 3．已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，则它的最小值为________． 4．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0； 其中正确命题的序号是____________． 5．若x ∈[－π3，π4]，求函数y =tan 2x +2tan x +3的值域．6．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间［－π，π］内的图象．参考答案教学知识梳理 知识点一 正切函数 唯一知识点二 正切函数的图像与性质探究一 正切函数的定义域、值域问题例1.解：要使函数y =2tan （2x －π4）有意义，则有2x －π4≠k π+π2，k ∈Z ， 即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，所以函数y =2tan （2x －π4）的定义域为{x |x ≠21k π+3π8，k ∈Z }． 跟踪训练1.解：函数y =x tan +lg （1－tan x ）有意义，则⎩⎨⎧>-≥0tan 10tan x x ，解得0≤tan x <1，结合正切函数的图象可得k π≤x <k π+π4，k ∈Z ， 所以原函数的定义域为{x |k π≤x <k π+π4，k ∈Z }． 探究二 正切函数的单调性及其应用 例2.【答案】(1)⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1 (2)＞【解析】(1)函数y ＝sin x ，y ＝tan x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4内均是单调递增函数，∴y ＝sin x ＋tan x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调递增函数，∴函数y ＝sin x ＋tan x 的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1．(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增，∴tan π5＜tan π4， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π＞tan ⎝⎛⎭⎫－95π． 跟踪训练2.解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6． 由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z )．∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内递增， ∴y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内递减，此即为原函数的单调递减区间． 探究三 正切函数图像与性质的综合应用 例3.解：(1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π．令x 2－π3＝k π2(k ∈Z)得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3．令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3．令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．跟踪训练3.解：由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π． 课后作业 1.【答案】C【解析】结合正切函数的图象可以判断出来. 2.【答案】A【解析】由于y ＝⎩⎨⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <3π2，当π2<x ≤π时，y ≤0；当π<x <3π2时，－2<y <0；综上，y ≤0. 3.【答案】2【解析】由于y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝（tan x －1）2＋2，当tan x =1时，函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的最小值为2. 4.【答案】④【解析】结合正切函数的图象与性质知①是错误的，同时y =|tan x |的周期为π，即②也是错误的；结合正弦函数的图象与性质知是③错误的；由于f （x ）是R 上的奇函数，则有f （0）=0，且有f （－2T ）=－f （2T ），而由其最小正周期为T 知f （－2T ）= f （2T ），则有f （－2T）=0.5.解：函数y =tan x 在（－π2，π2）这个周期内是单调递增的， 因而当x ∈[－π3，π4]时，y =tan x 的最小值在x =－π3取到，且最小值为tan （－π3）=－3， y =tan x 的最大值在x =π4取到，且最大值为tan π4=1， 又y =tan 2x +2tan x +3=（tan x +1）2+2，当tan x =－1时，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最小值2；当tan x=1，函数y=tan2x+2tan x+3取到最大值6；故函数y=tan2x+2tan x+3的值域为[2，6]．6.解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋π2k，k∈Z，∴函数y＝tan2x的定义域为{x∈R｜x≠ππ42k+，k∈Z}；（2）设t＝2x，由x≠ππ42k+，k∈Z知t≠π2＋kπ，k∈Z，∴y＝tan t的值域为（－∞，＋∞），即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）；（3）由tan2（x＋π2）＝tan（2x＋π）＝tan2x，∴y＝tan2x的周期为π2；（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图：。
高中数学必修4(北师版)第一章1.7 正切函数(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
正切函数的图象 用单位圆上的正切线可作正切函数 y = tan x 在开区间 (−
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被
T
2π
π
单调性：正切函数在每一个开区间 (−
π π + kπ, + kπ) , k ∈ Z 内都是增函数． 2 2
例题： 求使下列函数取得最大值和最小值的 x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：（1）
π )(0 ≤ x ≤ π)；（3）y = 2 cos2 x + 5 sin x − 4 ． 4 解：（1）当 x = kπ(k ∈ Z) 时，函数 y = | sin x| 取得最小值 0 ； π 当 x= + kπ(k ∈ Z) 时，函数 y = | sin x| 取得最大值 1 ． 2 π π 3π π √2 （2）因为 0 ≤ x ≤ π ，所以 − ≤ x − ，− ≤ ≤ sin(x − ) ≤ 1 ，所以 4 4 4 2 4 π π π π √2 √2 ．所以当 x − ；当 x − 1 ≤y ≤2+ = − ，即 x = 0 时，y max = 2 + = ，即 2 4 4 2 4 2 3π 时，y min = 1 ． x= 4 5 9 （2）y = 2 cos2 x + 5 sin x − 4 = −2 sin 2 x + 5 sin x − 2 = −2(sin x − )2 + ，因为 4 8 π sin x ∈ [−1, 1] ，所以，当 sin x = −1，即 x = − + 2kπ(k ∈ Z)时，y 有最小值 −9；当 2 π sin x = 1 ，即 x = + 2kπ(k ∈ Z) 时，y 有最大值 1 ． 2 y = | sin x|；（2）y = 2 − sin(x − π π 4π 19π 与 sin ；（2）cos 与 cos ． 4 8 7 7 π π π π π π 解：（1）因为 0 < < < ，且 y = sin x 在 [0, ] 上单调递增，所以 sin > sin ； 8 4 2 2 4 8 19π 5π 5π （2）cos ． = cos(2π + ) = cos 7 7 7 4π 5π 4π 5π 因为 0 < ． < < π，且 y = cos x 在 [0, π] 上单调递减，所以cos > cos 7 7 7 7
专题38 正切函数的图像和性质(解析版)
专题38 正切函数的图像和性质考点1 正切函数的图像1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是()A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f(x)＝tan x＋1tanx ，x∈{x|−π2<x<0或0＜x＜π2}的图象为()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为y＝tan x是奇函数，所以f(x)＝tan x＋1tanx ，x∈{x|−π2<x<0或0＜x＜π2}是奇函数，因此B，C不正确，又因为f(x)＝tan x＋1tanx，0＜x＜π2时函数为正数，所以D不正确，A正确.4.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵sin x＜x＜tan x，x∈(0，π2)，∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点，观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y＝f(x)的部分图象如图，则f(π24)等于()A．2＋√3B．√3C．√33D．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f(x)＝A tan(2x+π4).又图象过(0,1)，代入得A＝1，故f(x)＝tan(2x+π4).所以f(π24)＝tan(2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是()A．①②③④B．①③④②C．③②④①D．①②④③【答案】D【解析】y＝tan(－x)在(－π2，π2)内是减函数，故选D.7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于()A．1 B．2 C．4 D．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为()A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为() A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x≠kπ2，k∈Z}.10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为()A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}【答案】C【解析】由{sinx≥0tanx≥0，即{2kπ≤x≤2kπ＋πkπ≤x＜kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ≤x＜2kπ＋π2(k∈Z)或x＝2kπ＋π(k∈Z).所以函数y＝√sinx＋√tanx的定义域是{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是()A．[－1,1]B．[－1,0)∪(0,1]C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得.12.函数y＝tan(sin x)的值域为()A．[−π4,π4 ]B．[−√22,√2 2]C．[－tan1，tan1]D．以上都不对【答案】C【解析】∵sin x∈[－1,1]，结合函数y＝tan x的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x)≤tan1，即y∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x－√3≥0，即tan x≥√3，∴kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z.∴函数y＝√tanx−√3的定义域为[kπ＋π3,kπ＋+π2)(k∈Z).(2)令u＝tan x，∵|x|≤π3，∴u∈[－√3，√3]，∴函数化为y＝u2－2u.对称轴为u＝1∈[－√3，√3].∴当u＝1时，y min＝12－2×1＝－1.当u＝－√3时，y max＝3＋2√3，∴f(x)的值域为[－1,3＋2√3].考点3 正切函数的周期性和对称性14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为()A．12B．1C．2D．4【答案】C【解析】因为函数y＝tanωx的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2.15.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为()A．4B．2C．1D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是() A．周期为π的偶函数B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是()A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x) 【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C，f(x)＝tan(2015π2＋x)＝tan(1007π＋π2＋x)＝tan(π2＋x)＝－cot x，为奇函数，则C错误；对于D，f(x)＝sin(1007π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x，为奇函数，故D错误. 故选A.18.函数y＝tan(x+π3)图象的对称中心的坐标是()A．(kπ−π3,0)(k∈Z)B．(k2π－π3，0)(k∈Z)C．(kπ2，0)(k∈Z) D．(kπ，0)(k∈Z) 【答案】B【解析】函数y＝tan(x+π3)的图象由函数y＝tan x的图象向左平移π3个单位得到，又由函数y＝tan x的对称中心的坐标是(kπ2，0)(k∈Z)，∴函数y＝tan(x＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k∈Z).19.下列坐标所表示的点不是函数y＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是()A．(π3,0)B．(−5π3,0)C．(7π3,0)D．(2π3,0)【答案】D【解析】将π3，－5π3，7π3代入y＝tan(x2－π6)均为0，而2π3代入y＝tan(x2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y＝tan(x+π3)的说法正确的是()A．在区间(−π6+5π6)上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点(π4,0)成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称【答案】B【解析】令kπ－π2＜x＋π3＜kπ＋π2，解得kπ－5π6＜x＜kπ＋π6，k∈Z，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋π3＝kπ2，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan(x+π3)的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.21.若函数f(x)＝2cos(4x＋π7)－1与函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周期相同，则实数a＝______.【答案】±2【解析】函数f(x)＝2cos(4x＋π7)－1的周期是π2，函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周期是π|a|，因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a＝±2.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0.其中正确命题的序号是________.【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的；②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2，如果x1＝390°，x2＝90°，sin x1＜sin x2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.考点4 正切函数的单调性24.下列说法正确的是()A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是()A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)【答案】B【解析】∵y＝tan x的单调递增区间为(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)，令kπ－π2＜x＋π5＜kπ＋π2，解得kπ－7π10＜x＜kπ＋3π10，∴函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z).26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是()A．①②③B．②④⑤C．②④D．③④⑤【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x≠π2＋kπ，k∈Z，故①错误；③由正切函数的定义域可知，函数y＝－tan2x在(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T＝π2，故⑤错误.27.已知函数f(x)＝√3tanπxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f(x)的最小正周期及单调区间；(2)若|f(x)|≤3在x∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.【答案】(1)当ω＝4时，f(x)＝√3tanπ4x，则f(x)的最小正周期T＝ππ4＝4，由kπ－π2＜π4x＜kπ＋π2，k∈Z.得4k－2＜x＜4k＋2，k∈Z，即函数的单调递增区间为(4k－2,4k＋2)，k∈Z.(2)∵ω＞0，∴函数f(x)的周期T＝ππω＝ω，∴若|f(x)|≤3在x∈[－π3，π4]上恒成立，则f(x)在x∈[－π3，π4]上为单调递增函数，满足－π3＞－12T＝－ω2，∴ω＞2π3，∵|f(－π3)|＞f(π4)，此时满足f(－π3)≥－3，即f(－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3，即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3，则πω≤1，即ω≥π，综上，ω≥π.考点5 正切函数的综合应用28.对于函数y＝tan x2，下列判断正确的是() A．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x 2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间；(2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)的值. 【答案】(1)由题意得，T ＝π2.由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠kπ2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得kπ2－3π8＜x ＜kπ2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠kπ2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(kπ2－3π8，kπ2＋π8)(k ∈Z ). (2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17，则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34， 由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13，把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12， 把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6). (1)作出此函数在一个周期开区间上的简图；(2)求出此函数的定义域、周期和单调区间； (3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π. 由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝kπ2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x 的不等式|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1，∴M ＝{x |2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1}.∵x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0，∴当tan θ≥13时，2≤x ≤3tan θ＋1.当tan θ＜13时，3tan θ＋1≤x ≤2.∵M ∩N ＝∅，∴当tan θ≥13时，有3tan θ＋1＜2tan θ或tan 2θ＋1＜2，即tan θ＜－1或－1＜tan θ＜1，∴13≤tan θ＜1.①当tan θ＜13时，有2＜2tan θ或3tan θ＋1＞tan 2θ＋1，即tan θ＞1或0＜tan θ＜3， ∴0＜tan θ＜13.②由①②得0＜tan θ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k ∈Z .。
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案
高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜3π2且x ≠π2)的图象是( )A ．B ．C ．D ．2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2,3π2)内的图象是( )A ．B ．C ．D ．3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A．2＋√3 B．√3 C．√33D．2－√36.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( )A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③7.函数y＝tan(π4x－π2)的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( )A．1 B．2 C．4 D．928.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z) B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z) D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)考点2 正切函数的定义域、值域9.函数y＝1tanx的定义域为( )A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为( )A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π2,k∈Z}C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π2且x≠2kπ＋π，k∈Z}11.函数y＝tan x(−π4≤x≤π4且x≠0)的值域是( )A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 12.函数y＝tan(sin x)的值域为( )A．[−π4,π4]B．[−√22,√22]C．[－tan1，tan1] D．以上都不对13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域；(2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π3)，求f(x)的值域.14.函数y＝tanωx的最小正周期为π2，则实数ω的值为( )A．12B．1 C．2 D．415.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．3 16.函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为53π的奇函数 C ．周期为53π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 17.下列函数中，为偶函数的是( ) A ．f (x )＝sin(2015π2＋x ) B ．f (x )＝cos(2015π2＋x ) C ．f (x )＝tan(2015π2＋x ) D ．f (x )＝sin(2014π2＋x )18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z ) B ．(k 2π－π3，0)(k ∈Z )C ．(k π2，0)(k ∈Z ) D ．(k π，0)(k ∈Z )19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______.22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2；③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B．(−7π10＋kπ，3π10＋kπ)(k∈Z)C．(−3π10＋kπ，7π10＋kπ)(k∈Z)D．(−π5+kπ，π5＋kπ)(k∈Z)26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法：①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π2＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋kπ2，π4＋kπ2)(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 27.已知函数f (x )＝√3tan πxω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 答案1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y＝cos x|tan x|＝{sinx,0≤x＜π2,−sinx,π2＜x≤πsinx,π＜x＜3π2.，∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π2且x≠π2)的图象是C.2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当π2＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π2时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为y ＝tan x 是奇函数，所以f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|−π2<x <0或0＜x ＜π2}是奇函数，因此B ，C 不正确，又因为f (x )＝tan x ＋1tanx ，0＜x ＜π2时函数为正数，所以D 不正确，A 正确.4.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在(－π2，π2)上的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】∵sin x ＜x ＜tan x ，x ∈(0，π2)， ∴在(0，π2)上无交点，又它们都是奇函数，故在(－π2，0)上无交点， 观察图象知两个函数的图象有1个交点.5.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)等于( )A ．2＋√3B ．√3C ．√33D ．2－√3【答案】B【解析】由图象知πω＝2×(3π8−π8)＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan (2x +π4).又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan (2x +π4).所以f (π24)＝tan (2×π24+π4)＝√3，故选B.6.下列图象分别是函数①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈(－3π2，?3π2)内的大致图象.那么图a 、b 、c 、d 依次对应的函数关系式应是( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③ 【答案】D【解析】y ＝tan(－x )在(－π2，?π2)内是减函数，故选D.7.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如图所示，则△AOB 的面积等于( )A ．1B ．2C ．4D ．92【答案】A【解析】函数的周期T＝ππ4＝4，则A(2,0)，∴△AOB的面积S＝12×2×1＝1.8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( )A．(kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)B．[kπ＋π6，kπ＋π2)(k∈Z)C．[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)D．(kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z)【答案】C【解析】∵不等式tan x≥√3，由正切函数的性质可得kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z，∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z}，即x∈[kπ＋π3，kπ＋π2)(k∈Z).9.函数y＝1tanx的定义域为( ) A．{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C．{x|x≠kπ+π2，k∈Z}D．{x|x≠kπ2，k∈Z}【答案】D【解析】函数y＝1tanx 有意义，则{x≠kπ，k∈Z，x≠kπ+π2，k∈Z，可得函数的定义域为{x|x ≠k π2，k ∈Z}.10.函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域为( ) A ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z} B ．{x|2k π＜x ≤k π＋π2,k ∈Z}C ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z }D ．{x|2k π≤x ＜2k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z} 【答案】C【解析】由{sinx ≥0tanx ≥0，即{2kπ≤x ≤2kπ＋πkπ≤x ＜kπ＋π2(k ∈Z )，得2k π≤x ＜2k π＋π2(k ∈Z )或x ＝2k π＋π(k ∈Z ).所以函数y ＝√sinx ＋√tanx 的定义域是{x|2k π≤x ＜2k π＋π2,k ∈Z}∪{x|x ＝2k π＋π，k ∈Z } 11.函数y ＝tan x (−π4≤x ≤π4且x ≠0)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞) 【答案】B【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A ．[−π4,π4]B ．[−√22,√22]C ．[－tan1，tan1]D ．以上都不对 【答案】C【解析】∵sin x ∈[－1,1]，结合函数y ＝tan x 的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，即y ∈[－tan1，tan1].13.(1)求函数y ＝√tanx −√3的定义域；(2)已知f (x )＝tan 2x －2tan x (|x |≤π3)，求f (x )的值域.【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x －√3≥0，即tan x ≥√3， ∴k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝√tanx −√3的定义域为[k π＋π3,k π＋+π2)(k ∈Z ). (2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴u ∈[－√3，√3]， ∴函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－√3，√3]. ∴当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－√3时，y max ＝3＋2√3， ∴f (x )的值域为[－1,3＋2√3].14.函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，则实数ω的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】因为函数y ＝tan ωx 的最小正周期为π2，所以π|ω|＝π2，考察选项可知，实数ω的值为2. 15.已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，若AB 长度的最小值为π，则ω的值为( )A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍，又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以π|ω|＝π.又由ω＞0，则ω＝1.16.函数y＝tan35x是( )A．周期为π的偶函数 B．周期为53π的奇函数C．周期为53π的偶函数 D．周期为π的奇函数【答案】B【解析】正切函数的周期T＝π35＝53π，函数y＝tan35x是奇函数.17.下列函数中，为偶函数的是( )A．f(x)＝sin(2015π2＋x)B．f(x)＝cos(2015π2＋x)C．f(x)＝tan(2015π2＋x)D．f(x)＝sin(2014π2＋x)【答案】A【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π2＋x)＝sin(1007π＋π2＋x)＝sin(3π2＋x)＝－cos x，为偶函数，则A正确；对于B，f(x)＝cos(2015π2＋x)＝cos(1007π＋π2＋x)＝cos(3π2＋x)＝sin x，为奇函数，则B错误；对于C ，f (x )＝tan(2015π2＋x )＝tan(1007π＋π2＋x )＝tan(π2＋x )＝－cot x ，为奇函数，则C 错误；对于D ，f (x )＝sin(1007π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ，为奇函数，故D 错误. 故选A.18.函数y ＝tan (x +π3)图象的对称中心的坐标是( ) A ．(k π−π3,0)(k ∈Z )B ．(k2π－π3，0)(k ∈Z ) C ．(k π2，0)(k ∈Z )D ．(k π，0)(k ∈Z )【答案】B【解析】函数y ＝tan (x +π3)的图象由函数y ＝tan x 的图象向左平移π3个单位得到， 又由函数y ＝tan x 的对称中心的坐标是(k π2，0)(k ∈Z )，∴函数y ＝tan(x ＋π3)的对称中心的坐标是(k2π－π3，0)(k ∈Z ).19.下列坐标所表示的点不是函数y ＝tan(x2－π6)的图象的对称中心的是( ) A ．(π3,0) B ．(−5π3,0) C ．(7π3,0) D ．(2π3,0)【答案】D 【解析】将π3，－5π3，7π3代入y ＝tan(x 2－π6)均为0，而2π3代入y ＝tan(x 2－π6)不为0，所以选D.20.下列关于函数y ＝tan (x +π3)的说法正确的是( ) A ．在区间(−π6+5π6)上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点(π4,0)成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 【答案】B【解析】令k π－π2＜x ＋π3＜k π＋π2，解得k π－5π6＜x ＜k π＋π6，k ∈Z ，显然(−π6，5π6)不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan (x +π3)的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.21.若函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝______. 【答案】±2【解析】函数f (x )＝2cos(4x ＋π7)－1的周期是π2，函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期是π|a|， 因为周期相同，所以π|a|＝π2，解得a ＝±2. 22.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的周期分别为π，π2，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2，如果x 1＝390°，x 2＝90°，sin x 1＜sin x 2，③是错误的；④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T2)＝0，f(x＋T)＝f(x)，f(－T2＋π)＝f(－T2)＝－f(T2)，f(－T2)＝0，④是正确的.故答案为④.23.试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|；(2)f(x)＝x2tan x－sin2x.【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x，∴函数f(x)是非奇非偶函数.24.下列说法正确的是( )A．y＝tan x是增函数B．y＝tan x在第一象限是增函数C．y＝tan x在某一区间上是减函数D．y＝tan x在区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数【答案】D【解析】由正切函数的图象可知D正确.25.函数y＝tan(x＋π5)的单调递增区间是( )A．(−π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)B ．(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ) C ．(−3π10＋k π，7π10＋k π)(k ∈Z ) D ．(−π5+k π，π5＋k π)(k ∈Z )【答案】B【解析】∵y ＝tan x 的单调递增区间为(−π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )， 令k π－π2＜x ＋π5＜k π＋π2，解得k π－7π10＜x ＜k π＋3π10， ∴函数y ＝tan(x ＋π5)的单调递增区间是(−7π10＋k π，3π10＋k π)(k ∈Z ). 26.关于函数f (x )＝－tan2x ，有下列说法：①f (x )的定义域是{x ∈R |x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②f (x )是奇函数；③在定义域上是增函数；④在每一个区间(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是( )A ．①②③B ．②④⑤C ．②④D ．③④⑤ 【答案】C【解析】①由正切函数的定义域可得，2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y ＝－tan2x 在(－π4＋k π2，π4＋k π2)(k ∈Z )上是减函数，故③错误；⑤根据周期公式可得，T ＝π2，故⑤错误. 27.已知函数f (x )＝√3tan πx ω(ω＞0).(1)当ω＝4时，求f (x )的最小正周期及单调区间；(2)若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f (x )＝√3tan π4x ，则f (x )的最小正周期T ＝ππ4＝4，由k π－π2＜π4x ＜k π＋π2，k ∈Z .得4k －2＜x ＜4k ＋2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(4k －2,4k ＋2)，k ∈Z . (2)∵ω＞0，∴函数f (x )的周期T ＝ππω＝ω，∴若|f (x )|≤3在x ∈[－π3，π4]上恒成立， 则f (x )在x ∈[－π3，π4]上为单调递增函数， 满足－π3＞－12T ＝－ω2， ∴ω＞2π3，∵|f (－π3)|＞f (π4)，此时满足f (－π3)≥－3，即f (－π3)＝√3tan(－π3×πω)≥－3， 即tan(－π3×πω)≥－√3，则－π3×πω≥－π3， 则πω≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π.28.对于函数y ＝tan x2，下列判断正确的是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4).(1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−12sin(θ＋π4)的值.【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8，由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8，综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠k π2＋π8，k ∈Z }，单调增区间是(k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z ).(2)2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，①∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝17−11+17＝－34，由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝－12，把tan θ＝－13代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2.30.已知函数y ＝tan(12x －π6).(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间；(3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图：则对应的图象如图：(2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3，即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }，函数的周期T ＝π12＝2π.由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z .(3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，由12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0).31.已知关于实数x的不等式|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0的解集分别为M，N，且M∩N＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围.【答案】假设θ存在.由|x−(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tanθ≤x≤tan2θ＋1，∴M＝{x|2tanθ≤x≤tan2θ＋1}.∵x2－3(tanθ＋1)x＋2(3tanθ＋1)≤0，∴当tanθ≥13时，2≤x≤3tanθ＋1.当tanθ＜13时，3tanθ＋1≤x≤2.∵M∩N＝∅，∴当tanθ≥13时，有3tanθ＋1＜2tanθ或tan2θ＋1＜2，即tanθ＜－1或－1＜tanθ＜1，∴13≤tanθ＜1.①当tanθ＜13时，有2＜2tanθ或3tanθ＋1＞tan2θ＋1，即tanθ＞1或0＜tanθ＜3，∴0＜tanθ＜13.②由①②得0＜tanθ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k∈Z.。
高中试卷-5.4.3 正切函数的图像与性质 练习(2)(含答案)
5.4.3 正切函数的图像与性质（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号正切函数的性质1,2,3,4,5,6,9,11正切函数的图像10综合运用7,8,13基础巩固1．函数tan2xy =是( )A.周期为2p 的奇函数 B.周期为2p的奇函数C.周期为p 的偶函数D.周期为2p 的偶函数【答案】A 【解析】212T pp==，即周期为2p ,tan tan 22x x æö-=-ç÷èø，即函数为奇函数本题正确选项：A2．下列关于函数()tan f x x =的结论正确的是（ ）A.是偶函数B.关于直线2x p =对称C.最小正周期为2pD.3044f f p pæöæö+=ç÷ç÷èøèø【答案】D【解析】函数()f x 是最小正周期为p 的奇函数，排除A C 、，正切函数是中心对称图形，不是轴对称图形，排除B ，tan 144f p p æö==ç÷èø，314f pæö=-ç÷èø，则3044f f p p æöæö+=ç÷ç÷èøèø故选D3．函数3tan 24y x p æö=+ç÷èø的定义域是（）A ．ππ,2x x k k ìü¹+ÎíýîþZ B ．3ππ,28k x x k ìü¹+ÎíýîþZ C ．ππ,28k x x k ìü¹+ÎíýîþZ D ．π,2kx x k ìü¹ÎíýîþZ 【答案】C 【解析】由ππ2π,42x k k +¹+ÎZ ，得1ππ,28x k k ¹+ÎZ ．故选C 4．下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）①在0,2p æöç÷èø上为增函数；②最小正周期为2p ；③是奇函数.A.tan y x = B.cos y x= C.tan2x y =- D.tan2x y =【答案】D【解析】对于A 选项中的函数tan y x =，该函数在0,2p æöç÷èø上为增函数，最小正周期为p ，且为奇函数，A 选项中的函数不符合条件；对于B 选项中的函数cos y x =，该函数0,2p æöç÷èø上为减函数，最小正周期为2p ，且为偶函数，B 选项中的函数不符合条件；对于C 选项中的函数tan2x y =-，当02x p<<时，024x p <<，则该函数在0,2p æöç÷èø上为减函数，最小正周期为212pp=，且为奇函数，C 选项中的函数不符合条件；对于D 选项中的函数tan 2x y =，该函数在0,2p æöç÷èø上为增函数，最小正周期为2p ，且为奇函数，D 选项中的函数符合条件.故选：D.5．下面哪个点不是函数tan 22y x p æö=+ç÷èø图像的对称点（ ）A.(0,0) B.,04p æöç÷èøC.,03p æöç÷èøD.,02p æöç÷èø【答案】C【解析】函数tan 22y x p æö=+ç÷èø的对称中心横坐标满足：222k x pp +=，解得：()44k x k Z pp =-Î，令1k =可得：0x =，则选项A 中的点是函数的对称点；令2k =可得：4x p=，则选项B 中的点是函数的对称点；令3k =可得：2x p =，则选项D 中的点是函数的对称点；注意到443k x p p p =-=没有整数解，故,03p æöç÷èø不是函数的对称点.故选：C.6．函数tan y x =，0,4x p éùÎêúëû的值域是________．【答案】[]0,1【解析】因为函数tan y x =在0,4x p éùÎêúëû单调递增，所以min tan 00y ==，max tan 14y p==，故函数的值域为[]0,1.7．13tan 7p æö-ç÷èø与15tan 8pæö-ç÷èø的大小关系是_______.【答案】1315tan tan 78p p æöæö->-ç÷ç÷èøèø【解析】131315tan tan 2tan ,tan 7778p p p p p æöæöæö-=-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø15tan 2tan 88p p p æö=-=ç÷èø.∵0872ppp<<<，∴tantan87pp<，即1315tan tan 78p pæöæö->-ç÷ç÷èøèø.8．求函数2tan tan 1y x x =++的值域．【答案】3,4éö+¥÷êëø【解析】设tan t x =()t R Î，则221331244y t t t æö=++=++³ç÷èø，所以2tan tan 1y x x =++的值域是3,4éö+¥÷êëø．故答案为：3,4éö+¥÷êëø．能力提升9．已知函数()()5tan 202f x x p j j æö=+<<ç÷èø，其函数图像的一个对称中心是,012p æöç÷èø，则该函数的单调递增区间可以是（ ）A.5,66p p æö-ç÷èøB.,63p p æö-ç÷èøC.,36p p æö-ç÷èøD.5,1212p p æö-ç÷èø【答案】D 【解析】,012p æöç÷èøQ 为函数的对称中心 2122k p p j \´+=，k ZÎ解得：26k p pj =-，k Z Î0,2p j æöÎç÷èøQ 3pj \= ()5tan 23f x x p æö\=+ç÷èø当5,66x p p æöÎ-ç÷èø时，422,333x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 不单调，A 错误；当,63x p p æöÎ-ç÷èø时，()20,3x p p +Î，此时()f x 不单调，B 错误；当,36x p p æöÎ-ç÷èø时，22,333x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 不单调，C 错误；当5,1212x p p æöÎ-ç÷èø时，2,322x p p p æö+Î-ç÷èø，此时()f x 单调递增，D 正确本题正确选项：D10．函数()y tanx y tanx y tan x y tan x ＝，＝，＝－，＝ 在(－ 3π2，3π2)上的大致图象依次是下图中的( )A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③【答案】C 【解析】y tanx ＝ 对应的图象为①，y tanx ＝ 对应的图象为②，()y tan x ＝－ 对应的图象为④，y tan x ＝对应的图象为③.故选C.11．若函数tan y x w =在(,)p p -上是递增函数，则w 的取值范围是________【答案】1(0,2【解析】由于数tan y x w =在(,)p p -上是递增函数，所以0>w .由ππx -<<，则ππx w w w -<<，由正切函数的递增区间可知：ππππ22k x k w -<<+，所以πππ2πππ2k k w w ì-£-ïïíï+³ïî，1212k k w w ì£-+ïïíï£+ïî，由于0>w ，故取0k =，所以102w <≤.故填：1(0,2.12．设函数f (x )＝tan.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式－1≤f (x )≤的解集．【答案】(1) 单调递增区间是5-+2,233k k k z p p p p æö+Îç÷èø;(2) 解集是4|22,63x k x k k z p p p p ìü+££+Îíýîþ.【解析】(1)由－≠＋k π(k ∈Z)，得x ≠＋2k π(k ∈Z)，所以函数f (x )的定义域是.因为ω＝，所以周期T ＝＝2π.由－＋k π<－<＋k π(k ∈Z)，得－＋2k π<x <＋2k π(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递增区间是(k ∈Z)．(2)由－1≤tan ≤，得－＋k π≤－≤＋k π(k ∈Z)．解得＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z)．所以不等式－1≤f (x )≤的解集是.素养达成13．已知函数()sin cos xf x x=．（1）求函数()f x 的定义域；（2）用定义判断函数()f x 的奇偶性；（3）在[],p p -上作出函数()f x 的图象．【答案】（1）,2x x k k Z pp ìü¹+Îíýîþ；（2）奇函数,见解析；(3)见解析【解析】（1）由cos 0x ¹,得2x k pp ¹+（k Z Î）,所以函数()f x 的定义域是,2x x k k Z pp ìü¹+Îíýîþ.（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称,因为()()()()sin sin cos cos x xf x f x xx ---===--,所以()f x 是奇函数.（3）()tan ,22tan ,22x x f x x x x p p p p p pì-<<ïï=íï--£<-<£ïî或,所以()fx 在[],p p -上的图象如图所示,。
三角函数正切函数题型总结(含答案)
三角函数正切函数题型总结（含答案）一、单选题（本大题共15小题，共75.0分） 1. 已知sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，则tan θ2= A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题． 因为tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cosθ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ，所以根据同角三角函数的关系求出cosθ，即可求出tan θ2．【解答】解：∵sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(45)2=−35，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cos θ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ=451−35=2．故选D ．2. 已知sinθ=35，且sin2θ<0，则tanθ=( )A. −34B. 34C. −34或34D. 45【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数基本关系，属于基础题．由题意易知cosθ<0.然后根据同角三角函数基本关系即可求解． 【解答】解：∵sin 2θ=2sinθcosθ<0， ∵sinθ=35，则cosθ<0， 故cosθ=−√1−sin 2θ=−45，故tan θ=sinθcosθ=−34， 故选A ．3. 已知cos θ=−35，π<θ<2π，则sin θ2等于( )A. 45B. 25√5C. −25√5D. ±25√5【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数关系式，二倍角公式及应用，属于较易题． 根据二倍角余弦公式可以得出答案． 【解答】解：因为π<θ<2π，所以π2<θ2<π， 所以sin θ2>0， 所以sin θ2=√1−cosθ2=√1+352=2√55． 故选B ．4. θ∈[0,π]，cosθ=34，则tan θ2=( )A. √7B. √77C. 7D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式求得cos θ2 和sin θ2的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得tan θ2的值．本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 【解答】 解：∵cos 2θ2=1+cosθ2=78，又θ2∈[0,π2]，∴cos θ2=√144，∴sin θ2=√1−cos 2θ2=√24，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=√77， 故选：B ．5. 已知θ∈(−π2,0)，且3cos2θ+4cosθ+1=0，则sin2θ=( )A. −4√29B. −2√23C. 4√29D. 2√23【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．化简可得3cos 2θ+2cosθ−1=0，解得cosθ的值，再根据同角三角函数的基本关系，可得出sinθ，再根据二倍角公式，可得出sin2θ的值． 【解析】解：因为θ∈(−π2,0)，则cosθ∈(0,1)，由已知得3(2cos 2θ−1)+4cosθ+1=0，即3cos 2θ+2cosθ−1=0， 解得cosθ=13，或cosθ=−1(舍去)， 从而可得sinθ= −√1−cos 2θ=−2√23， 所以sin2θ=2sinθcosθ=−4√29． 故选A ．6. 已知cosθsinθ=53cos (2π−θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A. 625B. 1225C. 1825D. 2425【答案】D 【解析】 【分析】本题考查诱导公式、同角三角函数之间的关系及二倍角公式，属于基础题．根据题意可得sinθ=35，然后利用同角三角函数之间的关系可得cosθ=√1−sin 2θ=45，进而利用二倍角公式即可求得结果． 【解答】解：由cosθsinθ=53cos(2π−θ)，得cosθsinθ=53cosθ， 则sinθ=35， ∵|θ|<π2，∴cosθ=√1−sin 2θ=45， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2425． 故选D ．7. 已知cosθ⋅tanθ=34，则sin (π2−2θ)=( )A. 3√78B. ±√74 C. −12D. −18【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同角间的基本关系式，诱导公式，二倍角公式，先求出sinθ的值，利用诱导公式得sin(π2−2θ)=cos2θ，再利用二倍角公式求解． 属于中档题． 【解答】解：∵cosθ⋅tanθ=sinθ=34，∴sin(π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=1−2×(34)2=−18． 故选D ．8. 若tan α2=12，则sinα=A. 35B. ±45C. −45D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系及二倍角公式即可得解，本题考查三角函数同角关系，二倍角正弦及三角函数求值等．【解答】解：因为tanα2=12，所以sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=45．故选D．9.已知2π<θ<4π，且sinθ=−35,cosθ<0，则tanθ2的值等于()A. −3B. 3C. −13D. 13【答案】A【解析】【分析】本题考查三角恒等变换公式应用，基础题；利用已知求出cosθ，再利用二倍角公式求解即可，【解答】解：由题意，cosθ=−√1−sin2θ=−45所以tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2cosθ2cos2θ2=12sinθcosθ+12=sinθcosθ+1=−35−45+1=−3故选：A．10.已知sin2A=−2425,A∈(π,2π)，则cosA=A. 35B. 45C. 35或45D. −35或−45【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和同角三角函数基本关系．【解答】解：∵sin2A=2sinAcosA=−2425，∵(sinA+cosA)2=1−2425=125，，又∵A∈(π,2π)，sinAcosA=−1225，∴sinA−cosA=−7 5故cosA=35或45．故选C．11.已知θ∈(0,π)，，则tan(π+2θ)=()A. 2√23B. 4√27C. √23D. 2√27【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，属于基础题．【解答】解：由题意得，则，则．故选B．12.已知θ∈(−π2,0)，sin(π4+θ)=35，则tan2θ的值为()A. −724B. 247C. 724D. −247【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的关系，和差角公式，属于基础题．先由同角三角函数关系，求得tan(θ+π4)=34，再把tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ，结合和差角公式和二倍角公式计算即得．【解答】解：因为θ∈(−π2,0)，所以，又sin (θ+π4)=35，所以cos(θ+π4)=√1−(35)2=45，可得tan(θ+π4)=sin(θ+π4)cos(θ+π4)=34则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=34，所以tanθ=−17．所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−17)1−(−17)2=−724．故选A．13.若tanθ=√3，则sin2θ1+cos2θ=()A. √3B. −√3C. √33D. −√33【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题．由同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简可得tan θ，即可得结果．【解答】解：sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ1+2cos2θ−1=tanθ=√3．故选A．14.设θ∈(π4,π2),sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是()A. √154B. −√154C. 34D. −34【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基础题．根据sin2θ=2sinθcosθ=116，结合，即可得到答案．【解答】解：∵sin2θ=2sinθcosθ=116，且θ∈(π4,π2)，，∴cosθ−sinθ=−√1−2sinθcosθ=−√154． 故选B ．15. 已知cosθ=35，tanθ<0，则sin(π−2θ)=A. −2425B. −1225C. −45D. 2425【答案】A 【解析】 【分析】此题考查诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为cosθ=35,tanθ<0，则θ为第四象限角， sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，则sin (π−2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×(−45)×35=−2425， 故选A ．。
(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)
正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。
思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。
题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。
1.43正切函数的性质与图象
1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4：从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？梳理:函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：思考1：利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．(4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2：我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？梳理：(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．类型一、正切函数的定义域、值域问题例1(1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．(2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．跟踪训练1求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． ．类型二、正切函数的单调性问题 命题角度1求正切函数的单调区间例2求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．跟踪训练2求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．命题角度2利用正切函数的单调性比较大小 例3比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9.跟踪训练3比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 类型三、正切函数综合问题 例4设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．跟踪训练4画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 C2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性、对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接) 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 tan 2<tan 3<tan 1解析 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， ∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性、对称性 题点 正切函数的周期性答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 周期性．思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性．思考4：从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ 答案 是．梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ 答案 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 >解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数综合问题 例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． 考点 正切函数的综合应用 题点 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数的综合应用题点 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 考点 正切函数的单调性题点 判断正切函数的单调性答案 C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的奇偶性答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)考点 正切函数的单调性题点 正切函数单调性的应用答案 tan 2<tan 3<tan 1解析 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的周期性答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.7.1-2正切函数(带答案)
§7 正切函数7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的诱导公式必备知识基础练知识点一 正切函数的定义1．点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x ＝( )A ．3B ．－3C ．33D ．－332．已知sin α＝45 ，且P (－1，m )是角α的终边上一点，则tan α＝( )A ．－43 B ．－34C ．34D ．43知识点二 求值3．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ·tan 17π6 ＝________．4．已知角α终边上的一点A (3 ，－1)，则sin （2π－α）tan （π＋α）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （－α）cos （π－α）tan （3π－α） ＝________．5．已知α为第四象限角，且tan α是方程x 2－x －12＝0的一个根，求tan （2π－α）－tan （π＋α）tan （π－α）tan （－α） 的值．知识点三 化简6．化简：tan （π＋α）cos （2π＋α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos （－α－3π）sin （－3π－α） .7．求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）＝－tan α.关键能力综合练一、选择题1．若tan θsin θ<0，则θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第二或第三象限D ．第二或第四象限2．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，则tan α＝( )A ．2B ．±2 C．255 D ．±2553．已知角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，则tan (180°－α)＝( )A ．－45B ．－35C ．±35D ．±454．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ ＝32 ，且|φ|<π2 ，则tan φ＝( ) A ．－33 B ．33C ．3D ．－3 5．(易错题)记cos (－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k 1－k 2D ．k 1－k 2 二、填空题6．已知P (x ，5)是角θ终边上一点，且tan θ＝53434，则x ＝________． 7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝33 ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝________． 8.tan 315°＋tan 570°tan （－60°）·tan 675°＝________． 三、解答题9．(探究题)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π).(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ.(2)若已知Q (35 ，45)，试求tan α.学科素养升级练1.(多选题)化简y ＝sin x |sin x | ＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值可以是( ) A ．1 B ．－1C ．3D ．－32．(学科素养——逻辑推理)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角．(1)求证：cos 2A ＋B 2 ＋cos 2C 2＝1； (2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan (C －π)<0，求证：△ABC 为钝角三角形．7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的诱导公式必备知识基础练1．答案：A解析：因为tan 60°＝3 ，所以y x＝3 .故选A.2．答案：A解析：∵sin α＝45 ，且P (－1，m )是角α的终边上一点，∴m 1＋m2 ＝45 ，解得m ＝43 ，∴tan α＝m －1 ＝－m ＝－43.故选A. 3．答案：－66 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ＝cos 17π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4 ＝cos π4 ＝22 ，tan 17π6 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π6 ＝－tan π6 ＝－33 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4 ·tan 17π6 ＝－66 . 4．答案：12解析：原式＝（－sin α）·tan α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan α·（－sin α）（－cos α）·（－tan α）＝－sin α，而sin α＝－12 ，所以原式＝12. 5．解析：tan （2π－α）－tan （π＋α）tan （π－α）tan （－α） ＝－tan α－tan α（－tan α）（－tan α）＝－2tan αtan αtan α ＝－2tan α. 方程x 2－x －12＝0的两根分别为4，－3，由α为第四象限角知，tan α<0，∴tan α＝－3，∴tan （2π－α）－tan （π＋α）tan （π－α）tan （－α） ＝－2－3 ＝23. 6．解析：原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos （3π＋α）sin （π－α）＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α（－cos α）sin α ＝tan αcos αcos α（－cos α）sin α＝－tan αcos αsin α ＝－sin αcos α ·cos αsin α＝－1. 7. 证明：左边＝－tan αsin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α）＝－tan α（－sin α）cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边．所以原式得证． 关键能力综合练1．答案：C解析：由tan θsin θ<0得，tan θ>0，sin θ<0或tan θ<0，sin θ>0，故θ的终边在第二或第三象限．故选C.2．答案：A解析：在角α的终边上任取一点P (a ，2a )(a ∈R 且a ≠0)，则tan α＝2a a＝2.故选A.3．答案：A解析：∵角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，∴tan α＝45. ∴tan (180°－α)＝－tan α＝－45.故选A. 4．答案：D解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ ＝－sin φ＝32 ，∴sin φ＝－32 ，又|φ|<π2 ，∴φ为第四象限角，∴cos φ＝1－sin 2φ ＝12 ，则tan φ＝sin φcos φ ＝－3 .故选D. 5．答案：B解析：∵cos (－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2 ， ∴tan 80°＝1－k 2k ，∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. 6．答案：34解析：∵tan θ＝5x ＝53434，∴x ＝34 . 7．答案：－33解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝33 ， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33 . 8．答案：1－33解析：原式＝tan （360°－45°）＋tan （3×180°＋30°）tan （－60°）·tan （2×360°－45°）＝－tan 45°＋tan 30°－tan 60°·（－tan 45°） ＝－1＋33－3×（－1） ＝1－33 .9．解析：(1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P (32 ，12)， ∴θ的终边与单位圆交于P ′(32 ，－12 )， 则tan θ＝－1232＝－33 . (2)已知Q (35 ，45 )，∴tan α＝y x ＝4535 ＝43. 学科素养升级练1．答案：BC解析：由函数解析式，可知sin x ≠0，cos x ≠0，且tan x ≠0，所以角x 的终边不能落在坐标轴上，①当角x 是第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，此时y ＝3.②当角x 是第二、三、四象限角时，sin x ，cos x ，tan x 的值都是一个正值两个负值，此时y ＝－1.故选BC.2．证明：(1)∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 2 ＝π2 －C 2， ∴cos A ＋B 2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2 ＝sin C 2 ， ∴cos 2A ＋B 2 ＋cos 2C 2 ＝sin 2C 2 ＋cos 2C 2＝1. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan (C －π)<0， ∴－sin A ·(－cos B )·tan C <0，即sin A cos B tan C <0.又A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A >0，∴cos B tan C <0，即cos B <0，tan C >0或tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。
学案3：5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象【新知初探】知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π奇偶性单调性在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数 状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐． (2)“三点两线”法“三点”是指⎝⎛⎭⎫－π4，－1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难] 1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 2．教材P 210思考可以先考察函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 【基础自测】1．下列说法正确的是( )A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)【课堂探究】题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．状元随笔 求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x ≠k π＋π2 ，k ∈Z 等 问题． 方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解题要点 (1)分母不等于0 (2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x ≠kπ＋π2，k ∈Z题型二 正切函数的单调性及其应用 例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调区间．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )解出x 即可. 方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． 跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．题型三 正切函数图象与性质的综合应用例3 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的定义域、周期及单调区间．状元随笔 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解题要点 由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点． 由tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点． 思想方法 与三角函数相关的函数零点问题例 当x ∈⎝⎛⎭⎫－32π，32π时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数． 【分析】 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根，也就是y ＝tan x 与y ＝sin x 交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．【学业达标】一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．πD ．2π2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >cD ．b <a <c4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π4，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π4，0(k ∈Z )D.()k π，0(k ∈Z )二、填空题5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________． 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－16π5.10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．【参考答案】【新知初探】知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质 奇函数【基础自测】1．解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D2．解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2.解法二 由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 答案：B4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数， 所以tan 135°＜tan 138°. 答案：＜【课堂探究】题型一 求函数的定义域 例1【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域为{xx ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z . 跟踪训练1解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x {x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x {x ≠k π2，k ∈Z }.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 答案：(1)D (2)见解析题型二 正切函数的单调性及其应用 例2【解析】 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调递减区间为（－π12＋k π3，π4＋k π3）(k ∈Z )． 跟踪训练2解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是（2k π－π2，2k π＋32π），k ∈Z . 题型三 正切函数图象与性质的综合应用 例3【解析】 自变量x 的取值应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以，函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k ＋13，k ∈Z .设z ＝π2x ＋π3，又tan(z ＋π)＝tan z ，所以tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3. 因为∀x ∈{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }都有tan ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3， 所以，函数的周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z 解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z .因此，函数在区间⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z 上单调递增. 跟踪训练3解析：(1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是{xx ≠5π3＋2k π，k ∈Z }因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )． 由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )， 故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3， 得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是 {xπ6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z }. 思想方法 与三角函数相关的函数零点问题 例【解析】 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2上的图象， 如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【学业达标】一、选择题1．解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|， 直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4.方法二 由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－4⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4. 答案：A2．解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)． 答案：C4．解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B. 答案：B 二、填空题5．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 6． 解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]． 答案：(－3，3]7．解析：最小正周期T ＝π2； 由k π2＝2x －π4(k ∈Z )得x ＝k π4＋π8(k ∈Z )． ∴对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4＋π8，0(k ∈Z )．答案：π2；⎝⎛⎭⎫k π4＋π8，0(k ∈Z ) 三、解答题8．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，T ＝π12＝2π， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ， 得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )． 9．解：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5. (2)因为tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4<tan ⎝⎛⎭⎫－16π5. 10．解：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )－tan x ，k π－π2<x <k π(k ∈Z )，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ， 单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。
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7.3.4 正切函数的性质与图像
知识点
正切函数：x y tan =
1）定义域：⎪⎭
⎫
⎝⎛++-∈ππππk k x 2,2
2）值域：()+∞∞-, 3）图像：
4）周期：π=T 5）奇函数
6）单调增区间：⎪⎭⎫
⎝⎛++-ππππk k 2,2 7）对称中心：c
典型题一 正切函数图像问题
1. [北京人大附中2018高二期末]下列图形分别是①y= |tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④
y=tan|x|在33(,)22ππ
-内的大致图像,那么由a 到d 对应的函数关系式应是（ ）
A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③
2. [山东滨州2019高一期中]函数tan sin tan sin y x x x x =+--在3(,)22
ππ
内的图像是( )
3.函数1tan()23
y x π
=-在一个周期内的图像是( )
4. 在区间33(,)22
ππ
-
内,函数y=tanx 与y=sinx 的图像交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数f(x)=2x-tanx 在(,)22
ππ
-
上的图象大致为（ ）
典型题二 定义域值域问题
6.[吉林辽源田家炳高级中学2019高一期末]函数2tan(2)3y x π
=+的定义域为（ ）
A. |12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭
B.|12x x π⎧
⎫≠-⎨⎬⎩
⎭
C. |,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
D. 1|,122x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭ 7.[铜仁2019高一质检]函数f(x)=tan2x 在[,]66
ππ
-
上的最大值与最小值的差为( )
A. 3 C. 2 D. 2
3
8.函数f(x)=-2tanx+m,x ∈[,]43
ππ
-有零点,则实数m 的取值范围是 .
9.[江西高安中学2018高二期末]函数|2tan |x y =是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为
2π的奇函数 D.最小正周期为2
π
的偶函数 10.[黑龙江哈尔滨六中2019高一期末]函数)0(tan )(>=ωωx x f 的图像的相邻两支截直线y=4
π
所得的线段长为
4π,则)4
(π
f 的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.
4
π
11.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ,则=)599(π
f 。
12.(多选)关于函数2
tan
x
y =的说法正确的是( ） A.在），（2
0π
上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,24|ππ
13.[浙江绍兴2019高一期中]设︒===︒︒25cos 2
121)21
(,25sin log ,70tan log c b a log,则有（ ）
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<b<a
D.a<c<b
14.[四川石室中学2018高二期中]函数)42tan π
+=x y （的单调递增区间是 .
15.)713-tan π（与)8
15-tan π
（的大小关系是 。
1.[2017山西忻州一中高-(下)期中考试]已知函数）（0tan ≠=ωωx y 在）
，（2
2-π
π内是减函数,则( )
A.10≤<x ω
B.01-<≤x ω
C.1≥ω
D.1-≤ω 2.[2017山西运城高期中考试]下列直线中,与函数)42tan π
+=x y （的图象不相交的是（ ）
A.2
π
=
x B.2
π
=
y C.8
π
=
x D.8
π
=
y
3.[2018陕西西安高级中学高一(下)期中考试]已知奇函数f(x)在[-1,0]上单调递减,βα，为锐角三角形两内角，则（ ）
A.)(cos )(cos βαf f >
B.)(sin )(sin βαf f >
C.)(cos )(sin βαf f >
D.)(cos )(sin βαf f <
4.[2017吉林长春十一中期末考试]函数f(x)是周期为π的偶函数,且当]2
[0π
，∈x 时
1tan 3)(-=x x f ,则)38(π
f 的值是（ ）
A.2
B.0
C.-2
D.-4 5.给出下列说法:
①函数)4tan
2)(π+=x x f （)的单调递增区间是)4,43(ππππ+-k k ②函数)32tan
2)(π+=x x f （的定义域是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,12|ππ
③函数1tan )(+=x x f 在]34[-π
π，上的最大值为13+，最小值为0.
其中正确说法序号是 。
6.[安徽宿州2019期末]函数y=|tanx|与直线y=1相邻两个交点之间距离是（ ） A.
4π B. 3π C. 2π D.
π 7.函数)32tan 3π
+=x y （的图像的对称中心的坐标为 。
14.若)2tan θ+=x y （)图像的一个对称中心为)0,3(π,其中22π
θπ<<-,则=θ
7.3.4 正切函数的性质与图像
典型题
1.D
2.D
3.A
4.C
5.D
6.D
7.A
8.
[2,- 9.D 10.A 11.-5 12.AB 13.D 14.)82,832(π
πππ+-k k
15.)713-tan π（ >)8
15-tan π
（
习题狂练
1.B
2.C
3.D
4.A
5.①③
6.C
7.)0,64(ππ-k
8.6
3π
π-，。