精算师考试金融数学课本知识精粹

第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念第二章 年金3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金（2）付款频率高于计息频率的年金（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）6、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列（2）各年付款额为等比数列7、更一般变化的年金：（1）在()n Ia 的基础上，付款频率小于计息频率的形式（2）在()n Ia 的基础上，付款频率大于计息频率的形式（3）连续变化年金：○1：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为t,其现值为 ○2：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为()f t ,其现值为 第三章 收益率1、收益率（内部收益率） 由0(0)0nt t t V v R ===∑可求出2、收益率的唯一性：（1）若在0~n 期间内存在一时刻t ，t 之后的期间里现金流向是一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。

（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。

3、再投资收益率：（1）情形一：在时刻0投资1单位，t 时刻的积累值: 1n is +（2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：1()n n s n n i Is n i j --+=+⋅4、基金收益率：A ：期初基金的资本量 B ：期末基金的本息和 I ：投资期内基金所得收入 t C ：t 时刻的现金流（01t ≤≤） C ：在此期间的现金流之和t tC C =∑，（1）(1)t t I i A C t ≈+-∑ （2）2I i A B I ≈+-（现金流在0-1期间内均匀分布） （3）(1)(1)I i kA k B k I ≈+---（其中(/)t tk t C C =⋅∑） 注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率5、时间加权收益率6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：12112(1+)(1)(1)......(1+)(1)(1)(1).....(1+).....y y y k y y yy m y k m C i i i k mC i i i i i k m +++⎧++≤⎪⎨+++>⎪⎩（m 为投资年法的年数，即若投资时间未满m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。

在y 年投资第t 年收益率记为y t i ）7、股息贴现模型（1）每期末支付股息t D ，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：（2）每期末支付股息以公比（1+g ）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1<g<r,则它的理论价格为：1D p r g=- 第四章 债务偿还1、分期偿还表（标准年金，贷款额n a ，年利率i ，每期末还款额为1）第k 期偿还款中的利息部分记为k I ；本金部分为k p2、连续偿还的分期偿还表3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表（1）若偿还期计息k 次（偿还频率小于计息频率）（2）若每计息期偿还嗲款m 次（偿还频率大于计息频率）4、偿债基金表第五章 债券及其定价理论1、债券价格（1） 所得税后的债券价格：（2） 所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：（3） 如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp ）2、溢价与折价本金调整：溢价摊销或折价积累3、票息支付周期内债券的估价债券的平价：ft k B + 扣除应计票息后的买价称为市价：m t k B +公式：+fmt k t k k B B Nr ++=或=-mft k t k k B B Nr ++4、收益率的确定由()n p C C g i a =+- P C k C -=可导出112k g n i n k n -≈++或112kg n i k -≈+(12n n +=1/2)5、系列债券：其中：t 1t 1g /:m t m tNr CK C ===∑∑所有现金流现值之和：所有现金流之和第二篇 利率期限结构第六章：利率期限结构理论第七章 随机利率模型第三篇 金融衍生工具定价理论第八章 金融衍生工具介绍4、远期利率协议（1）结算时金额：|S-F|T =N 1S T⨯∆+⨯ 其中：S ：目标利率；F ：远期价格，T ：远期期限（2）远期价格,t t T F f +=满足：,(1)(1)[1()]t t t T t T rt f T r t T ++++=++5、期货合约的盈亏：01=nN ||t t Z Z +∆-期货合约保证金账户盈亏代数和为：00N ||t S Z -无论盈亏都只需交00N Z6、利率期货（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）○1 若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如→，则一份合约的买方或卖方将支付25远。

对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：○2远期利率221111221(1)(10.25)(1)41r T rT f rT f r T f rT -++=+⇒=⨯+足满○3套期保值原理(N ：被保资产金额D ：保质期限S 存款利率变动的基点n ：合约的份数）(2)长期利率期货○1国债期货： 点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额 ○2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债券的价格。

如：若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）卖方在债券的现货市场上可以以P+A 价格买到债券（P ：债券净价，A ：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金CF Z A ⨯+（Z ：债券期货的价格），同时支付债券。

显然A 不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：P CF Z -⨯（4） 国债的定价类似于：0().rt F S I e =-例题：假设某国债期货党的CTD 债券的票息率为12%；CF=1.4.假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下方法计算期货的价格Z ：解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）（2）计算期货的现金价格：（3）计算以CTD 债券为基础资产的期货价格：（4）利用转换因子CF 计算国债期货的价格：（5）国债期货套期保值原理基点价值bpv ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。

如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv 为：7、看涨看跌期权平价公式其中t c ：t 时刻的看涨期权的价格 K ：看涨期权的执行价格 t p ：t 时刻的看跌期权的价格 t S ：t 时刻的基础资产价格8、期权价值的影响因素（1）基础资产价格t S ：对看涨期权t S 越大，价格越高对看跌期权t S 越大，价格越低（2）执行价格K ：对看涨期权K ：越大，价格越高对看跌期权K ：越大，价格越低（3）到期期限T ：对美式而言，T 越长，价格越高对欧式而言，不一定（4）无风险率r ：r 越高，价格越高（5）基础资产价格波动率s σ：s σ越大，期权价格越高。

9、期权价格的界（1）欧式期权：()()()r T t t t t r T t r T t t t Ke c S Kep Ke ------⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩看期看跌期涨权:S 权:-S （2）美式期权：()r T t t t t t t Ke c S K p K--⎧-≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩看期看跌期涨权:S 权:-S 10、11、第九章金融衍生工具定价理论1、单期二叉树期权定价模型设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升至S u，或者股票价格下降至S d，而上升或下降的概率呈二次分布状。

在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1，d<1。

与此相对，股票看涨期权的初始价值为c，在下一期（欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至c u，要么下降至c d，作图。

二叉树、节点、路径[例8-1] 设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为$110。

在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？解：资产目前成本与未来价值$130×δ -$20=$90×δ (风险中性假定）=0.5股票上涨：VT= $130× 0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。

换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。

假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe -10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.112、N 期模型的通用公式3、Black-Scholes 模型4、希腊字母及其意义：（1）、t ff S ∂∆=∂为衍生品德价格意义：∆度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此∆是对基础资产价格敏感性的度量。

（基础资产本身的∆=1）可以通过资产组合达到∆中立状态，即∆=0.（2）22=t t f S S α∂∆Γ=∂∂意义：Γ度量了基础资产价格的变化对∆影响，即度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性。

若某个时刻基础资产处于∆=0，当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权∆可能不为0. 如果Γ<0，则资产价格的上升将使得资产组合的∆<0，因此需要增加组合中有正∆值资产的头寸以重新达到∆=0。

（3）s f νσ∂=∂对于欧式看涨期权：1(t S d νφ=ν度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格影响。

（4）f rρ∂=∂ 对于欧式看涨期权：2()r Ke d τρτ-=Φ ρ度量了无风险利率的变化对衍生品价格的影响。

（5）ftθ∂=∂对于欧式看涨期权：21()()r t rKe d S d τσθφ-=-Φ-θ是衍生品时间价值变化的度量参数，它度量了时间的推移对衍生品价格的影响。

总结五个希腊字母：212s df ds ds d dr dt υσρθ=+Γ+++ 第四篇 投资组合理论第十章 投资组合理论 1、度量风险的方法：变异系数=()WE W σ收益率的方差和标准差22212[()](1)[()]R p r E R p r E r σ=-+-- 2、风险溢价一般解释：当前投资超出无风险投资收益的超额收益 3、财富效用函数（满足：'''()0;0U w U >≤） 常见的几种形式： 线性效应函数()U w w =二次效应函数()2()=-,()U w w w αα-≤ 指数效应函数(),(0)w U w e ααα-=-> 对数效应函数()log(),()U w w w αα=+>- 幂函数效应函数(),(0,01)c U w w w c =><<4、Jensen 不等式：如果()U w 是一个凹函数，ξ是一个具有有限均值的随机变量，则下式成立： 当()E ξ=0，则(()()E U w U w ξ+≤5、投资效用函数最常用的投资效用函数：2()0.5R R R R U u u A σσ+=-R R u σ、分别为期望收益与收益率的标准差，A>0：风险厌恶系数6、风险厌恶的度量：绝对风险厌恶系数：'''()A ()w U w U w =-相对风险厌恶系数：'''()()w wU w R U w =-7、两风险资产组合8、一个风险资产A 无风险资产 投资组合收益率(1)P f A R w r wR =-+投资组合期望收益率：()(1)()p f A E R w r w E R =-+⨯ 投资组合标准差：P A w σσ= 9、风险报酬率（Sharpe 比率） 10、最优资产组合的求解 投资在市场组合M 上的比列：2M ()p M fME R r w A σσσ-== 考虑两个风险资产A 、B则该风险组合的预期收益和方差分别为： 此时风险报酬率：max ()maxAp fw pE R r λσ-=而2B22[()][()]cov [()][()][()E()]cov A f B B f A A A f BB f AA fB f ABE R r E R r w E R r E R r E R r R r σσσ---=-+---+-第十一章 CAPM 和ＡＰＴ １、 风险市场价格：2()M fME R r σ-２、 期望－贝塔关系：2()[()]cov(,)i f i p f i M i ME R r E R r R R ββσ=+-=其中３、 对任意风险资产组合Ｐ４、其斜率为市场组合的风险溢价()p f E R r - ４、 ＣＡＰＭ的另一种常用形式： ５、 资产估值：６、ＣＡＰＭ在业绩评估中的应用（１）：Ｊｅｎｓｅｎ指数：{[()]}p p f p A f J r r E R r β-=-+-（越大越好） （２）Ｔｒｅｙｎｏｒ指数：p fp pr r T β--=（越大越好）（３）Ｓｈａｒｐｅ指数：p fp pr r S σ--=（越高越好）７、套利定价模型（ＡＰＴ）（１）单因素模型：i i i i R F αβε=++资产组合收益率：111nnnp i i i i M i i i i i R w w R w αβε====++∑∑∑（２）双因素模型：1122i i i i i R F F αββε=+++ ８、套利组合：习题部分资产组合理论：1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。