《线性代数(修订版)》教学课件 5.3 基变换与坐标变换

定义 5
且满足
设 α1, α2 , , αn与 β1, β2 , , βn 是维向量空间的两个基，
( β1, β2 , , βn ) (α1, α2 , , αn )P
5.1
其中 P (α1, α2 , , αn )1( β1, β2 , , βn ) 为 n 阶可逆矩阵,称式 5.1
为基变换公式， P为由基 α1, α2 , , αn 到基 β1, β2 , , βn 的过渡
所以，基 α1 , α2 , , α4 到基 β1, β2 , , β4 的
过渡矩阵为：
1 0 0 1
P
A1 B
1
1
0
1
.
0 1 1 1
0
0
1
0
例 9 设 α1, α2 , α3 与 β1, β2 , β3 是 3 的两个基， 且基 α1, α2 , α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵为
0 0 1
P
0
1
1
1 1 0
（1）求基 α1, α2 , α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵 （2）如果 α1 (1,1, 0)T , α2 (1, 0 1)T , α3 (0, 1,1)T，
求 β1, β2 , β3 .
（3）如果 β1 (1,1, 0)T , β2 (1, 0 1)T , β3 (0, 1,1)T ， 求 α1, α2 , α3 .
p11
令P
p21
pn1
p12 p22
pn 2
所以 P A1B 可逆.
p1n
p2 n
，则
B
AP
由于 A
和
B可逆，
pnn
因此 ( β1, β2 , , βn ) (α1, α2 , , αn )P，P可逆，P A1B
P称为从基 α1, α2 , , αn 到基 β1, β2 , , βn 的过渡矩阵. 一般地，可以定义：
§5.3
基变换与坐标变换
§5.3.1
基变换
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n是 n 维向量空间 n
的两个基.因为基线性无关，由第 3章定理 6知，矩阵 A 1,2 , ,n 与 B 1, 2 , , n 均可逆.由于 i , i 1, 2, , n,可以由基 1,2 , ,n 唯一表示，令
解： （1）由于基 α1, α2 , α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵为 P ，即
( β1, β2 , β3 ) (α1, α2 , α3 )P ，P 可逆，所以
1 1 1
(α1, α2 , α3 ) ( β1, β2 , β3 )P1 ，因此 Q
P 1
1
1
0
1 0 0
（2）由于基 α1, α2 , α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵为 P，
矩阵.
例 8 已知 4中的两个基为： α1 (1, 2, 1, 0)T , α2 (1, 1,1,1)T , α3 (1, 2,1,1)T , α4 (1, 1, 0,1)T 和 β1 (2,1, 0,1)T , β2 (0,1, 2, 2)T , β3 (2,1,1, 2)T , β4 (1, 3,1, 2)T， 求基 α1, α2 , , α4 到基 β1, β2 , , β4的过渡矩阵 P.
β1 α1 p11 α2 p21 β2 α1 p12 α2 p22
αn pn1 αn pn2
βn α1 p1n α2 p2n αn pnn
则
p11 p12
( β1 , β2 ,
, βn ) (α1 , α2 ,
,
αn
)
p21
p22
pn1
pn 2
p1n
p2 n
pnn
x1
,
αn
)
x2
xn
一般地，可以定义：
y1
x1
y2
P 1
x2
yn
xn
定义
设 α1, α2 ,
, αn 与 β1, β2 ,
, βn是 n 维向量空间
n
n
的两个基，P 为基 α1, α2 , , αn 到基 β1, β2 , , βn 的
过渡矩阵，α 为 n 的任意一个向量，并且
1 1 01 1 1 2 2 1
(α1,
α2
,
α3
)
(
源自文库
β1,
β2
,
β3
) P 1
1
0
1 1
1
0
0
1
1
，
0 1 1 1 0 0 0 1 0
即有， α1 (2, 0, 0)T , α2 (2,1, 1)T , α3 (1,1, 0)T .
§5.3.2
坐标变换
引证
设 α1, α2 , , αn 与 β1, β2, , βn 是 n 维向量空间 n n 的两个基，P 为基 α1, α2, , αn 到基 β1, β2, , βn 的过渡矩阵，( β1, β2, , βn ) (α1, α2, , αn )P, P (α1, α2, , αn )1( β1, β2, , βn ) 即 α x1α1 x2α2 xnαn，α y1 β1 y2 β2 yn βn
解：
1
1 1 1
取
A
(α1 , α2 , α3 , α4 )
2 1
1 1
2
1
，
1
0
0
1
1
1
2
B
( β1 ,
β2 ,
β3 ,
β4 )
1
0
1
由于 α1, α2 , , α4 和 β1, β2 ,
0 2 1
1
1
3
，
2
1 1
2
2 2
, β4 都是基，所以 A 和 B都是可
逆矩阵.又 ( β1, β2 , β3, β4 ) (α1, α2 , α3, α4 )P ，即 B AP，
α 为 n 的任意一个向量，并且
y1 β1 y2 β2
所以有：
yn βn x1α1 x2α2
xnαn
即
y1
x1
( β1, β2 ,
,
βn
)
y2
(α1,
α2
,
,
αn
)
x2
yn
xn
因此
y1
y2
(
β1 ,
β2
,
yn
, βn )1(α1, α2 ,
所以
1 1 00 0 1 0 1 0
(
β1
,
β2
,
β3
)
(α1,
α2
,
α3
)
P
1
0
1
0
1
1
1
1
1
，
0 1 11 1 0 1 2 1
即 β1 (0, 1,1)T , β2 (1,1, 2)T , β3 (0,1,1)T .
（3）由于基 α1, α2 , α3 到基 β1, β2 , β3 的过渡矩阵为 P， 即 ( β1, β2 , β3 ) (α1, α2, α3)P ，P 可逆 ，所以