《线性代数(修订版)》教学课件 5.3 基变换与坐标变换

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线性代数课本课件

最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量（包括零向量）的集合，加上零向量后构成的线性子空间称为特征空间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路中的电流、电压等物理量之间的关系，从而进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向量，称为该线性空间的基。

§4 基变换与坐标变换

解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．

基变换与坐标变换

本节内容已结束 !! 本节内容已结束本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课请单击返回按钮 .. , 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮请单击返回按钮 .. . 请单击返回按钮请单击返回按钮请单击返回按钮请单击返回按钮 . .
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基变换与坐标变换

基变换与坐标变换基变换与坐标变换是数学中的一个概念，它们都是研究变换形式的基础工作。

它们是将一个空间中的向量投影到另一个空间的过程。

基变换是指一种变换，它使空间的向量的基本特征保持不变。

坐标变换是指把数据由一种坐标系转换为另一种坐标系的过程，如从极坐标转换到直角坐标。

基变换可以分为几何和代数两种形式，每种形式都有不同的用途。

几何变换是指对点或向量空间中的向量应用一定的变换，来改变其形状或尺寸。

几何变换可以表示为一组线性方程，其作用是把输入空间中的点映射到输出空间中的点。

常见的几何变换包括旋转和缩放。

代数变换是指把一个空间中的点映射到另一个空间中的点，通过使用多项式来完成。

代数变换可以用来改变一个点的位置，形状，尺寸等属性，例如抛物线变换和二次变换等。

坐标变换是把一种坐标系的数据转换到另一种坐标系的过程。

坐标变换的基本原理是把一个物体的坐标从一个坐标系（原坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。

常见的坐标变换有从极坐标到直角坐标的变换，从直角坐标到极坐标的变换，从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换以及曲面坐标变换等等。

在工程中，基变换和坐标变换都经常被用来实现特定的工程目标。

基变换可以被用来改变数据的形状，比如在图像处理中，可以使用基变换来缩放和旋转图像。

坐标变换可以被用来将一个坐标系的数据转换到另一个坐标系，比如在机器人攻击中，可以使用坐标变换来实现从直角坐标到极坐标的变换。

总而言之，基变换和坐标变换在数学和工程中是非常重要的概念。

基变换可以用来改变空间中向量的特征，而坐标变换则可以用来将一种坐标系的数据转换到另一种坐标系。

它们在许多领域中都有重要用途，例如图像处理，机器人控制，计算机视觉，空间分析等方面，广泛应用于实际工程中。

基变换和坐标变换

基变换和坐标变换在数学和物理学中，基变换和坐标变换是两个重要的概念。

基变换是指在一个向量空间中改变基底的操作，而坐标变换则是在不同基底下表示同一个向量或矩阵时的转换方式。

基变换基是向量空间中一个特殊的向量组，它可以用来表示向量空间中的任意向量。

在基变换中，我们改变基底的选择，从而影响向量在新基底下的表示。

假设有一个向量空间V，它有一组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots,\\mathbf{v}_n}$。

我们可以通过线性组合的方式表示V中的任意向量$\\mathbf{v}$：$$ \\mathbf{v} = c_1\\mathbf{v}_1 + c_2\\mathbf{v}_2 + \\ldots +c_n\\mathbf{v}_n $$其中$c_1, c_2, \\ldots, c_n$为标量系数。

现在，我们要将V中的向量$\\mathbf{v}$表示在另一组基${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$下。

假设向量$\\mathbf{v}$在新基底下的表示为${\\mathbf{w}_1, \\mathbf{w}_2, \\ldots, \\mathbf{w}_n}$，我们可以表示$\\mathbf{v}$在新基底下的线性组合为：$$ \\mathbf{v} = d_1\\mathbf{w}_1 + d_2\\mathbf{w}_2 + \\ldots +d_n\\mathbf{w}_n $$我们想要找到向量$\\mathbf{v}$在新基底下的系数$d_1, d_2, \\ldots, d_n$。

这个过程就是基变换。

坐标变换坐标变换是指向量在不同基底下的表示方式的转换。

假设有两组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n}$和${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$，以及向量$\\mathbf{v}$在这两组基底下的坐标分别为${\\mathbf{c}}$和${\\mathbf{d}}$。

§4基变换与坐标变换.

§4基变换与坐标变换
一线性空间的基变换，基的过渡矩阵
设V/K是n维线性空间，设和是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从到的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基。T是K上一个n阶方阵。命
则有是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若是线性空间V/K的一组基，则线性无关。
考察同构映射
构造方程
，其中，
，
，
。
于是线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中，
两边用作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式；中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为和，
又设在下的坐标为，即
，
在下的坐标为，即
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
，，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道，这就是坐标变换公式。
2、中两组基的过渡矩阵的求法
我们设中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是在基下的坐标。
将和看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成分块矩阵，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：

基变换与坐标变换

则记作
an1 n an 2 n ann n
a11 a12 a21 a22 , n ) a a n1 n 2 a1n a2 n ann
( 1 , 2 ,
, n ) (1 , 2 ,
§4 基变换与坐标变换
注：在形式书写法下有下列运算规律
, n ) A
由A可逆，有
(1 , 2 ,
, n ) ( 1 , 2 ,
, n ) A1
1 , 2 , , n也可由 1 , 2 , , n 线性表出. 即，
1 , 2 , , n与1 , 2 , , n等价.
故 1 , 2 , , n 线性无关，从而也为V的一组基. 并且A就是 1 , 2 , 2）若由基 1 , 2 , 则由基 1 , 2 ,
AB BA E . 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基 1 , 2 ,
令 j aij i , j 1,2,
i 1 n
, n ,
,n
于是有， ( 1 , 2 ,
§4 基变换与坐标变换
, n ) (1 , 2 ,
, n过渡矩阵为A,
, n到基 1 , 2 , , n到基 1 , 2 ,
, n过渡矩阵为B，则 , n 过渡矩阵为AB. , n ) A , n )B
事实上,若 ( 1 , 2 ,
( 1 , 2 ,
, n ) (1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 ,
, 2 , , 与基 1 n
, n
, x , xn ) 与 ( x1 2,
, x n) ，

线性代数-线性空间与线性变换PPT课件

例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章线性空间与线性变换 25

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。

一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。

2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。

3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。

二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。

2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。

3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。

总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。

基变换与坐标变换公式

文档内容模板如下：基变换与坐标变换公式一、基变换概述基变换在数学和物理学中具有重要意义，它是描述向量空间中向量变换的一种数学工具。

基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量，从而实现向量空间中的变换。

二、基变换的原理假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}，它们之间通过一个矩阵M相互转换。

则向量v可以表示为：v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。

三、坐标变换的概念坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。

假设有向量v在标准基底下的坐标为y，在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。

则坐标变换关系为：x = My其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。

四、基变换与坐标变换关系在基变换和坐标变换的过程中，两者之间有着密切的联系。

通过基变换矩阵M，可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。

同时，坐标变换也可以通过基变换来实现。

假设有向量v，在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y，则坐标变换公式为：y = Mx五、总结基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念，它们为描述向量空间中的变换提供了有效的数学工具。

通过对基变换和坐标变换的学习，可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。

以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍，希望对你有所帮助。

维数基与坐标基变换与坐标变换

§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关基维数基变换坐标坐标变换。

基变换与坐标变换

于是齐次线性方程组ax0有非零解?c1???取一个非零解y???有?c??n??c1?c1?1?c2?2???cn?n???1?2??n?????c??n???ay???1?2??n??ay??0
辽东学院教案纸
课程：高等代数第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着．标( y1，y 2，

例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个

分别是由1 和2 旋转角所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的两个向量组，， n ) 与 ( 1， 2，设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2，， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，

， n 是 V 的一个基， 1，， n V，且命题 6.4.2 设 1， 2， n )A．， n )=( 1， 2， ( 1， 2，， n 是 V 的一个基．若 A 可逆，则 1， 2，， n 线性无关即可．假设证只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2，， n 1，a 2，， n A ． k k n n

基变换与坐标变换LA4-4B

7．基变换与坐标变换设向量空间V 的基①r αα,,1 ；基②r ββ,,1 ．基变换：j β可由r αα,,1 唯一的线性表示, 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=r rr r r r r r r r c c c c c c c c c αααβαααβαααβ22112222112212211111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=rr r r r r c c c c c c c c c C 212222111211 矩阵乘法形式： C r r ),,,(),,,(2121αααβββ =称上式为由基①改变为基②的基变换公式．称C 为由基①改变为基②的过渡矩阵．定理10 向量空间V 中由基①改变为基②的过渡矩阵C 是可逆矩阵．证若0d e t =A, 则齐次方程组0=Ax 有非零解T 1),,(r k k x =, 由此可得 0),,(),,(1111===++x C x k k r r r r ααββββ 即r βββ,,,21 线性相关, 矛盾！故C 是可逆矩阵． [注] 由基②改变为基①的基变换公式为 12121),,,(),,,(-=C r r βββααα 由基②改变为基①的过渡矩阵为1-C ．坐标变换：V ∈∀α, 有r r x x ααα++= 11⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=r r x x 11),,(ααr r y y ββα++= 11=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=r r y y 11),,(ββ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r r y y C 11),,(αα因为α在基①下的坐标唯一, 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r r y y C x x 11 或者⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-r r x x C y y 111 称上式为坐标变换公式．例12 已知4R 的两个基为① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)0,1,0,0()1,3,0,0()2,1,1,0()1,2,1,1(4321αααα ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=)1,1,0,0()2,3,0,0()0,0,0,1()0,0,1,1(4321ββββ(1) 求由基①改变为基②的过渡矩阵C ； (2) 求43215βββββ-++=在基①下的坐标．解采用中介法求过渡矩阵C ：简单基为)0,0,0,1(1=e , )0,0,1,0(2=e , )0,1,0,0(3=e , )1,0,0,0(4=e 简单基→基①：143214321),,,(),,,(C e e e e =αααα 简单基→基②：243214321),,,(),,,(C e e e e =ββββ基①→基②： 21143214321),,,(),,,(C C -=ααααββββ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01211312001100011C , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1200130********12C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==-2349121300120011211C C C , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡613251114321C x x x x§4.5 线性方程组解的结构⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21 齐次方程组 0=Ax 非齐次方程组 b Ax = (0≠b ) 结论：(1) [][]d Cb A 行→ , b Ax =与d Cx =同解．(2) 0=Ax 有非零解n A <⇔rank ．(3) b Ax =有解A A ~rank rank =⇔． (4) 设r A A ==~rank rank , 则 n r =时, b Ax =有唯一解； n r <时, b Ax =有无穷多解． 1．0=Ax 的解空间解集合 {}n x Ax xS R ,0∈==S y x Ay Ax y x A S y x ∈+⇒=+=+∈∀0)(,, S x k Ax k x k A k S x ∈⇒==∈∀∈∀0)()(,R , 故S 构成向量空间, 称为0=Ax 的解空间． 2．0=Ax 的基础解系不妨设0=Ax 的一般解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===----=----=----=-++-++-++-++r n n r r rn rn r r r r r r n n r r rn n r r k x k x k x k b k b k b x k b k bk b x k b k b k b x 221122,11,222,211,22122,111,11(R ,,,21∈∀-r n k k k )依次令 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100,,010,00121 r n k k k 可求得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=++0011,1,11 r r r b b ξ, ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=++0102,2,12 r r r b b ξ, …, ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-1001 rn n r n b b ξ因为 (1) r n -ξξξ,,,21 线性无关(2) S x ∈∀, r n r n k k k x --+++=ξξξ 2211所以r n -ξξξ,,,21 是解空间S 的一个基, 称为0=Ax 的基础解系．例15 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=201124310221A , 求0=Ax 的一个基础解系．解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000022104201行A , 同解方程组为 ⎩⎨⎧+-=-=4324312242x x x x x x 依次取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,0143x x , 可求得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01221ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10242ξ2．b Ax =解的结构(1) b A =1η, b A =2ηS A ∈-⇒=-⇒21210)(ηηηη (2) b A =1η, 0=ξA ξηξη+⇒=+⇒11)(b A 是b Ax =的解设0=Ax 的一个基础解系为 r n -ξξξ,,,21b Ax =的特解为*η, 一般解为η, 则有⇒∈-*S ηη r n r n k k k --*+++=-ξξξηη 2211⇒ r n r n k k k --*++++=ξξξηη 2211 (R ∈∀i k )例16 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=201124310221A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=465b , 求b Ax =的通解．解 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000001221034201420116243150221行b A 同解方程组为 ⎩⎨⎧+-=-+=432431221423x x x x x x0=Ax 基础解系：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01221ξ, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10242ξ；b Ax =特解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=*0013ηb Ax =通解：2211ξξηηk k ++=* (R ,21∈∀k k )例17 设2rank 33=⨯A , )0(≠=b b Ax 的3个解321,,ηηη满足⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+20221ηη, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+11331ηη, 求b Ax =的通解．解 02r a n k =⇒=Ax A的基础解系中含有123=-个解向量因为 0)]()[(3121=+-+ηηηηA所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+-+=111)()(3121ηηηηξ 是0=Ax 的基础解系又 b A =+)](21[21ηη ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=*101)(2121ηηη是b Ax =的特解故b Ax =的通解为)R (∈∀+=*k k x ξη．例18 设)(rank n r r A n n <=⨯, r n -ηηη,,,10 是)0(≠=b b Ax 的解, 证明： 001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系⇔r n -ηηη,,,10 线性无关．证必要性．设数组r n k k k -,,,10 使得 01100=+++--r n r n k k k ηηη 左乘A , 利用b A i =η可得 0)(10=+++-b k k k r n因为0≠b , 所以 )(01010r n r n k k k k k k --++-=⇒=+++ 由此可得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k因为001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系, 所以线性无关, 从而有 00,,001=⇒==-k k k r n 故r n -ηηη,,,10 线性无关．充分性．000)(ηηηη-⇒=-i i A 是0=Ax 的解向量设数组r n k k -,,1 使得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k 则 0)(1101=+++++----r n r n r n k k k k ηηη因为r n -ηηη,,,10 线性无关, 所以只有0)(1=++--r n k k , 0,,01==-r n k k故向量组001,,ηηηη---r n 线性无关．因此 001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系．。

线性代数-基变换与坐标变换

2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
1 x 2
三、小结
１．基变换公式
1 p111 p212 pn1n
2 p121
p22
2 pn2n
n p1n1 p2n2 pnnn
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
２．坐标变换公式
x1 x1'
x2
P
x2'
,
或
0
,
0
2
1
及
1
1 1
,
2
1 1
2
为线性空间V R2的两个基.
又设
1
21 2,
则在基 1 , 2下的坐标为
x1 1 2 x2 1
由坐标变换公式可知,在基 1, 2下的坐标为
y1 y2
1 1
1 1 1 2 1 2
1 2 1 1
y
即
1 2
1
2.
1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22 p2n
pn1 1
1
pn2
2
PT
2 .
pnn n
n
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
基变换公式在基变换公式
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2, ,n 到基 1, 2, , n的过渡矩阵．
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'

《线性代数》教学课件—第6章线性空间与线性变换第三节基变换与坐标变换

第三节基变换与坐标变换
主要内容
定义坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解求向量在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本本单若若节击想请请本容单若束节想内请返结本本单若若节击想请请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节节想想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内内返结结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容容回束束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已已按本本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结结钮堂堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束束课课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换基变换和坐标变换是几何和线性代数学中最基本也是最重要的概念。

它们可以广泛用于物理、数学和计算机科学等领域。

基变换是指以特定的基为基础，将一个空间的点的坐标从一种坐标系中转换到另一种坐标系中。

坐标变换是指对一组坐标进行变换，使它们符合一定的转换关系，从而将其变换为另一组坐标。

基变换是特殊的矩阵乘法，通过多项式乘法将一维向量转换为另一维向量。

它能够将多维空间中的坐标转换为另一维坐标系，从而实现坐标变换。

例如，可以将三维空间中的点的坐标从直角坐标系转换到极坐标系中。

坐标变换涉及到变换的概念，这是一种线性变换，可以用矩阵表示。

它们描述了一组坐标在其原坐标系和目标坐标系之间的变换关系。

变换可以是任意维度的，例如二维坐标系或三维坐标系。

通常，在一维空间中，可以用一个参数来表示变换，而在二维和三维空间中，则需要使用两个或三个参数来表示变换。

变换也可以是平移、旋转或缩放等。

坐标变换是用来表示变换的线性变换，其可以用矩阵表示。

通常，会话变换的过程可以分为三个步骤：建立坐标系，确定变换矩阵，以及应用变换。

首先，可以根据理想坐标系，建立给定坐标系。

然后，可以构建变换矩阵，将原坐标系转换到目标坐标系中。

最后，可以使用定义好的变换矩阵，将变换的坐标这变换的穿好应用到给定的坐标系中。

基变换和坐标变换在三维空间中特别重要，它们可以应用于科学计算和图形学中的坐标转换和旋转等等。

一般来说，基变换和坐标变换的主要作用就是把不同空间中的点的坐标转换为一种更容易理解的坐标系。

这样，可以更容易地描述和表示几何空间中的物体，也方便对空间中物体实施线性变换。

《线性代数(修订版)》教学课件 5.3 基变换与坐标变换

线性代数课本课件

§4 基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

基变换和坐标变换

§4基变换与坐标变换.

基变换与坐标变换

线性代数-线性空间与线性变换PPT课件

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换公式

维数基与坐标 基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

基变换与坐标变换LA4-4B

线性代数-基变换与坐标变换

《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第三节 基变换与坐标变换

基变换与坐标变换

维数基与坐标基变换与坐标变换

《线性代数》教学课件—第6章线性空间与线性变换第三节基变换与坐标变换