幂函数转化为指数函数
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1) 定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数.当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n >01n <<0n <OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
第二章 第4讲 幂函数、指数与指数函数-2025年高考数学备考
第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数学生用书P0291.幂函数（1）幂函数的概念一般地，函数①y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.（2）5种常见幂函数的图象与性质函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝12y ＝x－1定义域R R R ②{x ｜x ≥0}③{x ｜x ≠0}值域R ④{y ｜y ≥0}R {y ｜y ≥0}⑤{y ｜y ≠0}奇偶性奇函数⑥偶函数奇函数非奇非偶函数⑦奇函数单调性在R 上单调递增在（－∞，0）上单调递减，⑧在R 上单调递增⑨在（0，＋∞）上单调递增⑩在（－∞，0）和（0，＋∞）上单在[0，＋∞）上单调递增调递减图象过定点⑪（1，1）规律总结（1）幂函数y ＝x α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断幂函数在第二或第三象限的图象.（2）在（0，1）上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴；在（1，＋∞）上，幂函数的指数越小，函数图象越接近x 轴.注意幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.2.指数与指数运算（1）根式a.（）n ＝⑫a（n ∈N *，且n ＞1）.b.＝，为奇数，｜U,为偶数.（2）分数指数幂a.＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.b.－＝1＝a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1）.注意0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质a.a r·a s＝⑮ar ＋s（a ＞0，r ，s ∈R ）；＝⑯a r－s（a ＞0，r ，s ∈R ）；b.（a r ）s ＝⑰a rs（a ＞0，r ，s ∈R ）；c.（ab ）r ＝⑱a r b r （a ＞0，b ＞0，r ∈R ）.3.指数函数（1）指数函数的概念函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.（2）指数函数的图象和性质函数y ＝a x （a ＞1）y ＝a x （0＜a ＜1）图象性质函数的定义域为R ；值域为⑲（0，＋∞）.函数图象过定点⑳（0，1），即当x ＝0时，y ＝1.当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1.函数在R 上单调递㉑增.函数在R 上单调递㉒减.注意当指数函数的底数a 的大小不确定时，需分a ＞1和0＜a ＜1两种情况进行讨论.规律总结1.指数函数的图象过点（0，1），（1，a ），（－1，1），依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.2.函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a x 的图象关于x 轴对称，y ＝a x 的图象与y ＝－a －x 的图象关于坐标原点对称.3.如图，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .1.[2024江苏省南通市质量监测]化简：（π－4）2＋3（π－3）3＝（A ）A.1B.－1C.7－2πD.2π－7解析（π－4）2＋3（π－3）3＝｜π－4｜＋π－3＝4－π＋π－3＝1.故选A.2.[多选]已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（BCD）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是增函数C.当x＞1时，f（x）＞1D.当0＜x1＜x2时，（1）＋（2）2＜f（1＋22）解析因为幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，α＝12，所以f（x）＝12＝，由其图象可知，A错误，B正确；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，故C正确；由f（x）＝的图象可知（1）＋（2）2＜f（1＋22），故D正确.故选BCD.3.函数f（x）＝a x－1＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，3）.4.已知函数f（x）＝a x＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－32.学生用书P031命题点1幂函数的图象与性质例1（1）[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y＝x n在第一象限内的图象.已知n分别取±2，±12四个值，与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为（A）A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2解析如图所示，作直线x＝2分别与曲线C1，C2，C3，C4相交，因为函数y＝2x为增函数，所以22＞212＞2－12＞2－2，所以交点由上到下对应的n值分别为2，12，－12，－2，由图可知，曲线C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，12，－12，－2.故选A.（2）[全国卷Ⅲ]已知a＝243，b＝425，c＝2513，则（A）A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，且幂函数y＝13在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.故选A.方法技巧1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇偶性、图象经过的定点等.2.比较幂值大小的方法（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.训练1（1）[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f （x ）＝（m 2＋m －1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f （2）＝（A ）A.12B.2C.2D.22解析因为f （x ）为幂函数，所以m 2＋m －1＝1，解得m ＝－2或m ＝1，又f （x ）的图象与坐标轴无公共点，故m ＜0，所以m ＝－2，故f （x ）＝x －2，所以f （2）＝（2）-2＝12.故选A.（2）若（2m ＋1）12＞（m 2＋m －1）12，则实数m 的取值范围是[5－12，2）.解析因为函数y ＝12的定义域为[0，＋∞），且在定义域内单调递增，所以2+1≥0，2＋－1≥0，2+1>2＋－1，m ＜2，所以实数m 2）.命题点2指数幂的运算例2计算：（1）（－338）－23＋（0.002）－12－10×（5－2）－1＋（2－3）0＝－1679；解析原式＝（－1）－23×（338）－23＋（1500）－121＝（278）－23＋50012－10×（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.（2）若12＋－12＝3，则32＋－32－32＋－2－2＝13.解析由12＋－123，两边平方，得x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＝47，∴x 2＋x －2－2＝45.由（12＋－12）3＝33，得32＋312＋3－12＋－32＝27.∴32＋－32＝18，∴32＋－32－3＝15.∴32＋－32－32＋－2－2＝13.方法技巧指数幂的运算技巧运算顺序①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最后加减；③底数是负数的先确定符号.运算基本原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带分数为假分数.训练2（1）[2024重庆八中模拟]已知10α＝2－12，10β＝3213，则1034＋12＝2.解析1034＋12＝（10）34×（10）12＝（3213）34×（2－12）12＝25×13×34＋（－12）×12＝2.（23B 2（1412）－1313＝（a ＞，b ＞0）.解析原式＝（321323）12B 2－1313＝32＋16－1+13·1+13－2－13＝.命题点3指数函数的图象及应用例3（1）已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是（B ）AB C D解析由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0，0＜a ＜1.函数y ＝a x ＋k 的图象可以看作是把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数的图象与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.（2）[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a ∈R ，若关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜3x －1｜－2a ＝0有两个不相等的实根，即曲线y ＝｜3x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，作出y ＝｜3x －1｜与y ＝2a 的图象，如图，易得a 的取值范围是（0，12）.命题拓展已知a ∈R ，若关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，则a 的取值范围是（0，12）.解析关于x 的方程｜a x －1｜－2a ＝0有两个不等的实根，即曲线y ＝｜a x －1｜与直线y ＝2a 的图象有两个交点，y ＝｜a x －1｜的图象是由y ＝a x 的图象先向下平移1个单位长度，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的.当a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；当0＜a ＜1时，如图2，要使两个函数图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，得0＜a＜12.图1图2综上可知，a 的取值范围是（0，12）.方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略数形结合指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.变换作图对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.注意在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化.训练3[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f （x ）＝a x －1－2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点M （m ，n ），则函数g （x ）＝m ＋x n 的图象不经过（D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵a 0＝1，∴f （x ）＝a x －1－2的图象恒过定点（1，－1），∴m ＝1，n ＝－1，∴g （x ）＝1＋1，其图象不经过第四象限，故选D.命题点4指数函数的性质及应用角度1比较大小例4（1）[2023天津高考]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c解析因为函数f（x）＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a ＞1；因为函数g（x）＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b ＞a＞c.故选D.（2）[2023全国卷甲]已知函数f（x）＝e－（－1）2.记a＝fb＝f c＝fA）A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b解析f（x）＝e－（－1）2是由函数y＝e u和u＝－（x－1）2复合而成的函数，y＝e u为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f（221，所以f＜f（2＜fb＞c＞a，故选A.方法技巧比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底.取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是1）比较大小，然后得出大小关系.数形结合法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小.角度2解简单的指数方程或不等式例5[2024北京市十一学校模拟]若不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.（－4，0）B.（－4，0]C.（0，4）D.[0，4）解析因为不等式3ax－1＜（13）B2恒成立，即3ax－1＜3－B2恒成立，所以ax－1＜－ax2恒成立，即ax2＋ax－1＜0恒成立，当a＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，则<0，Δ＝2+4<0，解得－4＜a＜0.综上可得－4＜a≤0，即实数a的取值范围是（－4，0].故选B.方法技巧解简单的指数方程或不等式问题的思路（1）a f（x）＝a g（x）⇔f（x）＝g（x）.（2）①a f（x）＞a g（x）⇔>1，（）＞（）或0<<1，（）＜（p.②形如a x＞b的不等式，一般先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝a x 的单调性求解.角度3指数函数性质的应用例6已知函数f（x）＝（13）B2－4r3.（1）若a＝－1，则f（x）的单调递增区间为（－2，＋∞），单调递减区间为（－∞，－2）；（2）若f（x）有最大值3，则a的值为1；（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），则a的值为0.解析（1）当a＝－1时，f（x）＝（13）－2－4r3.令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，则该函数在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减.因为y＝（13）u在R 上单调递减，所以函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（13）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）有最小值－1解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.－1，（3）令g（x）＝ax2－4x＋3，由f（x）的值域是（0，＋∞）知，g（x）＝ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.方法技巧1.形如y＝a f（x）的函数的单调性：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即函数y＝a f（x）的单调递减（增）区间.2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论.训练4（1）[2024辽宁省名校联考]已知函数f（x）＝1－B（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上单调递增，则a的取值范围为（C）A.（0，12]B.（1，＋∞）C.（0，13]D.[13，12]解析由a＞0且a≠1，得y＝1－B在[2，3]上单调递减，由复合函数单调性法则得a∈（0，1），由1－3a≥0，解得a≤13，故a∈（0，13].故选C.（2）[2024浙江温州联考]如果1＜2a＜2b＜2，那么（C）A.a a＜a b＜b aB.a a＜b a＜a bC.a b＜a a＜b aD.a b＜b a＜a a解析因为函数y＝2x在R上单调递增，20＝1＜2a＜2b＜2＝21，所以0＜a＜b＜1.因为函数y＝a x（0＜a＜1）在R上单调递减，所以a a＞a b.因为函数y＝x a（0＜a＜1）在（0，＋∞）上单调递增，所以a a＜b a，所以a b＜a a＜b a.故选C.（3）[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f（2x－1）＞32，则x的取值范围为（B）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.[3，＋∞）D.（－∞，－2）解析因为函数f（x）＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称且定义域为R，所以f（0）＝1＋a ＝0，解得a＝－1，所以f（x）＝2x－2－x.因为y＝2x在R上单调递增，y＝2－x在R上单调递减，所以f（x）＝2x－2－x在R上单调递增，由f（1）＝32，f（2x－1）＞32，得f（2x－1）＞f（1），所以2x－1＞1，解得x＞1.故选B.1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在（－∞，0）上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（B）A.f（x）＝x－1B.f（x）＝x－2C.f（x）＝x3D.f（x）＝13解析f（x）＝x－1只满足性质②，f（x）＝x3只满足性质③，f（x）＝13只满足性质③，f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，其值域是{y｜y＞0}.故选B.13＜（3－2）－13，则实数a的取值范围是（－∞，－1）2.[命题点1]若（+1）－∪（23，32）.解析由幂函数y＝－13的图象（图略）可知，不等式（+1）－13＜（3－2）－13等价于a ＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或23＜a＜32.3.[命题点2]（2312）·（－31213）÷（131656）＝－9a.解析（2312）·（－31213）÷（131656）＝－923＋12－16·12＋13－56＝－9a.4.[命题点3]若函数f（x）＝（4mx－n）2的大致图象如图所示，则（B）A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1解析令f（x）＝0，即4mx＝n，则mx＝log4n，即x＝1log4n，由图可知，1log4n＞0，故当m＞0时，n＞1，当m＜0时，0＜n＜1，排除A，D；当m＜0时，易知y＝4mx是减函数，且当x→＋∞时，y→0，则f（x）→n2，易知C不符合题意.故选B.5.[命题点4角度2]若22+1≤（14）x－2，则函数y＝2x的值域是（B）A.[18，2）B.[18，2]C.（－∞，18）D.[2，＋∞）解析因为22+1≤（14）x－2＝24－2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2－3，2]，即[18，2].故选B.6.[命题点4角度3/2024云南省昆明市第二十四中学模拟]已知奇函数f（x）＝a e x－1x在R 上为增函数，则a＝（A）A.1B.－1C.2D.－2解析因为f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，即a－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a ＝1时，f（x）＝e x－1e，定义域为R，因为函数y＝e x和y＝－1e在R上都为增函数，所以f（x）在R上为增函数，且f（－x）＝e－x－1e－＝1e－e x＝－f（x），故a＝1符合题意；当a＝－1时，f（x）＝－e x＋1e，在R上为减函数，不合题意，所以a＝1.故选A.7.[命题点4/2024辽宁期中]已知函数f（x）＝e－1e+1，若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则2＋1的最小值为4.解析因为对任意的x∈R，e x＋1＞0，所以函数f（x）＝e－1e+1的定义域为R.因为f（－x）＝e－－1e－+1＝1－e1+e＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.因为f（x）＝e+1－2e+1＝1－2e+1，且函数y＝e x＋1在R上为增函数，所以函数f（x）＝e－1e+1在R上为增函数.若对任意的正数a，b，满足f（a）＋f（2b－2）＝0，则f（a）＝－f（2b－2）＝f（2－2b），所以a＝2－2b，即a＋2b＝2，所以2＋1＝12（a＋2b）（2＋1）＝12（4＋＋4）≥12（4＋＝4，当且仅当=1，＝12时，等号成立，故2＋1的最小值为4.学生用书·练习帮P2671.[北京高考]已知函数f（x）＝3x－（13）x，则f（x）（A）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数解析因为f（x）＝3x－（13）x，且定义域为R，所以f（－x）＝3－x－（13）－x＝（13）x－3x ＝－[3x－（13）x]＝－f（x），即函数f（x）是奇函数.又y＝3x在R上是增函数，y＝（13）x 在R上是减函数，所以f（x）＝3x－（13）x在R上是增函数.故选A.2.[2024吉林省实验中学模拟]若a＝1.442，b＝1.23，c＝32，则（B）A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b解析 1.44＜3，故1.442＜32，即c＞a.1.442＝（1.22）2＝1.222＞1.23，即a ＞b.故c＞a＞b.故选B.3.[2024山东青岛模拟]函数f（x）＝ax2＋2x＋1与g（x）＝x a在同一直角坐标系中的图象不可能为（B）A BC D解析对于A，抛物线开口向下，所以a＜0，不妨取a＝－1，此时g（x）＝1，符合；对于B，抛物线开口向上，所以a＞0，此时g（x）＝x a在（0，＋∞）上单调递增，不符合；对于C，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝12，此时g（x）＝，符合；对于D，抛物线开口向上，所以a＞0，不妨取a＝2，则g（x）＝x2，符合.故选B.4.设函数f（x）＝（12－7，<0，，≥0，若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（C）A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析当a＜0时，不等式f（a）＜1可化为（12）a－7＜1，即（12）a＜8，即（12）a＜（12）－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f（a）＜1可化为＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是（－3，1）.故选C.5.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，且函数g（x）＝f（x）－（2a－6）x在区间[1，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（B）A.（－∞，4）B.（－∞，4]C.[6，＋∞）D.（－∞，4]∪[6，＋∞）解析因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋5）x m－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4.当m＝1时，f（x）＝x－1，该函数是定义域为{x｜x≠0}的奇函数，不符合题意；当m＝4时，f（x）＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意，所以f（x）＝x2，则g（x）＝x2－（2a－6）x，其图象的对称轴为x＝a－3，因为g（x）在区间[1，3]上单调递增，则a－3≤1，解得a≤4.故选B.6.[多选]设函数f（x）＝2x，对于任意的x1，x2（x1≠x2），下列结论中正确的是（ACD）A.f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）B.f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）C.（1）－（2）1－2＞0D.f （1＋22）＜（1）＋（2）2解析21＋2＝21·22，所以A 正确；21·2≠21＋22，所以B 不正确；函数f （x ）＝2x在R 上是增函数，若x 1＞x 2，则f （x 1）＞f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，若x 1＜x 2，则f （x 1）＜f （x 2），则（1）－（2）1－2＞0，所以C 正确；f （1＋22）＜（1）＋（2）2说明x ＝1＋22时的函数值小于点（x 1，f （x 1））与（x 2，f （x 2））的中点的纵坐标，通过f （x ）＝2x 的图象可知，满足条件，所以D 正确.7.已知幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）的图象关于y 轴对称，且f （x ）在（0，＋∞）上单调递减，实数a 满足（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，则a 的取值范围是（－1，4）.解析∵幂函数f （x ）＝2－2－3（p ∈N *）在（0，＋∞）上单调递减，∴p 2－2p －3＜0，解得－1＜p ＜3.∵p ∈N *，∴p ＝1或p ＝2.当p ＝1时，f （x ）＝x －4为偶函数，满足条件.当p ＝2时，f （x ）＝x －3为奇函数，不满足条件.则p ＝1.不等式（a 2－1）3＜（3a ＋3）3，即（a 2－1）13＜（3a ＋3）13，∵y ＝13在R 上为增函数，∴a 2－1＜3a ＋3，解得－1＜a ＜4.8.[2024河南南阳模拟]已知函数f （x ）＝｜3x －1｜，a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），则下列结论中一定成立的是（D）A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b ≥0，c ＞0C.3－a ＜3cD.3a ＋3c ＜2解析作出f （x ）的图象，如图所示.因为a ＜b ＜c ，且f （a ）＞f （b ）＞f （c ），所以a ＜b ＜0，且存在b'＞0，使f （b ）＝f （b'），则b ＜c ＜b'，即b ＜0＜c ＜b'或b ＜c ＜0＜b'，故排除A ，B ；取a ＝－1，c ＝0，可排除C ；当c ＞0时，f （a ）＝1－3a ＞f （c ）＝3c －1，所以3a ＋3c ＜2，当c ≤0时，3a ＜1，3c ≤1，则3a ＋3c ＜2，故D 一定成立.9.[2024广东省深圳市人大附中模拟]已知α∈（π4,π2）,a ＝（cos α）sin α，b ＝（sin α）cos α，c ＝（cos α）cos α，则（A）A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c解析已知α∈（π4，π2），则0＜cosα＜sinα＜1，因为y＝（cosα）x是减函数，所以c＝（cosα）cosα＞（cosα）sinα＝a；因为幂函数y＝x cosα在（0，1）上是单调递增的，所以c＝（cosα）cosα＜（sinα）cosα＝b，故b＞c＞a.故选A.10.[2024广西南宁三中模拟]设函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),若a＝ln2，b＝30.2，c＝log0.32，则（D）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析∵函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0),∴当x＞0时，由y＝2－x和y＝－2x在定义域上单调递减，得f（x）＝－2x＋2－x在（0，＋∞）上单调递减，当x≤0时，f（x）＝－x3单调递减，又－20＋2－0＝－03＝0，∴函数f（x）＝－2＋2－（>0),－3（≤0）在R上单调递减，∵0＜a＝ln2＜1，b＝30.2＞30＝1，c＝log0.32＜0，∴c＜a＜b，∴f（c）＞f（a）＞f（b）.故选D. 11.[多选/2023湖南益阳一中检测改编]已知函数f（x）＝2－12+1，则下列说法正确的是（AC）A.f（x）为奇函数B.f（x）为减函数C.f（x）有且只有一个零点D.f（x）的值域为[－1，1]解析∵函数f（x）＝2－12+1，x∈R，∴f（－x）＝2－－12－+1＝－2－12+1＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确；∵f（x）＝2－12+1＝1－22+1，且y＝2x＋1在R上单调递增，∴f（x）＝1－22+1在R上为增函数，故B错误；令f（x）＝0，则2x－1＝0，得到x＝0，∴f（x）有且只有一个零点，故C正确；∵f（x）在R上为增函数，令y＝2－12+1，则2x＝1+1－，∵2x＞0，∴1+1－＞0，即（1＋y）（y－1）＜0，解得－1＜y＜1，∴f（x）∈（－1，1），故D错误.故选AC.12.[情境创新/2024重庆统考]数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：Q＝AKαL1－α，其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A 为一个正值常数，可以解释为技术的作用；α∈（0，1），表示资本投入在产值中占有的份额，1－α表示劳动投入在产值中占有的份额.经过实际数据的检验，形成更一般的关系：Q ＝A12，α1∈（0，1），α2∈（0，1），则（A）A.若α1＝0.6，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍B.若α1＝0.5，α2＝0.5，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍C.若α1＝0.4，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍D.若α1＝0.5，α2＝0.6，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍解析若α1＝0.6，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.6L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.6（2L）0.5＝21.1AK0.6L0.5＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，即收益增加多于一倍，故A正确；若α1＝0.5，α2＝0.5，则收益Q1＝AK0.5L0.5，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.5＝2AK0.5L0.5＝2Q1，收益为原来的2倍，故B错误；若α1＝0.4，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.4L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.4·（2L）0.6＝2AK0.4L0.6＝2Q1，收益为原来的2倍，故C错误；若α1＝0.5，α2＝0.6，则收益Q1＝AK0.5L0.6，当所有投入增加一倍时，收益Q2＝A（2K）0.5·（2L）0.6＝21.1AK0.5L0.6＝21.1Q1，收益为原来的21.1倍，收益增加多于一倍，故D错误.故选A.。
幂函数的四则运算
幂函数的四则运算幂函数是指函数f(x)=a^x，其中a是常数，且a>0且a≠1，x为实数。
幂函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将详细介绍这些四则运算。
1.幂函数的加法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的加法可以表示为：h(x)=f(x)+g(x)=a^x+b^x。
注意，这里的加法并不是指将幂函数的系数相加，而是指将两个指数相同的指数函数相加。
2.幂函数的减法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的减法可以表示为：h(x)=f(x)-g(x)=a^x-b^x。
同样，这里的减法并不是指将幂函数的系数相减，而是指将两个指数相同的指数函数相减。
3.幂函数的乘法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数，它们的乘法可以表示为：h(x) = f(x) * g(x) = (a^x) * (b^x) = (ab)^x。
在乘法中，幂函数的底数相乘，并将指数保持不变。
4.幂函数的除法：对于两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x，其中a和b为常数且b≠0，它们的除法可以表示为：h(x)=f(x)/g(x)=(a^x)/(b^x)=(a/b)^x。
在除法中，幂函数的底数相除，并将指数保持不变。
需要注意的是，幂函数的四则运算仅在指数相同的情况下成立。
如果两个幂函数的指数不同，不能直接进行加减乘除运算，而需要先将它们转化为相同底数的幂函数，再进行运算。
具体转化方法如下：1.加法和减法转化：将两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x中的较小底数用大底数表示，即若a>b，则f(x)=a^x=g(x)^[logb(a)]。
这样就将两个幂函数转化为了具有相同底数的幂函数，然后可以按照普通的加法和减法规则进行运算。
2.乘法和除法转化：将两个幂函数f(x)=a^x和g(x)=b^x中的较小底数用大底数表示，即若a>b，则f(x)=a^x=g(x)^[logb(a)]。
对数函数的基本恒等式
对数函数的基本恒等式在数学中，对数是一种数学函数，用来表示某一数值在什么底数下的指数幂等于该数值本身。
对数函数最基本的恒等式为：logab = logac * logcb其中，a、b、c都是正实数，而log是以底数为c的对数函数。
这个基本恒等式实际上是由对数函数的特性得出的。
接下来，我们将从不同角度解释和探讨此恒等式。
1. 对数函数的特性对数函数是一种反函数，即求出一个数的对数就可以得出它是底数的多少次幂。
对数函数的特性主要有以下两个：a) 基本定义：logab = x，表示a的x次幂等于b。
b) 基本性质：logab + logac = loga(bc)对于这两个基本特性，可以进行简单的推导如下：对于基本定义，我们可以得出：a^x = bc^y = a将a带入前面的式子有:(c^y) ^ x = b ===> c^(xy) = b因此，logab = logac * logcb 这个恒等式也可以写成: loga(b/c) = loga b - loga c2. 使用对数函数的恒等式对数函数的基本恒等式可以用来解决很多实际问题，例如：a) 求对数的值：我们可以利用基本恒等式将某些数值转化为其他底数下的对数，从而得出其值。
例如，求log10(5)，可将其表示为log2(5)/log2(10)，然后利用任何常见计算器计算其值。
b) 求指数幂：某些问题中有时需要求某一底数下的另一个数的指数幂，而又不能直接计算。
利用恒等式logab = logac * logcb，我们可以将其转化为求对数的问题，然后再进行指数运算。
例如，要求7的9次方，可以表示为:7^9 = 2^(9 * log2 7)然后再利用计算器计算log2 7即可。
这种方法可以适用于计算任何一个底数下的指数幂。
3. 对数函数与其他数学函数的关联对数函数与其他数学函数有着密切的关联，其中特别值得关注的是指数函数和幂函数。
a) 指数函数：指数函数与对数函数是一对互为逆函数的函数，即对于给定的底数 a，则存在对数函数 loga(x) 和指数函数 a^x。
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一些独特的性质以及特定的计算方式。
在本文中，我们将探讨这些函数的基本概念、性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为实数。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的定义域为实数集R，值域则取决于n的值。
- 当n为正奇数时，f(x)为增函数，值域为R+（正实数集）；- 当n为正偶数时，f(x)为非负且有最小值0，值域为[0, +∞)；- 当n为负数时，f(x)有正负之分，值域为R+和R-（负实数集），且在不同的定义域上具有不同的增减性；- 当n为0时，0的0次方没有定义。
2. 幂函数的图像特点：- 当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现递增趋势；- 当n为负数时，随着x的增大，函数值递减，图像呈现递减趋势。
3. 幂函数的计算方法：- 幂函数的运算法则遵循指数运算法则，如x^m * x^n = x^(m+n)，x^m / x^n = x^(m-n)，(x^m)^n = x^(m*n)等。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
2. 指数函数以a为底，随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的特征。
3. 指数函数的计算方法：- 当a为正数时，指数函数的运算法则与幂函数相似，如a^m *a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)等。
- 当a为负数时，指数函数的运算方法可以通过转化为幂函数的形式进行计算。
三、对数函数的性质与计算对数函数是指数函数的逆运算，以b为底，记作y=logₐx。
对数函数的性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集R+，值域为实数集R。
2. 对数函数以b为底，将正实数x映射到实数y，即b^y=x。
3. 对数函数的计算方法主要包括：- 同底数的对数乘法法则：logₐ(x * y) = logₐx + logₐy；- 同底数的对数除法法则：logₐ(x / y) = logₐx - logₐy；- 对数的换底公式：logₐx = log_bx / log_ba，其中a、b为正实数且a≠1，b≠1。
幂函数与指数函数的性质与计算
幂函数与指数函数的性质与计算幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学中有着广泛的应用。
本文将讨论幂函数和指数函数的性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的性质如下：1. 当n为正偶数时，幂函数是关于y轴对称的，即f(x) = f(-x)。
例如，f(x) = x^2是一个关于y轴对称的函数。
2. 当n为正奇数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = -f(-x)。
例如，f(x) = x^3是一个关于原点对称的函数。
3. 当n为负数时，幂函数的图像将出现在x轴下方。
例如，f(x) = x^-2是一个图像在x轴上方的函数。
4. 当n为0时，幂函数的图像将是一条水平直线。
例如，f(x) = x^0 = 1是一条水平直线。
计算幂函数的方法如下：1. 对于正整数n，计算x^n可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
2. 对于负整数n，计算x^n可以使用倒数和连乘法则。
例如，2^-3 = 1/(2 × 2 ×2) = 1/8。
3. 对于分数n/m，计算x^(n/m)可以使用开方和连乘法则。
例如，2^(3/2) = √(2 × 2 × 2) = √8。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的性质如下：1. 当a大于1时，指数函数是递增的。
即随着x的增大，函数值也增大。
例如，f(x) = 2^x是递增函数。
2. 当0<a<1时，指数函数是递减的。
即随着x的增大，函数值减小。
例如，f(x) = (1/2)^x是递减函数。
3. 当x为0时，指数函数的值为1。
例如，f(0) = a^0 = 1。
计算指数函数的方法如下：1. 对于整数指数，计算a^x可以使用连乘法则。
例如，2^3 = 2 × 2 × 2 = 8。
幂函数与指数函数的图像变换解析
幂函数与指数函数的图像变换解析幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。
本文将从图像的角度，对幂函数和指数函数的图像变换进行解析和讨论。
首先，我们来了解一下幂函数的图像变换。
幂函数的一般形式可以表示为 y = ax^b，其中 a 和 b 是实数，且a ≠ 0。
当 b 为正数时，图像呈现上升趋势；当 b 为负数时，图像呈现下降趋势。
1. 幂函数的图像拉伸和压缩：对于 y = ax^b 这样的幂函数，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。
这是因为 a 的变化会改变函数值的幅度，即放大或缩小函数的纵坐标。
另外，对于 x 的变化，当 b > 1 时，图像在原点附近的斜率更陡，表示函数在原点的增长速度更快；当 0 < b < 1 时，图像在原点附近的斜率更缓，表示函数在原点的增长速度更慢。
2. 幂函数的图像平移：幂函数的图像平移与一般的函数平移类似。
假设有一个幂函数 y = ax^b，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。
当 c > 0 时，图像将沿负 x 轴方向平移 c 个单位；当 c < 0 时，图像将沿正 x 轴方向平移 c 个单位。
总结起来，幂函数的图像变换主要包括拉伸和压缩、以及在平面上的平移。
接下来，让我们讨论指数函数的图像变换。
指数函数的一般形式可以表示为 y = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
1. 指数函数的图像拉伸和压缩：对于指数函数 y = a^x，当 a > 1 时，图像会向上拉伸；当 0 < a < 1 时，图像会向上压缩。
与幂函数不同的是，指数函数的 x 坐标的变化不会改变函数的斜率，而会改变函数值的幅度。
2. 指数函数的图像平移：指数函数的图像平移也与一般的函数平移类似。
假设有一个指数函数 y = a^x，在原函数的基础上，通过改变常数 c 来确定平移的位置。
指数函数与幂函数
指数函数与幂函数
指数函数和幂函数是高中数学中重要的两类函数。
它们在数学
领域有着广泛的应用和重要的作用。
一、指数函数
指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为 y = a^x，其中
a 是底数，x 是指数。
指数函数的特点如下：
1. 底数 a 大于 0 且不等于 1。
当 a 大于 1 时，函数呈增长趋势；当 0 小于 a 小于 1 时，函数呈减少趋势。
2. 指数函数的图像呈现出一种特殊的形状，即曲线在 (0, 1) 区
间单调递减，并在(1, +∞) 区间单调递增。
3. 指数函数的性质包括：同底数指数相乘，指数相加；指数为
0 时，函数值始终为 1。
二、幂函数
幂函数是以 x 的某个常数次幂为自变量的函数，一般形式为 y = x^a，其中 a 是指数。
幂函数的特点如下：
1. 当指数 a 为正数时，幂函数呈增长趋势；当 a 为负数时，幂函数呈减少趋势；当 a 为 0 时，幂函数恒为 1。
2. 幂函数的图像对称于 y 轴。
3. 幂函数的性质包括：同底数指数相乘，指数相加。
指数函数和幂函数在科学研究、经济学、物理学以及工程学等领域中都有广泛的应用。
它们的研究和使用可以帮助我们解决很多实际问题，提高我们的计算和分析能力。
总结：指数函数和幂函数是数学中重要的两类函数，它们具有不同的特点和性质，在应用中具有广泛的用途和作用。
图表总结指数函数、对数函数、幂函数对比与联系
幂函数一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)x α的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y ＝xy ＝x2y ＝x3y ＝x12y ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f (x )＝xn m(其中m ∈N *，n ∈Z，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称；(2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．指数式、对数式一、基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na )n＝a (a 使na 有意义)．②当n 是奇数时，na n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a，a ≥0，a ，a <0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②am n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1.(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．二、常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log am b n＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)．3．对数恒等式a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．指数函数一、基础知识1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y =a x (a >0,且a ≠1）的图象和性质与a 的取值有关，应分a >1与0<a <1来研究.二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．对数函数一、基础知识1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y ＝log a x 的3个特征(1)底数a >0，且a ≠1；(2)自变量x >0；(3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a ,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,大致图象．(2)函数y＝log a x与y＝log1ax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数在数学中，幂函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和深远的影响。
本文将对幂函数和指数函数进行介绍和比较，分析它们的特点和应用。
一、幂函数的概念和特点幂函数是指函数的自变量为底数，函数式中只有一个幂的函数。
幂函数的一般形式可以表示为：y = x^a，其中x为自变量，a为幂指数。
幂函数中，底数为正数且不等于1，指数a可以是任意实数。
幂函数具有以下特点：1. 幂函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，幂函数都有定义。
2. 当指数a为正数时，幂函数是严格递增的；当指数a为负数时，幂函数是严格递减的。
指数a决定了幂函数的增减规律。
3. 幂函数图像可分为两种情况：当指数a为正数时，幂函数图像从左下方无穷趋向于渐近线y=0；当指数a为负数时，幂函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。
二、指数函数的概念和特点指数函数是指自变量作为指数的函数。
指数函数的一般形式可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为自变量。
指数函数具有以下特点：1. 指数函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，指数函数都有定义。
2. 当底数a大于1时，指数函数是严格递增的；当底数a介于0和1之间时，指数函数是严格递减的。
底数a决定了指数函数的增减规律。
3. 指数函数图像可分为两种情况：当底数a大于1时，指数函数图像从左上方无穷趋向于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，指数函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。
三、幂函数与指数函数的关系与应用幂函数和指数函数之间存在着密切的关系，它们互为反函数。
即对于一个幂函数y = x^a来说，对应的指数函数是y = a^(1/x)。
幂函数和指数函数在数学和实际应用中都有广泛的应用，例如：1. 在金融领域，复利计算中的利息增长可以用指数函数来描述，而本金的变化可以用幂函数来描述。
2. 在物理学中，许多自然现象的增长和衰减过程可以用指数函数来描述，例如原子衰变、生物种群的增长等。
中考重点幂函数指数函数与对数函数方程的解法
中考重点幂函数指数函数与对数函数方程的解法幂函数、指数函数和对数函数是中考数学中的重点内容，尤其是解方程的方法。
本文将介绍幂函数、指数函数和对数函数的基本概念，并详细解释如何使用它们解方程。
一、幂函数幂函数是指以自变量x为底数的函数，形式为y=a^x。
其中，a为常数且大于0且不等于1，x和y为实数。
幂函数的图像与底数 a 的大小有关，当 a 大于 1 时，幂函数在 x 轴的右侧逐渐增大；当 a 在 0 到 1 之间时，幂函数在 x 轴的右侧逐渐逼近 x 轴。
解幂函数的方程可以通过对等式两边取对数来实现。
具体过程如下所示：步骤一：设幂函数的方程为 a^x=b，其中 a>0 且a≠1，b>0 。
步骤二：对两边同时取对数，得到 ln(a^x)=ln(b) 。
步骤三：根据对数的性质，化简等式为 xln(a)=ln(b)。
步骤四：通过除以 ln(a)，解得 x=ln(b)/ln(a)。
二、指数函数指数函数是幂函数的一种特殊形式，即幂函数的底数 a 等于常数 e （自然对数的底数），即 y=e^x。
指数函数的图像呈现出递增的形态，且在 x=0 处经过点 (0,1)。
解指数函数的方程可以使用对数函数来完成。
具体步骤如下：步骤一：设指数函数的方程为 e^x=b，其中 b>0。
步骤二：对等式两边取自然对数 ln，得到 ln(e^x)=ln(b)。
步骤三：根据对数的性质，化简等式为 x=ln(b)。
三、对数函数对数函数是幂函数和指数函数的逆函数，即 y=log_a(x)。
其中，a是常数且大于 0 且不等于 1，x 和 y 是正实数。
对数函数的图像通过对x 轴的正半轴进行镜像得到。
解对数函数的方程的方法借助指数函数，具体步骤如下：步骤一：设对数函数的方程为 log_a(x)=b，其中 a>0 且a≠1，b>0。
步骤二：将对数方程转化为指数形式，得到 a^b=x。
四、幂函数、指数函数和对数函数的综合应用幂函数、指数函数和对数函数在实际问题中常常是相互关联的，需要综合应用它们解决实际问题。
幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数的差异1.指数函数：自变量x在指数的地点上，y=a^x（a>0，a不等于1）性质比较单一，当a>1时，函数是递加函数，且y>0;当0<a<1时，函数是递减函数，且y>0.2.幂函数：自变量x在底数的地点上，y=x^a（a不等于1）.a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不相同的。
高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。
此中当a=2时，函数是过原点的二次函数。
其余a值的图像可自己经过描点法画下并认识下基本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个详细数值，其实不是函数，假如要和指数函数或许幂函数联系起来也是能够的。
第一你能够将其当作：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，y的值；或许将其当作：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。
幂函数的性质：依据图象,幂函数性质概括以下：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；（2）当a>0时，幂函数的图象经过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数．特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸；（3）当a<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右侧趋势原点时，图象在y轴右方无穷地迫近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在轴x上方无穷地迫近轴x正半轴。
指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别重申，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x 轴的两条射线，但点（0，1）要除外。
思虑议论：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪一种重要性质？（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪一种重要性质？讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数。
幂函数与指数函数的性质
描述电容随电压变化的公式：C=εrε0S/d，其中εr是相对介电常数，ε0是真空介电常数，S是电极面积，d是电极间距，该公式是幂函数形式。
风险评估：指数函数用于评估投资组合的风险
复利计算：指数函数用于计算投资收益的累积效应
资产评估：指数函数用于评估投资组合的价值
保险精算：指数函数用于计算保险费和赔偿金
03
04
幂函数的图像：在第一象限内，随着n的增大，图像越来越靠近y轴；随着^x (a > 0, a ≠ 1)
指数函数具有连续性、可导性和可积性等性质
当 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数
其中，a 是底数，x 是自变量，y 是因变量
函数图像：幂函数的图像在第一象限内单调递增，而指数函数的图像在第一象限内单调递减
导数：幂函数的导数可以表示为幂函数的形式，而指数函数的导数可以表示为指数函数的形式
幂函数在物理学中的应用，例如弹簧的振动和波动
指数函数在金融领域的应用，例如复利计算和股票价格预测
幂函数在生物学中的应用，例如人口增长模型和生物种群数量的预测
03
04
当a<0时，幂函数y=x^a不具有周期性。
指数函数的性质
定义域：全体实数
值域：正实数集
图像特征：在第一象限内单调递增，在第四象限内单调递减
与坐标轴的交点：当x=0时，y=1
当底数大于1时，指数函数在实数范围内是增函数
当底数在(0,1)之间时，指数函数在实数范围内是减函数
奇函数：当指数为奇数时，指数函数是奇函数
指数函数在计算机科学中的应用，例如加密算法和数据压缩技术
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幂函数的性质
(完整版)指数函数公式变形公式专题
(完整版)指数函数公式变形公式专题
指数函数是数学中常见且重要的函数之一。
在数学中，我们经
常需要对指数函数进行变形，以便更好地理解和应用。
以下是一些常见的指数函数变形公式：
1. 幂函数公式
指数函数可以表示为幂函数。
幂函数公式如下：
f(x) = a^x
其中，a为常数，x为自变量。
2. 指数幂函数公式
指数幂函数是指数函数的逆运算，可以表示为指数函数的倒数。
指数幂函数公式如下：
f(x) = log_a(x)
其中，a为底数，x为自变量。
3. 指数函数的性质
指数函数具有一些特殊的性质，可以通过变形公式进行推导和应用。
- 指数函数的反函数指数函数的反函数
指数函数的反函数是对数函数，可以表示为：
f(x) = log_a(x)
其中，a为底数，x为自变量。
- 指数函数的乘方性质指数函数的乘方性质
指数函数的乘方性质可以表示为：
f(x) = a^m * a^n = a^(m + n)
其中，a为底数，m和n为指数。
- 指数函数的除法性质指数函数的除法性质
指数函数的除法性质可以表示为：
f(x) = a^m / a^n = a^(m - n)
其中，a为底数，m和n为指数。
- 指数函数的幂函数公式指数函数的幂函数公式指数函数的幂函数公式可以表示为：
f(x) = (a^m)^n = a^(m * n)
其中，a为底数，m和n为指数。
以上是指数函数变形公式的一些简要介绍。
指数函数在数学中具有重要的应用价值，掌握这些变形公式可以帮助我们更好地理解和应用指数函数。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有重要的应用和性质。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、图像特征和性质，并探讨它们之间的关系。
一、幂函数的定义和图像特征幂函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
幂函数的特征在于底数是自变量，指数是常数。
当a>0且a≠1时，幂函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，幂函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x) =a^x。
3. 当x是负数时，幂函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，幂函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
二、指数函数的定义和图像特征指数函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
指数函数的特征在于指数是自变量，底数是常数。
当a>0且a≠1时，指数函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，指数函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x)= a^x。
3. 当x是负数时，指数函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，指数函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在一定的关系。
可以将指数函数f(x) = a^x 看作是幂函数f(x) = x^a的一种特殊情况。
当底数a为常数时，指数函数是幂函数的特殊形式。
幂函数和指数函数在实际应用中都有广泛的运用。
幂函数和指数函数的
幂函数和指数函数的
区别
幂函数和指数函数的区别：
1. 概念上的区别：幂函数是在代数中定义的一类函数，它的定义域和值域都是实数集合；而指数函数是在微积分中定义的一类函数，它的定义域和值域都是正实数集合；
2. 表达式上的区别：幂函数的关系式为 y = x^n (x,y ∈ R; n ∈ N*)，即y由x的n次幂所决定；而指数函数的关系式为y = a^x (a,y∈R; x∈R) ，即y由常数a 的x次方所决定。
3. 性质上的区别：幂函数无法表示指数增长和指数递减，因此不能表示出随着时间的变化而以指数形式变化的现象；而指数函数可以表示这样的现象。
幂函数一般形式
幂函数一般形式
幂函数是数学中最基本的函数之一，它以幂次n为参数，也就是说，它描述了x的n次幂变化的图像。
因此，它以y=xn的形式表示。
幂函数又称为指数函数，它是一类特殊的函数，可以通过指数的增加而快速增加。
另一方面，它也可以被认为是高斯函数的推广，它表示数量的变化，其中某些变量（例如时间和空间）的变化可以表示两种变化的不同现象，通过改变指数的值来表示不同的变化率。
幂函数满足一般形式：y=xn，其中x和n可以取任意实数值。
在数学上，x也可以取负实数值，但是n只能取正实数值。
当n取整数值，尤其是负整数值时，可以将幂函数分解成多项式，例如y=x2可以分解成(x+1)(x-1)，而当n取非整数值时，幂函数则不再能够分解成多项式。
此外，当n取正整数值时，可以将幂函数分解成特殊的函数，如：y=x2=sin2x+cos2x；y=x3=sin3x+cos3x，这些函数在实践中有着广泛的应用。
同时，还有一类特殊的函数，可以被称为对数函数，它的形式为y=logax。
与指数函数不同，对数函数表示了x的以a为底的对数变化的图像。
它也可以看作是幂函数的逆函数，因为它可以用来表示自然数量的变化，以及a的n次方变化的图像，可以表示为：y=loga(xn)。
总而言之，幂函数一般形式为y=xn，其中x和n可以取任意实数值，当n取整数值，尤其是负整数值时，幂函数可以分解成多项式；当n取正整数值时，幂函数可以分解成特殊的函数；在实践中，幂函
数可以用来描述数量的快速变化，或者描述a的n次方变化。
此外，还有一类特殊的函数，可以被称为对数函数，可以用来表示对数的变化，以及表示a的n次方变化的图像。