第六章 多目标最优化方法
第六章 多目标最优化方法
影响，有影响为2，无影响为1。 v 13.外来物资的装卸次数：U13(x) v 方案xi运输外来物资至坝址的装和卸总次
数。
v 以上各指标及方案的值详见表3（运输系统决 策分析技术经济指标表）
v 6.4.4 决策意见
v
U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投资比
v 式中Q(x)为交通运输方案xi担负的总货运量(吨)
v 10．运输系统职工总人数：U10(x) (人) v 方案xi完成运输系统运行管理的职工总人数
（反映管理的难易、繁简）。
v 11.运输工具能源消耗费用：U11(x)(万元)
v 方案xi完成商品材料、砂石料和客运、总 运量消耗的能源费用。
员） v 2. 目标函数 v (1) 总的投资最省； v (2) 工期最短； v (3) 生产均衡，不均系数小，施工高峰强度小； v (4) 工程质量优，良率最高； v (5) 能源及原材料消耗最少；
v (6) 劳力及机械设备用量最少。 v 显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一
方案全面最优，只能整体最优。 v 6.1.3 多目标决策的一般数学表达式 v 设有m个约束条件，k个目标函数，
表3 运输系统决策分析技术经济指标表
v 表42 火车轮渡直达两岸(杨家湾设码头) v 加权多指标决策对比优序数矩阵的计算
序数法，排出如表44，从该表44中的aij'排出 加权多目标优序数决策矩阵如表45中Ki'的大 小为序，其决策顺序应为
v
x3 → x4 → x2 → x1
v 铁路 公路 水运 火车轮渡
v 建议对三峡工程施工对外交通运输方案
做决策时，应采用铁路为主，水运与公路为 辅的方案，就铁路工程本身，应采用铁二院 推荐的姜家庙电力机车牵引方案见表46 。
6-多目标优化
解：所谓最佳投资方案是指：投资最少；收益最大。 若令
1对A i 投资 xi i 1 2， m ，..., 0对A i不投资
min f1
目标函数为求： 投资最少：
a x
i 1 i
m
i
收益最大：
约束函数为：
max f 2
c x
i 1 i
m
i
a x
i 1
m
i i
（9）
模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规 划转化为单目标规划。 ①假定投资的平均风险水平 q ，则投资M的风 险 k q M ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即 Q（x）≤k，则模型（9）可转化为
R( x) max s.t Q( x) k F ( x) M x0
即应该满足从而得到约束条件关系同样对其它选修课程的先选关系也可得到相应的约束条件整理后得到在lingo下面对问题进行求解得到解为若在考虑选修课时达到最小的同时还希望所得到的学分达到最大则增加目标函数为此引入目标函数向量终得到目标函数到7门如果所考虑的问题是优先门数的话则再增加限制条件min
第三节多目标规划模型
在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇 到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的 最优问题. 一、引例 例 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿 元的资金可用于投资，并由m个项目 A , A2 ,..., Am 1 可供选择。如果对第 i个项目投资的话，需用资金 ai亿 元，并可获得收益 ci 亿元，试确定最佳投资方案。
（7）
资金约束：
F ( x) f i ( x i ) M
i 0
n
多目标优化方法及实例解析ppt课件
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
多目标优化设计方法PPT39页
7.4 功效系数法
一、功效系数 极小值
多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值 一个合适的数值
每个子目标都用一个功效函数di表示 ——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
1、基本思想
这种方法是对各目标函数的最优值放宽要求， 可以对各目标函数的最优值取给定的宽容值，即 ε1>0， ε2>0,…。这样，在求后一个目标函数的 最优值时，对前一目标函数不严格限制在最优解 内，而是在前一目标函数最优值附近的某一范围 内进行优化，因而避免了计算过程的中断。
若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集,用 Da*b 表示。
只有当F(X)的各个子目标fi(X)的最优点都存在，并且 全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。
7.1 概述（续）
2、有效解（非劣解） 设 X* D (D为可行域）， 若不存在 X D ，使
fi ( X ) fi ( X*)(i 1, 2,..., m)
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
评价函数：
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数
多目标优化方法及实例解析
多目标优化方法及实例解析多目标优化是一种优化问题，其中有多个目标函数需要同时优化。
在传统的单目标优化中，我们只需要优化一个目标函数，而在多目标优化中，我们需要找到一组解，这组解称为“非劣解集合”或“帕累托最优集合”，其中没有解可以在所有目标函数上获得更好的值。
在本文中，我们将详细介绍多目标优化的方法和一些实例解析。
1.多目标优化方法：a. Pareto优化：Pareto优化是最常见的多目标优化方法。
它基于帕累托原理，即一个解在至少一个目标函数上比另一个解更好。
Pareto优化的目标是找到尽可能多的非劣解。
b.加权和方法：加权和方法将多个目标函数线性组合为一个单目标函数，并通过调整权重系数来控制不同目标函数之间的重要性。
这种方法的局限性在于我们必须预先指定权重系数，而且结果可能受权重选择的影响。
c.约束方法：约束方法将多目标优化问题转化为一个带有约束条件的单目标优化问题。
这些约束条件可以是各个目标函数的约束条件，也可以是基于目标之间的特定关系的约束条件。
d.演化算法：演化算法是一类基于自然选择和遗传机制的优化算法，例如遗传算法和粒子群优化。
演化算法通常能够找到帕累托最优解集合，并且不需要预先指定权重系数。
2.实例解析：a. 假设我们希望同时优化一个函数 f1(x) 表示最小化成本，以及函数 f2(x) 表示最大化效益。
我们可以使用 Pareto优化方法来找到一组非劣解。
我们可以通过在参数空间中生成一组解，并对每个解进行评估来实现。
然后，我们可以根据解的优劣程度对它们进行排序，找到最优的非劣解集合。
b.假设我们希望优化一个函数f1(x)表示最大化收益，并且函数f2(x)表示最小化风险。
我们可以使用加权和方法来将两个目标函数线性组合为一个单目标函数：目标函数=w1*f1(x)+w2*f2(x)，其中w1和w2是权重系数。
我们可以尝试不同的权重系数，例如w1=0.5和w2=0.5，来找到最优解。
c.假设我们希望优化一个函数f1(x)表示最小化成本，并且函数f2(x)表示最小化风险。
多目标最优化算法
多目标最优化算法
多目标最优化算法是一种用于解决具有多个目标的优化问题的方法。
在多目标优化中，需要同时优化多个相互冲突的目标，而不是仅仅关注单个目标的最大化或最小化。
常见的多目标最优化算法包括：
1. 权重法：通过给每个目标分配权重，将多目标问题转化为单目标问题进行求解。
2. 帕累托最优解：寻找一组非支配解，这些解在不牺牲其他目标的情况下无法进一步改进。
3. 基于进化算法的方法：如遗传算法、粒子群算法等，通过模拟自然进化过程来搜索多目标最优解。
4. 妥协方法：通过找到一组权衡各个目标的解，以获得一个可接受的折衷方案。
5. 多目标优化算法的评估通常使用帕累托前沿来比较不同算法的性能。
在实际应用中，选择合适的多目标最优化算法需要考虑问题的特点、算法的复杂度、计算资源等因素。
同时，还需要根据具体情况进行算法的改进和调整，以获得更好的优化效果。
多目标最优化算法在许多领域都有广泛的应用，如工程设计、经济决策、环境管理等。
它们帮助决策者在多个相互冲突的目标之间找到最优的权衡方案，以实现综合的最优决策。
多目标最优化方法
多目标最优化方法解决优化问题时，如果只考虑单一目标最优，称为单目标最优化问题(Single-Objective optimization problem, SOP)，若考虑的最优目标不仅一个，而是多个，我们称为多目标最优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)。
多目标最优化是最优化方法领域中重要的研究方向之一。
多目标最优化问题起源于实际生活中复杂系统的规划设计、模型建立等。
在工程设计、工农业规划、经济规划、金融决策城、市运输、水库管理和能量分配等社会活动中，经常遇多目标最优化问题，可以说多目标优化问题是无处不有、无处不在的.正是由于这种多目标最优化问题的重要性以及普遍性才使得人们要去研究多目标最优化问题的解法。
目前，国内、外许多学者致力于这方面的研究.1.1多目标最优化问题的简史多目标最优化问题的出现，应追溯到1772年，当时Franklin提出了多目标矛盾如何协调解决的问题。
但国际上大都认为多目标最优化问题最早是由法国经济学家V. Pareto于1896年提出的。
当时，他从政治经济学的角度，把不好比较的目标归纳成多日标最优化问题。
1944年，V on.neumann和J. Morgenstern从对策论的角度，提出多个决策者彼此又互相矛盾的多目标决策问题。
1951年，T. C. Koopmans从生产和分配的活动分析中提到了多目标最优化问题，并且第一次提出了Pareto最优解的定义。
同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucker从数学归纳的角度，给出了向量极值问题的Pareto最优解，并研究了这种解的充分必要条件。
1953年，Arron等学者对凸集提出了有效解的概念，从此多目标最优化逐渐受到人们的关注。
1963年，L. A. Zadeh从控制论角度提出多目标控制问题。
这期间Charnes, Klinger, Keeney, Geoffrion等人先后都做了有效的工作。
机械优化设计多目标问题的最优化方法
则 x*为K-T非劣解。例，图中的
Q、S点。
§6.2 基本概念和定义
劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。
例如 有一个2维(x∈R2)的两个目标函数f1(x)和f2(x)求极小 化的约束问题。
（a）设计空间
（b）二维
§6.3
一.
协调曲线法
基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解， 以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配 关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。 f1(X)=4,f2(X)=9,当f2=9时，极小化f1 得D点 当f1=4时，极小化f2得E点 DE的延长线AB为协调曲线 协调曲线： ① 双目标函数的协调曲线 min . f x f1 x Wf 2 x
§6.2 基本概念和定义
（a）设计空间
（b）目标空间
从某种意义上说．非劣解解集(Q1－Q2曲线)中的任一点都可以作为多目标问 题的最终解。但通常是根据不同的要求，从中选出一个满意的解作为最终的 解．称它为选好解。例如，图 (b)中取f1(x*)=f2(x*)=2，x*=2这个非劣解。
§6.2 基本概念和定义
s.t. g u x * 0 u 1,2,, m
例：图中的 T、P点。 ② 多目标优化的 K-T 非劣解： x*∈D ，若不存在搜索方向S，能同时满足：
f x *T S 0 其中： f1 x T 1 g x * S 0 f x
q j 1
j 1,2, , q u 1,2, , m 称为目标函数的离差；
第6章多目标优化
第6章多目标优化多目标优化是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，寻求一组最优解，使得这些目标函数在给定约束条件下均得到最优化。
多目标优化问题在现实生活中存在广泛的应用，如工程设计、金融投资、交通规划等领域。
多目标优化问题常用的解决方法有多种，如加权法、边界矩阵法、非支配排序遗传算法(NSGA)等。
其中，NSGA算法是一种经典的多目标优化算法，具有较高的效率和良好的收敛性。
NSGA算法的基本思想是通过遗传算法的进化过程，不断生成潜在解集，并根据这些解集的非支配关系进行排序。
在排序的过程中，通过计算个体与其他个体的支配关系，将其分为不同等级，以判断个体的优劣程度。
通过遗传算子的选择、交叉和变异等操作，对潜在解集进行进一步的扩展和优化。
最终，NSGA算法将找到一组尽可能多的非支配解集，这些解集在多个目标函数下均得到最优化。
NSGA算法的核心是非支配排序和拥挤度计算。
非支配排序是指对解集中的个体进行排序，根据个体与其他个体的支配关系，划分为不同等级。
拥挤度计算是指对非支配排序之后的解集中的个体，计算其在目标空间中的拥挤度值，用来表征个体的多样性和密度情况。
通过综合考虑非支配排序和拥挤度计算，NSGA算法能够在解集中找到更多的多样性解，提供更多的选择。
多目标优化问题的解决需要综合考虑多个目标函数之间的权衡和平衡，不同的权重设置可能会得到不同的最优解集。
因此，在实际应用中，需要根据问题的特点和具体要求，合理选择权重设置和目标函数的优化策略。
此外，多目标优化问题还需要考虑约束条件的处理和优化算法的选择，以找到最优解集。
总结来说，多目标优化是求解具有多个目标函数的优化问题，通过综合考虑多个目标函数之间的平衡，寻求一组最优解。
NSGA算法是一种常用的多目标优化算法，通过非支配排序和拥挤度计算等技术，能够有效地找到多样性解集。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求，合理选择优化策略和算法。
多目标最优化数学模型
多目标最优化数学模型第六章最优化数学模型§1 最优化问题1、１最优化问题概念１、2 最优化问题分类1、3 最优化问题数学模型§2经典最优化方法２、１无约束条件极值2、2 等式约束条件极值2、３不等式约束条件极值§３线性规划3、１线性规划3、2整数规划§4 最优化问题数值算法4、1 直接搜索法4、２梯度法4、３罚函数法§5 多目标优化问题5、1 多目标优化问题5、2 单目标化解法5、3 多重优化解法5、4目标关联函数解法5、5 投资收益风险问题第六章最优化问题数学模型§1 最优化问题1、1 最优化问题概念(1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域得实际工作中,我们经常会遇到求函数得极值或最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题得数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题得目得有两个:①求出满足一定条件下,函数得极值或最大值最小值;②求出取得极值时变量得取值。
最优化问题所涉及得内容种类繁多,有得十分复杂,但就就是它们都有共同得关键因素：变量，约束条件与目标函数。
(２)变量变量就就是指最优化问题中所涉及得与约束条件与目标函数有关得待确定得量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件),与目标函数紧密关联。
设问题中涉及得变量为;我们常常也用表示。
(３)约束条件在最优化问题中,求目标函数得极值时,变量必须满足得限制称为约束条件。
例如,许多实际问题变量要求必须非负，这就就是一种限制;在研究电路优化设计问题时,变量必须服从电路基本定律,这也就就是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种:等式约束条件不等式约束条件或注:在最优化问题研究中,由于解得存在性十分复杂,一般来说,我们不考虑不等式约束条件或。
多目标优化设计方法PPT39页
间接法
线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、 平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
分层序列法、宽容分层序列法
7.2 统一目标函数法（综合目标法）
一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X)统一到一个新构成的总的目标函数 f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统— 目标函数的单目标问题来求解．
7.1 概述
一、多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法
多目标优化的实例： 物美价廉
7.1 概述（续）
设计车床齿轮变速箱时，要求： 各齿轮体积总和 f1(X ) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和 f2 (X ) 尽可能小 使变速箱结构紧凑。
合理选用材料
使总成本 f3 (X ) 尽可能小。
hj ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k)
向量形式的目标函数
设计变量应满足的所 有约束条件
7.1 概述（续）
二、几个基本概念
1、最优解 设 X* D (D为可行域）， 若对于任意 X D ，恒使
fi ( X*) fi ( X )(i 1, 2,..., m)
成立，则称X*为多目标优 化问题的绝对最优解，简称最优解。
对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其 优劣；
多目标优化问题得到的可能只是非劣解（有效解）， 而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最 优解。
7.1 概述（续）
三、多目标优化问题的特点及解法（续) 2、解法：
直接法： 直接求出非劣解，然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题
多目标最优化方法
多目标最优化方法多目标最优化方法是一种用于解决具有多个目标函数的优化问题的方法。
在传统的单目标优化中，目标函数只有一个，需要寻找一个解使得该目标函数最小化或最大化。
而在多目标优化中，有多个目标函数需要最小化或最大化，这些目标函数通常是相互冲突的，即改变一个目标函数的值会影响其他目标函数的值。
多目标最优化方法的目标是通过找到一组解，使得这组解在多个目标函数上都具有较好的性能。
因此，在多目标最优化中，我们不能再使用单一的度量来衡量一个解的优劣，而是需要使用一种综合度量来评估一个解相对于其他解的优劣。
在多目标最优化方法中，最常用的方法之一是帕累托前沿（Pareto Frontier）方法。
帕累托前沿是一条曲线，该曲线上的每个点都表示在多个目标函数上都达到最优的解，这些解被称为非支配解（Non-dominated Solutions）。
在帕累托前沿上，没有任何一个解可以在所有的目标函数上都比其他解更好。
求解多目标最优化问题的常用方法之一是使用进化算法。
进化算法是一类通过模拟自然进化过程来求解问题的优化算法。
其中最常用的进化算法是遗传算法。
遗传算法通过模拟自然界中基因的交叉、变异和选择过程，逐步改进当前的解，并且通过适应度函数来评估一个解的优劣。
除了遗传算法之外，粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）、模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）和蚁群算法（Ant Colony Optimization, ACO）等进化算法也可以应用于解决多目标最优化问题。
进化算法的基本思想是通过维护一组解的种群，并通过模拟自然进化过程来不断改进种群中的解。
具体来说，进化算法包括以下几个步骤：1.初始化种群：随机生成一组解作为初始种群。
2.选择操作：根据适应度函数，选择一部分解作为父代，用于产生下一代的解。
3.变异操作：对选中的解进行变异操作，引入一定的随机性，以增加种群的多样性。
多目标优化的求解方法
多目标优化的求解方法多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。
多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
目前主要有以下方法：（1）评价函数法。
常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。
评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。
（2）交互规划法。
不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。
常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。
（3）分层求解法。
按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。
而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。
在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。
1)物资调运车辆路径问题某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低, 这是含有两个目标的优化问题。
利用首次适配递减算法和标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。
2)设计如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。
Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合应用于汽车零件多工序冷挤压工艺的优化。
第6章 多目标优化
第六章：多目标优化6.1：概述1986年，法国经济学家V .Pareto ，政治经济学问题 1944年，Von.Neumann 和Morgenstern ，对策论1951年，T.C.Koopmans ，生产和分配活动中的多目标优化问题，引入了“优”的概念 1951年，Kuhn 和Tucker ，数学规划的角度进行了理论概括 1963年，L.A.Zadeh ，从控制论方面提出了多指标问题的概念 1972年，第一次国际性会议讨论多目标优化问题● 多目标优化问题的主要内容问题：用多个指标来衡量各个可能方案的好坏，从中选出“优”者，提供“决策人”采用。
选择方式：由有关的实施部门提出有限个有明确指标的方案。
通过一系列的限制条件，由设计者寻找而得到的有限个或无限个可能方案。
寻优情况：劣解：凡是被别的方案淘汰的方案。
最优解：可以淘汰其他所有方案的这样一个或多个方案。
非劣解（有效解）：凡不能被淘汰的方案。
“分析者” 选好解：设计者最终采用的非劣解，非劣解中的一个。
“决策者”寻优方法：采用单目标优化方法，关键是如何将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
分目标最优法：约束法、分层序列法评价函数法：将约束区域映照到多目标空间，得到“像集”F (R )，并重新构造一个新的目标函数称为“评价函数”h (F (X ))，求h (F (X ))在F (R )上的最优解，从而得到多目标的“优”解。
● 多目标优化问题的数学表达1：单目标优化问题的数学表达⎩⎨⎧=≥m i X g X f Min P i,,2,1,0)()()( },,2,1,0)(|{)(),,,(21m i X g X R X f Min E x x x X i nT n =≥=∈= 2：多目标优化问题的数学表达⎩⎨⎧=≥-mi X g X F Min V VP i ,,2,1,0)()()( mi p T p nT n E m i X g X R p E X f X f X f X F E x x x X ∈=≥=≥∈=∈=},,2,1,0)(|{0)](,),(),([)(),,,(2121 3：目标函数规范化变量规范化：],[i i tri B A x ∈ ii it r i i A B A x x --=n i ,,2,1 =目标函数规范化：)(X f j)()()()(X f Min X f f X f X f j RX j jj j ∈==● 举例1：喜糖问题 甲级： 单价10元/斤 乙级：单价5元/斤 要求：总钱数不超过200元，甲级糖不少于5斤，糖的总量不少于20斤 确定：最好的买糖方案 变量：甲级糖斤数1x ，乙级糖斤数2x221),(E x x X T ∈=目标函数：最省钱211510)(x x X f += 最小221)](),([)(E X f X f X F T ∈=最多糖212)(x x X f +=最大约束条件：总钱数0)510(200)(211≥+-=x x X g 总糖量020)(212≥-+=x x X g 甲级糖05)(13≥-=x X g乙级糖0)(24≥=x X g多目标优化问题：⎩⎨⎧=≥-4,3,2,1,0)()()(i X g X F Min V VP i2：投资问题：资金：a 亿元 项目：m 个，每个花费i a 亿元，收益i c 亿元确定：最佳方案变量：⎩⎨⎧==不投资投资01),,,(21i Tm x x x x X 目标函数：最省钱∑==mi ii xa X f 11)( 最小收益最多∑==mi ii xc X f 12)( 最大约束条件：总资金a xa mi ii ≥∑=10)(11≥-=∑=mi i i x a a X g保证i x 为0或者10)1(=-i i x x)1(0)1(≥--≥-i i i i x x x x6.2：多目标优化问题的解与像集向量不等式TE f f fF ∈=],,,[1111p T p E f f f F ∈=],,,[222212""<21F F <表示p i f f i i ,,2,121 =< ""∠ 21F F ∠表示p i f f i i ,,2,121 =≤""≤21F F ≤表示p i f f i i ,,2,121 =≤ 至少存在某p i i ≤≤001，有2100i i f f <212121FF F F F F ≠∠⇔≤多目标问题的解绝对最优解，绝对最优解集合*a R对于每个目标函数都是最优解},,2,10)(|{m i X g X R X i =≥=∈对于R X ∈，任意j ，都有p j X f X f j j ,,2,1)()( =≥称X 为多目标规划问题的绝对最优解。
多目标优化方法
多目标优化方法多目标优化方法是指在解决多个相互竞争的目标之间找到最佳平衡点的过程。
在实际应用中，我们往往会面临多个目标之间的矛盾与冲突，因此需要通过合理的优化方法来寻找最优解。
在本文中，我们将介绍几种常见的多目标优化方法，并分析它们的特点和适用场景。
首先，我们来介绍一种常见的多目标优化方法——加权和法。
加权和法是指将多个目标线性组合成一个综合指标，通过调整各个目标的权重来实现多目标优化。
这种方法简单直观，易于实现，但需要事先确定各个目标的权重，而且对于非线性的多目标优化问题效果不佳。
除了加权和法，我们还可以使用多目标遗传算法来解决多目标优化问题。
多目标遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化方法，通过种群的进化过程来搜索最优解。
相比于加权和法，多目标遗传算法可以有效地处理非线性、非凸的多目标优化问题，具有较强的全局搜索能力。
此外，还有一种常用的多目标优化方法是多目标粒子群算法。
多目标粒子群算法是一种基于群体智能的优化方法，通过模拟鸟群的行为来搜索最优解。
与多目标遗传算法类似，多目标粒子群算法也具有较强的全局搜索能力，适用于复杂的多目标优化问题。
除了上述几种方法，还有许多其他的多目标优化方法，如多目标模拟退火算法、多目标蚁群算法等。
这些方法各有特点，适用于不同的多目标优化场景。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题特点和求解需求来选择合适的多目标优化方法。
总的来说，多目标优化方法在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们找到最优的解决方案。
通过合理选择和使用多目标优化方法，我们可以有效地解决多个目标之间的矛盾与冲突，实现最大化的综合效益。
希望本文介绍的多目标优化方法能够为相关领域的研究和应用提供一定的参考和帮助。
多目标最优化问题常用求解方法
多目标最优化问题常用求解方法在这个快节奏的时代，我们每个人都像个多面手，试图在工作、生活、家庭和个人兴趣之间找到一个平衡点。
你有没有想过，科学界也面临着类似的挑战？没错，今天我们要聊的就是“多目标最优化问题”，这听起来像个高深的数学问题，但其实和我们日常生活息息相关。
说白了，就是如何在多个目标中找到最佳方案，简直就像你在选择晚餐时，想吃披萨、汉堡又不想胖，这可咋办？1. 什么是多目标最优化？多目标最优化，顾名思义，就是在一个问题中，有多个需要优化的目标。
就好比你想在考试中既考得高分，又希望能留点时间玩游戏。
很显然，两个目标是有点冲突的。
在数学中，这就需要我们找到一个折中的方案，尽可能让两个目标都满意。
这个过程听起来简单，但实际上可没那么容易，尤其是在目标彼此矛盾时。
1.1 多目标的复杂性想象一下，如果你是个商家，想要最大化利润的同时，又想减少生产成本。
这就像在沙滩上走路，两只脚却在不同的方向移动，走起来可真费劲！所以，优化的过程中，我们常常会遇到“帕累托前沿”这个概念，听起来高大上，其实就是找一个折衷的方案，让各个目标都尽量满意。
1.2 常见的求解方法说到求解方法，我们可就要聊聊那些“招数”了。
首先是“权重法”，这就像做菜时加盐，你需要决定到底放多少，才能让整道菜刚刚好。
把各个目标赋予不同的权重，然后统一成一个目标进行优化，简单有效。
但问题是，权重的设置就像量体裁衣，得小心翼翼，稍不留神就可能“翻车”。
2. 经典算法那么，还有哪些经典的算法可以解决这些麻烦呢？来，接着往下看。
2.1 进化算法进化算法就像自然选择，你总是能看到那些更强壮的个体存活下来。
这种方法通过模拟自然选择的过程，逐步逼近最优解。
听起来很神奇吧？而且这一方法还挺受欢迎，特别是在复杂的多目标问题中，它能在短时间内找到不错的解，真是个“快枪手”！2.2 粒子群优化再说说粒子群优化，这就像一群小鸟在空中飞舞，每只鸟都有自己的目标，同时也受到其他鸟的影响。
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对于最小值的目标函数（如前一中所述问 题中的目标函数4和5）可采用乘以-1的办法 化为且最大值的目标函数。
①最优解定义：若x0∈R,对任一个x∈R， 总有F(x)≤F(x0),称此x0为此多目标问题的最优 解。 ②非劣解定义：若x0∈R,且不存在x∈R， 使得F(x) ≥F(x0)，则称x0为此目标问题的非劣 解。 由此可见，所谓非劣解是个允许解（可 行解但却找不到另一个可行解，它至少在一 个目标值上大于它，而在其它目标值上欲等 于它，所谓求解多目标问题往往归结为如何 从非劣解中求一个最优解）
…,gm(x)]T （约束条件）
g(x)=[ g1(x), g2(x),
F(x)=[ f1(x), f2(x), …,fk(x)]T
求多目标最优化问题可记为
（目标函数）
V max F ( x)
பைடு நூலகம்
xR
即在满足约束条件的集合R中找出x，使所 有的目标fi(x)达到最大。这里 R＝{x∣g(x) ≥0}
并把第j个方案xj的劣序数记为
H j aij
iN
jN
（4）根据Ki的 其
大小优选决策次序
Hi Ki m(n 1) i N表明一个方案
的优序数Ki与劣序数Hi成反比，决策方
法是按Ki的大小将所有的方案排序，可 选择一个方案xe使得 K max K
e iN i
6.4.1 其中ui(x)表示第i个指标，它可以是定量的，
也可以是定性的，M＝{1,2,…,m}，
N＝{1,2,…,n}而且要求m≥2，n≥2，为将指标
转化为比较序数aijl （相当于等效系数），则 令
i j i j 1 若ul ( x ) ul ( x )或ul ( x ) ul ( x ) (1) aijl 0.5 若ul ( xi )＝ul ( x j )或ul ( xi ) ul ( x j ) 0 若ul ( xi ) ul ( x j )或ul ( xi ) ul ( x j )
可利用下式找出最大的Eio*综合评价值
（3）
E max{E }
* io
这时得出的Eio*后，与其对应的方案Aio为最优
i S
* i
（4）
方案，也可按照Ei*的大小排序，所有方案Ai 按优先顺序排序列，供决策者选用。
6.4
方案优选及多目标决策
设目标函数为V的 U ( x) (u1 ( x), u2 ( x),..., um ( x)) V－minU(x) x∈X
并把xe排在最前面的第一位，随后，若
第e'个方案xe'满足
Ke ' max Ki
iN \{e}
Ke " max Ki
iN \{e}{e '}
则把xe'排在第2位，以此类推，于是可 把各个方案排成一个优选决策次序，供 决策机构参考，则把xe''排在第3位。
6.4.2
多目标决策的加权优序数法
6.2
多目标最优化的求解方法－多目标决策
经济工作中的多目标决策方法
6.2.1
1.主要目标法 2.目的规划法 3.线性加权求和法 4.费用效果分析法 5.序列最优化方法 同等满意度法
6.2.2
6.3
多目标决策中目标转化的等效系数法
所谓等效系数法，是一种将计量单位或 量纲不统一的目标（指标）值转化为无量纲 的标准形式，使得所有目标值都介于小于等 于1和大于等于-1之间,即[-1,1]之间的实数， 称这些实数为等效系数。其方法如下;在表1 中有n个方案和m个目标，于是可产生n×m个 目标（指标）值Dij，这些Dij必须是大于等于0 的实数。在目标是m个时可采用如下方法求 得n个方案的等效系数Dij'。
Dii*值都比方案 Ai 的
值要小；
* ii
Ai Ai
D D
* ii
（3）Ai等价（相当）于 Ai
，表示第Ai个方案
D D
* ii * ii
中所有的Dii*值都相等； A A i i
（4）Ai和
Ai 的优劣关系不定，表示两个方 案中的Dii*值不能按优劣关系全排列，它们之 间是半序关系，即Ai方案中的某些Dii比方案
针对各目标重要性不同，（上述优 序数法是把所有的目标按同等重要性考 虑的）事实上各目标函数中各目标的重 要性是不相同的，故对指标赋予不同的 权重，令UL(x)有权重位WL, L∈M 要 求： W 0 L M W 1
L LM
L
故可对上述方法作如下修正
令
a aijlWl
' ijl ' aij a 'ijl
i, j N
lM
（ 指标编号）(见表401)
（2）求比较优序数aij
aij aijl
lM
i, j N , i j, aii aij 0
并称aij为方案xi对方案xj在整体目标上 的优序数，aji为劣序数，我们将aij排成矩 阵形式如下 : (见表2 和表402)
（3）求总优序数Ki
表1
fj Dij Pj Ai A1 A2 : Ai : An P1 D11 D21 : Di1 : Dn1 P2 D12 D22 : Di2 : Dn2 P3 D13 D23 : Di3 : Dn3 …Pj… …D1j… …D2j… : …Dij… : …Dnj… Pm-2 D1m-2 D2m-2 : Dim-2 : Dnm-2 Pm-1 D1m-1 D2m-1 : Dim-1 : Dnm-1 Pm D1m D2m : Dim : Dnm f1 f2 f3 …fj… fm-2 fm-1 fm
在方案选择中，出现前三种情况，可很 快找到最优方案，淘汰所有的劣方案，虽然 关系不定的第四种情况很难比较，它的非劣 方案和非劣解不止一个，可将非劣方案的集 合记为 {S}相继作出一个综合比较的目标Ei*
Ai 中的 Dii 值优，有些却劣。
* Ei* Pj Dii j 1
m
i S i方案编号，j指标编号
在获得Dii*基础上进行多目标比较与方案 比较，对任意两种方案Ai和 Ai 必然会出现如 下四种关系：
（1）Ai优于 Ai
，表示第Ai个方案中所有的 * Dii*值都比方案 Ai 的 Dii 值要大；
Ai Ai
* * Dii Dii
（2）Ai劣于
Ai ，表示第Ai个方案中所有的
* Dii
（1）若目标函数fj要求越大越好时，可先 找出该目标中最大的Dij值，即（固定j，变i， 在相应的Dij中找出最大值做DiLj，在fj目标中， 求出最佳方案Ai的值为DiLj。如f3对A2方案为 最佳，某值D23即是DiLj。脚标Lj表示最佳方案 的目标序号。）
DiLj=max{Dii} 1≤i≤n
i N, j N,l M a 'ii a ' jj 0 H ' j a 'ij
iN
K 'i a 'ij
jN
lM
其实这里的K'i和原来aijl存在如下关系：
K ' a 'ij a 'ijl Wl aijl
jN jN lM jN lM
找出该目标中最大的Dii值
DiLj=max{Dii}
1≤i≤n
Dii Dii * , i 1, 2,..., n DiL j
而后按式（2）可求出相应的等效系数Dii*值
(2)
式（2）与式（1）相同，区别仅在于式（2）
中有负号。从式（2）中可见，所有的Dii*是 小于等于0，大于等于-1的实数，即[-1,0]。
(5)
(6)
劳力及机械设备用量最少。
显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一 方案全面最优，只能整体最优。 多目标决策的一般数学表达式
6.1.3
设有m个约束条件，k个目标函数， gi(x)≥0, (i=1,2,….m)表示第i个约束条件，用 fj(x)表示第j个目标函数(j=1,2,….k)，并令
第i方案xi的总优序数记为
Ki aij i N
jN
表2
xj xi x1 x2 x3 : : xn Hj
多 目 标 优 序 数 矩 阵
x1 0 a21 a31 : : an1 H1 x2 a12 0 a32 : : an2 H2 x3 a13 a23 0 : : an3 H3 … … … … … … … … xn-1 a1n-1 a2n-1 a3n-1 : : ann-1 Hn-1 xn a1n a2n a3n : an-1n 0 Hn Ki K1 K2 K3 : : Kn T
Wl aijl
lM jN
利用K'i代替方法1中的Ki便可排出对各方
案的优选决策顺序。
用赋权后的优序数总和代替未赋权 的优序数总和指标比较。
三峡施工场外交通的目标（指标） (万
6.4.3
1.交通系统比较工程总投资：U1(x)
元)
表示各单位设计概算投资和完善方 案增补投资的总和。
第六章 多目标最优化方法
6.1 概述 不少经济问题、工程方案、比较问题由 于不可能追求其单一指标的优越而作定论， 往往需要对其优缺点综合评价，将问题归结 为在某些约束条件下求若干目标函数达到整 体最优。
6.1.1
国名经济综合平衡规划模型
1.约束条件为
(1)
产品的生产与分配（销售）平衡方程； 生产能力的限制方程；