高三数学一轮复习精品教案1：二项式定理(理)教学设计

10.7二项式定理

、

1．二项式定理

(1)定理

公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．

(2)通项

T r＋1＝C r n a n－r b r为展开式的第r＋1项．

2．二项式系数与项的系数

(1)二项式系数

二项展开式中各项的系数C r n(r∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．

(2)项的系数

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－m

n

增减性当r＜

n＋1

2时，二项式系数逐渐增大；当r＞

n＋1

2时，二项式系数逐渐减小

最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫

第

n

2＋1项的二项式系数最大，最大值为C

n

2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第

n－1

2＋1项和第

n＋1

2＋

1)

项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C

n－1

2n或C

n＋1

2n

4．各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.

1．二项式的通项易误认为是第r 项实质上是第r ＋1项．

2．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．

3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C r n (r ＝0,1，…，n )． 『试一试』

1．(2014·无锡调研)化简C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为________． 『解析』(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －

12n ＋C 2n 2n ＝22n ；

再令x ＝－1得

C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －

12n ＋C 2n 2n ＝0. 两式相加得2(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ，又C 02n ＝1，

得

C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2

n 2n ＝22n 2

－1＝22n －1－1.

『答案』22n －

1－1

2．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.

『解析』根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3

，

∴a 3＝80. 『答案』80

3．(2014·沈阳模拟)设二项式(x －a

x )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则

a ＝________.

『解析』T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭

⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3

，代入B ＝4A 得a ＝－3.

『答案』－3

1．赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．利用二项式定理解决整除问题的思路

要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开． 3．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭

⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝

⎛

第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫

n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大．

4．二项展开式系数最大项的求法

如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数

分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩

⎪⎨⎪⎧

A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1从而解出r 来，即得．

『练一练』

1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝________.

『解析』512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除． 『答案』12

2．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为第________项．

『解析』T r ＋1＝C r 152r x r ，由C r －1152r －1≤C r 152r ，C r ＋1152r ＋1≤C r 152r ⇒293≤r ≤323，r ＝10，所以第11项的系数最大． 『答案』11

考点一

二项式中的特定项或特定项的系数

1．(2013·江西高考改编)⎝

⎛⎭⎫x 2－2

x 35展开式中的常数项为________． 『解析』T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40. 『答案』40

2．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1

x 5的展开式中x 的系数为__________． 『解析』∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭

⎫1x r ＝C r 5x 10－3r ， ∴x 的系数为C 35

＝10. 『答案』10

3．(2013·安徽高考)若⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋a 3x 8的展开式中x 4

的系数为7，则实数a ＝________.