中考复习专题：动点与相似三角形、等腰三角形、直角三角形导学案(无答案)

专题四：动点与相似、等腰、直角三角形

例1、如图13，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x-2交于B，C两点。

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

例2、如图，已知二次函数y=x2+(1-m)x-m（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度数为 _________ °；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

例3、如图（1），已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A（3,0）、B（4,4）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D 的坐标；

（3）如图（2），若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点p的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）.

例4、已知直线y=-2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点及x轴上另一点C，ac=2.

（1）当tan∠BCO>tan∠BAO时，求抛物线的解析式；

（2）点D的坐标是（-2,0），在直线y=-2x+6上确定点P，使以点A、P、D为顶点的三角形与△ABO相似；

（3）在（1）、（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

例5、已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x－1．

（1）求证点P在直线l上；

（2）当m＝－3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为

Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；

（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所

有符合条件的m的值．

例6、如图，已知直线l与圆O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与圆O相交于点P，AB与圆O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；

（2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范

围．

例7、如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，点O1、O2在BC上，圆O1与圆O2外切于P，⊙O1与AB 相切于点D，与AC相离，⊙O2与AC相切于E，与AB相离．

（1）求证：DP∥AC；

（2）设⊙O1的半径为x，⊙O2的半径为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；

（3）△ADP能否为直角三角形？如果能够，请求出⊙O2的半径；如果不能，请说明理由．

例8、

例9、已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD

边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

例10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm， BC=8cm. 点P为BC的中点，动点Q从点P出发，延射线PC方向以2cm/s的速度运动，以点P为圆心， PQ长为半径作圆. 设点Q运动的时间为t秒.

（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）当△AQP是等腰三角形时，求t的值；

（3）已知⊙O为ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值.