超静定计算
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
力学超定静结构计算
1、超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
2、超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。
举例（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。
举例（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。
举例返回顶部3、几点注意：①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。
对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。
如图10-2所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静定次数为3×5-（1+1+3）=15次。
D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。
②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。
如图10-1结构。
③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。
④在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。
如图10-1结构所示。
⑤只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。
如图10-4结构中A点的水平支杆不能作为多余约束去掉。
如图10-5结构中支杆a,b和链杆c不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。
返回顶部1、超静定结构的求解思路：欲求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致，变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
第8章超静定结构的计算方法
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
超静定结构自内力的计算
A
B
l
以上两过程的叠加
B
MBA
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
X2
2i
A
4i B
6i l
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
2
3
几种不同远端支座的刚度方程
1
1
X2 1
0
0
X3 1
0 2C a
3C
0
支座移动时,结构中的位移以及 位移条件的校核公式如下:
i
Mi Mds EI
iC
Mi Mds EI
Ri ci
制造误差引起的内力计算: AB杆造长了1cm,如何作弯矩图?
A
10m 10m
X3 X1 X2
五.温度变化时超静定结构的计算
静定超静定判断及计算
目的和意义
目的
理解静定与超静定的概念，掌握判断方法，能够进行相应的计算。
意义
在实际工程中，正确判断结构和系统的静定或超静定状态对于确保结构安全、节约材料和降低成本具有重要意义。
02
静定与超静定的基本概念
静定结构的定义
静定结构
在任何外界影响下，其平衡位置都是稳定的 ，且在受到微小扰动后能自动恢复到原来的 平衡状态。
内力计算的方法
静定结构的内力计算通常采用截面法或节点法进行。截面法是通过 截取结构的一部分进行分析，节点法则是对结构的节点进行受力分 析。
内力的表示方法
内力可以用实线和虚线表示，实线表示实际受力方向，虚线表示实际 受力反方向。
静定结构的位移计算
1
位移计算的意义
在结构分析中，位移是一个重要的参数 。通过计算位移，可以了解结构的变形 情况，从而评估结构的稳定性和安全性 。
本文的研究成果已被广泛应用于建筑、机械、航空航天等工程领 域，解决了众多实际工程问题，取得了显著的经济和社会效益。
对未来研究的展望
深入研究复杂结构体系
随着科技的发展，复杂结构体系在工程中越来越常见，未 来研究可进一步探讨复杂结构体系的静定与超静定问题， 提高工程结构的稳定性和安全性。
引入先进计算技术
计算公式
自由度数 = 刚片数 - 约束数。
判断标准
若自由度数等于0，则结构为静定；若自由度数不等于0，则结 构为超静定。
几何法判断
定义
几何法判断是指通过分析结构的几何形状来判断结构是否为静定或超静定的一种方法。
判断标准
若结构的几何形状满足静定结构的条件（即所有刚片都是相互平行的），则结构为静定；否则为超静 定。
01
1、静定结构与超静定结构静力计算公式（总结）
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
计算结构超静定次数的公式
计算结构超静定次数的公式
结构超静定次数（SDOF，即单自由度系统）是一种描述动力学特性的重要工程
物理指标，它是对结构特性的重要衡量指标，也是在设计结构时明确可能受到的外力的一种有用的参考。
由于结构超静定次数的重要性，因此非常重要的就是计算每个结构的SDOF，即计算结构超静定次数的公式。
一般情况下，结构超静定次数的公式可分为定位法和统计法。
定位法的公式是：SDOF= 1/k+1/c+1/m，这里K为模态弹性系数，C为模态阻尼系数，M为模态质量系数。
统计法的公式涉及谱强度概率计算等方法，是一种自动计算方式，该方法可以精确地表达自动除去局部谐振的自激阻尼的系统的超静定次数，从而得出结构超静定次数。
尽管定位法和统计法都具有计算精确、效率高的优势，但由于计算结构超静定
次数时涉及模态参数摸索和较为复杂的反向计算，所以在实施计算过程中往往需要考虑多个利益相关方的功能要求，以便在整个过程中取得最优折中结果。
因此，在实际应用中，一般更合理采用可靠的统计法，以得出满足实际要求的最优超静定次数。
总的来说，结构超静定次数的公式不仅对合理设计结构十分重要，也为了保证
在极端情况下结构的可靠性而设计有重要意义。
因此，在实施结构设计时应首先确定结构超静定次数，以保证结构稳定，安全可靠。
超静定结构的计算
一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数2. 理解力法原理3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（3）绘弯矩图4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程（4）绘弯矩图5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系基本未知量是结点B的角位移。
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。
若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。
也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。
对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。
2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。
3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。
4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。
5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。
（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。
（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。
6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。
7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。
力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。
8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。
答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。
关于超静定结构位移计算公式的推导
关于超静定结构位移计算公式的推导
一、超静定结构位移计算公式的推导
1.基本原理
超静定结构位移计算公式是基于结构动力学原理推导出来的，它是用来计算结构在某一特定荷载作用下的位移的。
2.基本公式
超静定结构位移计算公式的基本公式是：
u=K*F
其中，u表示结构的位移，K表示结构的刚度矩阵，F表示结构受到的外力。
3.推导过程
超静定结构位移计算公式的推导过程如下：
（1）首先，根据结构动力学原理，可以得到结构的动力学方程：
K*u=F
其中，K表示结构的刚度矩阵，u表示结构的位移，F表示结构受到的外力。
（2）接着，将上式进行求解，得到：
u=K^(-1)*F
（3）最后，将上式进行简化，得到最终的超静定结构位移计算公式：
u=K*F
综上所述，超静定结构位移计算公式的推导过程就是这样的。
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21x Y i ye A F W M A F -=-=σ )1(22x Y i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI x M I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ)661(be h e bh Fy x ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI l n 222π EI l 22π一端自由他端固定 β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。
超静定结构的计算—超静定结构基础知识(建筑力学)
超静定次数的判断
1.超静定次数的概念 指多余约束的个数。
2.超静定次数的判断方法 （1）方法
去多余约束，使超静定结构变为静定结构，总共去掉多余约束的数目即为超静定次数。 （2）去多余约束的方式
①切断一根链杆，相当于去掉一个约束； ②拆除一个单铰，相当于去掉两个约束； ③截断一根连续杆件，相当于去掉三个约束； ④将连续变为单铰，相当于去掉一个约束。
超静定结构的概念
1.概念 ①具有多余约束的几何不变体系。 ②仅仅依靠平衡方程不能求出所有约束反力的结构。 2.特点
①计算自由度 W ＜ 0；
②仅仅依靠平衡方程，不能求出其所有未知反力； ③约束反力和内力，与结构位移有关。
常见超静定结构
超静定梁 超静定桁架 超静定组合结构
超静定刚架 超静定拱
超静定铰接排架
超静定次数的判断
3.注意事项 ①同一结构，超静定次数是确定的，但去约束的方式有多种；
②必须去掉所有多余约束，使体系成为几何不变体系，但也不能多去，使体系几何可变。 ③要确保去掉的是多余约束，不能去掉必要约束，不能将原超静定结构变为瞬变体系。
7.8超静定结构的位移计算
1 l/4 l/4
1
1 ( FP l ) 4
M图
M 1 图之一
M 1 图之二
解：(1)作原超静定结构的最后弯矩图 (2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)用图乘法求位移
ΔDV Ay MM 1 ds 0 EI EI EI 3FP l 3 () 1408EI
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
解： (1)作原超静定梁 的 最后弯矩图
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
q
A B
q
a l
3EI a (q ) l l
M图
1
FR 1
1
M 图
(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 (3)计算位移：
qB
MM ds FR c EI 1 1 3EI a q 3a l (q ) (1) 1 q EI 2 l l 2 2l
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
1
" " y02 y01
l/2
l/4
l/2
M 1图
• 计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移.
将计算出的多余未知 力作为外荷载
超静定结构
静定结构
• 计算超静定结构位移的步骤
1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图；
2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态，并作虚拟力状态下 的单位内力图；
ql 12
2
5 l 3 l ql 2 8 2 8 2 ( )
第十五章 用力法计算超静定结构
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构 刚度不对称
4
第十五章 力 法
建筑力学
对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向 和作用点对称的荷载
反对称荷载:作用用点在对对称称,方结向构反对对称称轴对的两称荷侧下,载反,大面对小这称相些荷等荷载,作载,还是是 一般性荷载?
P
P
P
对称荷载
ll
P
P
P
反对称荷载
l
EI=C
l
M
ll
M
EI=C
ll
第十五章 力 法
I2
I1
I1
建筑力学
X 1 X 3X 1
X2
X X3
2
4
第十五章 力 法
X1 X1 1
M1
X2 X2 1
M2
建筑力学
X3 1
X3
M3
11 X 1 21 X 1
12 X 2 22 X 2
13 X 3 23 X 3
1P 2P
11 12 1P 1 由此可解得基本未知力，从 21 22 2P 2 而解决受力变形分析问题
第十五章 力 法
例 2. 求解图示结构 解法1:
建筑力学
FP
原
结
构
有两个多于约束
FP
基
本基
体本
系未
一知
力
解除约束代以未知力
第十五章 力 法
建筑力学
FP P
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移
第十五章 力 法
已掌握的问题
建筑力学
未知力的位移
“荷载”的位移
消除两者差别 总位移等于已知位移
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一. 用力法计算超静定结构
（一）复习重点
1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数
2. 理解力法原理
3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构）
4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构）
5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）
（二）小结
1. 超静定结构、多余约束、超静定次数
（1）超静定结构
从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
（2）多余约束
多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。
（3）超静定次数
多余约束的个数是超静定次数。
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理
力法是计算超静定结构最基本的方法
（1）将原结构变为基本结构
（2）位移条件：
（3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构
（1）原结构变为基本结构
（2）位移条件
（3）力法方程
（3）绘弯矩图
4. 用力法计算超静定桁架和组合结构
注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。
例：超静定组合结构
（1）原结构变为基本结构
（2）位移条件
（3）力法方程
（4）绘弯矩图
5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算
（1）温度变化时，超静定结构的内力计算
原结构变为基本结构
位移条件
力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算
原结构变为基本结构
位移条件
二. 用位移法计算超静定结构
（一）复习重点
1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别
2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）
3. 掌握计算对称结构的简化方法
（二）小结
1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别
位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微
2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）
例：求连续梁的内力
解：（1）确定基本未知量及基本体系
基本未知量是结点B的角位移。
（2）位移法方程
令
（3）绘弯矩图
例：绘弯矩图
解：（1）确定基本未知量及基本体系
（3）绘弯矩图
例：绘弯矩图
解：（1）确定基本未知量及基本体系
（2）位移法方程
令
3. 掌握对称结构的简化计算方法
对称结构在对称荷载作用下，变形和内力是对称的；在反对称荷载作用下，变形和内力是反对称的。
三、力矩分配法
（一）复习要求
要求
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数。
2．掌握具有一个结点角位移结构的计算。
3．掌握用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架。
（二）小结
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数
力矩分配法是适用于计算无结点线位移的超静定梁和刚架。
转动刚度：
：1k杆的1端产生单位转角时，在该端所需作用的弯矩。
分配系数：
：当结点1处作用有单位力偶时，分配给1k杆的1端的力矩。
传递系数：
：当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
当单位力偶作用在结点1时，按分配系数分配给各杆的近端为近端弯矩；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
2．具有一个结点角位移结构的计算
步骤：
（1）加约束：在刚结点i 处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩。
（2）放松约束：为消掉约束力矩 ，加-
，求出各杆端弯矩。
（3）合并：将上两种情况相加。
固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩 固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩
3．用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架
（1）加约束：用附加刚臂固定结点B 和C,求出固端弯矩 ，。
并求
约束力矩
，。
（2）放松结点C ：加
，结点C 已平衡，结点B 处约束力矩为。
（3）放松结点B ：重新固定结点C,结点B 处加 ，在结点C 处产生约束力
矩。
（4）再放松结点C ：进行第二次力矩分配和传递。
（5）再放松结点B：进行第二次力矩分配和传递。
……………………………
（6）叠加：将各杆端的固端弯矩及各次的分配弯矩、传递弯矩叠加，即得原结构的各杆端弯矩。
二. 用位移法计算超静定结构
（一）复习重点
1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别
2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移）
3. 掌握计算对称结构的简化方法
（二）小结
1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别
位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。
位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微
2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）
例：求连续梁的内力
解：（1）确定基本未知量及基本体系
基本未知量是结点B的角位移。
（2）位移法方程
令
（3）绘弯矩图
例：绘弯矩图
解：（1）确定基本未知量及基本体系
（2）位移法方程
令
3. 掌握对称结构的简化计算方法
对称结构在对称荷载作用下，变形和内力是对称的；在反对称荷载作用下，变形和内力是反对称的。
三、力矩分配法
（一）复习要求
要求
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数。
2．掌握具有一个结点角位移结构的计算。
3．掌握用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架。
（二）小结
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数
力矩分配法是适用于计算无结点线位移的超静定梁和刚架。
转动刚度：
：1k杆的1端产生单位转角时，在该端所需作用的弯矩。
配系数：
：当结点1处作用有单位力偶时，分配给1k杆的1端的力矩。
传递系数：
：当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
当单位力偶作用在结点1时，按分配系数分配给各杆的近端为近端弯矩；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
2．具有一个结点角位移结构的计算
步骤：
（1）加约束：在刚结点i处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩。
（2）放松约束：为消掉约束力矩，加-，求出各杆端弯矩。
（3）合并：将上两种情况相加。
固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩
固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩
3．用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架
（1）加约束：用附加刚臂固定结点B和C,求出固端弯矩，。
并求
约束力矩，。
（2）放松结点C：加，结点C已平衡，结点B处约束力矩为。
（3）放松结点B：重新固定结点C,结点B处加，在结点C处产生约束力
矩。
（4）再放松结点C：进行第二次力矩分配和传递。
（5）再放松结点B：进行第二次力矩分配和传递。
……………………………
（6）叠加：将各杆端的固端弯矩及各次的分配弯矩、传递弯矩叠加，即得原结构的各杆端弯矩。
三、力矩分配法
（一）复习要求
要求
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数。
2．掌握具有一个结点角位移结构的计算。
3．掌握用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架。
（二）小结
1．理解基本概念：转动刚度、分配系数、传递系数
力矩分配法是适用于计算无结点线位移的超静定梁和刚架。
转动刚度：
：1k杆的1端产生单位转角时，在该端所需作用的弯矩。
分配系数：
：当结点1处作用有单位力偶时，分配给1k杆的1端的力矩。
传递系数：
：当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
当单位力偶作用在结点1时，按分配系数分配给各杆的近端为近端弯矩；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
2．具有一个结点角位移结构的计算
步骤：
（1）加约束：在刚结点i处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩。
（2）放松约束：为消掉约束力矩，加-，求出各杆端弯矩。
（3）合并：将上两种情况相加。
固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩
固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩
3．用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移的刚架
（1）加约束：用附加刚臂固定结点B和C,求出固端弯矩，。
并求
约束力矩，。
（2）放松结点C：加，结点C已平衡，结点B处约束力矩为。
（3）放松结点B：重新固定结点C,结点B处加，在结点C处产生约束力
矩。
（4）再放松结点C：进行第二次力矩分配和传递。
（5）再放松结点B：进行第二次力矩分配和传递。
……………………………
（6）叠加：将各杆端的固端弯矩及各次的分配弯矩、传递弯矩叠加，即得原结构的各杆端弯矩。