人教版等腰三角形PPT优秀课件1
合集下载
1等腰三角形的性质课件(1)
14.5 等腰三角形的性质（1）
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
概念巩固
• 等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
• 如图,在△ABC中,AB=AC,我们就说△ABC是等腰三角形
A
顶 腰角
相等的两边AB和AC叫做腰，另一 边BC叫做底边；
B 底角 底边
两腰所夹的角叫做顶角（如∠A），一腰 与底边所夹的角叫底角（如∠B、∠C）。
_A_D_⊥__B_C_（__等__腰__三__角_ 形底边上的中线是底边上的高）
等腰三角形的三线合一
等腰三角形的性质二： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）
A
符号语言3
在△ABC中，
∵AB=AC, AD⊥BC（已知）
B
D
C
∴∠__B_A_D_=_∠__C_AD（等腰三角形底边上的高是顶角平分线）
（条件）已知，在△ABC中，AB=AC，
（结论）说明∠B=∠C的理由.
A
解：取底边BC的中点D，联结AD
∵D是BC的中点（已作）
∴BD=CD（线段中点的意义）.
在△ABD与△ACD中， AB=AC(已知)
B
D
C
BD=CD(已求)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.S.S）.
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
D
C
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
又∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角的意义）
∴2∠ADB=2∠ADC=180°（等量代换）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等式性质）
性质探究
思考2：通过这些结论你发现了什么？
等腰三角形全国优质课一等奖完美PPT课件
20
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
等腰三角形课件PPT
等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
人教版八年级数学上册《等腰三角形》课件(共28张PPT)
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一”
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的周长或知道一角求其它两角或证线段、 角相等。
当堂检测
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°,
则∠B =
；
（2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =3 ∠B,
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等 （简写成等边对等角）
性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合 （简写成三线合一）
几何语言：
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B=C
如何证明两个三角形全等?
作BC边上的高AD 作BC边上的中线AD 作顶角的平分线 AD
归纳总结
A等腰三角形常见辅助线A NhomakorabeaA
┌
B
D
CB
D
CB
D
C
如图，作△ABC 的中线AD
《等腰三角形的性质》优秀课件
全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
2024/1/26
21
对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
2024/1/26
5
与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
2024/1/26
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
2024/1/26
1
目录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
等腰三角形PPT课件(1)
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来， 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平
结论
由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证： △ADE是等边三角形。
证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60° ∵∠EAD=∠BAC= 60° 又 AD=AE， ∴△ADE是等边三角形
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于 顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 AB ； 线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 AB ； 点B的像是点C，点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB。 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E 在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边上的 中线。 ∴ BF = CF， DF=EF， ∴ BF－DF=CF－EF， 即BD=CE
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
复习回顾
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形判定1优质课件PPT
2021/02/01
A C
2
A
❖ 1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
❖∠图B中=有∠哪C些．角相在等三?角形中等边B 对等角．C
２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C，
AB=AC成立吗？
2021/02/01
3
探索思考
1，作一个三角形，有两个角
相等，这两个角所对的边是否 A
相等？
分析：
在ΔABC中，∠B=∠C作∠BAC
17
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2021/02/01
18
12
的平分线交BC于D，则
B
∠ 1=∠2，又∠B=∠C，由三角
DC
形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC，沿直线AD折叠∠ADB=∠ADC ，
∠1= ∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射
线AC重合，从而点B与点C重合，因此AB=AC
2021/02/01
4
等腰三角形有以下的判定方法：
❖ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三 角形是等腰三角形．
解：∠CAB是ΔABC的外角，
D
∠1=∠2，AD∥BC，因为 AD∥BC所以∠1=∠B
∠2=∠C，∠B=∠C，因此
AB=AC，即ΔABC的是等腰
B
C
2021/02/01
11
基本应用❖ຫໍສະໝຸດ 例３．如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底
边ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点
A C
2
A
❖ 1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
❖∠图B中=有∠哪C些．角相在等三?角形中等边B 对等角．C
２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C，
AB=AC成立吗？
2021/02/01
3
探索思考
1，作一个三角形，有两个角
相等，这两个角所对的边是否 A
相等？
分析：
在ΔABC中，∠B=∠C作∠BAC
17
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2021/02/01
18
12
的平分线交BC于D，则
B
∠ 1=∠2，又∠B=∠C，由三角
DC
形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC，沿直线AD折叠∠ADB=∠ADC ，
∠1= ∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射
线AC重合，从而点B与点C重合，因此AB=AC
2021/02/01
4
等腰三角形有以下的判定方法：
❖ 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三 角形是等腰三角形．
解：∠CAB是ΔABC的外角，
D
∠1=∠2，AD∥BC，因为 AD∥BC所以∠1=∠B
∠2=∠C，∠B=∠C，因此
AB=AC，即ΔABC的是等腰
B
C
2021/02/01
11
基本应用❖ຫໍສະໝຸດ 例３．如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底
边ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点
《等腰三角形的性质》优秀课件pptx
定义及特点定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
特点等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平分线；两腰相等，两底角相等。
与等边三角形关系区别等边三角形的三边都相等，三个角都是60度；而等腰三角形只有两边相等，两底角相等，顶角可以是任意角度（小于180度）。
联系等边三角形可以看作是特殊的等腰三角形，即当等腰三角形的顶角为60度时，它就变成了等边三角形。
03在建筑设计中，等腰三角形常被用于构建具有对称美的结构，如尖顶房屋、桥梁的支撑结构等。
建筑学在机械设计和制造中，等腰三角形的稳定性被广泛应用，如三脚架、起重机的支撑结构等。
工程学在解决一些实际问题时，等腰三角形可以作为数学模型，帮助我们理解和解决问题，如测量高度、计算角度等。
数学建模实际应用举例01等腰三角形定义有两边相等的三角形称为等腰三角形。
02两边相等定理内容等腰三角形的两个底角相等。
03定理证明方法通过构造中线或高，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。
两角相等定理内容定理证明方法推论通过构造角平分线或中线，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明。
在等腰三角形中，若有一个角是60°，则这个三角形是等边三角形。
030201等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。
对称性在等腰三角形中，若两条边相等，则对应的两个角也相等。
对称性推论1在等腰三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形是直角三角形，且直角在顶角处。
对称性推论2在等腰三角形中，若底边两端点到对称轴的距离相等，则这两个点是底边的两个三等分点。
对称性推论3对称性及其推论两条边相等根据等腰三角形的定义，若一个三角形有两条边长度相等，则该三角形为等腰三角形。
两个角相等等腰三角形的两个底角相等，因此若一个三角形有两个角相等，则可根据此性质判定该三角形为等腰三角形。
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
12.3.1等腰三角形课件
(人教版 数学八年级上册 人教版) 人教版
12.3 等腰三角形（1） 等腰三角形（ ）
1、等腰三角形的定义. 2、等腰三角形是不是轴对 称图形?它的对成轴在哪？
A
B
D
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 的三角形叫做等腰三角形
A
顶 角
腰
腰
B
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角. 和底边的夹角叫做底角
已知：如图，△ABC中，AB=AC。 已知：如图， 中 。 求证： 求证：∠B=∠C ∠ 证明：作顶角的角平分线AD 证明：作顶角的角平分线 ， 在△BAD和△CAD中， 和 中 AB=AC（已知） （已知） ∠1=∠2（辅助线作法） ∠ （辅助线作法） AD=AD（公共边） （公共边） ∴△BAD≌△CAD（SAS） B ≌ （ ） ∴∠B=∠C（ 全等三角形的 ∴∠ ∠ （ 对应角相等） 对应角相等）
A
B
D
C
例题1
如图,在 如图 在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 中 点 在 上 各角的度数. 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数 求 各角的度数
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∵ ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∴∠ ∠ ∠ ， ∠ A=∠ABD（等边对等角）. ∠ （等边对等角） A=x,则 设 ∠ A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x, ∠ ∠ 从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. ∠ ∠ 于是在△ 于是在△ABC 中,有 有 ∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° ∠ ∠ ° 解得: x=36 ° 解得 在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°. ∠ ∠ °
12.3 等腰三角形（1） 等腰三角形（ ）
1、等腰三角形的定义. 2、等腰三角形是不是轴对 称图形?它的对成轴在哪？
A
B
D
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 的三角形叫做等腰三角形
A
顶 角
腰
腰
B
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角. 和底边的夹角叫做底角
已知：如图，△ABC中，AB=AC。 已知：如图， 中 。 求证： 求证：∠B=∠C ∠ 证明：作顶角的角平分线AD 证明：作顶角的角平分线 ， 在△BAD和△CAD中， 和 中 AB=AC（已知） （已知） ∠1=∠2（辅助线作法） ∠ （辅助线作法） AD=AD（公共边） （公共边） ∴△BAD≌△CAD（SAS） B ≌ （ ） ∴∠B=∠C（ 全等三角形的 ∴∠ ∠ （ 对应角相等） 对应角相等）
A
B
D
C
例题1
如图,在 如图 在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 中 点 在 上 各角的度数. 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数 求 各角的度数
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∵ ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∴∠ ∠ ∠ ， ∠ A=∠ABD（等边对等角）. ∠ （等边对等角） A=x,则 设 ∠ A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x, ∠ ∠ 从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. ∠ ∠ 于是在△ 于是在△ABC 中,有 有 ∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° ∠ ∠ ° 解得: x=36 ° 解得 在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°. ∠ ∠ °
数学人教版八年级上册 12.3等腰三角形(第1课时)PPT课件
习题12.3 1, 2, 4, 7
（简称为”三线合, 点D在AC上, 且 BD=BC=AD求△ABC各角的度数. 解:
∵AB=AC, BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD 设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中, 有
探究
如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对 折, 并剪去阴影部分, 再把它打开, 得到的三角 形ABC有什么特点?
概念:
有两边相等的三角形叫做等腰三角 形。
(如AB=AC, △ABC为等腰三角形)
A
腰—相等的两边
顶
腰 角 腰 底—除腰外的一边
B 底角 底角 C 顶角—两腰的夹角
底边
底角—腰与底的夹角
想一想
1、上面剪出的等腰三角形是抽对称图形吗? 2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出 其中重合的线段和角。
3、由这些重合的线段和角, 你能发现等腰三角 形的哪些性质呢? 说一说你的猜想。
我们可以发现等腰三角形的性质:
性质1: 等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对 等角”）
性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线相互重合。
说一说
通过本节课的 学习, 你们都 有哪些收获?
小结
概念: 有两条边相等的三角 形是等腰三角形
1. 等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形, 顶角平 分线（或底边中线或底边上的高线 ）所在直线是它的对称轴.
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的边长、周长及其知道一角求其它两角
【作业设计】
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 解得x=36 在△ABC中, ∠A=36, ∠ABC=∠C=72
（简称为”三线合, 点D在AC上, 且 BD=BC=AD求△ABC各角的度数. 解:
∵AB=AC, BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD 设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中, 有
探究
如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对 折, 并剪去阴影部分, 再把它打开, 得到的三角 形ABC有什么特点?
概念:
有两边相等的三角形叫做等腰三角 形。
(如AB=AC, △ABC为等腰三角形)
A
腰—相等的两边
顶
腰 角 腰 底—除腰外的一边
B 底角 底角 C 顶角—两腰的夹角
底边
底角—腰与底的夹角
想一想
1、上面剪出的等腰三角形是抽对称图形吗? 2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折, 找出 其中重合的线段和角。
3、由这些重合的线段和角, 你能发现等腰三角 形的哪些性质呢? 说一说你的猜想。
我们可以发现等腰三角形的性质:
性质1: 等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对 等角”）
性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线相互重合。
说一说
通过本节课的 学习, 你们都 有哪些收获?
小结
概念: 有两条边相等的三角 形是等腰三角形
1. 等腰三角形
等腰三角形是轴对称图形, 顶角平 分线（或底边中线或底边上的高线 ）所在直线是它的对称轴.
2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三 角形的边长、周长及其知道一角求其它两角
【作业设计】
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 解得x=36 在△ABC中, ∠A=36, ∠ABC=∠C=72
人教版八年级数学上册课件：1.等腰三角形的判定
A.15° C.20°
A
B.18° D.22.5°
关闭
答案
1
2
3
4
5
2.(2013·湖北宜昌中考)如图,在矩形 ABCD 中,AB<BC,AC,BD 相交于
点 O,则图中等腰三角形的个数是( ).
A.8
B.6
C.4
D.2
∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∴图中的等腰三角形是△ABO,△BCO,△DCO,△ADO,共 4 个,故选 C.
等腰三角形的判定
关闭
在△ABC 中,∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°,
【∴∠例AB题C=】∠C,∴如AB图=A所C. 示,在△ABC 中,∠A=36°,∠C=72°,BD 为∠ABC 的平 分∵B线D 为,分∠A别BC计的算平∠分A线B, D,∠BDC 的度数,并说明图中有哪些等腰三关角闭形. ∴由∠A等BD腰=12三∠A角BC形=3的6°.性质及三角形的内角和,可求出∠ABD,∠BDC 的度
∴∠ABD=∠A.
∴数BD,由=A等D,∠腰BD三C角=∠A形BD的+判 ∠A=定72定°. 理可得出△ABC,△BCD,△ABD 是等腰三 ∴角∠B形DC. =∠C.
∴BD=BC. 综上所述,图中共有三个等腰三角形,分别为△ABC,△BCD,△ABD.
解析 答案
1
2
3
4
5
1.如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,且 AB=AD,∠ABC=∠C+30°,则 ∠CBD=( ).答案 Nhomakorabea1
2
3
4
5
5.如图所示,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
八年级数学上：12.3等腰三角形(第2课时)课件新人教版1
CE要多长？Dຫໍສະໝຸດ BEA已知：DE=4m，AB=5m，C为
AB中点，求CD和CE的长。
C
解：选取1cm代表1m
D
⑴作线段DE=4cm；
⑵作线段DE的垂直平分线MN，
与DE交于B；
⑶在MN上截取BC=2.5cm；
⑷连接CD，CE，△CDE就是
所求的等腰三角形。
D
量出CD的长，就可以算出绳长。
BE M C
BE N
1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：重合部分是等腰三角形。 理由：由ABCD是矩形知A
E G 3D
AD∥BC ∴∠ 3= ∠ 2
1
B2
C
由沿对角线折叠知
∠1=∠2
∴ ∠ 1= ∠ 3 ∴ BG=DG（等角对等边）
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC， OA=OB，求证：OC=OD
如果一个三角形有两个角相 等，那么这两个角所对的边也相 等。
简写成：等角对等边
几何语言表示：在⊿ABO中 ∵∠A=∠B ∴AO=BO
算一算，找一找
已知：如图， ∠A= ∠DBC =360， ∠C=720。计算∠1和 ∠2，并说明图中有哪 些等腰三角形？
∠1=720 ∠2=360
A
2 B
D 1
C
等腰三角形有： ⊿ABC 、⊿ABD、⊿BCD
人教版 ·数学 ·八年级(上)
人教实验版
探索新知
• 如图位于在海上A、B两处的两艘救生船
接到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，
能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风
浪因素）？ 并说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
路是什么？ （3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
A 证明：∴ ∠BAD =∠CAD，
∠ADB =∠ADC． ∵ ∠ADB +∠ADC =180°， ∴ ∠ADB =90°． ∴ AD⊥BC．
Ｂ
C
பைடு நூலகம்
D
探索并证明等腰三角形的性质
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折 痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发 现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平 分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
A 证明：∵ AD 是底边BC 的中线，
∴ BD =CD． ∵ AB =AC，
BD =CD， AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
的边也相等（简写成“等角对等边”）． A
符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ AB =AC．
思考 与等腰三角形性质进
行比较看有什么区别？
B
C
巩固等腰三角形的判定定理
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
巩固等腰三角形的判定定理
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥
探索并证明等腰三角形的性质
等腰三角形的性质: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三 角 形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑 推理证明这个结论吗？ （1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？ （2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思
这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？
题设：一个三角形有两个角相等． 结论：这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
问题 类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能 选择一种来证明这个命题吗？
探索等腰三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB
=AC． 证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE 和△ACE 中，
A
∠B =∠C， ∠AEB = ∠AEC = 90°， AE = AE，
∴ △ABE ≌△ACE ．
∴ AB = AC ．
B
E
C
追问 你还有其他证明方法吗？
探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
BC．
E
求证：AB =AC.
A
1 2
D
B
C
巩固等腰三角形的判定定理
追问 要证明AB =AC，应如何选择证明方法？
（1）AB、AC 在同一个三角形中， 应选择“等角对等边”；
（2）建立三角形的外角和与之不相 邻的内角关系；
（3）利用平行转移已知角；最终使 得相等的角转化到同一个三角 形中. B
E
A
1 2
探索并证明等腰三角形的性质
例1 如图，△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上， 且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数．
A
D
B
C
探索等腰三角形的判定定理
问题 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命 题的题设和结论分别是什么？
性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等． 结论：这两条边所对的角相等．
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC
探索等腰三角形的判定定理
思考 性质定理证明方法是什么？
作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一 个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相 等．
探索等腰三角形的判定定理
问题 一个三角形满足什么条件是等腰三角形？
探索等腰三角形的判定定理
思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边有什么关系？
探索并证明等腰三角形的性质
等腰三角形的特征: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各 异，是否都具有上述所概括的特征？
探索并证明等腰三角形的性质
在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来， 折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出 等腰三角形的性质吗？
学习说明
学习重点： 1．探索并证明等腰三角形性质． 2．理解和运用等腰三角形的判定定理.
探索并证明等腰三角形的性质
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
B
A
D
C
探索并证明等腰三角形的性质
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？
13.3.1等腰三角形
本课说明
在已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称 知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角 形，研究等腰三角形的底角、底边上的中线、顶角平分 线、底边上的高所具有的性质．探索等腰三角形的判定 方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法．
学习说明
学习目标： 1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用． 4．探索等腰三角形判定定理． 5．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简 单的证明． 6．了解等腰三角形的尺规作图.
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B =
∠C． A
证明：作底边的中线AD．
∵ AB =AC，
BD =CD，
AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
A 证明：∴ ∠BAD =∠CAD，
∠ADB =∠ADC． ∵ ∠ADB +∠ADC =180°， ∴ ∠ADB =90°． ∴ AD⊥BC．
Ｂ
C
பைடு நூலகம்
D
探索并证明等腰三角形的性质
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折 痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发 现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平 分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
A 证明：∵ AD 是底边BC 的中线，
∴ BD =CD． ∵ AB =AC，
BD =CD， AD =AD，
∴ △ABD ≌△ACD（SSS）．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
的边也相等（简写成“等角对等边”）． A
符号语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ AB =AC．
思考 与等腰三角形性质进
行比较看有什么区别？
B
C
巩固等腰三角形的判定定理
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
巩固等腰三角形的判定定理
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥
探索并证明等腰三角形的性质
等腰三角形的性质: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三 角 形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑 推理证明这个结论吗？ （1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？ （2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思
这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？
题设：一个三角形有两个角相等． 结论：这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
问题 类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能 选择一种来证明这个命题吗？
探索等腰三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB
=AC． 证明：过A 点作AE⊥BC，垂足为E.
在△ABE 和△ACE 中，
A
∠B =∠C， ∠AEB = ∠AEC = 90°， AE = AE，
∴ △ABE ≌△ACE ．
∴ AB = AC ．
B
E
C
追问 你还有其他证明方法吗？
探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
BC．
E
求证：AB =AC.
A
1 2
D
B
C
巩固等腰三角形的判定定理
追问 要证明AB =AC，应如何选择证明方法？
（1）AB、AC 在同一个三角形中， 应选择“等角对等边”；
（2）建立三角形的外角和与之不相 邻的内角关系；
（3）利用平行转移已知角；最终使 得相等的角转化到同一个三角 形中. B
E
A
1 2
探索并证明等腰三角形的性质
例1 如图，△ABC 中，AB =AC，点D 在AC 上， 且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数．
A
D
B
C
探索等腰三角形的判定定理
问题 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命 题的题设和结论分别是什么？
性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等． 结论：这两条边所对的角相等．
∴ ∠B =∠C．
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
你还有其他方法证明性质1吗？ 可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三 角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
探索并证明等腰三角形的性质
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC
探索等腰三角形的判定定理
思考 性质定理证明方法是什么？
作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一 个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相 等．
探索等腰三角形的判定定理
问题 一个三角形满足什么条件是等腰三角形？
探索等腰三角形的判定定理
思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角所对的边有什么关系？
探索并证明等腰三角形的性质
等腰三角形的特征: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各 异，是否都具有上述所概括的特征？
探索并证明等腰三角形的性质
在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来， 折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出 等腰三角形的性质吗？
学习说明
学习重点： 1．探索并证明等腰三角形性质． 2．理解和运用等腰三角形的判定定理.
探索并证明等腰三角形的性质
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
B
A
D
C
探索并证明等腰三角形的性质
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？
13.3.1等腰三角形
本课说明
在已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称 知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角 形，研究等腰三角形的底角、底边上的中线、顶角平分 线、底边上的高所具有的性质．探索等腰三角形的判定 方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法．
学习说明
学习目标： 1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用． 4．探索等腰三角形判定定理． 5．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简 单的证明． 6．了解等腰三角形的尺规作图.