变量间的相关关系(1)

探究
年龄. 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪 含量与年龄之间有怎样的关系吗？
• 从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康。 但是除了吸烟之外还有许多其他的随机因素影响身 体健康，人体健康是由很多因素共同作用的结果， 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸 烟而引发的患病者，吸烟与健康是一种相关关系， 所以吸烟不一定引起健康问题。
• 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问 题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的 说法是不对的。
变量间相关关系的概念: 自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点: 相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关 系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.
只有散点图中的点呈条状集中在某一直线 周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性 关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相 关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量 之间的关系
脂肪含量
如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测 量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一 个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的 斜率和截距，就得到回归方程。
练习：
某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人统计发现 了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个 村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低。于是， 他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样得到的 结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？
• 从已经掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能 够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅又使婴儿 出生率高的第三个因素（例如独特的环境因素），即 天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此 “天鹅 能够带来孩子”的结论不可靠。
成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高 度的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越少。
作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关.
O
思考：课本P86的思考题.
例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关 关系的问题。例如： 1〉商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系， 但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质 量、居民收入等因素有关。
2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。 但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素， 因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田 间管理水平等因素的影响。
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
整体上最接近
方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线 两侧的点的个数基本相同。
脂肪
40 30 20 10
0 0
脂肪
20
40
60
80
方案三: 在散点图中多取几组点，确定几条直线的 方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数， 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
1 、散点图：
将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示 两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。
如下图：
脂肪含量 40
35 30 25 20 15 10 5
年龄
O 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越
高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们
• 而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行。 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和 天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组 居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率 是否相同。
回归直线
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
解：
80
物理成绩
75
70
65
60
55
50
数学成绩
40
50
60Hale Waihona Puke 708090
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温 对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯 数与当天气温的对比表： 摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内 的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还 与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个 人的先天体质有关。
你还能举出一些类似的例子吗？
应当说，对于上述各种问题中的两个变量之 间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学 习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规 律”。但是，不管你经验多么丰富如果只凭经验 办事，还是很容易出错的。因此，在分析两个变 量之间的关系时，我们还需要有一些有说服力的 方法。
脂肪
40
30
20
脂肪
10
0
0
20
40
60
80
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强， 我们回到回归直线的定义。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近， 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线 就叫做回归直线。
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线就叫做回归直线。
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变 量之间具有函数关系
2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近， 变量之间就有相关关系
3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量 之间就有线性相关关系
2.3.1 变量间的相关关系
思考
在学校，老师经常对学生这样说：“如果 你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会 有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生 的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关 关系。这种说法有没有依据呢？
凭我们的学习经验可知，物理成绩确实 与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还 存在其他影响物理成绩的因素。例如，是否 喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。当 我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时， 就是主要考虑这两者之间的相关关系。
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律；
解: (1)散点图
热饮杯数 160 150 140 130 120 110
100 90 80 70 60 50 40
温度
-10
0
10
20
30
40
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去 的热饮杯数越少。
练习：
有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害 健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题？ 你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可 以吸烟”的说法对吗？