导数知识点归纳和练习

一、相关概念 1.导数的概念：

f （x 0）= y lim xx 0 = f(x 0x)f(x 0) lim

xx 0

。 注意：

（1）函数f （x ）在点x

0处可导，是指x0时，

y x 有极限。如果

y x 不存在极限，

就说函数在点x

0处不可导，或说无导数。

（2）x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切 线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x

0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0

=f 0）（x －x 0）。/

（x /

（x

3.导数的物理意义

若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s （t ）。

若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。 二、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①C0;（C 为常数） ②

nn

xnx

1

;

③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx;

xx ⑤(e)e;

xx ⑥(a)alna;

1

⑦;

lnx

x

⑧

1 log a xlog a

e

x

.

2．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

'u 'v '

即：

(uv).

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

'u '

vuv '

函数

乘以第二个函数的导数，即：(uv).

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，

再除以分母的平方：

u v

u 'v 2 v

u v'

（v0）

。 3.复合函数的导数

形

如y

=f (x )的

函数称为复

合函数

。复合函数 分解——>求导——>回代。 法则：y ＇| X =y ＇|U ·u ＇|X 或者f[(x)]f()*(x). 三、导用 1.函数的单调性与导数 （1）设函数yf(x)在某个区间（a ，b ）可导，如果

' f(x)0，则f(x)在此区间上为 增函数；如果 ' f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有 ' f(x)0，则f(x)为常数。 2．极点与极值： 曲线在极值点处切率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为

负；曲线

在极

小值

点左侧切

率为负，右侧为正； 3．最值： 在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内 连续函数f （x ）不一定有最大值，例如 3 f(x)x,x(1,1)。 （1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中 的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 （2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。 四、定积分 1.概念

设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

n f ＝

(ξi )△x i ＝1

n

b

f(x)dx

数f

a

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被 积

函

数

，x 叫

做

积

，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

0dx 1m1 1 x m xdx m1x

＝C ；＝＋C （m ∈Q ，m ≠－1）；dx ＝ln

x

x edx ＋C ；＝ x e ＋C ；adx

x

x

a

cosxdxsinxdx

＝lna ＋C ；

＝sinx ＋C ；＝－cosx ＋C

（表中C 均为常数）。 2

.定积质

① b a

b kf(x)dxkf(x)dx a （k 为常数）；

bbb

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx ②；

aaa bcb

f(x)dxf(x)dxf(x)dx) ③（其中a ＜c ＜b 。

aac 3.定积分求曲边梯形面积

由

三x

＝a ，x ＝b （a

f 2(

x )（（a