析取范式与合取范式教案.ppt
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离散数学PPT课件 18范式(ppt文档)
• 3.主合取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。
⑵找出真值表中该公式的每个为“F”行的真值 指Q的主合取范式 P Q PQ PQ
FF T
T
FT T
F
TF F
F
TT T
T
PQ M10 P∨Q PQ M01∧M10
b).每个小项当且仅当其真值指派与编码相同时, 其真值为T;其余2n-1组真值指派均使该小项的 真值为F。
c).全体小项的析取式为永真式,记为:
2n-1
∑i=0mi = m0 ∨m1 ∨…∨m2n-1 ⇔T
2.主析取范式定义
若一个命题公式的析取范式为A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n)都是小项，则称之为该命 题公式的主析取范式。
否定形式, 则
m00P∧Q m10P∧Q
(2)小项的性质
m01P∧Q m11P∧Q
m11 m10
m01
m00
P Q P∧Q P∧Q P∧Q P∧Q
00 F F F F
F
T
01 F T F F
T
F
10 T F F T
F
F
11 T T T F
F
F
a).有n个变元，则有2n个小项。
3.主析取范式的写法
方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。
⑵找出真值表中该公式的每个为“T”行的真值 指派所对应的小项。
⑶用“∨”联结上述小项，即可。
例如求 PQ和PQ的主析取范式 P Q PQ PQ
FF T
T
FT T
F
TF F
F
TT T
T
PQ m00∨m01∨m11 (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
⑵找出真值表中该公式的每个为“F”行的真值 指Q的主合取范式 P Q PQ PQ
FF T
T
FT T
F
TF F
F
TT T
T
PQ M10 P∨Q PQ M01∧M10
b).每个小项当且仅当其真值指派与编码相同时, 其真值为T;其余2n-1组真值指派均使该小项的 真值为F。
c).全体小项的析取式为永真式,记为:
2n-1
∑i=0mi = m0 ∨m1 ∨…∨m2n-1 ⇔T
2.主析取范式定义
若一个命题公式的析取范式为A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n)都是小项，则称之为该命 题公式的主析取范式。
否定形式, 则
m00P∧Q m10P∧Q
(2)小项的性质
m01P∧Q m11P∧Q
m11 m10
m01
m00
P Q P∧Q P∧Q P∧Q P∧Q
00 F F F F
F
T
01 F T F F
T
F
10 T F F T
F
F
11 T T T F
F
F
a).有n个变元，则有2n个小项。
3.主析取范式的写法
方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。
⑵找出真值表中该公式的每个为“T”行的真值 指派所对应的小项。
⑶用“∨”联结上述小项，即可。
例如求 PQ和PQ的主析取范式 P Q PQ PQ
FF T
T
FT T
F
TF F
F
TT T
T
PQ m00∨m01∨m11 (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
析取范式与合取范式ppt
000
1
001
1
010
1
011
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100
1
101
1
110
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0
0
1
1
p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值
5
基本等值式
双重否定律 AA
幂等律
AAA, AAA
交换律
ABBA, ABBA
结合律
(AB)CA(BC)
(AB)CA(BC)
分配律
A(BC)(AB)(AC)
24
主析取范式与主合取范式
主析取范式:由极小项构成得析取范式 主合取范式:由极大项构成得合取范式
例如,n=3, 命题变项为p, q, r时, (pqr)(pqr) m1m3 就是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 就是主合取范式
定理2、7 任何命题公式都存在着与之等值得主析取范式与 主合取范式, 并且就是惟一得、
同一律, 排中律
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m0 m2 m4 m6
分配律
得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6
可记作
(0,2,4,5,6)
28
实例(续)
(2) (pq)r (pr)(qr)
pr p0r
同一律
p(qq)r
矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
M1M3 qr (pp)qr
AB (AB)(BA) AB AB AB (AB) (AB) AB (AB) AB (A)B AB
16
析取范式与合取范式42页PPT
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
析取范式与合取范式
•
6、黄金时代是在我们的前面、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
2.2 析取范式与合取范式ppt课件
3
如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A1, A2 ,L As 表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
15
在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
37
2．重言式与矛盾式的主合取范式 ① 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范
式含2n 个极大项. （n为公式中命题变项个数） ② 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任
设 Ai (i 1,2,L , s) 为简单的析取式，则 A A1 A2 L As 为合取范式.
9
2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
10
定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
例2.8 求公式 (p→q) ↔ r主析取范式和主合取范式.
解:（1）求主析取范式． 在例2.7中已给出的公式的析取范式，即
（p→q）r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
在此析取范式中，简单合取式┐p∧r，q∧r都 不是极小项。下面分别求出它们派生的极小项。
如，p, ┐q 等为一个文字构成简单析取式， p∨┐p，┐p∨q 等为2个文字构成的简单析取式， ┐p∨┐q∨r, p∨┐q∨r 等为3个文字构成的简单析取
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式. ② 为方便起见，有时用 A1, A2 ,L As 表示 s 个简单
析取式或 s 个简单合取式.
(p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
15
在以上演算中，从第二步到第三步是利用矛盾律 和同一律。另外，第二步和第三步结果都是析取范式， 这正说明命题公式的析取范式是不唯一的。同样，合 取范式也是不唯一的。
37
2．重言式与矛盾式的主合取范式 ① 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范
式含2n 个极大项. （n为公式中命题变项个数） ② 重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任
设 Ai (i 1,2,L , s) 为简单的析取式，则 A A1 A2 L As 为合取范式.
9
2 、范式的性质 定理2.2
（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式.
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
10
定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
例2.8 求公式 (p→q) ↔ r主析取范式和主合取范式.
解:（1）求主析取范式． 在例2.7中已给出的公式的析取范式，即
（p→q）r (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
在此析取范式中，简单合取式┐p∧r，q∧r都 不是极小项。下面分别求出它们派生的极小项。
1.6析取范式与合取范式
因为m001┐p∧┐q∧r, m010┐p∧q∧┐r, m101p∧┐q∧r 所以选派方案有三种： (1)C去,而A,B都不去；(2)B去,而A,C都不去；(3)A,C同去,而B不去。
例子
例2.13 由公式的主析取范式，求主合取范式： （1）Am1∨m2 (A中含2个命题变项p,q) （2）Bm1∨m2∨m3 (B中含3个命题变项 p,q,r)
再次，在析取范式中不出现如下形式的公式：A∧(B∨C) 在合取范式中不出现如下形式的公式：A∨(B∧C) 利用分配律，可得 A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)
由以上步骤，可将任一公式化成与之等值的析取范式或合取范式。
求范式可使用如下步骤：
(1)消去联结词→、。 (2)否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩 根律）。 (3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对 ∧的分配律求合取范式。
上面的定理告诉我们求主范式的步骤：
例子
求（p→q）r的主析取范式和主合取范式。
例子
求p→q的主析取范式和主合取范式。
主范式的用途（1）
1.求公式的成真赋值与成假赋值。 例如： （p→q）r m1∨m3∨m4∨m7 m001∨m011∨m100∨m111
M0∧M2∧M5∧M6 M000∧M010∧M101∧M110
范式的惟一性——主范式
平面上的二次曲线标准方程 一般形式的二次方程难以知道方程所代表的曲线 形状 如果将它化为标准方程,便可知道二次方程所代表 的是圆、椭圆、双曲线或是抛物线了。
极大项和极小项
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式） 中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现， 而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变 项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命 题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的 简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。
离散数学析取范式与合取范式幻灯片课件
（对分配）
(q p)( p r)(q r) （零律,同一律）
8
(2) 求 ( p q) (p r) 的合取范式。
解: ( p q) (p r)
(p q) ( p r)
（消去）
(p q p) (pq r) （ 对 分配）
p q r
（排中律,同一律）
9
极小项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现 且只出现一次，而且第i（1 i n）个文字出 现在左起第 i 位上，这样的简单合取式称为 极小项. 如： p q， p q r
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.
排序.
15
求公式的主析取范式
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
主析取范式: 由极小项构成的析取范式. 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时， (pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式.
14
定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取 范式, 并且是惟一的.
用等值演算法求公式的主析取范式的步骤： (1) 先求析取范式; (2) 将不是极小项的简单合取式化成与之等值的 若干个极小项的析取，需要利用同一律、排中 律、分配律、等幂律 …… (3) 极小项用名称mi 表示，按角标从小到大顺序
(方案)2.2 析取范式与合取范式.ppt.ppt
最新.课件
9
2 、范式的性质
定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式. （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
最新.课件
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定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前 四步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
最新.课件
15
利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得
每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是
按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
最新.课件
13
例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式.
② 为方便起见，有时用 A1, A2 , As 表示 s 个简单 析取式或 s 个简单合取式.
最新.课件
4
定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
析取范式与合取范式(技术材料)
(3) n个命题变项的真值表共有22n个, 故每个命题公式都有
无穷多个等值的命题公式
(4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变
项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变
项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.
专业课件
3
真值表法
例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值
专业课件
30
实例(续)
(2) 求 B p(pqr)的主合取范式 解 p
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) M4M5M6M7
pqr M1 得 B M1M4M5M6M7 (1,4,5,6,7)
专业课件
31
主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
000
1
0
1
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1
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1
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p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值
专业课件
5
基本等值式
双重否定律 AA
幂等律
AAA, AAA
交换律
ABBA, ABBA
结合律
(AB)CA(BC)
(AB)CA(BC)
分配律
A(BC)(AB)(AC)
8
实例
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.
无穷多个等值的命题公式
(4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变
项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变
项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.
专业课件
3
真值表法
例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值
专业课件
30
实例(续)
(2) 求 B p(pqr)的主合取范式 解 p
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) M4M5M6M7
pqr M1 得 B M1M4M5M6M7 (1,4,5,6,7)
专业课件
31
主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
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p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值
专业课件
5
基本等值式
双重否定律 AA
幂等律
AAA, AAA
交换律
ABBA, ABBA
结合律
(AB)CA(BC)
(AB)CA(BC)
分配律
A(BC)(AB)(AC)
8
实例
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.
主析取范式和主合取范式PPT文档50页
Байду номын сангаас
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
主析取范式和主合取范式
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
主析取范式和主合取范式
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
主析取范式和主合取范式50页PPT
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
主析取范式和主合取范式
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
离散数学析取范式与合取范式
4
第四页，编辑于星期日：二十二点 八分。
定理（范式存在定理） 任何命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 内移或消去否定联结词 (3) 利用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式）
公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性.
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
16
第十六页，编辑于星期日：二十二点 八分。
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范 式）
17
17
第十七页，编辑于星期日：二十二点 八分。
例1.18 求下列公式的主析取范式. (1) (pq) ( p r ) (2) (( p q) r ) p
答案: (1) (pq) ( p r ) m2 m3m5 m7
(2) (( p q) r ) p m2 m4m5 m6m7
12
第十二页，编辑于星期日：二十二点 八分。
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项:
公式 p q r p q r p q r p q r p q r
p q r p q r pqr
成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111
极小项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
(2) q r (3) r (p q) ③ (1) ~ (3)构成的合取式为 A=( p r )(q r)(r (p q))
第四页，编辑于星期日：二十二点 八分。
定理（范式存在定理） 任何命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） (2) 内移或消去否定联结词 (3) 利用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式）
公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性.
例1.17 求公式 (pq)r 的主析取范式.
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
其中 (pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
16
16
第十六页，编辑于星期日：二十二点 八分。
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范 式）
17
17
第十七页，编辑于星期日：二十二点 八分。
例1.18 求下列公式的主析取范式. (1) (pq) ( p r ) (2) (( p q) r ) p
答案: (1) (pq) ( p r ) m2 m3m5 m7
(2) (( p q) r ) p m2 m4m5 m6m7
12
第十二页，编辑于星期日：二十二点 八分。
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项:
公式 p q r p q r p q r p q r p q r
p q r p q r pqr
成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111
极小项
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
(2) q r (3) r (p q) ③ (1) ~ (3)构成的合取式为 A=( p r )(q r)(r (p q))
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公式 pq pq
pq pq
p,q形成的极小项与极大项
极小项 成真赋值
00 01 10 11
名称
m0 m1 m2 m3
极大项
公式 成假赋值
pq
00
pq 0 1
pq 1 0
pq 1 1
名称
M0 M1 M2 M3
定理2.6 设mi 与Mi是由同一组命题变项形成的极小项和极 大项, 则
mi Mi , Mi mi
最新.课件
26
实例
例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式
解 (1) (pq)r (pq)r
pq (pq)1
同一律
(pq)(rr)
排中律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (pqr)(pqr)
分配律
m4m5 r (pp)(qq)r
同一律, 排中律
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m0 m2 m4 m6
解
p q p q pq (pq) pq (pq)(pq)
00 1 1 0
1
1
1
01 1 0 1
0
0
1
10 0 1 1
0
0
1
11 0 0 1
0
0
1
结论: (pq) (pq)
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4
真值表法(续)
例2 判断下述3个公式之间的等值关系:
p(qr), (pq)r, (pq)r 解 p q r p(qr) (pq)r (pq)r
定理2.1 下述联结词集合都是完备集:
(1) S1={, , , , } (2) S2={, , , } (3) S3={, , } (4) S4={, } (5) S5={, } (6) S6={, }
AB (AB)(BA) AB AB
AB (AB) (AB)
AB (AB) AB (A)B AB
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
0
1
2
3
4
5
6
7
00 0 0 0 0 0 0 0 0
01 0 0 0 0 1 1 1 1
10 0 0 1 1 0 0 1 1
11 0 1 0 1 0 1 0 1
pq
F (2) 8
F (2) 9
F (2) 10
F (2) 11
F (2) 12
F (2) 13
F (2) 14
最新.课件
25
求主合取范式的步骤
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn (1) 求A的合取范式A=B1B2 … Bs, 其中Bj是简单析取
式 j=1,2, … ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大 项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列
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11
实例(续)
(3) ((pq)(pq))r)
解 ((pq)(pq))r)
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的
成假赋值.
总结:A为矛盾式当且仅当A0; A为重言式当且仅当A1
说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
A(BC) (AB)(AC)
德摩根律 (AB)AB
(AB)AB
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A(AB)A, A(AB)A
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6
基本等值式(续)
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同一律
A0A, A1A
排中律
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式
ABAB
等价等值式
AB(AB)(BA)
假言易位
ABBA
等价否定等值式 ABAB
归谬论
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ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB
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20
范式存在定理(续)
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式
解 (pq)r
(pq)r
(pq)r
F (2) 15
00 1 1 1 1 1 1 1 1
01 0 0 0 0 1 1 1 1
10 0 0 1 1 0 0 1 1
11 0 1 0 1 0 1 0 1
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联结词完备集
定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集
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复合联结词
与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词
pq为真当且仅当p,q不同时为真 pq为真当且仅当p,q同时为假
定理2.2 {},{}是联结词完备集 证 p (pp) pp
pq (pq) (pq) (pq)(pq) 得证{}是联结词完备集. 对于{}可类似证明.
分配律
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可记作
(0,2,4,5,6)
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实例(续)
(2) (pq)r (pr)(qr)
pr p0r
同一律
p(qq)r
矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
M1M3 qr (pp)qr
同一律, 矛盾律
(pqr)(pqr) 分配律
M3M7
8
实例
等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.
例4 证明: p(qr) (pq) r
p52
方法一 真值表法（见例2）
方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假.
方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.
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9
实例
得 (pq)r M1M3M7
可记作
(1,3,7)
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快速求法
设公式含有n个命题变项, 则 长度为k的简单合取式可展开成2n-k个极小项的析取 例如 公式含p,q,r
q (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m2 m3 m6 m7
长度为k的简单析取式可展开成2n-k个极大项的合取 例如 pr (pqr)(pqr)
定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定
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18
析取范式与合取范式
析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式 A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式
合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式 A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式
析取范式
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注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.
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极小项与极大项
定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式) 中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次， 而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项 (极大项)
2.2.2 联结词完备集
真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词
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2
等值式
定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式
说明: (1) 是元语言符号, 不要混同于和=
(2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相
同, 即A与B有相同的真值表
说明:(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值 (3)制的用十表m进示i表制. 用示表M第示i表i,个m示极i第(M小i个i)项称极,为其大极中项小i,是其项该中(极极i是小大该项项极成)的大真名项赋称成值.假的赋十值进
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极小项与极大项(续)
作业
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(p(q r)) (r s) (p r) ( q s) (p q r) (p q r) (p q r s) (p q r s)
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范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
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定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
M1M3
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实例
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2.3 范式
2.3.1 析取范式与合取范式
简单析取式与简单合取式 析取范式与合取范式
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