高二数学会考专题辅导练习专题三十二平面解析几何(六)——椭圆、双曲线

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高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

高二双曲线椭圆练习题详解

高二双曲线椭圆练习题详解双曲线和椭圆是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用。

掌握它们的性质和解题方法，对于学习高等数学和应用数学都有很大的帮助。

本篇文章将通过详细解析高二双曲线椭圆的练习题，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 题目一已知双曲线H的焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)，离心率为e=2。

过点A(3,0)作直线a与双曲线相交于B,C两点，AB的斜率为k，BC的斜率为m。

求证：km=4。

解析：首先，根据双曲线的定义，焦点到任意点的距离之差的绝对值等于离心距的两倍。

可以得到公式：|AF1 - AF2| = 2a其中a为双曲线的椭圆半轴长。

联立双曲线的标准方程和直线a的方程，可以求得B,C两点的坐标分别为B(3, -√(4k^2 - 3))，C(3, √(4k^2 - 3))。

通过计算，可以得到斜率k=(√(4k^2 - 3))/3，斜率m=-√(4k^2 - 3)/3。

将斜率k和斜率m相乘，得到km=(4k^2 - 3)/9。

由于k=(√(4k^2 - 3))/3，代入得到km=(4(4k^2 - 3) - 3)/9，化简可得km=4。

因此，证明了km=4。

2. 题目二已知椭圆E的焦点为F1(-3,0)，F2(3,0)，离心率为e=2/3。

直线a的斜率为k，过点A(6,0)与椭圆E相交于B和C两点，求证：BC的斜率为-m。

解析：同样地，根据椭圆的定义，焦点到任意点的距离之和的绝对值等于离心距的两倍。

可以得到公式：|AF1 + AF2| = 2a联立椭圆的标准方程和直线a的方程，可以求得B,C两点的坐标分别为B(6, √(4k^2 - 5))，C(6, -√(4k^2 - 5))。

通过计算，可以得到BC的斜率m=(-√(4k^2 - 5))/3。

要证明BC的斜率为-m，只需要证明m=1/m即可。

代入斜率m=-√(4k^2 - 5)/3，可得1/m=(-3)/(√(4k^2 - 5))。

椭圆双曲线抛物线专题

椭圆双曲线抛物线一、考向1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．考点一椭圆例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．3D ．13【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<1考点二双曲线例2．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（）A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33.若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,35.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3 D. 2考点三抛物线例3．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .2.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42DE|=5则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)83.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1课堂练习1.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（A）221412x y-=（B）221124x y-=（C）2213xy-=（D）2213yx-=2.双曲线22219x ya-=（a>0）的一条渐近线方程为35y x=，则a= .3.抛物线 (a>0)的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若，则 a= .4.抛物线上的点到焦点的距离为2，则5.设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为（）A．B．C. D．6.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．7.设点F1为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若△OPF1是底角为30°等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．。

高二圆锥曲线椭圆双曲线练习题

高二圆锥曲线椭圆双曲线练习题高二圆锥曲线练习题1. 设椭圆E的离心率为e，焦点F1是E的一焦点，P是E上一点，直线PF1与椭圆E交于另一点Q。

证明：PF1 = QF1。

解析：设椭圆E的中心为O，长轴长为2a，短轴长为2b。

根据椭圆的定义可知，PF1 + PF2 = 2a，其中F2是E的另一焦点。

又由于椭圆的对称性，QF1 = PF2。

因此，PF1 + QF1 = PF2 + PF2 = 2a。

得出结论：PF1 = QF1。

2. 设双曲线H的离心率为e，焦点F是H的一焦点，P是H上一点，直线PF与双曲线H交于另一点Q。

证明：PF = QF。

解析：设双曲线H的中心为O，焦距为2c，所以焦点F距离中心O的距离为c。

根据双曲线的定义可知，PF - PF' = 2a，其中F'是双曲线的另一焦点。

又由于双曲线的对称性，QF = PF'。

因此，PF - QF = PF' - PF' = 2a。

得出结论：PF = QF。

3. 已知双曲线H的上焦点为F1(4, 0)，离心率为2。

双曲线H上一点P的坐标为(2, 5)，求直线PF1的方程。

解析：设双曲线H的中心为O，焦点距离中心的距离为c。

由于离心率e为2，即c = ae = 2a，所以a = c / 2。

又因为双曲线H的上焦点为F1(4, 0)，所以中心O的横坐标为c = 4。

又由于双曲线H上一点P的坐标为(2, 5)，所以点P的横坐标为c - a = 4 - 2 = 2。

根据焦点的定义，得到PF1的距离为PF1 = PF' = 2a，其中F'为双曲线H的下焦点。

又根据双曲线的定义，PF1 - PF' = 2a。

代入已知值：2a - 2a = 2a，得到PF1 = 2a。

因为点P的坐标为(2, 5)，点F1的坐标为(4, 0)，所以直线PF1的斜率为：k = (5 - 0) / (2 - 4) = -5/2。

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结

高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结在高中数学中，椭圆与双曲线是解析几何部分的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。

下面让我们一起来详细了解一下这两个重要的数学概念。

一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。

1、椭圆的标准方程当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\），＼（c\）为半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。

当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。

2、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：对于\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

（3）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

3、椭圆的焦半径设椭圆上一点\（P(x_0, y_0)＼），焦点为\（F_1\）、＼（F_2\），则\（｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0\），＼（｜PF_2| ＝ a ex_0\）。

4、椭圆的切线方程若点\（P(x_0, y_0)＼）在椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）上，则过点\（P\）的切线方程为\（＼frac{x_0x}｛a^2} ＋＼frac{y_0y}｛b^2} ＝ 1\）。

双曲线、椭圆、圆专题训练与答案

圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

高二数学椭圆双曲线专项练习含答案审批稿

高二数学椭圆双曲线专项练习含答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（） A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） D ．(－a a 1-, 0), (aa 1-, 0) 2、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则该双曲线的离心率为（）A ．5BCD ．5/43．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （） A ．3/2B ．3C ．4 了D ．7/24．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于B A ,两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率等于（） A32 B 22 C 21 D 32 5．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ．x ＝±y 215 B ．y ＝±x 215 C ．x ＝± y 43 D ．y ＝±x 436．设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（） A ．1 B ．25C ．2D ．5 7．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（） A ．221≥e eB ．42221≥+e e C ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 8．已知方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 9．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22mx +22b y =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形10．椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 一、填空题： 11．对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题：①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____________12．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__13．双曲线16922y x -＝1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离____14．若A （1，1），又F 1是5x 2＋9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|＋|P F 1|的最小值_______15、已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是二、解答题：16、设椭圆方程为422y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足→→→+=)(21OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.17、已知F 1、F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．18、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；图19、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

解析几何椭圆双曲线抛物线

令 x＝0，解得 y0＝－1＋6k4k2. 由QA? (? 2,? y0 ),QB ? (x1, y1 ? y0 ),
QA?QB ? ?2x1 ? y0 ( y1 ? y0 )
＝－21(＋2－4k82k2)＋1＋6k4k2(1＋4k4k2＋1＋6k4k2) ＝4(16(k14＋＋41k52k)22－1)＝4，
(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的
坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
QA?QB =4,求 y0 的值.
解 (1)由 e＝ac＝ 23，得 3a2＝4c2.再由 c2＝a2－b2，得 a＝2b. 由题意可知21×2a×2b＝4，即 ab＝2.
的双曲线满足－4≤x≤4 的部分；
当34<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上
的椭圆满足－4≤x≤4 的部分；
当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上
的椭圆．
探究提高 (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注意字母的取值范围．
2
44
③当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l：y＝k(x－1)，
P (x1，y1)，Q(x2，y2)．
??y＝k(x－1)，由???x42＋y32＝1，
整理，得 (4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12
＝0.
Δ＝144k2＋144>0 恒成立．
∴x1＋x2＝4k82＋k2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
变式训练 3 已知圆 F1：(x＋1)2＋y2＝41，圆 F2：(x－1)2 ＋y2＝449，动圆 M 与圆 F1、F2 都相切． (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；

椭圆和双曲线练习题及答案解析

第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D 由a 2＞a ＋6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以⎩⎨⎧a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P －c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33.11．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24. 12．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12B.32C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.14．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 16．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．17．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜5 ，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C ．离心率相等 D. 焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k4. 又e ∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k ＜0.20．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝bax 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题21．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5. 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 答案：3或522．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝123．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝125．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m ＝12⇒m ＝163.综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝127．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1628．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝129．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝130．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0)31．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：232．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.三、解答题33．设F 1，F 到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2||F 1F 2＝||PF 1＋||PF 2. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解：(1)由已知得||F 1F 2＝2，∴||PF 1＋||PF 2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1||PF 2cos 120°，即4＝()||PF 1＋||PF 22－||PF 1||PF 2，∴4＝(2a )2－||PF 1||PF 2＝16－||PF 1||PF 2，∴||PF 1||PF 2＝12，∴S △PF 1F 2＝12||PF 1||PF 2sin 120°＝12×12×32＝3 3.35．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a22，所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 37．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 38．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)． 39.已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.40．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。

高二数学同步椭圆双曲线抛物线基础习题解析几何练习题

解析几何练习题（基础）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.直线y=k(x−2)+4与曲线y=1+√4−x2有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A. B. C. D. (0,512)2.若双曲线过点(3,√2)，且渐近线方程为y=±13x，则该双曲线的方程是()A. y2−x29=1 B. y29−x2=1 C. x2−y29=1 D. x29−y2=13.方程sin(x+π3)=lgx的实数根个数为()A. 3个B. 5个C. 7个D. 9个4.已知P是椭圆x24+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y−2√5=0的距离的最小值为()A. √102B. √52C. √105D. √255.椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是()A. x225+y29=1 B. y225+x29=1或x225+y29=1C. y225+x29=1 D. y225+x216=1或x216+y29=16.已知△ABC中，A、B的坐标分别为(0,2)和(0,−2)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是()A. x29+y25=1(y≠0) B. x25+y29=1(x≠0)C. x236+y220=1(y≠0) D. x232+y236=1(x≠0)7.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. 2√338.将函数的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A. B. C.D.9. 函数f(x)=−3|x|+1的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在下列区间中，函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为( )A. (−14,0)B. (0,14)C. (14,12)D. (12,34)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）11. 过点(−1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是________． 12. 过点M(1,1)作斜率为−12的直线与椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ，B ，则直线AB 的方程 (1) ；若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 (2) ． 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为．三、解答题（本大题共2小题，共24.0分） 14. 已知抛物线的标准方程是y 2=6x ．(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)直线l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A ，B ，求AB 的长度．15.已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：x2m−t +y2m−t−1=1表示双曲线”．(1)若命题p是真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】A本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，属于较综合的中档题．要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线y=1+√4−x2表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有两个不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率结合图象得出k的取值范围．【解答】解：∵y=1+√4−x2，即x2+(y−1)2=4(y≥1)，表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆的上半部分，直线l：y=k(x−2)+4恒过定点A(2,4)，斜率为k，根据题意画出图形，如图所示：当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即√k2+1=2，解得：k=512；当直线l过B(−2,1)点时，直线l的斜率为4−12−(−2)=34，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(512,34 ]．故选A．2.【答案】A【解析】解：根据题意，设双曲线标准方程为：x29−y2=λ(λ≠0)，∵双曲线过(3,√2)，代入方程得λ=−1，∴双曲线方程：y 2−x 29=1．故选：A ．设出双曲线方程，代入点的坐标转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．3.【答案】A【解析】解：解：方程sin(x +π3)=lgx 的实数解个数，即函数y =sin(x +π3)的图象与直线y =lgx 的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y =sin(x +π3)的图象与直线y =lgx 的交点个数为3个，故选：A ．分别作出函数y =lgx 与y =sin(x +13π)的图象，根据图象求解．本题主要考查方程根的个数，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数是解决本题的关键．4.【答案】A本题考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题．设与直线x +y −2√5=0平行且与椭圆相切的直线方程是x +y +c =0，与椭圆方程联立并消元，由Δ=0可得c 的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆x 24+y 2=1上的动点P 到直线l 距离的最小值．【解答】解：设与直线x +y −2√5=0平行且与椭圆相切的直线方程是x +y +c =0，与椭圆方程联立{x 24+y 2=1x +y +c =0,消元可得5x 2+8cx +4c 2−4=0，则Δ=64c 2−20(4c 2−4)=0，可得c =±√5，故与直线x +y −2√5=0平行且与椭圆相切的直线方程是x +y ±√5=0，x+y+√5=0与x+y−2√5=0之间的距离为√5+2√5|√2=3√102，x+y−√5=0与x+y−2√5=0之间的距离为√5+2√5|√2=√102，∴椭圆x24+y2=1上的动点P到直线l距离的最小值是√102．故选A．5.【答案】B由题意求得c=4，a=5，b2=a2−c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2−c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x225+y29=1，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y225+x29=1，故椭圆的标准方程为：x225+y29=1或y225+x29=1，故选B．6.【答案】B解：由题意，A、B的坐标分别为(0,2)和(0,−2)，所以|AB|=4，又三角形△ABC的周长为10，∴|AC|+|BC|=10−4=6>|AB|，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，但不包括在y轴上的两点，可知：椭圆中的c=2，a=3，所以b=√9−4=√5，故椭圆的方程为x25+y29=1(x≠0)，所以顶点C的轨迹方程是x25+y29=1(x≠0)，故选B．7.【答案】A本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为：bx−ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为2，由双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到bx−ay=0的距离为d=√22−12=√3=√a2+b2，及即b2=3a2，又c2=a2+b2=4a2，可得e2=4，即e=2．故选A．8.【答案】D本题考查三角函数的图象平移变换．求得函数的最小正周期，根据平移规律得到平移后的函数式为y=2sin[2(x−π4)+π6]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin(2x+π6)的周期为T=2π2=π，由题意函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6]，即y=2sin(2x−π3).故选D．9.【答案】A本题考查函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置是解答的关键，属于基础题．根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x=0代入函数解析式，可判断函数图象与y轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象．【解答】解：∵函数f(x)=−3|x|+1，∴f(−x)=−3|−x|+1=−3|x|+1=f(x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B、D，当x =0时，f(0)=−30+1=0，即函数图象过原点，故排除C ．故选A ．10.【答案】C本题主要考查函数零点存在性定理及函数的单调性，属于简单题．判断函数f(x)=e x +4x −3单调递增，然后利用零点存在性定理求解即可．【解答】解：∵函数y =e x 和函数y =4x −3在R 上都单调递增， ∴函数f(x)=e x +4x −3在(−∞,+∞)上为增函数，则f(x)最多一个零点， ∵f(14)=e 14+1−3<0，f(12)=√e +2−3=√e −1>0， ∴f(14)⋅f(12)<0，∴函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为(14,12). 故选C ．11.【答案】2x +y =0或x +y −1=0本题考查用待定系数法求直线方程，属于基础题．当直线过原点时，设直线方程为y =kx ，代入点求得直线方程；当直线不过原点时，设直线的方程为x +y −c =0，把点(−1,2)代入直线的方程可得c 值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，设直线方程为y =kx ，代入点(−1,2)可得k =−2，故方程为 y =−2x ，即2x +y =0；当直线不过原点时，设直线的方程为x +y −c =0，把点(−1,2)代入直线的方程可得c =1，故直线方程是x +y −1=0，综上，所求的直线方程为2x +y =0，或x +y −1=0，故答案为2x +y =0或x +y −1=0．12.【答案】x +2y −3=0√22【解析】解：由题意可知：直线的点斜式方程：y −1=−12(x −1)，整理得：x +2y −3=0，解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②， ∵M 是线段AB 的中点， ∴x 1+x 22=1，y 1+y 22=1，由y 1−y 2x1−x 2=−12∵①②两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，即2a 2+(−12)2b 2=0，整理得：a =√2b ，c =√a 2−b 2=b∴e =c a=2b=√22．椭圆C 的离心率√22．故答案为：x +2y −3=0，√22．由直线的点斜式方程：y −1=−12(x −1)，整理得：x +2y −3=0，由x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，利用中点坐标公式及作差法，即可求得a 与b 的关系，则c =√a 2−b 2=b ，e =ca =√2b=√22．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点差法的应用，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．13.【答案】36π本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．【解答】解：三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，O是斜边SC上的中点，∴AO⊥SC，BO⊥SC，设球的半径为r，三棱锥S−ABC的体积为9，可得13×12×2r×r×r=9，解得r=3，球O的表面积为：4πr2=36π．故答案为36π．14.【答案】解：(1)抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴p2=32，∴焦点为F(32,0)，准线方程：x=−32；(2)∵直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线l过点F(32,0)且斜率为1，∴直线l的方程为y=x−32，代入抛物线y2=6x化简得x2−9x+94=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=9，所以|AB|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．15.【答案】解：(1)若p为真：则{m2>2m+82m+8>0,解得−4<m<−2，或m>4，即的取值范围;(2)若q为真，则(m−t)(m−t−1)<0，即t<m<t+1，∵p是q的必要不充分条件，则{m|t<m<t+1}⫋{m|−4<m<−2，或m>4}，即−4≤t<t+1≤−2或t≥4，解得−4≤t≤−3或t≥4．即实数的取值范围．第11页，共11页。

高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by a x ，因式分解得到0x ya b±=。

②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

2020高二数学会考专题辅导练习专题三十二平面解析几

专题三十二平面解析几何（六）——椭圆、双曲线（一）知识梳理：（二）例题讲解考点1：椭圆（双曲线）方程例1（a 级）、已知在双曲线的实轴在y 轴上，它的两条渐近线方程分别是2x ±3y=0，实轴长为12，则它的方程是（） A. B.C.D.易错笔记：例2（b 级）、与椭圆1492422=+y x 有公共焦点，且离心率为45的双曲线方程为___________易错笔记：例3（b 级）已知椭圆的两个焦点是F 1(－2, 0)、F 2(2, 0)，且点A(2,2)在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程是_________.易错笔记：考点2：椭圆（双曲线）的几何特征例4（b 级）、椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为，∆MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.易错笔记：例5（b 级）、若O ,F ,B 分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点，3π=∠BFO ，则此椭圆的离心率e =_______．易错笔记：例6（b 级）、如图，21,F F 分别是双曲线12222=-by a x（a>0,b>0）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以||1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．5 Ｃ．25Ｄ．31+易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、椭圆5x 2+9y 2=45 的离心率是（） A.B.C.D.2、如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是10，那么点P 到左焦点的距离为（）A ．6B ．14C ．6或14D ．2或18 3、以原点为中心，实轴在x 轴上的双曲线，一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为6，则它的方程是（） A.B.C.D.4、若方程222212my m x --+=1表示双曲线，则其焦距为 ( ) (A)3(B) 3 (C) 23 (D) 65、已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）的两个焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y ±= B ．x y 2±= C ．x y 22±= 6、过双曲线822=-y x 的左焦点1F 有一条弦PQ 在左支上，若7||=PQ ，2F 是双曲线的右焦点，则Q PF 2∆的周长是（） A ．28 B ．2814- Ｃ．2814+ Ｄ．28 二、填空题7、（1）已知椭圆的方程为221916x y +=，则它的长轴长为______，短轴长为______，焦距为_____，焦点坐标为________________，离心率为________.（2）已知双曲线的方程为116922=-y x ，则它的实轴长为______，虚轴长为_____，焦距为_____，焦点坐标为_________________，离心率为_______，渐近线方程为_________________.8、（1）短轴长为16，离心率为53，焦点在y 轴上的椭圆方程为__________. （2）焦距为10，离心率为35，焦点在x 轴上的双曲线的方程为__________. 9、已知一等轴双曲线的焦距为4，则它的标准方程为____________________.10、已知曲线方程为14922=-+-k y k x ， (1) 当曲线为椭圆时，k 的取值范围是______________. (2) 当曲线为双曲线时，k 的取值范围是______________. 11、（1）已知双曲线经过)5,2(-P ，且焦点为)6,0(±，则双曲线的标准方程为______ （2）经过点)2,0(),0,3(--Q P 的椭圆的标准方程是_____________.12、椭圆的长轴和短轴之和为30，一个焦点与短轴两端点的连线构成60°角，则满足上述条件的椭圆方程是_____________________ 三、解答题13、已知21F F 、是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，（1）满足 02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．（2）满足02160=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，则m 的值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于（）（A ）45（B ）315（C ）53（D ）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1（﹣，0），F 2（，0），点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（） A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点， ∴||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A （﹣2，），F （2，0）∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20， ∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（） A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，故选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值围是( C )A.33(,)33- B.(3,3)- C.33[,]33- D.[3,3]-13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

高中数学椭圆双曲线练习卷(含答案)

高二数学练习卷一（椭圆、双曲线）班级姓名一、填空题1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都在坐标轴上，过点(3,0)A ，则椭圆的方程是2219x y +=或221981x y +=． 2．双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，则双曲线方程为 221205x y -=或221520y x -= 3．与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为()22118y x x -=≤-．4．过点（2，-2）且与双曲线-22x y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是22124y x-= 5．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是2218020x y +=。

6．若方程()a x a y -=-31lg 22表示两个焦点都在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 31101<<a . 7．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于544或-． 8．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF =2．9．已知点P 在双曲线22259x y -=1上,满足|PF 1| =12，则|PF 2| =2或22. 10．双曲线1422=+ky x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是(4,0)-11.已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 x y 43±= 12．曲线C 的方程为()()431222=-+-ykx k （R k ∈），当1-=k 时，曲线C 为圆；当∈k ()()1,11,3-⋃--时，曲线C 为椭圆；当∈k()()3,13,⋃-∞-时，曲线C C 为两直线.13．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于8-14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上.若PF 1⊥PF 2 ,则点P 到x 轴的距离为165. 15．过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13422=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是4条．16．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为161022=+y x ．17．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21+=则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为③④（写出所有真命题的序号）18．若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0(122>>=-b a by a x 有相同的焦点21,F F ，P 是两条曲线的一个公共点，则21PF PF ⋅的值是m a -。

高二数学椭圆专题详细解析

朗培教育椭圆专题解析1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 性质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ace 准线ca x 2±=ca y 2±=考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c);Ox yDPAB C(3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为（） A.3 B.6 C.12 D.24[解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=122.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15[解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ，解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况．【新题导练】3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +ky 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4,0(πθ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，当4πθ=时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(ππθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析] ⇒⎩⎨⎧==-c a c a 23⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BC 2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22D .21[解析]选B7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222m n n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值【解题思路】把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=,2202122≤≤-∴≥-∴x x ]2,2[,23)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6【新题导练】9.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=[解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ10.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ．考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin 3cos 4|22-+=+-+ϕθθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】11.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ，矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS12. P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值[解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=⋅当a PF =||1时，||||21PF PF ⋅取得最大值2a ，当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ⋅取得最小值2b13.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．[解析] 设)2,0(),sin ,cos 2(πθθθ∈P ，则θθcos 221sin 21⋅+⋅=+=∆∆OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=．（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．【解题思路】通过PB AP 3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==，其标准方程为：12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（）A. ()0,0132322>>=+y x y xB. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析] ),(),3,23(y x OQ y x AB-=-=132322=+∴y x ，选A.15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。

椭圆、双曲线解答题综合练习(含答案)

椭圆、双曲线解答题综合练习1.中心在坐标系原点O，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率e=√2的双曲线C过点P(4,−√10).（1）求C的方程；（2）若点M(3,m)在C上，求ΔMF1F2的面积.2.若椭圆C：x2a2+y2b2=1是以双曲线x23−y2=1的顶点为焦点，以其焦点为顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上的一点，F1、F2是椭圆C的两焦点，且∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积．3.分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)离心率为√74，且短轴长为6的椭圆C1；(2)过点(3,−√2)，且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线C2；4. 如图，点F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30∘，直线AF 2与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若ΔABF 1的周长为4√3，求椭圆C 的标准方程.5. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．6. 已知椭圆x2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且经过点M （2，1），直线y =12x -1与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆方程；（2）求线段AB 中点的横坐标．7. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8离心率e =√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2=1(a >b >0)上一点与两焦点构成的三角形的周长为4＋2√3,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为√7，求直线l 的方程.9. 若椭圆经过两点(−32,52)，(√3,√5)，求椭圆的标准方程．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D 的渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),直线l:y =x −2交双曲线于A,B 两点，连结OA,OB ．（1）求双曲线方程；（2）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.11.已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C的标准方程．(1)渐近线方程为y=±53x，且过点(3，10)；(2)与双曲线x2−y2=1的离心率相同，与x25+y2=1共焦点．12.（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点(52,−32)的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±12x，且与椭圆x210+y25=1有公共焦点，求此双曲线的方程．13.设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为4√2，求△ABF1的面积．14.命题P：方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，命题q：不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立．（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．15. 已知椭圆C 的右焦点为F （1，0），且点P(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知定点M （-4，0），直线y =kx +1与椭圆C 相交与A ，B 两点，若∠AMO =∠BMO （O 为坐标原点），求k 的值．16. 设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+yb22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|（1）若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|；（2）若cos∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.17. 已知椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，点P(2,−3)与椭圆C 上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)构成的三角形△PAB 的面积为10，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AB 过椭圆的顶点.18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点(−3,2√6)．(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l:y =kx +2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．19.已知直线y=kx−1和双曲线C:x2−y2=1交于A,B两点.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若k=−√62,求ΔAOB的面积.20.已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1．（1）当k=√3时，直线l与双曲线C的一渐近线交于点P，求点P到另一渐近线的距离；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=4√3，求k的值．21.曲线C上的点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x=12的距离的比是常数2.（Ⅰ）求曲线C的轨迹的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A,B两点，且点P(1,3)为线段AB的中点，求直线l的方程.22.双曲线的方程是x24-y2=1．（1）直线l的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为83√11，求直线l的方程；（2）过点P（3，1）作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．答案和解析1.【答案】解：（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设方程为x 2-y 2=λ，又双曲线过点(4，−√10)， ∴16-10=λ，解得λ=6， ∴双曲线方程为x 26−y 26=1，（2）由点（3，m ）在双曲线上，得96−m 26=1，解得m =±√3，又|F 1F 2|=2c =2√a 2+b 2=4√3，所以△MF 1F 2的面积为S =12×4√3×√3=6．【解析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用，难度适中.（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设双曲线方程为x 2-y 2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）把点M （3，m ）代入双曲线，可解得m =±√3，即可得其面积．2.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，双曲线的方程为x 23−y 2=1，其顶点为（±√3，0），焦点为（±2，0），则椭圆Cx 2a 2+y 2b 2=1的焦点为（±√3，0），顶点为（±2，0），则a =2，c =√3，则b =√a 2−b 2=1，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）根据题意，∠F 1PF 2=90°，即△F 1PF 2为直角三角形，则有{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12⇒|PF 1|⋅|PF 2|=2；故△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|⋅|PF 2|=1．【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，属于中档题．（Ⅰ）根据题意，由双曲线的方程分析焦点、顶点坐标，即可得椭圆C 的焦点、顶点坐标，据此分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12，变形可得|PF 1|•|PF 2|的值，由三角形面积公式计算可得答案．3.【答案】解：(1)∵短轴长为6，∴b=3，∵离心率为√74，∴ca =√74，又∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C1的标准方程为x216+y29=1或y216+x29=1；(2)∵双曲线与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点，∴焦点坐标为（±2,0），又∵双曲线过点，∴2a=3√3−√3=2√3，即a=√3，∴b=1，∴双曲线C2的标准方程为x23−y2=1；【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题.(1)由椭圆的性质得到b，由离心率得到a和c的关系，再由a2=b2+c2解得a，b，就求得椭圆方程；(2)求出椭圆的焦点得到c，再把点的坐标代入双曲线方程，结合a2+b2=c2，解得a和b，就求得双曲线方程;4.【答案】解：（1）设AF1=m，∵AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，∴AF2=2m，，由椭圆的定义及几何性质知2a=AF1+AF2=3m,2c=F1F2=√3m，e=2c2a =√3m3m=√33;（2）由△ABF1的周长为4√3得4a=4√3，∴a=√3，由（1）得c=1，b2=a2-c2=3-1=2，∴椭圆的标准方程为x23+y22=1.【解析】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的性质及三角形的周长，注意运用椭圆的定义，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．（1）由已知条件及2a=PF1+PF2，2c=F1F2，直接求解即可；（2）由椭圆的定义及性质知：ΔABF1的周长等于4a=4√3，算出a，再由（1）得到c、b，从而求出椭圆标准方程.5.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的焦点F1（-√2，0），F2（√2，0），当直线l 斜率不存在时，则x =-√2，则A （-√2，1），B （-√2，-1），则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2√2，-1）（-2√2，1）=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k （x +√2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4√2k 2x +4k 2-4=0， x 1+x 2=-4√2k22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2（x 1+√2）（x 2+√2）=k 2（x 1x 2+√2（x 1+x 2）+2）=-2k 22k 2+1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-√2，y 1）（x 2-√2，y 2）=x 1x 2-√2（x 1+x 2）+2+y 1y 2=4k2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2（x +√2）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．6.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且经过点M （2，1），∴{ a 2−b 2a 2=344a 2+1b 2=1，∴a 2=8，b 2=2， ∴椭圆方程方程为x 28+y 22=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标为（a ，b ），则x 12+4y 12=8，x 22+4y 22=8，两式相减得 (x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，结合直线y =12x -1可得{4×(−12)=ab b =a2−1∴a =1，即线段AB 中点的横坐标为1．【解析】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题．（1）由题意，椭圆经过点M （2，1），离心率为√32，建立方程组，求出a ，b ，由此可得椭圆的方程；（2）利用点差法，结合直线的斜率，即可求线段AB 中点的横坐标．7.【答案】解：（1）∵椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32， ∴{2a =8c a=√32，∴a =4,c =2√3,b =√16−12=2， ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1 ；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0，又设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程的两个根， ∴x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，又M 为AB 的中点， ∴x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，解得k =−12，故所求直线方程为x +2y -4=0.【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质. （1）由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32，得出{2a =8ca=√32，由此能求出椭圆C 的标准方程；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，由M 为AB 的中点，知x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，由此能求出直线方程.8.【答案】解：（1）由题设得2a +2c =4＋2√3，又e =√32=ca，解得a =2,c =√3,∴b =1，故椭圆ℎ(x)的方程为x 24+y 2=1.（2）设直线l 方程为：y =12x +m ，代入椭圆C:x 24+y 2=1并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2.∵|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2=√52⋅√8−4m 2，B 到直线PQ 的距离为d 1=√5，A 到直线PQ 的距离为d 2=√5，又因为P 在第一象限, 所以−1<m <1，所以d 1+d 2=√5√5=√5，所以S APBQ =12(d 1+d 2)⋅PQ =√8−4m 2=√7，解得m =±12，所以直线方程为y =12x ±12．【解析】本题考查椭圆的标准方程，弦长问题，涉及离心率，点到直线的距离公式，属中档题（1）根据焦点三角形的周长，利用椭圆的定义得到a +c 的值，结合离心率，求出a ,c 的值，进而得b ; （2）设直线l 方程为：y =12x +m ，联立方程组消去y 并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，借助于韦达定理，利用弦长公式得到|PQ |,利用点到直线的距离公式得到A ,B 到直线PQ 的距离，进一步根据P 在第一象限，得出m 的取值范围，从而得出四边形APBQ 面积关于m 的函数表达式，并根据已知面积求得m 的值，即得所求直线的方程,由于包含了弦长问题，对应方程的判别式自然大于0，可免除检验.9.【答案】解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），由{m(−32)2+n(52)2=13m +5n =1, 得m =16,n =110，所以，椭圆的方程为y 210+x 26=1．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题.设椭圆的一般方程mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），把点代入解答即得.10.【答案】解：（1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由双曲线渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),可得{mn=34m −9n =1,解得m =1,n =13, 故双曲线方程为x 2−y 23=1（2）联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2，x 1x 2=−72 y 1y 2=(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−72+4+4=92∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−72+92=1.【解析】本题考查了双曲线方程，直线与双曲线方程的位置关系.（1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由题意可得{mn =34m −9n =1，解得m ,n 即可得双曲线方程.(2)联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，结合韦达定理和数量积的运算可得答案.11.【答案】解：（1）设双曲线的方程为x 29−y 225=λ(λ≠0)，将点(3，10)代入可得99−10025=−3=λ，故双曲线的方程为x29−y225=−3，即双曲线C的标准方程为y275−x227=1．（2）由题意知双曲线C的离心率为√2，焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，所以可设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a2+b2=4，√a2+b2a=√2，解得a2=b2=2，所以双曲线C的标准方程为x22−y22=1．【解析】本题考查双曲线的标准方程.几何意义.12.【答案】解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义知2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，得a=√10，又因为c=2，所以b2=a2−c2=10−4=6，故所求椭圆标准方程为x210+y26=1．（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，因为椭圆的焦点为(√5,0),(−√5,0)，所以双曲线的半焦距c=√5，由题意知ba =12，所以a2=4b2，又c2=a2+b2，故5b2=5，所以b2=1,a2=4，所以双曲线的方程x24−y2=1．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、双曲线的性质及及几何意义的知识点，属于基础题.（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义得到a的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据椭圆的焦点得到双曲线的半焦距，再根据已知条件得到答案.13.【答案】解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|=|F1F2|，∴√(a−c)2+b2=2c，可得a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，e=ca，∴2e2+e-1=0，又∵e∈(0，1)∴e=12．（2）∵2a=4√2∴a=2√2又∵e=12∴c=√2，∵b2=a2-c2=6∴椭圆的方程为x28+y26=1，∴AB方程为：y=√3x−√6设A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y=√3x−√63x2+4y2=24得：5y2+2√6y+8=0，∴y1+y2=−2√65，y1y2=−185，∴S△ABF1=12F1F2⋅|y1−y2|=√2√(y1+y2)2−4y1y2=16√35．△ABF1的面积为：16√35．【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆的性质，求解椭圆的离心率即可．（2）利用椭圆的长轴长求出a，得到c，然后求解b，求出椭圆方程，求出AB的方程，联立直线与椭圆的方程，通过韦达定理，转化求解三角形的面积．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】解：（1）因为k-1＞k-2，所以a2=k-1，b2=k-2…（2分）所以c2=1，且焦点在y轴上，…（4分）所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）命题q：△=4-4（k2-1）＜0，k＜-√2或k＞√2．…（10分）因为命题“p且q”为真命题，所以{1＜k＜2k＜−√2或k＞√2即√2＜k＜2．…（14分）（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）【解析】（1）直接利用双曲线方程为x2k−2+y2k−1=1，可得a2=k-1，b2=k-2以及焦点在y轴上；再利用a，b，c之间的关系求出c即可求出结论．（2）命题p为真命题，得方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，说明x2的分母与y2的分母的积为负数．联列不等式组，解之即得实数k的取值范围；再利用根的判别式找出命题q真时，实数k的取值范围，再由p∧q 为真命题，说明“p真q真”成立，可得实数k的取值范围．本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．15.【答案】（1）由题意得椭圆两焦点分别为（-1，0），（1，0），又因为M(1，32)在椭圆上，所以2a=|MF1|+|MF2|=√(1+1)2+94+32=4，即a=2，又因为c=1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是x24+y23=1；（2）若∠AMO=∠BMO，则k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），∴kx1+1 x1+4+kx2+1x2+4=0即2kx1x2+（4k+1）（x1+x2）+8=0．联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，∴x1+x2=−8k3+4k2，x1x2=−83+4k2，∴−16k 3+4k2+(4k+1)−8k3+4k2+8=0，即-16k-32k2-8k+24+32k2=0，∴k=1．【解析】（1）由题可知焦点坐标分别为（1，0），（-1，0），根据椭圆定义得MF1+MF2=2a，求出a，b；（2）∠AMO=∠BMO，得k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则kx1+1x1+4+kx2+1x2+4=0，联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，再利用韦达定理代入求出k即可．本题考查椭圆标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系等知识点，属于中档题．16.【答案】解:(1)∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；(2)设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a−3k）2+（2a−k）2−65（2a−3k）（2a−k），化简可得（a+k）（a−3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴e=ca =√22．【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、几何性质和余弦定理，考查计算能力，属中档题.(1)利用|AB|=4，△ABF 2的周长为16，|AF 1|=3|F 1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF 2|；(2)设|F 1B|=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ，由cos∠AF 2B =35，利用余弦定理，可得a =3k ，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率.17.【答案】解：（1）∵双曲线y 24−x23=1的焦点坐标为（0，±√7），∴c =√7，设椭圆C 的方程为y 2a2+x 2b2=1，（a ＞b ＞0），由e =ca =√7a=√74，解得a =4，则b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 216=1．证明：（2）∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又k OP =-32，∴k AB =23，设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得16x 2+9（23x +m ）2-144=0，即20x 2+12mx +9m 2-144=0， ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−35m ，x 1x 2=9m 2−14420，|AB |=√(1+49)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√139×(925m 2−4×9m2−14420)=25√13(20−m 2)，点P 到AB 的距离d =√13=√13，∴△PAB 的面积S △PAB =12×√13×25√13(20−m 2)=10， ∴|13+3m |√20−m 2=50，解得m =4， ∴直线AB 的方程为y =23x +4， ∴直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．【解析】（1）由椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，列方程求出a =4，b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而k AB =23，设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得20x 2+12mx +9m 2-144=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式，推导出直线AB 的方程为y =23x +4，由此能证明直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线过椭圆的顶点坐标的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意得{a 2+b 2=49a 2−24b 2=1 ,解得{a 2=1b 2=3， ∴双曲线方程为x 2−y 23=1，其渐近线方程为y =±√3x ；(2)由{y =kx +2x 2−y 23=1 ,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得{3−k 2≠0Δ=16k 2+28(3−k 2)=0， ∴k 2＝7，∴k ＝±√7 ，当3－k 2=0时，直线l 与双曲线C 的渐近线y =±√3x 平行，即k =±√3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，综上，k =±√7或k =±√3.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力．（1）由双曲线的焦距及双曲线一点，联立方程组，求出a 和b ，可得双曲线C 的方程与渐近线方程．（2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出k 的值即可． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为双曲线C 与直线有两个不同的交点, 则方程组{x 2−y 2=1y =kx +1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx -2=0,∴ {1−k 2≠0Δ=4k 2+8(1−k 2)>0, 解得−√2<k <√2且k ≠±1，故双曲线C 与直线有两个不同的交点时, k 的取值范围是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)；（Ⅱ）当k =−√62,直线方程为y =−√62x −1，联立{x 2−y 2=1y =−√62x −1,消去y ，可得x²+2√6x +4=0，△>0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=−2√6,x 1x 2=4，所以|AB |=√1+k²×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5,圆心O 到直线y =−√62x −1距离为d =√1+32=√25，所以ΔAOB 的面积12×√25×2√5=√2.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点到直线的距离，涉及弦长公式，属于中档题.（Ⅰ）直线方程和双曲线方程联立，消去y ，利用△>0求解即可；（Ⅱ）利用弦长公式求出|AB |,再利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，代入面积公式求解.20.【答案】（1）解：双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程为y =±√3x ．由{y =√3x +1y =−√3x得P （-√36，12）则P 到y =√3x 的距离为d =12−√3×(−√36)√1+3=12；（2）解：联立方程组{y =kx +13x 2−y 2=1，消去y 得（3-k 2）x 2-2kx -2=0， ∵直线与双曲线有两个交点，∴{3−k 2≠0△=4k 2+8(3−k 2)>0，解得k 2＜6且k 2≠3，．x 1x 2=−23−k 2，x 1+x 2=2k3−k 2|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√−k 4+5k 2+6√(k 2−3)2=4√3 （k 2＜6且k 2≠3）．k 4-77k 2+102=0，解得k 2=2，或k 2=5113，∴k =±√2，k =±√66313．【解析】（1）写出双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程，求得P （-√36，12），即可求P 到y =√3x 的距离．（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，√(x−2)2+(y−0)2|12−x|=2，将上式两边平方，并化简得，3x 2−y 2=3，即x 2−y 23=1，所以曲线C 的轨迹的方程为x 2−y 23=1;（Ⅱ）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 12−y 123=1, x 22−y 223=1，两式相减得x 12− x 22=y 12−y 223，即有(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)3,所以，k =y 1−y2x 1−x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2，又因为点P(1,3)为线段AB 的中点，所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=6故k =1，所以直线l 得方程为y −3=x −1，即x −y +2=0【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键,考查推理能力和计算能力，属于中档题.（Ⅰ）利用点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x =12的距离的比是常数2，建立方程，化简可得结论；（Ⅱ）利用点差法即可求解.22.【答案】解（1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，△=（8m ）2-4×3×4（m 2+1）=16（m 2-3）＞0， ∴m 2＞3．设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，则x 1+x 2=-83m ，x 1x 2=4(m 2+1)3．由弦长公式|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，得√2⋅√(−83m)2−16(m2+1)3=83√11，∴4√2⋅√m2−33=83√11，即m =±5，满足m 2＞3，∴直线l 的方程为y =x ±5．（2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点，点P （3，1）为A ′B ′的中点，则x 3+x 4=6，y 3+y 4=2．由x 32−4y 32=4，x 42−4y 42=4，两式相减得（x 3+x 4）（x 3-x 4）-4（y 3+y 4）（y 3-y 4）=0， ∴y 3−y 4x 3−x 4=34，∴l ′的方程为y -1=34（x -3），即3x -4y -5=0．把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2-10y +114=0，满足△＞0，即所求直线l ′的方程为3x -4y -5=0．【解析】（1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，利用判别式的符号，设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，利用韦达定理，弦长公式，转化求解即可．（2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点，通过平方差法转化求解即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。