【新教材精品教案】7.1.2 复数的几何意义 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】7.1.2 复数的几何意义
教学设计（人教A版）
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.
课程目标：
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
数学学科素养
1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;
2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;
3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;
4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.
重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．
难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入
提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本70-72页，思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点Z (a ，b ) .
(2)复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→
.
[规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所
确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．
3．复数的模
(1)定义：向量OZ ―→
的 模 r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．
(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.
(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．
四、典例分析、举一反三
题型一 复数与复平面内的对应关系
例1求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3
＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x 轴上方.
【答案】(1) a ＜－3. (2)a ＞5或a ＜－3.
【解析】(1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，
解得a ＜－3.
(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3. 解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤）
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复
数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练一
1、实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：
(1)位于第三象限； (2)位于直线x －y －3＝0上
【答案】(1)－3<x <2． (2) x ＝－2．
【解析】因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．
(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．
题型二 复数与平面向量的对应关系
例2已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→
对
应的复数是 ( )
A ．－5＋5i
B ．5－5i
C ．5＋5i
D ．－5－5i
【答案】B ．
【解析】 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OA ―→
＝(2，
－3)，OB ―→
＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→
＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内
的点一一对应，可得向量BA ―→
对应的复数是5－5i.
解题技巧： (复数与平面向量对应关系的解题技巧)
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向
量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、
复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练二
1、在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
（1）求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→
对应的复数；
（2）若ABCD 为平行四边形，求D 对应的复数．
【答案】（1）AB ―→，AC ―→，BC ―→
对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.
（2）D 对应的复数为－2＋i.
【解析】 （1）设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：
OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，
AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，
所以AB ―→，AC ―→，BC ―→
对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.
（2）因为ABCD 为平行四边形，所以AD ―→＝BC ―→
＝(－3,1)，
OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D 对应的复数为－2＋i.
题型三 复数模的计算与应用
例3 设复数1243,43z i z i =+=-．
（1）在复平面内画出复数12,z z 对应的点和向量；（2）求复数12,z z 的模，并比较它们的模的大小．
【答案】 （1）图见解析，12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，对应的向量分别为1OZ ，2OZ ．（2）15z =，25z =．12=z z ．
【解析】（1）如图，复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，对应的向量分别为1OZ ，2OZ ．
（2）1|43|5z i =+==，2|43|5z i =-==．所以12=z z ．
例4 设z C ∈，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？
（1）||1z =；（2）1||2z <<．
【答案】 （1）以原点O 为圆心，以1为半径的圆．
（2）以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．
【解析】（1）由||1z =得，向量OZ 的模等于1，所以满足条件||1z =的点Z 的集合是以原点O 为圆心，
以1为半径的圆．
（2）不等式1||2z <<可化为不等式2,1.z z ⎧<⎪⎨>⎪⎩
不等式||2z <的解集是圆||2z =的内部所有的点组成的集合，
不等式||1z >的解集是圆||1z =外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1||2z <<的点Z 的集合．容易看出，所求
的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．
解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）
(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
(2)根据复数模的计算公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决．
(3)根据复数模的定义|z |＝|OZ ―→
|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．
跟踪训练三
1、已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于
( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．－1＋3i 或1＋3i
D ．－2＋3i
【答案】A.
【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i. 五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.
本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容
比较抽象，学生理解起来有一定难度。

所以本节课定要提前安排好预习工作，应采用诱思探究式教学，逐
层拨开其真实面目，让学生达到融会贯通的目的.。