2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-5 数列的综合应用

专题6.5 数列的综合应用

【考情分析】

1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式及其应用。

2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。

【重点知识梳理】

知识点一等差数列和等比数列比较

(1)若，，，，且

，则

(2) (3)

，…

仍成等差数列

(1)若，，，，且

，则

(2)

(3)等比数列依次每项和(

)，

即 ，…仍成等比数

列

知识点二 数列求和

1. 等差数列的前n 和的求和公式：.

2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列

的前项和是

，当时，

或

；当时，（错位相减法）. 3. 数列前n 项和

①重要公式：（1）

（2）

（3） （4）

②等差数列中，

；

m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+()n m a a n m d

=+-m n p q N +∈m n p q +=+m

n m n q a a -=n 0

n S ≠11()(1)

22n n n a a n n S na d +-=

=+123,,,,,

n a a a a n =n S 123n

a a a a ++++1≠q q q a S n n --=

1)

1(111n n a a q S q -=-1q =1na S n =1

n

k k ==

∑123n +++

+=2)

1(+n n 1

(21)n

k k =-=∑()13521n +++

+-=2

n 3

1

n

k k ==∑2

333)1(2121⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n 2

1

n

k k

==∑)12)(1(61

3212222++=

++++n n n n m n m n S S S mnd

+=++

③等比数列中，

.

【典型题分析】

高频考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用

【例1】(2020·重庆八中模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；

(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)

【解析】(1)由题意知，当1≤n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝0.5n ＋45，则a 10＝50；

当11≤n ≤20时，数列{a n }是公比为0.99的等比数列，则a n ＝50×0.99n －10

.

故实施“二孩”政策后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为

a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧0.5n ＋45，1≤n ≤10，50×0.99n －

10，11≤n ≤20. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5.

所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为S 2020≈48.63，则S 20

20＜49，

故到2038年结束后不需要调整政策． 【方法技巧】数列实际应用中的常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的递推关系还是前n 项和S n 与前n ＋1项和S n ＋1之间的递推关系．

【变式探究】（2020·安徽省铜陵中学模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结

n m m n n m m n

S S q S S q S +=+=+

果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

【答案】3

【解析】由题意得，蒲草的高度组成首项为a 1＝3，公比为1

2的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞

草的高度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－

12，B n ＝2n －1

2－1，

令3⎝⎛⎭⎫1－1

2n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞

草高度相同。

高频考点二 等差数列与等比数列的综合问题

【例2】(2018·高考北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a

1＋e a

2＋…＋e a

n . 【解析】 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为

e a 1＝e ln 2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －

1＝e ln 2＝2，

所以{e a

n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e a

1＋e a

2＋…＋e a

n ＝2×1－2n 1－2

＝2(2n －1)＝2n ＋

1－

2.

【方法技巧】等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．

(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．