2020北京人大附中高三(下)3月月考数学含答案

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北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考参考答案及评分标准

人大附中2019~2020 学年度高三4 月质量检测试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 4 分，共40 分．）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共30 分）
注：①13题其他合理答案也给分，如：从 2 月10 日开始两个省的新增人数都在下降；2 月10 日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。

要求至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，才给满分5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2 分。

②14题第一个空 2 分，第二个空3 分
三、解答题（本大题共 6 小题，满分85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.
17.。

考点03 逻辑联结词及数学归纳法(解析版)

考点48 逻辑联结词及数学归纳法一．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断二．量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定三．数学归纳法1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3)由(1)(2)得出结论．知识理解考向一命题的否定【例1】（2021·四川成都市·高三二模（理））命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定为（）A ．00x ∃≤，20010x x ++≤ B ．0x ∀≤，210x x ++≤ C ．00x ∃>，20010x x ++≤D ．0x ∀>，210x x ++≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“0x ∀>，210x x ++>”的否定是：00x ∃>，20010x x ++≤．故选：C ．【举一反三】1．（2021·全国高三月考（理））命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”的否定是（） A ．x R ∀∈，2ln 0x x+≥ B ．x R ∀∈，2ln 0x x+> C ．0x R ∃∈，002ln 0x x +≥ D ．0002,0x R lnx x ∃∈+> 【答案】B【解析】命题“0x R ∃∈，002ln 0x x +≤”为特称命题，该命题的否定为“x R ∀∈，2ln 0x x+>”. 故选：B.2．（2021·湖南岳阳市）命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”的否定是（） A ．()1,x ∃∈+∞，21x e x ≥+ B ．()1,x ∀∈+∞，21x e x <+ C ．()1,x ∃∈+∞，21x e x <+ D ．()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+【答案】C【解析】命题“()1,x ∀∈+∞，21x e x ≥+”为全称命题，该命题的否定为“()1,x ∃∈+∞，21x e x <+”. 故选：C.考向分析3．（2021·泰州市第二中学）巳知命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为（） A ．0x ∀≤，10x e x --＞ B ．0x ∀>，10x e x --> C ．0x ∃>，10x e x --≥ D ．0x ∃≤，10x e x --＞【答案】B【解析】命题p ：0x ∃>，10x e x --≤，则命题p 的否定为0x ∀>，10x e x -->. 故选：B考向二逻辑连接词求参数【例2】（2021·全国高三专题练习）若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则实数a 的范围是（） A ．2a > B ．2a C ．2a >- D ．2a -【答案】A【解析】若命题“200[1,2],2x x a ∃∈--+”是假命题，则命题“2[1,2],2x x a ∀∈--+<”是真命题，当0x =时，()2max22x -+=，所以2a >.故选：A. 【举一反三】1．（2021·天水市第一中学高三月考（理））已知命题():1,3p x ∃∈-，220x a --≤.若p 为假命题，则a 的取值范围为（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞-C ．(),7-∞D ．(),0-∞【答案】A 【解析】p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-，∴2a <-. 故选：A.2．（2020·北京人大附中高三月考）若命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．[1，+∞) B ．[0，+∞)C ．(-∞，1)D ．(-∞，0]【答案】A 【解析】命题“x R ∃∈，使得2210ax x ++＜成立”为假命题, 则它的否定命题: “x R ∀∈，2210ax x ++≥”为真命题所以0440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ 解得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞ 故选：A.3．（2020·江西高三期中（文））存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C【解析】由不等式230x mx m +-≥，可化为23x m x≤-，设()[]2,1,13x f x x x=∈--，则()()()2226(6)33x x x x f x x x ---'==--，当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,1]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又由()11(1),142f f -==，所以函数()f x 的最大值为()112f =，要使得存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则12m ≤，则m 的最大值为12. 故选：C.考向三数学归纳法【例3-1】（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∴N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（） A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1【答案】C【解析】n k =时，左边=1111 (2321)k ++++-，而n ＝k ＋1时，左边＝11111111 (232122121)k k k k +++++++++-+-，增加了1111 (22121)k k k +++++-，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k 项，故选：C.【例3-2】．（2020·全国高三专题练习）设等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-. （1）计算23,a a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}2nn a 的前n 项和n S .【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-+. 【解析】（1）由题意，等比数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，可得21345a a =-= ，323427a a =-⨯=，，猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+，证明如下：（数学归纳法）当1,2,3n =时，显然成立； ∴ 假设n k =时，即21k a k =+成立；其中*(N )k ∈，由134k k a a k +=-3(21)4k k =+-2(1)1k =++ ∴故假设成立，综上（1）（2），数列{}n a 的通项公式21n a n =+*()n N ∈.（2）令2(21)2n nn n b a n ==+，则前项和1212...3252...(21)2n n n S b b b n =+++=⨯+⨯+++ ∴由∴两边同乘以2得：23123252...(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-++ ∴由∴-∴的322112(12)3222...2(21)26(21)212n n n n n S n n -++--=⨯+⨯++-+=+-+-，化简得1(21)22n n S n +=-+. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++时，从n k=到1n k =+等式左边需增添的项是（） A ．22k + B ．[]2(1)1k ++ C ．[(22)(23)]k k +++ D ．[][](1)12(1)1k k ++++ 【答案】C【解析】当n k =时，左边123(21)k =+++++，共21k +个连续自然数相加，当1n k =+时，左边123(21)(22)(23)k k k =+++++++++，所以从n k =到1n k =+，等式左边需增添的项是[(22)(23)]k k +++. 故选：C.2．（2021·全国高三专题练习）设集合T n ＝{1，2，3，…，n }（其中n ≥3，n ∴N *），将T n 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为S n ．（1）求S 3，S 4，S 5的值；（2）试求S n 的表达式．【答案】（1）S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15；（2）41n C + .【解析】（1）当n ＝3时，T 3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S 3＝1；当n ＝4时，T 4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S 4＝1×3+2＝5；当n ＝5时，T 5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，222543212315S C C C ∴=⨯+⨯+⨯=．（2）由S 3＝1，S 4＝5，S 5＝15，S 6＝35…归纳猜想出41n n S C +=（n ≥3）．下面用数学归纳法证明猜想：∴当n ＝3时，S 3＝1＝44C ，结论成立；∴假设n ＝k （k ≥3，k ∴N *）时，结论成立，即S k ＝41k C +，则当n ＝k +1时，T k +1＝{1，2，3，4，…，k ，k +1}，()()1111111232123...21k k k k k S S C C C k C k C +---⎡⎤=+++++-+-⎣⎦()()()(){}411111122112...21k k k C k C k C k k C k k C +--=+-+-++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()(){}4111111111211231...23...1k k k C k C C C C C C k C +--⎡⎤=++++-++++-⎣⎦ ()422311k k k k C kC kC C ++⎡⎤=+--⎣⎦ ()4341111k k k C C C ++++=+=∴当n ＝k +1时，结论成立．综上：由∴∴可得()413n n S C n +=≥．1．（2021·涡阳县育萃高级中学）已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（） A ．21,04x x x ∃∈-+R B ．21,04x x x ∃∈-+>R C ．21,04x x x ∀∈-+>R D ．21,04x x x ∀∈-+<R 【答案】B【解析】命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B2．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））下列说法正确的是（） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件强化练习D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.【答案】D【解析】对于A 选项，若p q ∨为真命题，可能p 真q 假，则p q ∧为假，故A 选项错误.对于B 选项，命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y =”，故B 选项错误. 对于C 选项，当2x =时，20x x ->，所以“0x <”不是“20x x ->”的充要条件，C 选项错误. 根据全称量词命题的否定的知识可知，D 选项正确. 故选：D3．（2021·全国高三专题练习）下列关于命题的说法中正确的是（）∴对于命题P ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ ∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ∴若p q ∧为假命题，则p ､q 均为假命题 A ．∴∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴∴∴ D ．∴∴【答案】A【解析】∴对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈均有210x x ++，故∴正确；∴由“1x =”可推得“2320x x -+=”，反之由“2320x x -+=”可能推出2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故∴正确；∴命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故∴正确； ∴若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故∴错误．则正确的命题的有∴∴∴．故选：A4．（2021·河南高三其他模拟（文））命题:p “0,2sin 0x x x ∀≥-≥”的否定为（）A ．0,2sin 0x x x ∀≥-<B ．0,2sin 0x x x ∀<-<C ．0000,2sin 0xx x ∃≥-< D ．0000,2sin 0xx x ∃<-<【答案】C【解析】命题:p “0,2sin 0xx x ∀≥-≥”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀≥，2sin 0x x -≥”的否定是“0000,2sin 0xx x ∃≥-<”.故选：C.5．（2021·山东菏泽市·高三一模）命题“2,0∈≥∀x R x ”的否定是（）A ．2,0x R x ∃∈≥B ．2,0x R x ∀∈<C ．2,0x R x ∃∈<D ．2,0x R x ∃∈≤【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：x R ∀∈，20x ≥的否定是：x R ∃∈，20x <.故选：C6．（2021·四川成都市·石室中学高三月考（理））设命题:0p x ∀≤x =-，则p ⌝为（） A ．0x ∀≤x ≠- B ．00x ∃≤0x =- C ．0x ∀>x =- D ．00x ∃≤0x ≠-【答案】D【解析】命题p 为全称命题，该命题的否定为0:0p x ⌝∃≤0x ≠-. 故选：D.7．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题” 可得命题“x R ∀∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题” 当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x R ∃∈，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件，故选：B.8．（2021·全国高三专题练习）若命题“∀[]1,4x ∈时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围（） A ．[4,3]-- B ．()-∞,-4 C ．[4,)-+∞ D ．[4,0]-【答案】D【解析】若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题, 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--，当14x 时，4()0f x -,则40m -. 故选：D ．9．（2020·江苏海门市·高三月考）命题“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．4a ≤D ．4a ≥【答案】D【解析】“[]21220x x a ∀∈-≤，，”为真命题，可得2a ≥，因为[)[)4,2,+∞⊂+∞ ，故选:D .10．（2021·全国高三专题练习）已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【解析】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立，所以()242a x x x≥>-恒成立．因为2x >，所以22x x ->，则242x x<-，故2a ≥．故选：A11．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k到1k +”左端需增乘的代数式为（） A ．21k + B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，等式的左边(1)(2)()k k k k =++⋅⋅⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边(11)(12)()(1)(2)k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++，所以当从“k 到1k +”左端增乘的代数式为(1)(2)2(21)1k k k k k k ++++=++.故选：B.12．（多选）（2021·恩施市第一中学）下列命题正确的有（） A ．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是“x R ∃∈，20x <”． B ．函数()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数解析式为()sin g x x =． C ．函数()21f x x =-的零点为()1,0-，()1,0．D ．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角．【答案】AB【解析】对A ，根据全称命题的否定性质，A 为正确的；对B ，()cos f x x =向右平移2π个单位得到函数()cos()sin 2g x x x π=-=；对C ，函数零点是数而不是点，故C 错误；对D ，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D 错误；故选：AB.13．（多选）（2021·全国高三专题练习）下列命题中正确的是（） A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2xx < 【答案】BD【解析】对于选项A ：当0x >时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以23x x <恒成立，故选项A 不正确；对于选项B ：当(0,1)x ∈时，23log lg lg 3lg 31log lg 2lg lg 2x x x x =⨯=>，且3log 0x <，所以23log log x x <，故选项B 正确；对于选项C ：当12x =时，1211()()222x ==，11221log log 12x ==，则121log ()2x x >，故选项C 不正确；对于选项D ：当13x =时，131log 13=，由对数函数和指数函数的性质可知，当1(0,)3x ∈时，131()1log 2x x <<，故选项D 正确；故选：BD14．（多选）（2021·全国高三专题练习）若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（） A ．32B．C ．3 D ．92【答案】AB【解析】由条件可知1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥是真命题，即22112x x x xλ+≤=+，即min 112,,22x x x λ⎛⎫⎡⎤≤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()112,22f x x x x ⎡⎤=+≥=∈⎢⎥⎣⎦等号成立的条件是112,222x x x ⎡⎤=⇒=∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x的最小值是即λ≤AB. 故选：AB15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >16．（2021·全国高三专题练习）若“存在x ∴[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．【答案】9(,)2-+∞【解析】存在x ∴[﹣1，1]，3210xxa ⋅++>成立，即213x xa +-<在[1,1]x ∈-上有解，设2121()333x xx xf x +⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[1,1]x ∈-，易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以()[(1),(1)]f x f f ∈-，即213()3332f x +≤≤+，即91()2f x ≤≤，即92a -<，所以92a >-，故答案为：9(,)2-+∞．17．（2020·江西高三其他模拟（文））若命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，则m 的取值范围是______．【答案】[]22-,【解析】命题:p x R ∃∈，210x mx -+<为假命题，p ∴⌝：x R ∀∈，210x mx -+≥为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围是[]22-,. 故答案为：[]22-,. 18．（2020·北京密云区·高三期中）若“01x ∃>，使得11x a x +<-.”为假命题，则实数a 的最大值为___________. 【答案】3【解析】由“∴x 0>1，使得11x a x +<-.”为假命题，可知，“11,1x x a x ∀>+≥-”为真命题， 11a x x ∴≤+-恒成立，由11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当2x =时取等号，即a 的最大值为3. 故答案为：3.19．（2021·湖南永州市·高三二模）若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】解：因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20．（2020·全国高三月考（文））已知命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>，命题:q m a <；若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】()+∞【解析】设命题():0,p x ∀∈+∞，2230x mx -+>成立对应的m 的范围为集合A ，{}|B m m a =<若()0,x ∀∈+∞，223x mx +>，则32x m x +>，所以min 32m x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭而32x x +≥32x x =，即x =时等号成立，所以min32x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭m <{|A m m =<，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B，所以a > 即实数a的取值范围为()+∞.故选答案为：()+∞21．（2020·凌海市第二高级中学高三月考）命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】(),1-∞- 【解析】命题“2,1x R x t ∀∈>+”为真命题，且20x ≥，10t ∴+<，则1t <-，故实数t 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.22．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++，比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：523．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++，第一步应验证的等式是__________；从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的等式是_________.【答案】11122-=()()1121121k k -+-+ 【解析】当1n =时，应当验证的第一个式子是11122-=，从“n k =”到“1n k =+”左边需增加的式子是()()1121121k k -+-+24．（2021·全国高三专题练习）设数列{}n a 满足11a =，12(23)n n a a n +=--. （1）计算2a ，3a .猜想{}n a 的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23a =，35a =，21n a n =-；证明见解析；（2）1(23)26n n S n +=-⨯+.【解析】（1）由题意可得2121213a a =+=+=，3221615a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-，证明如下：当1n =时，12111a =⨯-=成立；假设n k =时，21k a k =-成立.那么1n k =+时，12(23)2(21)(23)212(1)1k k a a k k k k k +=--=---=+=+-也成立. 则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =-成立；（2）因为(21)2n n b n =-.∴23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，∴ 23412123252(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，∴∴-∴得：2341222222222(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()211122122(21)26(23)212n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-.∴1(23)26n n S n +=-⨯+.25．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（1）2343,7,15a a a ===，21n n a =-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+，因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（2）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.26．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知数列{}n a 满足1a m =，2n a ≠，11210n n n a a a ++-⋅-=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1）212a m =-，3232m a m -=-，43243ma m-=-；（2）()()()121n n n m a n n m ---=--；证明见解析.【解析】1）因为11210n n n a a a ++-⋅-=，2n a ≠，所以112n na a +=-，又因为1a m = 211122a a m ==--，3212232m a a m -==--，43132243ma a m-==-- （2）()()()121n n n ma n n m---=--证明：1n =时，()1011ma m --==，结论成立假设n k =时，结论成立，即()()()121k k k ma k k m---=--当1n k =+时：()()()()()()()()()11111122211221211k kk k m a k k m k k m k k m a k km k k m k k m+--====-------+--+------ 结论成立.综上，数列通项为()()()121n n n m a n n m---=-- 27（2020·云南师大附中高三月考（理））设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由11a =，23a =，所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立；假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-，所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立，综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+，所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.。

精品解析：2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(原卷版)

人大附中 2019~2020 学年度高三 4 月质量检测试题
数学
2020 年 4 月 13 日第一部分一、选择题（本大题共 10 个小题，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）
1.集合 A x x 2, x R ， B x x2 2x 3 0 ，则 A B （）
8.已知点
M
(2, 0)
，点
P
在曲线
y2
4x
上运动，点
F
为抛物线的焦点，则
| PM | PF |
|2 1
的最小值为（
）
A. 3
B. 2( 5 1)
C. 4 5
D. 4
9.已知函数 f x sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原
1 2sinx
图象重合的变换方式有（）
①函数 f (x) 的周期为；
② x 是函数 f (x) 的对称轴； 6
③
f
4
0
且在区间
6
, 2
上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）若
x
0,
3
，求函数
f
(x)
的值域.
17.在四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 中，BC//AD ，CD AD ，PO 平面 ABCD ，O 是 AD 的中点，且 PO AD 2BC 2CD 2
A. (3, )
B. (, 1) (3, ) C. (2, )
D. (2,3)
2.已知复数 z a2i 2a i 是正实数，则实数 a 的值为( )
A. 0

二项分布与超几何分布、正态分布

,k=t,t+1,…,s,
(2)记法:X~H(N,n,M).
(3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此
时X的分布列如下表所示.
X 0
P
… k
1
0 n
M
N-M
Nn
1 n-1
M
N-M
Nn
…
… s
-
C C-
C
…
-
C
C-
二项分布与超几何分布、正态分布
内
容
索
引
01
必备知识预案自诊
02
关键能力学案突破
03
素养提升微专题15——“小概率事件”及其应用
必备知识预案自诊
【知识梳理】
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是
相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

X~B(n,p)(其中p= );若采用不放回抽样的方
法随机抽取则随机变量X服从超几何分布
放回抽样,当n远远小于N时,每抽取
一次后,对N的影响很小,超几何分
布可以用二项分布近似
4.正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地,函数
1
φμ,σ(x)=
e
2π
μ= E(X)
,σ=
()
(- )2
P(Di)=4.
由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(3 )P(2 1 ∪ 2 D1∪D21 )
1
=4
1
4
× ×
45
.
1 024
3

2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案

2023北京人大附中初三3月月考数学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点．求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =．证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4．（1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系．（2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点．已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______．（2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱．【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可．【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可．【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ．由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意．故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．【详解】解：五边形的外角和是360°．故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解．【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，，故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥，故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ，解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9．故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110．故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可．【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>，即240b ac −>，移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数．【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒．故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106．故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可．【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3．【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==，又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案．【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==．在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长．【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户）【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可；（2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数．【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户）【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案；（2）利用待定系数法求出函数表达式即可；（3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+．【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+，即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析（2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解；（2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论．【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >；【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ，若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析（2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =；【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−，又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解；（3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩，解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+，设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。

2019-2020学年北京市人大附中高三(上)月考数学试卷(文科)(一)(9月份)

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（一）（9月份）试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）设U=R.A={-2.-1.0.1.2}.B={x|x≥1}.则A∩∁U B=（）A.{1.2}B.{-1.0.1}C.{-2.-1.0}D.{-2.-1.0.1}2.（单选题.5分）若a∈R.则“复数z=5−aii在复平面内对应的点在第三象限”是“a＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题.5分）在平行四边形ABCD中.E为CD的中点.F为AE的中点.则FC⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗B. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD⃗⃗⃗⃗⃗D. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题.5分）已知在等差数列{a n}中.a1=1.a3=2a+1.a5=3a+2.若S n=a1+a2+…+a n.且S k=66.则k的值为（）A.9B.11C.10D.125.（单选题.5分）为了得到函数y=log2√x−1的图象.可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的12.横坐标不变.再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的1.横坐标不变.再向左平移1个单位长度2C.横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再向右平移1个单位长度6.（单选题.5分）如图所示.用一边长为√2的正方形硬纸.按各边中点垂直折起四个小三角形.的鸡蛋（视为球体）放入其中.蛋巢形状保持不变.则鸡蛋（球体）离做成一个蛋巢.将体积为4π3蛋巢底面的最短距离为（）A. √2−12B. √2+12C. √6−12D. √3−127.（单选题.5分）依照某发展中国家2018年的官方资料.将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组.依次为第一组至第五组.各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示．以下关于该2018年家庭收入的判断.一定正确的是（）A.至少有60%的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B.收入最低的那20%的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的3.6%C.收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%D.收入最低的那50%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的20%8.（单选题.5分）若实数x.y满足|x-1|-lny=0.则y关于x的函数图象的大致形状是（）A.B.C.D.9.（填空题.5分）若（a-2i ）i=b+i.其中a.b∈R .i 为虚数单位.则a+b=___ ．10.（填空题.5分）某学校举办科技节活动.有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛.该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前.小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的.则获得一等奖的团队是___ ．11.（填空题.5分）已知实数x.y 满足约束条件 {2x −y ≤0x −3y +5≥0y ≥1 .则 z =(12)x+y−2的最大值等于___ ．12.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.BC=6.∠ABC= π2 .D 是AC 的中点.E 在BC 上.且AE⊥BD .则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 13.（填空题.5分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n .数列{S n }的前n 项积为T n .若S n +2T n =1.则数列 {1a n} 中最接近2019的是第___ 项．14.（填空题.5分）椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0) .的左、右焦点为F1、F2.A为椭圆上位于y轴右侧的点.直线AF1与y轴交于点B.|F1B|=2|AB|.AF1⊥AF2.则椭圆的离心率为___ ．15.（问答题.13分）已知△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.且asinA+csinC−bsinB=√2asinC．（1）求角B的大小；（2）设向量m⃗⃗ =(cosA，cos2A)，n⃗=(12，−5) .边长a=4.当m⃗⃗ •n⃗取最大值时.求b边的长．16.（问答题.13分）已知等比数列{a n}满足a n+1=λS n+1.其中λ≠-1.S n为{a n}的前n项和.n∈N*．（1）求a1；（2）设λ=4.∀n∈N*. 1a1+1a2+⋯+1a n＜m恒成立.求m的最小值．17.（问答题.13分）如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1.AC=AA1= √2 AB.∠AA1C1=60°．AB⊥AA1.H为棱CC1的中点.D为BB1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面AB1H；（Ⅱ）AB= √2 .求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．18.（问答题.13分）新鲜的荔枝很好吃.但摘下后容易变黑.影响卖相．某超市计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝.每天进货量相同且每公斤20元.当日18时前售价为每公斤24元.18时后以每公斤16元的价格销售完毕．根据往年情况.每天的荔枝需求量与当天平均气温有关.如下表表示：平均气温t（摄氏度）＜15 [15.20）[20.25）≥25频数分布表：果取整数）．（2）若今年该超市进货量为200公斤.以记录的各需求量的频率作为相应的概率.求当天超市不亏损的概率．19.（问答题.14分）已知圆O1：x2+y2=25.点P在圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜5）上.过点P作圆O2的切线交圆O1于点M、N两点.且r.|OM|.|MN|成等差数列．（1）求r；（2）若点P的坐标为（-4.3）.与直线MN平行的直线l与圆O2交于A、B两点.则使△AOB的面积为4√3的直线l有几条？并说明理由．20.（问答题.14分）已知函数f（x）=x2-2x+1+a（lnx-x+1）（其中a∈R.且a为常数）．（1）若对于任意的x∈（1.+∞）.都有f（x）＞0成立.求a的取值范围；（2）在（1）的条件下.若方程f（x）+a+1=0在x∈（0.2]上有且只有一个实根.求a的取值范围．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（一）（9月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）设U=R.A={-2.-1.0.1.2}.B={x|x≥1}.则A∩∁U B=（）A.{1.2}B.{-1.0.1}C.{-2.-1.0}D.{-2.-1.0.1}【正确答案】：C【解析】：根据补集与交集的定义.写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】：解：因为全集U=R.集合B={x|x≥1}.所以∁U B={x|x＜1}=（-∞.1）.且集合A={-2.-1.0.1.2}.所以A∩∁U B={-2.-1.0}故选：C．【点评】：本题考查了集合的定义与计算问题.是基础题目．在复平面内对应的点在第三象限”是“a＞0”的（）2.（单选题.5分）若a∈R.则“复数z=5−aiiA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据复数的几何意义结合充要条件的对应进行判断即可．【解答】：解： z =5−ai i = 5i-a=-a-5i. 对应点的坐标为（-a.-5）. 若复数 z =5−aii在复平面内对应的点在第三象限. 则-a ＜0.即a ＞0. 则“复数 z =5−aii在复平面内对应的点在第三象限”是“a ＞0”的充要条件. 故选：C ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合复数的几何意义进行化简是解决本题的关键．3.（单选题.5分）在平行四边形ABCD 中.E 为CD 的中点.F 为AE 的中点.则 FC⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗D. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 【正确答案】：B【解析】：由平面向量基本定理及线性运算可得：因为 FC ⃗⃗⃗⃗⃗ = FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .得解．【解答】：解：因为 FC⃗⃗⃗⃗⃗ = FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12 DC ⃗⃗⃗⃗⃗= 12 （ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+ 12 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = 34 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理及线性运算.属中档题．4.（单选题.5分）已知在等差数列{a n }中.a 1=1.a 3=2a+1.a 5=3a+2.若S n =a 1+a 2+…+a n .且S k =66.则k 的值为（）A.9B.11C.10D.12【正确答案】：B【解析】：在等差数列中.第一项、第三项、第五项分别为1.2a+1.3a+2.可得2（2a+1）=1+3a+2.解得a.可得公差d.再利用求和公式即可得出．【解答】：解：∵在等差数列中.第一项、第三项、第五项分别为1.2a+1.3a+2.∴2（2a+1）=1+3a+2.解得a=1.=a=1.∴公差d= 2a+1−12×1=66 .∴ S k=k×1+k(k−1)2解得k=11或k=-12（舍）．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式性质与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）为了得到函数y=log2√x−1的图象.可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的1.横坐标不变.再向右平移1个单位长度2.横坐标不变.再向左平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12C.横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍.纵坐标不变.再向右平移1个单位长度【正确答案】：Alog2(x−1) .从而看到函数自变量和函数【解析】：把给出的函数y=log2√x−1变形为y= 12值的变化．log2(x−1) .所以要得到函数y=log2√x−1的图象.可【解答】：解：函数y=log2√x−1 = 12.横坐标不变.再向右平移1个单位将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的12长度．故选：A．【点评】：本题考查了函数的图象与图象变化.解答此类问题的关键是看自变量x发生了什么变化.然后再根据“左加右减”的原则.是易错题．6.（单选题.5分）如图所示.用一边长为√2的正方形硬纸.按各边中点垂直折起四个小三角形.做成一个蛋巢.将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中.蛋巢形状保持不变.则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A. √2−12B. √2+12C. √6−12D. √3−12【正确答案】：D【解析】：由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离.再求出垂直折起的4个小直角三角形的高.再与球的半径相加即得答案．【解答】：解：由题意可得.蛋巢的底面是边长为1的正方形.故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.由于鸡蛋的体积为43π.故鸡蛋（球）的半径为1.故球心到截面圆的距离为√1−14 = √32.而垂直折起的4个小直角三角形的高为12.故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为√3−12.故选：D．【点评】：本题主要考查球的截面的性质.图形的折叠问题.点、线、面间的位置关系.属于中档题．7.（单选题.5分）依照某发展中国家2018年的官方资料.将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组.依次为第一组至第五组.各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示．以下关于该2018年家庭收入的判断.一定正确的是（）A.至少有60%的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B.收入最低的那20%的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的3.6%C.收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%D.收入最低的那50%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的20% 【正确答案】：C【解析】：设出所有家族年收入总和、家庭数.得出所有家庭的平均收入.基于条件“按年收入从低到高的顺序”的情况.逐一分析各选项的正误.从而得出结果．【解答】：解：由各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比的条形图得：设所有家庭年收入总和为100.共有5n 个家庭.则所有家庭的平均收入为 1005n = 20n . 在A 中.第四组、第五组家庭的平均收入均超过 20n .∴极有可能第四组、第五组全部的家庭的收入均超过全部家庭的年平均收入. 虽然第三组家庭平均年收入为14.9n.由于年收放从低到高的顺序排列. 故仍然有可能存在部分家庭年平均收入超过 20n .这样家庭年收入超过 20n 的比率有可能超过40%.故A 错误；在B 中.收入最低的那20%的家庭平均年收入为 3.6n .为全部家庭平均收入的： 3.6n20n =18%.故B 错误；在C 中.收入最高的那30%的家庭数应为第四组一半家庭数和第五组家庭数的和. 由于按年收入从低到高的顺序排列.故总收入大于14+44.6=58.6.收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%.故C 正确；在D 中.收入最低的那50%的家庭数应该是第三组家庭数的一半第第一、二组家庭数的和.由于按年收入从低到高排列.∴总收入小于：3.6+8.9+7.45=19.95.收入最低的那50%的家庭年收入总和不会超过全部家庭年收入总和的20%.故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查条形图及其性质等基础知识.考查学生阅读统计数表的能力运算求解能力.是基础题．8.（单选题.5分）若实数x.y满足|x-1|-lny=0.则y关于x的函数图象的大致形状是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：由式子有意义可知y＞0.将x=0代入原式可得y=e得出答案．【解答】：解：由式子有意义可知y＞0.排除C.D；将x=0代入|x-1|-lny=0得y=e＞1．排除B．故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的判断.借助于特殊点.值域等采用排除法是快速解题的关键．9.（填空题.5分）若（a-2i）i=b+i.其中a.b∈R.i为虚数单位.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：先化简.然后.根据复数相等的充要条件.实部与实部相等.虚部与虚部相等.求出a.b即可．【解答】：解：（a-2i）i=b+i.化为：2+ai=b+i∴a=1.b=2．所以a+b=3故答案为：3【点评】：本题考查复数相等的概念.考查计算能力.是基础题．10.（填空题.5分）某学校举办科技节活动.有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛.该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前.小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的.则获得一等奖的团队是___ ．【正确答案】：[1]丁【解析】：本题根据获得一等奖的团队只有一个这个先决条件.然后分别思考甲、丁分别为一等奖的情况.根据四人预测情况可得到正确结果．【解答】：解：由题意.获得一等奖的团队只有一个.① 假设甲团队获得一等奖.则小张、小李、小赵的预测都正确.不符合题意；② 假设丁团队获得一等奖.则小王、小李预测正确.小张、小赵预测错误.符合题意．∴获得一等奖的团队是丁．故答案为：丁．【点评】：本题主要考查对题目的分析能力.及逻辑推理能力.本题属基础题．11.（填空题.5分）已知实数x.y满足约束条件{2x−y≤0x−3y+5≥0y≥1.则z=(12)x+y−2的最大值等于___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：先根据约束条件画出可行域.欲求 z =(12)x+y−2 的最大值.即要求z 1=x+y-2的最小值.再利用几何意义求最值.分析可得z 1=x+y-2表示直线在y 轴上的截距.只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】：解：作图易知可行域为一个三角形.验证知在点A （-2.1）时.z 1=x+y-2取得最小值-3.∴z 最大是8.故答案为：8．【点评】：本题考查线性规划问题.难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题.这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.BC=6.∠ABC= π2 .D 是AC 的中点.E 在BC 上.且AE⊥BD .则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：建立直角坐标系.找出A 、B 、C 、D 的坐标.然后根据AE⊥BD .求出E 的坐标.从而利用数量积的坐标运算计算出 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】：解：以B 为原点.BA 、BC 所在直线分别为x 、y 轴.建立直角坐标系；则A （4.0）.B （0.0）.C （0.6）.因为D 是AC 的中点.则D （2.3）；所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，3) .设E （0.b ）.则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，b) .根据AE⊥BD .所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−8+3b =0 .解之得 b =83 .又 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，6) .所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(−4)+6×83=16 ．故答案为：16．【点评】：本题主要考查平面向量的数量积坐标运算.属于中档题目．13.（填空题.5分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n .数列{S n }的前n 项积为T n .若S n +2T n =1.则数列 {1a n } 中最接近2019的是第___ 项．【正确答案】：[1]45【解析】：分别令n=1.2.3.….归纳得到S n = 2n−12n+1 .再由数列的递推式可得数列的通项公式.进而计算所求值．【解答】：解：S n +2T n =1.可得S 1+2T 1=1.且S 1=T 1= 13 ；由S 2+2S 1S 2=1.解得S 2= 35 ；由S 3+2S 1S 2S 3=1.解得S 3= 57 ；…推得S n = 2n−12n+1 .a 1=S 1= 13 .n≥2时.a n =S n -S n-1= 2n−12n+1 - 2n−32n−1 = 4(2n−1)(2n+1) .1a n = {3，n =1(2n−1)(2n+1)4，n ≥2 . 由 (2n−1)(2n+1)4 =n 2- 14 .当n=44时.442- 14 =1935.75. 当n=45时.452- 14 =2024.75. 当n=46时.462- 14 =2115.75．综上可得数列 {1a n } 中最接近2019的是第45项．故答案为：45．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用归纳法.考查化简运算能力.属于中档题．14.（填空题.5分）椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) .的左、右焦点为F 1、F 2.A 为椭圆上位于y 轴右侧的点.直线AF 1与y 轴交于点B.|F 1B|=2|AB|.AF 1⊥AF 2.则椭圆的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √3−1【解析】：设AB=m．AF2=n.则BF1=2m.利用三角形相似以及勾股定理转化求解椭圆的离心率即可．【解答】：解：设AB=m．AF2=n.则BF1=2m．∵△F1OB∽△F1AF2.∴ 2m2c =c3m⇒c2=3m2.m= √33c．又3m-n=2a.∴n= √3c−2a .又（3m）2+n2=4c2⇒．⇒ √3 c-2a=±c．∴e= √3−1 .e= √3+1（舍去）.故答案为：√3−1．【点评】：本题考查双椭圆的定义、方程和性质.主要考查离心率的求法.运用直角三角形的勾股定理是解题的关键．15.（问答题.13分）已知△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.且asinA+csinC−bsinB=√2asinC．（1）求角B的大小；（2）设向量m⃗⃗ =(cosA，cos2A)，n⃗=(12，−5) .边长a=4.当m⃗⃗ •n⃗取最大值时.求b边的长．【正确答案】：【解析】：（1）由已知利用正弦定理可求a2+c2-b2= √2ac .进而利用余弦定理可求cosB的值.即可得解B的值．（2）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求m⃗⃗ •n⃗ =-10（cosA- 35）2+435.结合已知可求sinA的值.利用正弦定理即可得解b的值．【解答】：解：（1）∵由题意. asinA+csinC−bsinB=√2asinC . ∴a2+c2-b2= √2ac .∴cos B= a2+c2−b22ac = √2ac2ac= √22.∴B= π4．（2）因为m⃗⃗ •n⃗ =12cosA-5cos2A=-10（cosA- 35）2+ 435.所以当cosA= 35时. m⃗⃗ •n⃗取最大值.此时.sinA= 45．由正弦定理得.b=a• sinBsinA = 5√22．【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理.平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．16.（问答题.13分）已知等比数列{a n}满足a n+1=λS n+1.其中λ≠-1.S n为{a n}的前n项和.n∈N*．（1）求a1；（2）设λ=4.∀n∈N*. 1a1+1a2+⋯+1a n＜m恒成立.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数列的递推关系式.推出数列的公比.转化求解数列的首项即可．（2）推出数列的通项公式.利用等比数列求和.转化求解m的最小值．【解答】：解：（1）由a n+1=λS n+1知a n=λS n-1+1（n≥2）.两式相减.得a n+1=（λ+1）a n.于是公比q=λ+1.所以a2=λa1+1=（λ+1）a1.解得a1=1．（2）由（1）可得q=5.a n+1=5a n.所以a n=5n−1．所以1a n =15n−1.所以1a1+1a2+⋯+1a n=11+15+⋯+15n−1=1(1−15n)1−15=54(1−15n)＜54.因为∀n∈N*. 1a1+1a2+⋯+1a n＜m恒成立.所以m的最小值为54．【点评】：本题考查数列与函数相结合.等比数列以及数列的递推关系式的应用.考查分析问题解决问题的能力．17.（问答题.13分）如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1.AC=AA1= √2 AB.∠AA1C1=60°．AB⊥AA1.H为棱CC1的中点.D为BB1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面AB1H；（Ⅱ）AB= √2 .求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．【正确答案】：【解析】：（1）由△ACC1是等边三角形可得AH⊥CC1.所以AH⊥AA1.利用面面垂直的性质得AH⊥平面ABB1A1.故AH⊥A1D.在矩形ABB1A1中.由AA1= √2 AB可证A1D⊥AB1.从而A1D⊥平面AB1H．（2）连结BH.则可证明AA1⊥平面ABH.由分割补形可知棱柱的体积等于S ABH•AA1．【解答】：证明：（1）连结AC1.∵AC=AA1.∠ACC1=∠AA1C1=60°.∴△ACC1是等边三角形.∴AH⊥CC1.∵CC1 || AA1.∴AH⊥AA1.又∵侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1.侧面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1.AH⊂平面AA1C1C.∴AH⊥平面ABB1A1.∵A1D⊂平面ABB1A1.∴AH⊥A1D．∵四边形ABB1A1是平行四边形.AB⊥AA1.∴四边形ABB1A1是矩形.∵AA 1= √2 AB.∴B 1D= √22 AB.∴ B 1DA 1B 1=√22 . A 1B 1AA 1=√22. 又∵∠DB 1A 1=∠B 1A 1A=90°.∴△DB 1A 1∽△B 1A 1A.∴∠DA 1B 1=∠A 1AB 1=∠AB 1D.∴∠AB 1D+∠A 1DB 1=∠DA 1B 1+∠A 1DB 1=90°.∴A 1D⊥AB 1.又∵AH⊂平面AB 1H.AB 1⊂平面AB 1H.AH∩AB 1=A.∴A 1D⊥平面AB 1H ．（2）连结BH.∵AH⊥AA 1.AB⊥AA 1.AH⊂平面ABH.AB⊂平面ABH.AB∩AH=A .∴AA 1⊥平面ABH.∵AH⊥平面AB 1BA 1.AB⊂平面ABB 1A 1.∴AH⊥AB ．∵AB= √2 .∴AC=AA 1=2.∴AH= √3 ．∴ V 棱柱ABC−A1B 1C 1 =S △ABH •AA 1= 12×√2×√3×2 = √6 ．【点评】：本题考查了线面垂直的判定与性质.棱柱的体积计算.属于中档题．18.（问答题.13分）新鲜的荔枝很好吃.但摘下后容易变黑.影响卖相．某超市计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝.每天进货量相同且每公斤20元.当日18时前售价为每公斤24元.18时后以每公斤16元的价格销售完毕．根据往年情况.每天的荔枝需求量与当天平均气温有关.如下表表示：平均气温t （摄氏度）＜15 [15.20） [20.25）≥25 需求量n （公斤）50 100 200 300 频数分布表：平均气温[10.15） [15.20） [20.25） [25.30） [30.35） [35.40）天数2 16 36 25 7 4 果取整数）．（2）若今年该超市进货量为200公斤.以记录的各需求量的频率作为相应的概率.求当天超市不亏损的概率．【正确答案】：【解析】：（1）当需求量n≥100时.荔枝为该商场带来的利润为400元.当需求量n＜100.即n=50时.荔枝为该商场带来的利润为0元.由此能求出这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润．（2）当需求量n≥200时.荔枝为该商场带来的利润为800元.当需求量n=100时.荔枝为该商场带来的利润为0元.当需求量n=50时.荔枝为该商场带来的利润为-400元.从而当天该商场不亏损.则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤.由此能求出当天超市不亏损的概率．【解答】：解：（1）当需求量n≥100时.荔枝为该商场带来的利润为4×100=400元.……（2分）当需求量n＜100.即n=50时.荔枝为该商场带来的利润为4×50-4×50=0元.……（4分）所以这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为2×0+400×8890≈391元．……（5分）（2）当需求量n≥200时.荔枝为该商场带来的利润为4×200=800元.……（7分）当需求量n=100时.荔枝为该商场带来的利润为4×100-4×100=0元.……（9分）当需求量n=50时.荔枝为该商场带来的利润为4×50-4×150=-400元.……（11分）所以当天该商场不亏损.则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤.则当天超市不亏损的概率P=90−290=4445．……（12分）【点评】：本题考查平均利润的求法.考查概率的求法.考查统计表的性质、古典概型等基础知识.考查推理能力与计算能力.考查函数与方程思想.是基础题．19.（问答题.14分）已知圆O1：x2+y2=25.点P在圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜5）上.过点P作圆O2的切线交圆O1于点M、N两点.且r.|OM|.|MN|成等差数列．（1）求r；（2）若点P的坐标为（-4.3）.与直线MN平行的直线l与圆O2交于A、B两点.则使△AOB的面积为4√3的直线l有几条？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据同心圆的性质.结合等差数列的性质建立方程进行求解即可．（2）求出直线方程.利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】：解：（1）显然圆O 1和圆O 2是圆心在原点的同心圆．连接OP.则OP⊥MN .|OM|=5.|OP|=r.在直角三角形MOP 中. |MP |=√52−r 2 .所以|MN|= 2√52−r 2 ．由r.|OM|.|MN|成等差数列.得2|OM|=r+|MN|.即 2×5=r +2√25−r 2 .解得r=4．（2）因为点P 的坐标为（-4.3）.所以 k OP =−34 .所以直线l 的斜率 k =43 .设直线l 的方程为 y =43x +b .即4x-3y+3b=0．设圆心到该直线的距离为d.则 d =|3b|5 . 则 |AB |=2√42−d 2 .所以 S △AOB =12×|AB |×d =√42−d 2×d =4√3 .整理得 d 4-16d 2-48=0.（d 2-4）（d 2-12）=0.解得d=2或 d =2√3 .因为 d =|3b|5 .从而对应的b 有4个解： b =±103 或 b =±10√33. 检验知均符合题意.故使△AOB 的面积为 4√3 的直线l 有4条．【点评】：本题主要考查圆与圆位置关系的应用.结合三角形的面积公式以及等差数列的性质建立方程关系是解决本题的关键．20.（问答题.14分）已知函数f （x ）=x 2-2x+1+a （lnx-x+1）（其中a∈R .且a 为常数）．（1）若对于任意的x∈（1.+∞）.都有f （x ）＞0成立.求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下.若方程f （x ）+a+1=0在x∈（0.2]上有且只有一个实根.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对f （x ）求导后.分a≤2和a ＞2两种情况判断f （x ）的单调性.然后再判断任意的x∈（1.+∞）.是否有f （x ）＞0都成立.从而得到a 的范围；（2）设g（x）=f（x）+a+1.原题即为若g（x）在（0.2]上有且只有一个零点.求a的取值范围.然后判断g（x）的零点.根据零点得到a的范围．【解答】：解（1）∵f（x）=x2-2x+1+a（lnx-x+1）.∴ f′(x)=(x−1)(2x−a)x.当a≤2时.∵f'（x）＞0对于x∈（1.+∞）恒成立.∴f（x）在（1.+∞）上单调递增∴f（x）＞f（1）=0.此时命题成立；当a＞2时.∵f（x）在(1，a2)上单调递减.在(a2，+∞)上单调递增.∴当x∈ (1，a2)时.有f（x）＜f（1）=0．这与题设矛盾．故a的取值范围是（-∞.2]；（2）依题意a∈（-∞.2].设g（x）=f（x）+a+1.原题即为若g（x）在（0.2]上有且只有一个零点.求a的取值范围．显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的．当a≤0时.∵函数g（x）在区间（0.1）上递减.（1.2]上递增.∴g（x）在（0.2]上的最小值为g（1）=a+1.由于g(1e2)=(1e2−1)2−ae2+1＞0 .要使g（x）在（0.2]上有且只有一个零点.需满足g（1）=0或g（2）＜0.解得a=-1或a＜−2ln2；当a=2时.∵函数g（x）在（0.2]上单调递增.且g(e−4)=1e8−4e4−2＜0 .g（2）=2+2ln2＞0.∴此时g（x）在（0.2]上有且只有一个零点；当0＜a＜2时.∵函数g（x）在(0，a2)上单调递增.在(a2，1)上单调递减.在（1.2]上单调递增.又∵g（1）=a+1＞0.∴当x∈ (a2，2]时.总有g（x）＞0.∵ e−2e+2e＜1＜a+2.∴ g(e−2e+2e)=e−2e+2e[e−2e+2e−(a+2)]+(ae−2e+2e+2a+2)＜0 .∴g（x）在(0，a2)上必有零点.又∵g（x）在(0，a2)上单调递增.从而当0＜a＜2时.g（x）在（0.2]上有且只有一个零点.综上所述.当0＜a≤2或a＜−2ln2或a=-1时.方程f（x）+a+1=0在x∈（0.2]上有且只有一个实根．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数的零点与方程根的关系.考查了转化思想和分类讨论思想.属中档题．。

精品解析：2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(解析版)

14.函数
f
x
sin
2x
4
的最小正周期为________;若函数
f
x 在区间 0，
上单调递增，则
的
最大值为________.
【答案】 (1).
【解析】
(2).
8
【分析】
直接计算得到答案，根据题意得到
2x
4
4
, 2
4
，
2
4
2
，解得答案.
【详解】
f
x
sin
2x
4
，故 T
10.设函数
f
x
x2 10x lgx ，
1，x 0
若关于
x0
x
的方程
f
x
aaR
有四个实数解
xi
i
1，2，3，4
，
其中 x1 x2 x3 x4 ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（）
A. 0，101
B. 0，99
C. 0，100
D. 0，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像知：
【答案】D
【解析】【分析】
计算得到
f
x 2k
f
x，
f
2
x
f
2
x
，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，
根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
f
x
sinx 1 2sinx
，
f
x
2k
sin x 2k 1 2sin x 2k
sinx 1 2sinx
f
x，kZ ，
当沿 x 轴正方向平移 2k , k Z 个单位时，重合，故②正确；

北京市人大附中2020届高三第二学期数学统练试题及答案(一)

人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分（II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分（Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分（III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分（II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增，因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减，因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。

北京市中国人民大学附属中学2020届高三下第三次调研考试数学(文)(含答案)

10 . y x 2
3
11. 2 3
3
12. 6 13. 8 14. 6
三．解答题
15.（本小题满分 13 分）
解 (1)在 △ BDE 中，由正弦定理得 DE ＝ BD sin 60 °＝
3
，
sin 120 °－ θ 2sin 60°＋θ
在 △ ADF 中，由正弦定
理得
DF ＝ AD sin 60 ＝° sin 30°＋ θ 2sin
10. 若函数 f ( x) (a 1) x3 ax2 2x 为奇函数，则曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
11. 已知 a,b, c 分别是锐角 △ ABC 的角 A, B,C 所对的边，且 c 2, C sin C sin( B A) 2 sin 2 A ，则 a ________
m 的值 (保留两位小数 )；
(3) 如图 2 是该市居民张某 2018 年 1～ 6 月份的月水费 y(元 )与月份 x 的散点图，其拟合的线性回归
^
方程是 y＝2x＋ 33.若张某 2018 年 1～ 7 月份水费总支出为 312 元，试估计张某 7 月份的用水吨数 .
18.（本小题满分 13 分）
[a (n 1)d ] 和等比级数（数列）
a aq aq2 aq3
aqn
1
，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出
一定的贡献 .请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题
a11 a12 a13 .数阵 a21 a22 a23 中，每行的
a31 a32 a33
3 个数依次成等差数列，每列的为
19.（本小题满分 14 分）已知 f(x) ＝ ex－ aln x－ a，其中常数 a>0. (1) 当 a＝ e 时，求函数 f(x)的极值；