电磁场 镜像法

点电荷的镜像
点电荷与平面导体
Q Q Q
(a) 点电荷与球形导体
o
(b)
(c)
Q
o Q
(d)
(e)
各种简单边界的组合作为边界
Q Q
(a)
(b)
Q
(c)
线电荷的镜像
线电荷与平面导体
λ
(a)
λ
(b)
λ
(c)
线电荷与圆柱形导体
λ
o o
λ
(a)
(b)
平面与圆柱形边界的组合作为边界
λ
λ
λ
(a)
(b)
z
介质1 介质2 -a a
Q Q’
1 2
x
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q’ 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
Q Q `1 ( ) 4 1 r r 1 1 Q 4 1 x 2 y 2 ( z a) 2
Q 1 1 [ ] 40 x 2 y 2 ( z a ) 2 x 2 y 2 ( z a) 2
讨论：（a）导体面上感应电荷分布
0 z
z 0
Qa 2 2 2 3/ 2 2 ( x y a )
Qa Q dS 2
(1)


1
2
1 x 2 y 2 ( z a) 2 2

Q

再考虑介质ε2中的电势φ2，这时我们不能用上面的像电
荷Q'来计算ε2区域内的电势。这是因为，按照电像法，
像电荷必须在所考虑的区域之外。
所以，我们现在把在ε2区域外的电荷Q及其引起的极化电
荷合起来，用ε2区域外的一个像电荷Q''来统一考虑。设
应用举例
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷， 求空间电势。 解：根据唯一性定理左半空间 0 右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/ 电势满足泊松方程。 边界上 z 0 0
P r′
r
Q
z
a
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q 对称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改 变所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程） 设电量为 Q ，位置为（0，0， ） a
Q’
1 Q Q P 4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是 一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边 界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。 例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀
介质，以无限大平面为界。在介质1 中有一点电荷Q，求空间电势分布。
2 ( Ra / R0 ) 2 R0 2 Ra cos
（3）讨论： ① Q Q ，Q发出的电 力线一部分会聚到导体球 面上，剩余传到无穷远。
Q 1 1 ] ( R R0 ) 4 [ 2 2 2 2 R a 2 Ra cos ( Ra / R0 ) R0 2 Ra cos 0 0 ( R R0 )


3
2
R0 Q Q dS R R0 a


0
2rdr Q Q 2 2 3/ 2 (r a )
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 （c）Q 与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）
（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
这里要注意几点： a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一
种特殊方法— 称为镜象法。
1、镜象法的基本问题
在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点 电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。 在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对
场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或 几个假想的电荷来代替呢？
P R
r′
O θ Q/ Q
r
Z
Q Q [ ] 4 0 r r 1
球坐标系
（2）由边界条件确定 Q 和
r
r
设 OQ b
r
0
R a 2 Ra cos
2 2
R 2 b 2 2 Rb cos
R R0
R 0
Q Q 0 r r R R0
② 球面感应电荷分布
感 0 R Q 3 4R0 a R 2 R R0 2 R0 1 0 2 cos a2 a (a 2 R02 ) R02 (1 2 ) a
Q 4R0 a 2 R 2 2 R a cos 0 0

Q所受的库仑力等于 QQ 它的像电荷Q’对它 F 4 1 2a 2 的作用力，即

e 2 z
( 1 2 )Q 2 e 2 z 16 1 ( 1 2 )a
3. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
Q Q Q 2 2 a b
(7)
将(1) (2)两式带入 (5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,
Q Q Q 3 1a 2b 3
(8)
由以上三式解得
所以
1 2 Q 1 2 2 2 Q Q 1 2
Q
x 2 y 2 ( z a) 2 1
2 Q Q 1 Q F e e e 2 z 2 z 2 z 4 0 (2a ) 4 0 r 16 0 a
P
导体板上的 感应电荷确 实可以用板 下方一个假 想电荷Q’代 替。
r Q r’
导体板上部 空间的电场 可以看作原 电荷与镜象 电荷共同激 发的电场。 场点P的电势
a=b
1 2 Q 1 1 x 2 y 2 ( z a) 2 1 2 41 Q 2 2 ( 1 2 ) x 2 y 2 ( z a ) 2
p p1 p 2 n1 P1 n 2 P2 e z ( 1 0 ) E1 e z ( 2 0 ) E 2 ( 1 0 )e z 1 ( 2 0 )e z 2
z>0上半空间的介质ε1全部换为介质ε2 ，并在z=b处有一
电荷Q'' ，则z<0下半空间里任一点的电势为
Q 1 Q 2 4 2 r 4 2 x 2 y 2 ( z b) 2 1


1
(2)
2
下面由边界条件定Q’, Q” 和b，边界条件为：
1 z 0 2 z 0
3、镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； （坐标系选择仍然根据边界形状来定） b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c)由已知电荷分布以及电场作用力、
电容等。 镜像法往往比分离变量法简单，但它只 能用于一些特殊的边界情况。
(c)
导体上的感应电荷密度为： n （1）镜像电荷与导体上的感应电荷不一定相等。 （2）由镜像法求出电势分布以后，由上式可求感应 电荷 Q dS n S
电偶极子的镜像
p
p
p
(a)
(b)
(c)
p
o
p
o
p
(d)
(e)
(f)
注意： 镜像电荷的位置由边界形状决定，与电量 及界面性质无关。
光学成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物，把
导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化 电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭 加起来，就是我们讨论的结果。
2、镜象法的理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域
外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体 感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须 保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的 位置由Poisson's equation or Laplace's equation 和边界条件决定。
§2.4 镜 象 法
Method of images
根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有
自由电荷分布时，可用Laplace's equation求解场分
布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用 Poisson's equation 求解场分布。
如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电
荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何

1 40
[
Q x y ( z a)
2 2 2

Q
2 2
) 2 x y (z a
]
由边界条件确定 Q 、a 和 Q z 0 0 x2 y2 a2