(word完整版)状态空间平均法建模总结,推荐文档

7.1 状态空间平均法

151109，状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC 元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量，按照功率开关器件的“ON ”和“OFF ”两种状态，利用时间平均技术，得到一个周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态空间平均模型。

对于不考虑寄生参数的理想 PWM 变换器，在连续工作模式（CCM ）下一个开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为：

11i x

A x

B v =+& 0t dT ≤≤ (7-1) 22i x

A x

B v =+& dT t T ≤≤ (7-2) 式中d 为功率开关管导通占空比，/on d t T =，on t 为导通时间，T 为开关周

期；[] v L C x i =，x 是状态变量，x &是状态变量的导数，L i 是电感电流C v 是电容电压，i V 是开关变换器的输入电压；1A ,2A ,1B ,2B 是系数矩阵与电路的结构参数有关。

对式（7.1）和（7.2）进行平均得到状态平均方程为

x Ax Bv =+& 0t T ≤≤ (7-3)

式中，12(1)A dA d A =+-，12(1)B dB d B =+-，这就是著名的状态空间平均法。可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若d 为常数，则这个方程描述的系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路来替代。

对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值ˆd D d

=+、'ˆ'd D d =-、'1D D +=、ˆvg Vg vg =+、ˆx X x =+。其中ˆd 、ˆvg 、ˆx 是相应D 、vg 、X 的扰动量，将之代入到式（7-3）为：

ˆˆˆˆ()()i i X

x A X x B V v +=+++& (7-4) ''1212ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()()()i i i A X x B V v Ax Bx D d A D d A X D d B D d B V ⎡⎤⎡⎤+++=++++-+++-⎣⎦⎣

⎦ (7-5)

将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。

1212ˆˆˆˆ[()()]i i x

Ax Bv A A X B B V d =++-+-& (7-6)

将(7-6)进行拉式变换，得到s 域小信号模型，其中等号左边的ˆx

&拉式变换后的结果为ˆsx(s)

&。 1212ˆˆˆˆ()()()[()()]()i i sx

s Ax s Bv s A A X B B V d s =++-+- (7-7) 可通过此式求出对应拓扑的传递函数。

7.2 简单boost 电拓扑状态空间平均法建模

151110，Boost 直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感L 、滤波电容 C 、功率开关 Q 、二极管VD 和负载R 组成。

图7-1 Boost 电路拓扑结构

在 0t dT ≤≤期间，功率开关Q 导通，二极管D 截止，电源电压Vg 全部加到电感L 上，为电感L 储存能量，电容C 给负载R 供电。此时，电路的状态方程如下：

()

()()()l o o di t L Vg t dt

du t u t C dt R ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

(7-8)

在 dT t T ≤≤期间，功率开关Q 关断，二极管D 承受正压并导通，电感L 放电，电源和电感共同为负载R 供电，并为电容C 充电。其状态方程如下：

()()()()()()

l o o o L

di t L Vg t u t dt

du t u t C i t dt R ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

(7-9)

由式（7-8）和式（7-9）取平均得式（7-10）boost 电路的状态空间模型如下：

110()110L T L T

T o T o T d i d i dt L Vg t L u d d u C RC dt <>-⎡⎤⎡

⎤

-

⎡⎤⎢⎥⎢⎥<>⎡⎤⎢⎥=+<>⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

<>-<>⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

⎣⎦ (7-10) 根据式（7-6）得到boost 电路的动态小信号模型为：

ˆ110

ˆˆˆ()11ˆˆ0O L L L o o u d di

i L L dt Vg d t L d i u du C RC C dt ⎡⎤-⎡⎤

⎡⎤-

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ (7-11) 将式（7-11）等号两边进行拉普拉斯变换得到式（7-12）。

(1)()()()()()(1)()()o L o o L O

L u d Vg s si s u s d s L L L

u s I d sU i s d s C RC C -⎧

=-++⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩

(7-12)

化简式（7-12）得到输入到输出的传递函数为:

22

ˆ()0ˆ()1ˆ()(1)o d s u s d

L Vg s LCs s d R

=-=++- (7-13)

由控制到输出的传递函数为：

2

2

2

ˆ()0(1)(1)ˆ()(1)

ˆ()(1)o o u

s Ls

d u u s R d L

d

s LCs s d R

=---=

++- （7-14）

7.3 Boost 直流变换器建模的验证

不考虑纹波时，所得到平均化的Boost 电路状态方程如式（7-10）所示，再将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型:

110

110L L o o di d i dt L Vg L u d du C RC dt -⎡⎤⎡

⎤

-

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

⎣⎦ (7-14)