(word完整版)状态空间平均法建模总结,推荐文档

7.1 状态空间平均法
151109，状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC 元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量，按照功率开关器件的“ON ”和“OFF ”两种状态，利用时间平均技术，得到一个周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态空间平均模型。

对于不考虑寄生参数的理想 PWM 变换器，在连续工作模式（CCM ）下一个开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为：
11i x
A x
B v =+& 0t dT ≤≤ (7-1) 22i x
A x
B v =+& dT t T ≤≤ (7-2) 式中d 为功率开关管导通占空比，/on d t T =，on t 为导通时间，T 为开关周
期；[] v L C x i =，x 是状态变量，x &是状态变量的导数，L i 是电感电流C v 是电容电压，i V 是开关变换器的输入电压；1A ,2A ,1B ,2B 是系数矩阵与电路的结构参数有关。

对式（7.1）和（7.2）进行平均得到状态平均方程为
x Ax Bv =+& 0t T ≤≤ (7-3)
式中，12(1)A dA d A =+-，12(1)B dB d B =+-，这就是著名的状态空间平均法。

可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若d 为常数，则这个方程描述的系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路来替代。

对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值ˆd D d
=+、'ˆ'd D d =-、'1D D +=、ˆvg Vg vg =+、ˆx X x =+。

其中ˆd 、ˆvg 、ˆx 是相应D 、vg 、X 的扰动量，将之代入到式（7-3）为：
ˆˆˆˆ()()i i X
x A X x B V v +=+++& (7-4) ''1212ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()()()()i i i A X x B V v Ax Bx D d A D d A X D d B D d B V ⎡⎤⎡⎤+++=++++-+++-⎣⎦⎣
⎦ (7-5)
将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。

1212ˆˆˆˆ[()()]i i x
Ax Bv A A X B B V d =++-+-& (7-6)
将(7-6)进行拉式变换，得到s 域小信号模型，其中等号左边的ˆx
&拉式变换后的结果为ˆsx(s)
&。

1212ˆˆˆˆ()()()[()()]()i i sx
s Ax s Bv s A A X B B V d s =++-+- (7-7) 可通过此式求出对应拓扑的传递函数。

7.2 简单boost 电拓扑状态空间平均法建模
151110，Boost 直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感L 、滤波电容 C 、功率开关 Q 、二极管VD 和负载R 组成。

图7-1 Boost 电路拓扑结构
在 0t dT ≤≤期间，功率开关Q 导通，二极管D 截止，电源电压Vg 全部加到电感L 上，为电感L 储存能量，电容C 给负载R 供电。

此时，电路的状态方程如下：
()
()()()l o o di t L Vg t dt
du t u t C dt R ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(7-8)
在 dT t T ≤≤期间，功率开关Q 关断，二极管D 承受正压并导通，电感L 放电，电源和电感共同为负载R 供电，并为电容C 充电。

其状态方程如下：
()()()()()()
l o o o L
di t L Vg t u t dt
du t u t C i t dt R ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(7-9)
由式（7-8）和式（7-9）取平均得式（7-10）boost 电路的状态空间模型如下：
110()110L T L T
T o T o T d i d i dt L Vg t L u d d u C RC dt <>-⎡⎤⎡
⎤
-
⎡⎤⎢⎥⎢⎥<>⎡⎤⎢⎥=+<>⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
<>-<>⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
⎣⎦ (7-10) 根据式（7-6）得到boost 电路的动态小信号模型为：
ˆ110
ˆˆˆ()11ˆˆ0O L L L o o u d di
i L L dt Vg d t L d i u du C RC C dt ⎡⎤-⎡⎤
⎡⎤-
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ (7-11) 将式（7-11）等号两边进行拉普拉斯变换得到式（7-12）。

(1)()()()()()(1)()()o L o o L O
L u d Vg s si s u s d s L L L
u s I d sU i s d s C RC C -⎧
=-++⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩
(7-12)
化简式（7-12）得到输入到输出的传递函数为:
22
ˆ()0ˆ()1ˆ()(1)o d s u s d
L Vg s LCs s d R
=-=++- (7-13)
由控制到输出的传递函数为：
2
2
2
ˆ()0(1)(1)ˆ()(1)
ˆ()(1)o o u
s Ls
d u u s R d L
d
s LCs s d R
=---=
++- （7-14）
7.3 Boost 直流变换器建模的验证
不考虑纹波时，所得到平均化的Boost 电路状态方程如式（7-10）所示，再将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型:
110
110L L o o di d i dt L Vg L u d du C RC dt -⎡⎤⎡
⎤
-
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦ (7-14)
假设图7-1电路中的参数为Vg=30V ，R=4Ω，C=470μF ，L =400μH ，d =0.5。

根据状态平均法公式（7-14）的数学模型，使用Simulink 进行仿真建模得出图7-2：
图7-2 基于状态空间法boost 仿真模型
对图7-2的两路输出进行观察的到图7-3和图7-4的电压、电流输出波形图。

图7-3 电压、电流输出波形
图7-4 放大后的输出波形
由图7-3和图7-4可以看出，给定输入电压30V ，占空比0.5，输出电压为60V 和理论值接近。

输出负载为4Ω，则输出端电流为15A
，由此可知输入侧电
t/s
t/s
流为30A 与理论值接近。

另外，通过图7-4的短时间内输出波形可以看出，利用状态空间平均法不能产生电压和电流的纹波，这是因为在建模过程中使用了纹波近似，忽略了纹波的影响。

下面将考虑纹波对输出的影响，需要修改状态方程，修改后的状态方程如（7-15）所示：
m 10
m 10L L o o di i dt L Vg L u du C RC dt ⎡⎤⎡
⎤
-
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦ (7-15) 其中，定义变量m 作为开关器件通断的标志。

m =1 时表示关断，m =0时表示开通，其他参数均未改变，另设功率管开关频率为10K ，由以上状态方程构造 Boost 电路的模型如图7-5所示，仿真结果如图7-6所示。

图7-5 开关频率为10K ，输出带纹波的电压、电流波形
利用simulink 中的电力电子模块搭建Boost 升压电路模型，在相同参数下的波形图如下所示：
图7-6 电力电子模块仿真输出波形
二者波形几乎吻合，由此可证明状态空间平均法建模的正确性。

t/s
t/s
纹波的产生原因，是功率开关器件的动作引起的，当开关频率发生变化时，其产生的纹波也不同。

由状态空间平均法可知，当开关器件的动作频率增大时，对应的纹波在减小，当频率增大到一定程度后，纹波可以忽略不计。

图7-7为开关频率为50K时，电压、电流的波形图。

t/s
图7-7开关频率为50K电压、电流的波形图
由图7-5和图7-6对比可以清楚地发现，随着开关频率的增加，纹波在减小，与理论分析相符。

结论，已经初步掌握了一阶状态空间平均法的建模方法，对状态空间平均法纹波的产生，工作的原理有了大概的了解，接下来要仔细研究争取尽快掌握二阶状态模型时的建模及仿真。