第一章 三维欧氏空间中的张量_小结
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别该张量的所有分量。
可用下标表示为 u1 , u2 , u3 位移：u , v, w 缩写为 缩写为
ui xi
(i = 1，2，3) (i = 1，2，3)
x 坐标： , y, z
可用下标表示为
x1 , x2 , x3
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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表示反对称化运算
cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij a ji ) 2
相加
bij = a(ij ) cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij + a ji ) 2 1 ≡ (aij a ji ) 2
aij = a(ij ) + a[ij ]
(6) 指标记法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
n 阶张量:
在三维空间中，其分量数： 在二维空间中，其分量数：
= 3n = 2n
（5）任意张量的分解定理：
对任一张量（既非对称，又非反对称）[aij ]，总可以唯一地 分解为一个对称张量 [bij] 与一个反对称张量 [cij] 之和.
表示对称化运算
bij = a(ij )
对称张量 反对称张量
1 ≡ (aij + a ji ) 2
3 因式分解 考虑 第一步用
Tij n j - l ni = 0 nj
表示
ni ,δ i j
有换指标的作用
ni = δ ij n j
所以 即
Tij n j - l δ ij n j = 0 (Tij - l δ ij )n j = 0
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D、张量的分量： 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其 r r 分量为ai，于是 a = ai ei r r r r ai = a ei = ei a 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 r t r t tr r b = T a = T ( a i e i ) = a i (Te i ) tr r r r tr bi = be i = a j (Te j ) e i = a j ( e i Te j ) = Tij a j r t r Tij = e i T e j 称为二阶张量T 的分量 可理解为矢量Tej在ei上的分量。
一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。
1 pij = (aij +a ji ) 2
1 qij = (aij－a ji ) 2
End
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End
方加“ ，”的方式来表示。例如 Ai,j ，就表示对一阶张 量Ai 的每一个分量对坐标参数 xj 求导。
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◆ 如果在微商中下标符号i 是一个自由下标，则算子i( )
作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；
φ φ , φ ,i = =( x i x1
φ , x 2
φ ) x3
对于单位矢量，点积eiej = δij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的 《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。
δij 的作用与计算示例：
(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3
(2) δ ijδ ij = (δ11 )2 + (δ 22 )2 + (δ 33 )2 = 3
（即：标量）
0阶张量： 如：温度T、能量U 等, 分量数：1 = 30 = 2 0 = 1
在三维空间中，其分量数：3
= 31 一阶张量： （即：矢量） 1 在二维空间中，其分量数：2 = 2 aij , 在三维空间中，其分量数：9 = 32 二阶张量： 2 在二维空间中，其分量数：4 = 2 aijk , 在三维空间中，其分量数：27 = 33 三阶张量： 在二维空间中，其分量数：8 = 2 3
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
(3) δ ijδ jk = δ i1δ1k + δ i 2δ 2k + δ i 3δ 3k = δ ik (4) aijδ ij = a11δ11 + a22δ 22 + a33δ 33 = aii (5) aiδ ij = a1δ1 j + a2δ 2 j + a3δ 3 j = a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
δ 11 δ 12 1 0 δ ij = = 0 1 —— δ 21 δ 22
（4）对称张量与反对称张量：
σ ij 、 ij 等. ε a 若一二阶张量： ij , 具有 aij = a ji 则称该二阶张量为反对称张量.
如：应力张量 若将其排列成矩阵，必有：
0 a 12 a13
Di= σij,j－Fi=0
因为Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。
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B、张量的乘积 张量A 的每一个分量乘以张量B 中的每一个分量所组成的集 合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张 量阶数之和。 ai b jk = cijk
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合
当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
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A、张量的加减：
凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它 的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。
aij ± bij = cij
若 a 为一矢量，则
(T ± S ) a = T a ± S a
= ei T e j ± ei S e j
= Ti j ± S i j
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标
号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。
r 矢量 V 的方式表示： r V = (v1 ,v2 ,v3 ) 3 r r r r = v1e1 + v2 e2 + v3e2 = ∑ vi ei i =1 = vi
其分量为： ( T ± S ) i j = ei ( T ± S ) e j
其矩阵形式为：
[T ± S ] = [T ] ± [ S ]
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◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力σij ，以后将证明，为满足平衡 σij,j=Fi ，现将它重写为
(7) Kronecker delta（δij）符号
δij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，
亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, δ ij = 0, 当 i = j 时； 或： 当 i ≠ j 时； 1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δijvj = vi 即在将δij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
a12 0 a 23 a13 a 23 0
a 若一二阶张量： ij , 具有
aij = a ji 则称该二阶张量为对称张量。
张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的自由下标数
若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，则 描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： = r n M
r vi 代表矢量 V 的所有分 r 量，即当V 写作vi 时，指标的 值从1到3变化.
V1
x3
V3
r e3
r V
P ( v1 , v2 , v3 )
r or e e1 2
V2
x2
x1 r f (X ) = f (xi )=f (x j )=f (x1 ,x2 ,x3 )
关于自由标号： ◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即 同阶且标号字母相同. a ij x j = bi ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次.
(6) σ ij l j λ li = σ ij l j λδ ij l j = (σ ij λδ ij )l j
例1：完成脚标变换 Ai→Ak
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示. 例2：完成变换 Tkj→Tij
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
◆ 如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产
生一个新的降低一阶的张量。
ui ,i
ui u1 u 2 u 3 = = + + x i x1 x 2 x 3
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指标记法的运算
1 代入 设
3个方 程，右边 为9项之 和
ai = U im bm bi = Vim cm
物理学院 凝聚态物理中心
wk.baidu.com
物理学中的 张量分析
刘连寿，郑小平 著
张量概念小结： （1）张量概念的两个要点：
（a）张量是一群具有下标量的集合.
（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规
律，如：二阶张量
α
i ′j ′
3 3 ∑ ∑ A i ′ i A j ′j α i j i =1 j =1 = 3 3 ∑1 ∑1 A i ′i A j ′j α i= j=
δ ikTkj = δ iiTij = Tij
特别地
δ ikδ kj = δ ij
δ ikδ kjδ jm = δ im
例3： Ami Bnj 代表34=81个数，求 m=n时各项的和.
δ mn Ami Bnj = Ani Bnj = Ami Bmj
1.5
张量的基本运算
张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。
可用下标表示为 u1 , u2 , u3 位移：u , v, w 缩写为 缩写为
ui xi
(i = 1，2，3) (i = 1，2，3)
x 坐标： , y, z
可用下标表示为
x1 , x2 , x3
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其
方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的 阶次。
(1) (2)
ai = U imVmn cn
把（2） 代入（1）
bi = Vim cm
bm = Vmn cn
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2 乘积 设
p = U m am q = Vm bm p q = U m amVn bn p q ≠ U m amVm bm
不符合求 和约定
则
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表示反对称化运算
cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij a ji ) 2
相加
bij = a(ij ) cij = a[ ij ]
1 ≡ (aij + a ji ) 2 1 ≡ (aij a ji ) 2
aij = a(ij ) + a[ij ]
(6) 指标记法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区
n 阶张量:
在三维空间中，其分量数： 在二维空间中，其分量数：
= 3n = 2n
（5）任意张量的分解定理：
对任一张量（既非对称，又非反对称）[aij ]，总可以唯一地 分解为一个对称张量 [bij] 与一个反对称张量 [cij] 之和.
表示对称化运算
bij = a(ij )
对称张量 反对称张量
1 ≡ (aij + a ji ) 2
3 因式分解 考虑 第一步用
Tij n j - l ni = 0 nj
表示
ni ,δ i j
有换指标的作用
ni = δ ij n j
所以 即
Tij n j - l δ ij n j = 0 (Tij - l δ ij )n j = 0
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D、张量的分量： 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其 r r 分量为ai，于是 a = ai ei r r r r ai = a ei = ei a 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即 r t r t tr r b = T a = T ( a i e i ) = a i (Te i ) tr r r r tr bi = be i = a j (Te j ) e i = a j ( e i Te j ) = Tij a j r t r Tij = e i T e j 称为二阶张量T 的分量 可理解为矢量Tej在ei上的分量。
一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对 称张量之和。
1 pij = (aij +a ji ) 2
1 qij = (aij－a ji ) 2
End
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End
方加“ ，”的方式来表示。例如 Ai,j ，就表示对一阶张 量Ai 的每一个分量对坐标参数 xj 求导。
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◆ 如果在微商中下标符号i 是一个自由下标，则算子i( )
作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；
φ φ , φ ,i = =( x i x1
φ , x 2
φ ) x3
对于单位矢量，点积eiej = δij ； 其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的 《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。
δij 的作用与计算示例：
(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3
(2) δ ijδ ij = (δ11 )2 + (δ 22 )2 + (δ 33 )2 = 3
（即：标量）
0阶张量： 如：温度T、能量U 等, 分量数：1 = 30 = 2 0 = 1
在三维空间中，其分量数：3
= 31 一阶张量： （即：矢量） 1 在二维空间中，其分量数：2 = 2 aij , 在三维空间中，其分量数：9 = 32 二阶张量： 2 在二维空间中，其分量数：4 = 2 aijk , 在三维空间中，其分量数：27 = 33 三阶张量： 在二维空间中，其分量数：8 = 2 3
律。例如：
(aij + bij )ck = aij ck + bij ck (aij bk )cm = aij (bk cm )
或
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C、张量函数的求导：
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参
数 xi 的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 ◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前
(3) δ ijδ jk = δ i1δ1k + δ i 2δ 2k + δ i 3δ 3k = δ ik (4) aijδ ij = a11δ11 + a22δ 22 + a33δ 33 = aii (5) aiδ ij = a1δ1 j + a2δ 2 j + a3δ 3 j = a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
δ 11 δ 12 1 0 δ ij = = 0 1 —— δ 21 δ 22
（4）对称张量与反对称张量：
σ ij 、 ij 等. ε a 若一二阶张量： ij , 具有 aij = a ji 则称该二阶张量为反对称张量.
如：应力张量 若将其排列成矩阵，必有：
0 a 12 a13
Di= σij,j－Fi=0
因为Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。
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B、张量的乘积 张量A 的每一个分量乘以张量B 中的每一个分量所组成的集 合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张 量阶数之和。 ai b jk = cijk
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合
当坐标转动 当坐标反演
ij
（2）张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的下标数
（3）单位张量：
δ 11 δ 12 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
—— 三维空间中的单 位张量 二维空间中的单位张量
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A、张量的加减：
凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它 的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。
aij ± bij = cij
若 a 为一矢量，则
(T ± S ) a = T a ± S a
= ei T e j ± ei S e j
= Ti j ± S i j
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标
号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三 维空间，即变程为3。
r 矢量 V 的方式表示： r V = (v1 ,v2 ,v3 ) 3 r r r r = v1e1 + v2 e2 + v3e2 = ∑ vi ei i =1 = vi
其分量为： ( T ± S ) i j = ei ( T ± S ) e j
其矩阵形式为：
[T ± S ] = [T ] ± [ S ]
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◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所 有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考 虑Fi 导致的应力σij ，以后将证明，为满足平衡 σij,j=Fi ，现将它重写为
(7) Kronecker delta（δij）符号
δij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，
亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为：
1, δ ij = 0, 当 i = j 时； 或： 当 i ≠ j 时； 1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δijvj = vi 即在将δij 应用于vj 只是将vj中的j 用i 置换；
a12 0 a 23 a13 a 23 0
a 若一二阶张量： ij , 具有
aij = a ji 则称该二阶张量为对称张量。
张量的阶数与分量数： 张量的阶数 = 表示张量所用的自由下标数
若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，则 描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： = r n M
r vi 代表矢量 V 的所有分 r 量，即当V 写作vi 时，指标的 值从1到3变化.
V1
x3
V3
r e3
r V
P ( v1 , v2 , v3 )
r or e e1 2
V2
x2
x1 r f (X ) = f (xi )=f (x j )=f (x1 ,x2 ,x3 )
关于自由标号： ◆ 在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即 同阶且标号字母相同. a ij x j = bi ◆ 自由标号的数量确定了张量的阶次.
(6) σ ij l j λ li = σ ij l j λδ ij l j = (σ ij λδ ij )l j
例1：完成脚标变换 Ai→Ak
δ ki Ai = δ kk Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示. 例2：完成变换 Tkj→Tij
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E、张量的分解： 若张量[aij] 的分量满足 aij = aji 则称[aij] 为对称张量。 若张量[aij] 的分量满足 aij =－aji 则称[aij]为反对称张量。 显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。
a11 = a22 = a33 = 0
◆ 如果在微商中下标符号i 是哑标号，则作用的结果将产
生一个新的降低一阶的张量。
ui ,i
ui u1 u 2 u 3 = = + + x i x1 x 2 x 3
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指标记法的运算
1 代入 设
3个方 程，右边 为9项之 和
ai = U im bm bi = Vim cm
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物理学中的 张量分析
刘连寿，郑小平 著
张量概念小结： （1）张量概念的两个要点：
（a）张量是一群具有下标量的集合.
（b）不同坐标系间变换时，服从同样的变换规
律，如：二阶张量
α
i ′j ′
3 3 ∑ ∑ A i ′ i A j ′j α i j i =1 j =1 = 3 3 ∑1 ∑1 A i ′i A j ′j α i= j=
δ ikTkj = δ iiTij = Tij
特别地
δ ikδ kj = δ ij
δ ikδ kjδ jm = δ im
例3： Ami Bnj 代表34=81个数，求 m=n时各项的和.
δ mn Ami Bnj = Ani Bnj = Ami Bmj
1.5
张量的基本运算
张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。